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椭圆的标准方程


(1)到一个定点的距离等于定长的点的集合
————


( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

圆的标准方程:

(2)到两个定点的距离等于定长的点的轨迹呢?

M

(1)|MF1|+ |MF2|>|F1F2| 椭圆

F1
椭圆定义:

F2

(2)|MF1|+ |MF2|=|F1F2| 线段
(3)|MF1|+ |MF2|<|F1F2| 不存在

平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点的距离叫做椭圆的焦距

椭圆的方程
y

o

以经过椭圆焦点 F1,F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2的中垂线为y轴,建立直角坐标系xoy。 设 M(x,y)是椭圆上的任一点, 设椭圆的焦距为 2c,点M与两焦 点的距离之和为常数 2a。 故椭圆的两焦点坐标分别为 F1(-c,0) 和 F2(c,0)

x

故由椭圆的定义得

| MF1 | ? | MF2 |? 2a (a > c)

( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? 2a
2 2 2 2

移项,得

( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a ? ( x ? c ) 2 ? y 2
(a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 )

化简,得

y
b



x2 y2 ? 2 2 ?1 2 a a ?c

a c

o

x

观察左图, 你能从中找出表示 c 、 a 的线段吗? a2-c2 有什么几何意义?

令 | OP |? a 2 ? c 2 ? b
则方程可化为

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

椭圆的标准方程:

x y ? 2 ? 1 (a>b>0). 2 a b
x2 y2 ? ?1 a 2 b2

2

x2 y2 ? ?1 a 2 b2

2

a 2 ? b2 ? c 2

它所表示的椭圆的焦点在x轴上,焦点
是F1(c, 0)、F2(-c, 0),且.a
2

?b ?c
2

2

y M F2

若椭圆焦点F1(0,-c),F2(0,c) 在y轴上,a,b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么?

x O

F1

椭圆的标准方程 y
F1 O F2

y
F1

x

O F2

x

x2 y2 ? ?1 2 2 a b
(1) 关系式

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b
a老大.

a 2 ? b2 ? c 2

(2)焦点在大分母变量所对应的那个轴上;

判定下列椭圆的焦点在x轴还是y轴上,并 指明a2、b2,写出焦点坐标及焦距.

x y ? ? 1 (-3,0)和(3,0) 25 16
x y ? ? 1 答:在y轴。 144 169
2 2

2

2

答:在 x轴。

2c=6

(0,-5)和(0,5)

2c=10

课堂示例:
x2 y2 1、已知椭圆的方程为: ? ? 1,请填空: 100 36 8, a= 10 ,b= 6 ,c=
焦点坐标为
(-8,0)、(8,0)

,焦距等于 16 .

2.已知椭圆的方程为: ,请填空: a= ______ ,b= ______ ,c= ______ , 焦点坐标为______, ______ ,焦距等于______ .

x y ? ?1 64 100
2 2

x2 y2 3.若M为椭圆 F1、F2分别为椭圆的左、 ? ?上一点, 1 25 16
右焦点,并且︱MF1︱=6,则︱MF2︱= 4 .

写出下列椭圆的标准方程:

(1)a ? 4, b ? 1,
(2)a ? 4, c ? 15,
(1)a ? 4, b ? 1,

焦点在x轴上。 焦点在y轴上。
(1)a ? 4, b ? 1,

(3)a=5,c=4
y2 x2 x2 y2 ? ?1 ? ? 1或 25 9 25 9
(1)a ? 4, b ? 1,

例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在x轴上,且经过点(2,0)和点(0,1). (2)焦点在y轴上,与y轴的一个交点为P(0,-10), P到它较近的一个焦点的距离等于2.
x2 ? y2 ? 1 解:(1)所求椭圆的标准方程为 4 2 y x2 (2)所求椭圆的标准方程是 ? ?1 100 36
.

求椭圆标准方程的解题步骤: (1)确定焦点的位置; (2)设出椭圆的标准方程; (3)用待定系数法确定a、b的值,

写出椭圆的标准方程.

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1) 两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0) 椭 圆上一点P到两焦点距离的和等于10 (2) 两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2)并且
3 5 椭圆经过点 (? , ) 2 2
x2 y 2 ? ?1 解:(1)所求椭圆标准方程为 25 9 y 2 x2 (2)所求椭圆标准方程为 ? ?1 10 6

例3 的标准方程

3 5 已知椭圆经过两点(? 2 , 2 )与( 3, 5)

,求椭圆

解:设椭圆的标准方程 则有
王新敞
奎屯 新疆

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) m n

5 2 ? 3 2 ( ? ) ( ) ? 2 2 ? ?1 ? n ? m ? ( 3) 2 ( 5 ) 2 ? ?1 ? n ? m

,解得 m ? 6, n ? 10

x2 y 2 ? ?1 所以,所求椭圆的标准方程为 6 10

椭圆的标准方程小结: y
F1 O F2

y
F1

x

O F2

x

x2 y2 ? ?1 2 2 a b
(1) 关系式

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b
a最大.

a 2 ? b2 ? c 2

(2)焦点在大分母变量所对应的那个轴上;

1

椭圆定义: 椭圆定义

平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于 常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 2 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程
y
?M ( x,
?

y
y)

F2?

F1 c o

c

F2

?

x

c o c

? M ( x, y)

x
2 2

F1?

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

焦点在x轴上 不 同
y M

焦点在y轴上
y F2 M x





F1

O

F2

x

O

F1



标准方程 焦点坐标

2 2 y x x y + 2 = 1 ? a > b > 0 ? 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b a b
2 2

F1 ? -c , 0?,F2 ? c , 0? F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

相 同 点

a、b、c 的关系

c ? a ?b
2 2

2

焦点位置的 判断

标准方程中,分母哪个大,焦点就 在哪个轴上



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