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2.3等差数列前n项和公式(1)


2.3等差数列前n项和 (第一课时)

复习回顾
a 1.等差数列的定义:
* ? a ? d ( n ? N ) n ?1 n

或 a n ? a n ?1 ? d ( n ? N * 且 n ? 2 )
2.等差数列通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d 3.等差数列性质: (1) {an}为等差数列 ? an+1- an=d ? an+1=an+d ? an= a1+(n-1) d ? an= kn + b (k、b为常数) an ? am (2)更一般的情形,a = am+(n - m) d ,d=
n

n?m

(3)在等差数列{an}中,由 m+n=p+q

am+an=ap+aq

问题 1:
求和:1+2+3+4+‥ ‥ +99=?

问题2:
求和:1+2+3+4+…+n=?
记:Sn= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n 2 +1 Sn = n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 +
? 2Sn ? n(n ? 1)

n(n ? 1) ? Sn ? 2

问题3:现在把问题推广到更一般的情形:

等 差数列 {an} 的首项为a1,公差为d,如何求等差数 列的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+an?

解: Sn=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an 倒序相加
Sn=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1 变式:能否用 因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… a1,n,d表示Sn?
两式左右分别相加,得

2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+
(an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)
n(a1 ? an ) an=a1+(n-1)d n( n ? 1) ? Sn ? Sn ? na1 ? d 2 2

【公式记忆】等差数列的前n项和公式类同于

梯形的面积公式



用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式, 这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差 数列前n项和的两个公式.

n

数学运用
例1.等差数列-10,-6,-2,2,· · ·前9项的 和多少?
解:设题中的等差数列为{an}
则 a1=-10, d=4,

n=9

9?8 S9 ? (?10) ? 9 ? ? 4 ? 54 2

变式:等差数列-10,-6,-2,2,· · · · · · · 前多 少项和是54 ?
解: 设题中的等差数列为{an}, 则 a1= -10, d= -4 设 Sn= 54,
n( n ? 1) ? 10n ? ·4 ? 54 2

得 故

n2-6n-27=0 n1=9, n2=-3(舍去)。

因此,等差数列 -10,-6,-2,2· · · · · · · 前9项和是54。

数学运用
例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在 中小学实施“校校通”工程的通知》,某市据此提出 了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年 的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测 算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万 元。为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金 都比上一年增加50万元。那么,从2001年起的未来10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? 解:由题意,该市在“校校通”工程中每年投入 分析:①找关键句;②求什么,如何求; 的资金构成等差数列{an},且a1=500,d=50,n=10. 故,该市在未来10年内的总投入为:
10 ? ?10 ? 1? S10 ? 10 ? 500 ? ? 50 ? 7250 ?万元? 2



数学运用 例3. 求集合M ? ?m | m ? 7n, n ? N , 且m ? 100?
的元素个数 , 并求这些元素的和 .
解: 由题意 , m是7的倍数, 且0 ? m ? 100.
将它们从小到大排列得 : . 0, 7 ? 0,7 ? 1, 7 ? 2, ?, 7 ? 14即 7,14, 21,?,98. ?an ?, 共有 15个元素, 构成一个等差数列 , 记为 a1 ? 0, a15 ? 98 ? S15 ? 15 ? (0 ? 98) ? 735 2 答 : 集合M共有 15个元素, 和等于735.

巩固练习
1.等差数列{an}的首项为a1,公差为d,项数为 n,第n项为an,前n项和为Sn,请填写下表:

a1
5
100

d
10 -2
2 0.7

n
10 50
15

an
95 2

sn
500

2550 -360
604.5

-38 14.5

-10 32

26

两个等差数列的求和公式及通项公 式,一共涉及到5个量,知三求二。

应用公式时,要根据题目的具 体条件,灵活选取这两个公式 。

巩固练习
2.计 算:

(1)1+3+5+…+(2n-1)
(2)2+4+6+…+2n

=________ . n

2

n( n ? 1) . =__________

3135 _ . (3)101? 100? 99 ? 98 ? 97 ? ? ? 64 ? __________
3. 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.S16= 144

课堂小结
等差数列前n项和公式
n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

公式的推证用的是倒序相加法 在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中 三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.(运用 了 方程思想)

2.3等差数列前n项和 (第二课时)

1.等差数列前n项和Sn公式的推导 -------倒序相加法
2.等差数列前n项和Sn公式:

n(a1 ? an ) an=a1+(n-1)d n( n ? 1) ? Sn ? Sn ? na1 ? d 2 2
说明:两个等差数列的求和公式及通项公式, 一共涉及到5个量,通常已知其中3个,可求 另外2个。

例1:已知数列?an ? 的前n项和为S n ? n 2 ? 1 n, 求这个数列的通项公式 , 2 并判断这个数列是等差 数列吗?如果是,它的 首项与公差各是多少?
解:根据Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ? an与Sn ? 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1(n?1)
当n?1时,an ? S n ? S n ? 1 ? (n 2 ?
1 2

n) ? [( n ? 1) 2 ? 1 (n ? 1)] ? 2n ? 2
1 2

1 2

当n ? 1时,a1 ? S1 ?

3 2

满足an ? 2n ?

数列?an ?是以 3 为首项, 2为公差的等差数列。 2

所以数列?an ? 的通项公式为: an ? 2n ? 1 2

由此题,如何通过 数列前n项和来求 数列通项公式?

数列前 n项和与通项公式的关系 : ?S1 an ? ? ?S n ? S n ?1

( n ? 1) ( n?1)

当n ? 1时, 不一定满足: an ? S n ? S n?1
探索

一般地,如果一个数列 ?an ? 的前n项和为 : S n ? pn 2 ? qn ? r 如果是,它的首项与公 差分别是什么?

其中p、q、r为常数,且 p ? 0, 那么这个数列 ?an ?一定是的等差数列吗?

解:根据上例解得

( n ? 1) ?p ? q ? r an ? ? ?2 pn ? p ? q ( n?1)

只有r ? 0时,数列?an ?才是等差数列 首项为: a1 ? p ? q, 公差为: d ? 2 p

等差数列前n项和的性质一:
2 数列?an ?是等差数列 ? S n ? An ? Bn

A 公差为 2 。

Sn 若数列{an}为等差数列,那么数列 { } n
是什么数列?

{an}是等差数列

Sn ? { } 是等差数列 n

既然等差数列的前n项 S n 和是关于n的一元二次,那 么它的最值怎么求呢?

等差数列前n项和的性质二:
不等式法求 S n的最值: ? an ? 0 若a1 >0,d<0且 ? ,则Sn最大。 ?an+1 ? 0
? an ? 0 若a1 <0,d>0且 ? ,则Sn最小。 ?an+1 ? 0

你能理解 么?

也可以用二次函数的图像求 S n 的最值,但要注意 n ? N ? 。

2, 4, 例2:已知等差数列 5, 47 37 ?的前n项和为 S n ,

求使得 S n最大的序号 n的值。

解1:由已知可得, a1 ? 5, d ? 可得S n ? 5n ?
n ( n ?1) 5 ( ? ) 2 7

5 ?7 , 代入S n

? na1 ?

n ( n ?1) 2

d

?

75n ?5n 2 14

2 1125 5 即:S n ? ? 14 (n ? 15 ) ? 56 2

于是当n取与 15 最接近的正整数 7或8时,S n取最大值。 2
本例解法是将 S n 看作是关于 n的二次函数, 利用二次函数最值问题 的解题思路。

2, 4, 例2:已知等差数列 5, 47 37 ?的前n项和为 S n ,

求使得 S n最大的序号 n的值。
解2:由已知条件得: a n ? a1 ? (n ? 1) ? d ? ? 5 40 5 n? , a n ?1 ? ? n ? 5 7 7 7

?a n ? 0 由? 解得: 7 ? n ? 8, 则n取7或8 ?a n ?1 ? 0

于是当n取正整数 7或8时,S n 取最大值。
本例解法是利用通项 an的正负情况与前 n项和S n 的变化情况的关系,

一.等差数列?an ? 的首项a1 ? 0, 公差d ?0时,前n项和S n 有最大值
2 d 1、利用S n:S n ? d n ? ( a ? )n.借助二次函数最值问题 1 2 2

2、利用 an:借助通项公式 an的正负情况与前 n项和S n的 变化情况, an ? 0且an ?1 ? 0
二.等差数列?an ? 的首项a1 ? 0, 公差d ? 0时,前n项和S n 有最小值
2 d 1、利用S n:S n ? d n ? ( a ? 1 2 )n.借助二次函数最值问题 2

2、利用 an:借助通项公式 an的正负情况与前 n项和S n的 变化情况, an ? 0且an ?1 ? 0

练习 1.在等差数列{an}中,若a2=-61,a5=-16,则该数列 的前n项和Sn何时取得最小值,最小值是多少?
2.在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,首项a1=13, 7 时,Sn取得最大值。 且S3=S11,则n=_____

练习 1.在等差数列{an}中,若a2=-61,a5=-16,则该数列 的前n项和Sn何时取得最小值,最小值是多少? 解:∵ a2=-61,a5=-16 a1+d=-61 解得a1=-76,d=15 ∴ a1+4d=-16
∴an= a1 +(n-1)d=-76+15(n-1)=15n-91

an =15n-91≤0 令 an+1 =15(n+1) -91≥0

1 1 ,解得 5 ? n ? 6 15 15

∴当n=6时,Sn取最小值,此时

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d ? 6 ? (?76) ? 15 ?15 ? ?231 2

例3:已知数列?an ?是等差数列,sn 是其前n项的和。 求证:s6 , ( s12 ? s6 ), ( s18 ? s12 )也成等差数列。
解:设等差数列首项为 a1 , 公差为d,则有 :

s6 ? 6a1 ? 15d s12 ? 12a1 ? 66d s18 ? 18a1 ? 153d
? s12 ? s6 ? 6a1 ? 51d

s18 ? s12 ? 6a1 ? 87d

? (s12 ? s6 ) ? s6 ? 36d
(s18 ? s12 ) ? (s12 ? s6 ) ? 36d
? s6 , (s12 ? s6 ), (s18 ? s12 )是等差数列,公差为36d。

能不能把此例结论推广 到一般情况:
结论:可以。

等差数列前n项和的性质三:
等差数列平均分组,各组之和仍为等差数列。
如果?an ?为等差数列 ,则S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 也成等差数列。

新的等差数列首项为 Sk,公差为k d。
2

二、例题 例3.已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前20项 变式.在等差数列 ? an ?中 ,已知第 1 项到第 10 项的和为 310 , 的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项 第 11 项到第 20 项的和为 910 , 求第 21 项到第 30 项的和 . 和的公式吗? 解:依题意知,S10=310,S20=1220 得

n(n ? 1) d 将它们代入公式 S n ? na1 ? 2 10a +45d=310
1

400A+20B=1220 Sn 思路3. 若{an}成等差数列,则{ }也成等差数列
n

通法 n( n ? 1) ? S n ? 4n ? ? 6 ? 3n2 ? n 2 100 A +10 B =310 思路2.Sn ? An2 ? Bn,( A, B为常数)

20a1+190d=1220

解得

a1=4,d=6

三、例题
变式.在等差数列 ? an ?中 ,已知第 1 项到第 10 项的和为 310 , 第 11 项到第 20 项的和为 910 , 求第 21 项到第 30 项的和 .

解 : 设在等差数列的首项为a1 , 公差为d ,由题意, 得
S10 ? 310 , S20 ? S10 ? 910 , 即
10 ? 9 10a1 ? d ? 310 , 2 20 ? 19 20a1 ? d ? 310 ? 910 , 2

1、已知{an}是等差数列:

(1)a1+a2+a3=5,a4+a5+a6=10,则a7+a8+a9=___ 15
a19+a20+a21=_____ 35 (2)Sn=25,S2n=100,则S3n=_____ 225

小结
1. 若已知数列{an}前n项和为Sn,则该数列的通项公式 S1, n=1 为 a n= Sn-Sn-1,n≥2 2. 等差数列的前n项和公式: n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d ? An2 ? Bn,( A, B为常数) Sn ? 2 2 3. 若数列{an}为等差数列:

则Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ??? 仍成等差数列,
4. 若{an}成等差数列,则{ S n }也成等差数列
n

小结
求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法:

(1)利用Sn=An2+Bn进行配方,求二次函数的最值, B 此时n应取最接近 ? 的正整数值; 2A (2)利用等差数列的增减性及an的符号变化,
当a1>0,d<0时,Sn有最大值,

此时可由an≥0、an+1≤0求出n的值;
当a1<0,d>0时,Sn有最小值,

此时可由an≤0 、an+1 ≥ 0求出n的值;
注意:当数列中有数值为0时,n应有两解.

2 2 练习2:已知数列?an ? 的前n项的和为: S n ? 1 n ? n ? 3, 4 3

求数列通项公式。
2 2 2 1 2 解:根据 S n ? 1 n ? n ? 3 与 S ? ( n ? 1 ) ? (n ? 1) ? 3(n?1) 4 3 3 n ?1 4
2 2 2 2 1 当n?1时,an ? S n ? S n ? 1 ? ( 1 n ? n ? 3 ) ? [ ( n ? 1 ) ? 3 (n ? 1) ? 3] 4 3 4

5 6n ?5 ?n ? ? 2 12 12
1 4 2 3

当n ? 1时,a1 ? S1 ? ? ? 3 ?

59 12

不满足an ?
(n ? 1) (n?1)

6n ?5 12

59 ? ? 12 所以数列?an ? 的通项公式为: an ? ? 6n ?5 ? ? 12

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