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金川县外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

金川县外国语学校 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1. 在抛物线 y2=2px(p>0)上,横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,则该抛物线的准线方程为(



A.x=1 B.x= C.x=﹣1 D.x=﹣

2. 下列判断正确的是( )

A.①不是棱柱 B.②是圆台C.③是棱锥D.④是棱台

3. 给出下列命题:①多面体是若干个平面多边形所围成的图形;②有一个平面是多边形,其余各

面是三角形的几何体是棱锥;③有两个面是相同边数的多边形,其余各面是梯形的多面体是棱台.其中

正确命题的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

4. 一个骰子由1~6 六个数字组成,请你根据图中三种状态所显示的数字,推出“”处的数字是( )

A.6

B.3

C.1

D.2

5. 若 cos( ﹣α )= ,则 cos( +α )的值是( ) A. B.﹣ C. D.﹣ 6. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )

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A.

B.(4+π)

C.

D.

7. 线段 AB 在平面 α 内,则直线 AB 与平面 α 的位置关系是( )

A.AB?α

B.AB?α

C.由线段 AB 的长短而定

D.以上都不对

8. 下列命题正确的是( )

A.很小的实数可以构成集合.

B.集合?y | y ? x2 ?1?与集合?? x, y? | y ? x2 ?1?是同一个集合.

C.自然数集 N 中最小的数是.

D.空集是任何集合的子集.

9. 定义在[1,+∞)上的函数 f(x)满足:①当 2≤x≤4 时,f(x)=1﹣|x﹣3|;②f(2x)=cf(x)(c 为正 常数), 若函数的所有极大值点都落在同一直线上,则常数 c 的值是( )

A.1 B.±2 C. 或 3 D.1 或 2

10.函数 f (x)(x ? R) 是周期为 4 的奇函数,且在[0, 2] 上的解析式为 f (x) = ì?í x(1- x), 0 #x

1
,则

?? sin px,1 < x ? 2

f (17) + f ( 41) =( )

4

6

A. 7 16

B. 9 16

C. 11 16

D. 13 16

【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识,意在考查转化和化归思想和基本运算能

力.

11.设曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x﹣y﹣6=0 平行,则 a=(



A.1

B.

C.

D.﹣1

12.函数 f(x)=lnx﹣ +1 的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题

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13.若数列{an}满足:存在正整数 T,对于任意的正整数 n,都有 an+T=an 成立,则称数列{an}为周期为 T 的周

期数列.已知数列{an}满足:a1>=m (m>a ),an+1=

,现给出以下三个命题:

①若 m= ,则 a5=2;

②若 a3=3,则 m 可以取 3 个不同的值;

③若 m= ,则数列{an}是周期为 5 的周期数列.

其中正确命题的序号是



14.一个总体分为 A,B,C 三层,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 15 的样本,若 B 层中每个个体被

抽到的概率都为 ,则总体的个数为



15.某校开设 9 门课程供学生选修,其中 A,B,C3 门课由于上课时间相同,至多选 1 门,若学校规定每位

学生选修 4 门,则不同选修方案共有

种.

16.如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 CD 上,若在平行四边形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q

取自△ ABE 内部的概率是



17.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.若 C= ,则 = .
18.(本小题满分 12 分)点 M(2pt,2pt2)(t 为常数,且 t≠0)是拋物线 C:x2=2py(p>0)上一点,过 M 作倾斜角互补的两直线 l1 与 l2 与 C 的另外交点分别为 P、Q. (1)求证:直线 PQ 的斜率为-2t; (2)记拋物线的准线与 y 轴的交点为 T,若拋物线在 M 处的切线过点 T,求 t 的值.
三、解答题
19.设{an}是公比小于 4 的等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 a1=1,且 a1+3,3a2,a3+4 构成等差数 列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=lna3n+1,n=12…求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
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20.(本小题满分 12 分)
如图,多面体 ABCDEF中,四边形 ABCD 为菱形,且 ?DAB ? 60 , EF / / AC , AD ? 2, EA ? ED ? EF ? 3 .
(1)求证: AD ? BE ; (2)若 BE ? 5 ,求三棱锥 F-BCD 的体积.
21.已知点 F(0,1),直线 l1:y=﹣1,直线 l1⊥l2 于 P,连结 PF,作线段 PF 的垂直平分线交直线 l2 于点 H.设 点 H 的轨迹为曲线 r. (Ⅰ)求曲线 r 的方程; (Ⅱ)过点 P 作曲线 r 的两条切线,切点分别为 C,D, (ⅰ)求证:直线 CD 过定点; (ⅱ)若 P(1,﹣1),过点 O 作动直线 L 交曲线 R 于点 A,B,直线 CD 交 L 于点 Q,试探究 + 是 否为定值?若是,求出该定值;不是,说明理由.
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阿啊阿

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? m ln x ? (4 ? 2m)x ? 1 (m ? R) . x
(1)当 m ? 2 时,求函数 f (x) 的单调区间;
(2)设 t, s ??1,3?,不等式| f (t) ? f (s) |? (a ? ln 3)(2 ? m) ? 2ln 3 对任意的 m??4,6? 恒成立,求实数 a 的
取值范围. 【命题意图】本题考查函数单调性与导数的关系、不等式的性质与解法等基础知识,意在考查逻辑思维能力、 等价转化能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力.

23.某运动员射击一次所得环数 X 的分布如下:

X

0~6

7

8

9

10

P

0

0.2

0.3

0.3

0.2

现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为 ξ.

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(I)求该运动员两次都命中 7 环的概率; (Ⅱ)求 ξ 的数学期望 Eξ.

24.如图,边长为 2 的等边△ PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,BC= (Ⅰ)证明:AM⊥PM; (Ⅱ)求点 D 到平面 AMP 的距离.

,M 为 BC 的中点.

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金川县外国语学校 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C

【解析】解:由题意可得抛物线 y2=2px(p>0)开口向右, 焦点坐标( ,0),准线方程 x=﹣ ,
由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为 4 的点到准线的距离等于 5, 即 4﹣(﹣ )=5,解之可得 p=2
故抛物线的准线方程为 x=﹣1. 故选:C. 【点评】本题考查抛物线的定义,关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线,属基础题.

2. 【答案】C 【解析】解:①是底面为梯形的棱柱; ②的两个底面不平行,不是圆台; ③是四棱锥; ④不是由棱锥截来的, 故选:C.

3. 【答案】B 【解析】111] 试题分析:由题意得,根据几何体的性质和结构特征可知,多面体是若干个平面多边形所围成的图形是正确的, 故选 B. 考点:几何体的结构特征. 4. 【答案】A 【解析】
试题分析:根据与相邻的数是1, 4,3 ,而与相邻的数有1, 2, 5 ,所以1,3,5 是相邻的数,故“?”表示的数是,
故选 A. 考点:几何体的结构特征. 5. 【答案】B
【解析】解:∵cos( ﹣α )= ,

∴cos(

+α )=﹣cos=﹣cos( ﹣α )=﹣ .

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故选:B.

6. 【答案】 D

【解析】解:由三视图知,几何体是一个组合体,

是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体,

圆柱的底面直径和母线长都是 2,

四棱锥的底面是一个边长是 2 的正方形,

四棱锥的高与圆锥的高相同,高是

=,

∴几何体的体积是

=



故选 D. 【点评】本题考查由三视图求组合体的体积,考查由三视图还原直观图,本题的三视图比较特殊,不容易看出 直观图,需要仔细观察.

7. 【答案】A 【解析】解:∵线段 AB 在平面 α 内, ∴直线 AB 上所有的点都在平面 α 内, ∴直线 AB 与平面 α 的位置关系: 直线在平面 α 内,用符号表示为:AB?α 故选 A. 【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一,主要根据定义进行判断,考查了空间想象能力.公 理一:如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上.

8. 【答案】D 【解析】 试题分析:根据子集概念可知,空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以选项 D 是正确,故 选 D. 考点:集合的概念;子集的概念. 9. 【答案】D 【解析】解:∵当 2≤x≤4 时,f(x)=1﹣|x﹣3|. 当 1≤x<2 时,2≤2x<4,
则 f(x)= f(2x)= (1﹣|2x﹣3|),
此时当 x= 时,函数取极大值 ;
当 2≤x≤4 时,

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f(x)=1﹣|x﹣3|; 此时当 x=3 时,函数取极大值 1; 当 4<x≤8 时,2< ≤4,
则 f(x)=cf( )=c(1﹣| ﹣3|), 此时当 x=6 时,函数取极大值 c. ∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上, 即点( , ),(3,1),(6,c)共线,



=



解得 c=1 或 2. 故选 D. 【点评】本题考查的知识点是三点共线,函数的极值,其中根据已知分析出分段函数 f(x)的解析式,进而 求出三个函数的极值点坐标,是解答本题的关键.
10.【答案】C

11.【答案】A

【解析】解:y'=2ax, 于是切线的斜率 k=y'|x=1=2a,∵切线与直线 2x﹣y﹣6=0 平行 ∴有 2a=2 ∴a=1 故选:A 【点评】本题考查导数的几何意义:曲线在切点处的导数值是切线的斜率.

12.【答案】A 【解析】解:∵f(x)=lnx﹣ +1,

∴f′(x)= ﹣ =



∴f(x)在(0,4)上单调递增,在(4,+∞)上单调递减;

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且 f(4)=ln4﹣2+1=ln4﹣1>0; 故选 A. 【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的应用.
二、填空题
13.【答案】 ①② .

【解析】解:对于①由 an+1=

,且 a1=m= <1,

所以,

>1,



,∴a5=2 故①正确;

对于②由 a3=3,若 a3=a2﹣1=3,则 a2=4,若 a1﹣1=4,则 a1=5=m.



,则



若 a1>1a1= ,若 0<a1≤1 则 a1=3,不合题意. 所以,a3=2 时,m 即 a1 的不同取值由 3 个. 故②正确;

若 a1=m= >1,则 a2=

,所 a3=

>1,a4=

故在 a1= 时,数列{an}是周期为 3 的周期数列,③错; 故答案为:①② 【点评】本题主要考查新定义题目,属于创新性题目,但又让学生能有较大的数列的知识应用空间,是较好的 题目

14.【答案】 300 .

【解析】解:根据分层抽样的特征,每个个体被抽到的概率都相等, 所以总体中的个体的个数为 15÷ =300. 故答案为:300. 【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题,是基础题目.

15.【答案】 75

【解析】计数原理的应用.

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【专题】应用题;排列组合. 【分析】由题意分两类,可以从 A、B、C 三门选一门,再从其它 6 门选 3 门,也可以从其他六门中选 4 门, 根据分类计数加法得到结果. 【解答】解:由题意知本题需要分类来解, 第一类,若从 A、B、C 三门选一门,再从其它 6 门选 3 门,有 C31C63=60, 第二类,若从其他六门中选 4 门有 C64=15, ∴根据分类计数加法得到共有 60+15=75 种不同的方法. 故答案为:75. 【点评】本题考查分类计数问题,考查排列组合的实际应用,利用分类加法原理时,要注意按照同一范畴分类, 分类做到不重不漏.

16.【答案】



【解析】解:由题意△ABE 的面积是平行四边形 ABCD 的一半, 由几何概型的计算方法, 可以得出所求事件的概率为 P= ,
故答案为: . 【点评】本题主要考查了几何概型,解决此类问题的关键是弄清几何测度,属于基础题.

17.【答案】 =



【解析】解:在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, ∵已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1, ∴sinAsinB+sinBsinC=2sin2B. 再由正弦定理可得 ab+bc=2b2,即 a+c=2b,故 a,b,c 成等差数列. C= ,由 a,b,c 成等差数列可得 c=2b﹣a, 由余弦定理可得 (2b﹣a)2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab. 化简可得 5ab=3b2,∴ = .
故答案为: . 【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质,二倍角公式、余弦定理的应用,属于中档题.
18.【答案】 【解析】解:(1)证明:l1 的斜率显然存在,设为 k,其方程为 y-2pt2=k(x-2pt).①

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将①与拋物线 x2=2py 联立得, x2-2pkx+4p2t(k-t)=0, 解得 x1=2pt,x2=2p(k-t),将 x2=2p(k-t)代入 x2=2py 得 y2=2p(k-t)2,∴P 点的坐标为(2p(k-t), 2p(k-t)2). 由于 l1 与 l2 的倾斜角互补,∴点 Q 的坐标为(2p(-k-t),2p(-k-t)2),
2p(-k-t)2-2p(k-t)2 ∴kPQ= 2p(-k-t)-2p(k-t) =-2t,

即直线 PQ 的斜率为-2t. (2)由 y=2xp2 得 y′=px, ∴拋物线 C 在 M(2pt,2pt2)处的切线斜率为 k=2ppt=2t. 其切线方程为 y-2pt2=2t(x-2pt),
又 C 的准线与 y 轴的交点 T 的坐标为(0, -p2). ∴-p2-2pt2=2t(-2pt). 解得 t=±12,即 t 的值为±12.
三、解答题

19.【答案】 【解析】解:(1)设等比数列{an}的公比为 q<4,∵a1+3,3a2,a3+4 构成等差数列. ∴2×3a2=a1+3+a3+4,∴6q=1+7+q2,解得 q=2. (2)由(1)可得:an=2n﹣1. bn=lna3n+1=ln23n=3nln2. ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=3ln2×(1+2+…+n)

=

ln2.

20.【答案】 【解析】【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识, 考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.

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(2)在 △EAD 中, EA ? ED ? 3 , AD ? 2 ,

21.【答案】

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【解析】满分(13 分). 解:(Ⅰ)由题意可知,|HF|=|HP|, ∴点 H 到点 F(0,1)的距离与到直线 l1:y=﹣1 的距离相等,…(2 分) ∴点 H 的轨迹是以点 F(0,1)为焦点,直线 l1:y=﹣1 为准线的抛物线,…(3 分) ∴点 H 的轨迹方程为 x2=4y.…(4 分) (Ⅱ)(ⅰ)证明:设 P(x1,﹣1),切点 C(xC,yC),D(xD,yD).

由 y= ,得



∴直线 PC:y+1= xC(x﹣x1),…(5 分)

又 PC 过点 C,yC=



∴yC+1= xC(x﹣x1)=

xCx1,

∴yC+1=

,即

.…(6 分)

同理



∴直线 CD 的方程为

,…(7 分)

∴直线 CD 过定点(0,1).…(8 分)

(ⅱ)由(Ⅱ)(ⅰ)P(1,﹣1)在直线 CD 的方程为



得 x1=1,直线 CD 的方程为



设 l:y+1=k(x﹣1),

与方程

联立,求得 xQ=

.…(9 分)

设 A(xA,yA),B(xB,yB). 联立 y+1=k(x﹣1)与 x2=4y,得 x2﹣4kx+4k+4=0,由根与系数的关系,得 xA+xB=4k.xAxB=4k+4…(10 分) ∵xQ﹣1,xA﹣1,xB﹣1 同号,
∴ + =|PQ|

=

=

…(11 分)

第 14 页,共 17 页

=

=



∴ + 为定值,定值为 2.…(13 分) 【点评】本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能 力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,考查考生分析问题和解决问题的能力.

22.【答案】

【解析】(1)函数定义域为 (0, ??) ,且

f

?(x)

?

m x

?

1 x2

?

4?

2m

?

(2x

?1)[(2 ? m)x x2

?1]





f

?(x)

?

0 ,得

x1

?

1 2



x2

?

?

1 2?m

,………………2



当 m ? 4 时, f ?(x) ? 0 ,函数 f (x) 的在定义域 (0, ??) 单调递减; …………3 分

当 2 ? m ? 4 时,由 f ?(x) ? 0 ,得 1 ? x ? ? 1 ;由 f ?(x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 或 x ? ? 1 ,

2

2?m

2

2?m

所以函数 f (x) 的单调递增区间为 (1 , ? 1 ) ,递减区间为 (0, 1 ) , (? 1 , ??) ;

2 2?m

2

2?m

当 m ? 4 时,由 f ?(x) ? 0 ,得 ? 1 ? x ? 1 ;由 f ?(x) ? 0 ,得 0 ? x ? ? 1 或 x ? 1 ,

2?m

2

2?m

2

所以函数 f (x) 的单调递增区间为 (? 1 , 1) ,递减区间为 (0, ? 1 ) , (1 , ??) .………5 分

2?m 2

2?m 2

综上所述, m ? 4 时, f (x) 的在定义域 (0,?? )单调递减;当 2 ? m ? 4 时,函数 f (x) 的单调递增区间为

(1 , ? 1 ) ,递减区间为 (0, 1 ) ,(? 1 , ??) ;当 m ? 4 时,函数 f (x) 的单调递增区间为 (? 1 , 1) ,

2 2?m

2

2?m

2?m 2

递减区间为 (0, ? 1 ) , (1 , ??) .………6 分 2?m 2

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考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第

一个题目计分.

23.【答案】

【解析】解:(1)设 A=“该运动员两次都命中 7 环”,

则 P(A)=0.2×0.2=0.04.

(2)依题意 ξ 在可能取值为:7、8、9、10

且 P(ξ=7)=0.04,

P(ξ=8)=2×0.2×0.3+0.32=0.21,

P(ξ=9)=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3×0.32=0.39,

P(ξ=10)=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36,

∴ξ 的分布列为:

ξ7

8

9

10

P 0.04

0.21

0.39

0.36

ξ 的期望为 Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07.

【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意

相互独立事件概率乘法公式的合理运用.

24.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:取 CD 的中点 E,连接 PE、EM、EA ∵△PCD 为正三角形

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∴PE⊥CD,PE=PDsin∠PDE=2sin60°= ∵平面 PCD⊥平面 ABCD ∴PE⊥平面 ABCD ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴△ADE、△ECM、△ABM 均为直角三角形 由勾股定理得 EM= ,AM= ,AE=3 ∴EM2+AM2=AE2,∴∠AME=90° ∴AM⊥PM (Ⅱ)解:设 D 点到平面 PAM 的距离为 d,连接 DM,则 VP﹣ADM=VD﹣PAM


而 在 Rt△PEM 中,由勾股定理得 PM= ∴





,即点 D 到平面 PAM 的距离为

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