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2019年湖北省天门、仙桃、潜江高三上学期期末联考数学(文)试卷有答案名师版

绝密★启用前

试卷类型:A

天门

第一学期期末联考试题

仙桃

潜江

高三数学(文科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 全卷满分150分,考试时间120分钟.
注意:1. 考生在答题前,请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上. 2. 选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,
再选涂其它答案标号,答在试卷上无效. 3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内.答在试题卷上无效.

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的.把答案填在答题卡上对应题号后的框内,答在试卷上无效. 1.设全集 A ?{x |1? x ? 3},B ?{x | 2x ? 3 ? 0} ,则 A B ?

A. (?3,?

3 2

)

B. (?3,32 )

C. (1,32 )

D.

(

3 2

,3)

2.某学校为了了解高一、二、三这个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级按人数比例

抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是

A.抽签法

B.系统抽样法

C.分层抽样法

D.随机抽样法

3.若为实数,且 (2 ? ai)(?a ? 2i) ? 4i ,则=

A.-1

B.0

C.1

D.2

4.在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会议,会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图(如图)设计的,

其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成,若直角三角形的直角边的边长分别是 3 和 4,在绘图内

随机取一点,则此点取自直角三角形部分的概率为

A.

1 25

B.

9 25

C.

16 25

D.

24 25

5.若双曲线 x2 ?

y2 b2

? 1(b ? 0) 的一条渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 有且只有一个公共点,则双曲线的离心率



A. 2

B. 3

C.2

D.4

6.已知一个空间几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是 A.4cm3
B.5 cm3 C.6 cm3 D.7 cm3

?y ? 2≥0 7.若实数,y 满足 ??2x ? y ≥ 0 ,则目标函数 z ? 3x ? 2y ?1的最小值为
??8 ? x ? y ≥0

A.2

B.0

C.5

8.函数 f (x) ? Asin(?x ??)(A ? 0, ? ? 0) 的图像如图所示,则

D.

?

5 3

f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? f (10) 的值等于

A. 2 2
C. 2 ? 2

B. 2 D.1

9.已知函数 f (x) ? 1 x2 ? ln x ,则其单调增区间是 2

A.(0,1]

B.[0,1]

C.(0,+∞)

10.某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量在 1,2,3…,24

这 24 个整数中等可能随机产生.则按程序框图正确编程运行时输 出 y 的值为 3 的概率为

A.

1 2

B.

1 3

C.

1 6

D.

1 8

D.(1,+∞)

11.在△ABC 中,角 A,B,C 的边分别为 a,b,c,已知 cos B ? 2 , 2

△ABC

的面积为

9,且

tan(

? 4

? A) ? 2 ,则边长 a 的值为

A.3

B.6

C.4

D.2

12.已知直线 x ? y ? 3 ? 0 交椭圆 M : x2 ? y2 ?1于 A,B 两点,若 C,D 为椭圆 M 上的两点,四边形 ACBD 63
的对角线 CD⊥AB,则四边形 ACBD 的面积的最大值为

A. 4 3 3

B. 8 6 3

C. 2 6 3

D. 8 3 3

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题:本大题 共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位

置,书写不清,模棱两可均不得分.

13.已知向量 | a |? 2, | b |? 5,且, b 的夹角为 60? ,则 2a ? b 在方向上的投影为 ▲ .

14.已知 l 为曲线 y ? x ?1? ln x 在 A(1,2)处的切线,若 l 与二次曲线 y ? ax2 ? (a ? 2)x ?1也相切,则

▲.

15.函数

f (x) ? 4sin xcos x 的图象向左平移

? 3

个单位得出函数

g(x)

,则

g

(

? 8

)?

▲.

16.已知 A,B,C 是球 O 球面上的三点,且 AB=AC=3, BC ? 3 3 ,D 为球面上的动点,球心 O 到平面 ABC

的距离为球半径的一半,当三棱锥 D-ABC 体积最大时,其高为 ▲ .

三、解答题:本大题分必做题和选做题,其中第 17~21 题为必做题,第 22~23 为选做题,共 70 分.解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡上对应题号指定框内.

17.(本题满分 12 分)

已知数列{ an} 的前

n

项和

Sn

?

?an

?

(

1 2

)n?1

?

2 (n

为正整数).

(Ⅰ)令 bn ? 2n an ,求证数列{ bn} 是等差数列,并求数列{ an} 的通项公式;

(Ⅱ)令 cn

?

n ?1 n

an , Tn

? c1 ? c2 ?

? cn ,求 Tn .

18.(本题满分 12 分)

如图 1,已知直角梯形 ABCD 中, AB ? AD ?

1 2

CD ? 2 ,AB//DC,AB⊥AD,E 为 CD 的中点,沿 AE 把△DAE

折起到△PAE 的位置(D 折后变为 P),使得 PB=2,如图 2.

(Ⅰ)求证:平面 PAE⊥平面 ABCE; (Ⅱ)求点 B 到平面 PCE 的距离.

19.(本题满分 12 分)

图1

图2

如图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量

指数大于 200 表示空气重度污染.某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市,并停留 2 天.

(Ⅰ)求 3 月 1 日到 14 日空气质量指数的中位数; (Ⅱ)求此人到达当日空气重度污染的概率; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)
20.(本题满分 12 分) 如图,抛物线 E : y2 ? 4x 的焦点为 F,准线 l 与轴的交点为 A.点 C 在抛物线 E 上,以 C 为圆心,| CO | 为半 径作圆,设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M,N.
(Ⅰ)若点 C 的纵坐标为 2,求 | MN | ; (Ⅱ)若| AF |2 ?| AM | | AN | ,求圆 C 的半径.

21.(本题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? ex , x ?R .

(Ⅰ)求 f (x) 的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程;

(Ⅱ)证明:曲线 y ?

f (x) 与曲线 y ?

1 2

x2 ? x ? 1有唯一公共点.

请考生在 22,23 两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的第一题计 分.做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑.

22.(本题满分 10 分)【选修 4—4 坐标系与参数方程】

已知动点

P、Q

都在曲线

C

:

?x

? ?

y

? ?

2 cos t 2sin t

(t为参数)上,对应参数分别为

t

??



t

?

2?



0

?

?

?

2?

),M

为 PQ 的中点.

(Ⅰ) 求 M 的轨迹的参数方程;

(Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

23.(本题满分 10 分)【选修 4—5 不等式选讲】
已知函数 f (x) ? x ? a ,其中 a ?1. (Ⅰ)当 a ? 2 时,求不等式 f (x)≥ 4? | x ? 4 | 的解集;
(Ⅱ)已知关于的不等式| f (2x ? a) ? 2 f (x) |≤ 2 的解集为{x |1≤ x ≤2} ,求的值.

天门、仙桃、潜江第一学期期末联考

高三数学(文科)参考答案及评分标准

一、选择题:1—5 DCBDC 6—10 ADCDC 11—12 AB

二、填空题:13.

3 2

14.4

15. 6 ? 2 2

16. 3 3

三、解答题:本大题分必做题和选做题,其中第 17~21 题为必做题,第 22~24 为选做题,共 70 分。解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。

17.解:(Ⅰ)在

Sn

?

?an

?

(

1 2

)n?1

?

2 中,令 n

? 1 ,可得

S1

?

?a1

?1?

2

?

a1



即 a1 ?

1 2

……………………………………………………………………1 分



n≥2

时,

Sn?1

?

?an?1

?

(

1 2

)n?2

?

2



an

?

Sn

?

Sn?1

?

?an

?

an?1

?

(

1 2

)n?1

……………………………………2



∴ 2an

?

an?1

?(

1 2

)n?1

,即 2n an

?

2n?1 an?1

?1

∵ bn ? 2n an ,∴ bn ? bn?1 ?1,即当 n≥ 2 时, bn ? bn?1 ? 1

又 b1 ? 2a1 ? 1,∴数列{bn} 是首项和公差均为 1 的等差数列…………4 分

于是 bn ? 1? (n ?1) 1 ? n ? 2n an ,∴ an ?

n 2n

……………………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 cn ?

n ?1 n

an

?

(n

? 1)(

1 2

)n

……………………………………7



∴ Tn

? 2?

1 2

? 3? (

1 )2 2

? 4?(

1 )3 ? 2

? (n ?1) ( 1 )n 2



1 2

Tn

?

2?(

1 2

)2

?

3?(

1 2

)3

?

4?(

1 2

)4

?

? (n ? 1) ( 1 )n?1 2



由①-②得

1 2

Tn

?1?

(

1 2

)2

?

(

1 2

)3

?

? ( 1 )n ? (n ?1) ( 1 )n?1 ……………………9 分

2

2

?1?

1 4

[1 ?

(

1 2

)n ?1 ]

1? 1

? (n ?1)( 1 )n?1 ? 2

3 2

?

n?3 2n?1

2

∴ Tn

?3?

n?3 2n

…………………………………………………………12 分

18.解:(Ⅰ)如图,取 AE 的中点 O,连接 PO,OB,BE.

由于在平面图形中,如题图 1,连接 BD,BE,易知四边形 ABED 为正方形,

∴在立体图形中,△PAE,△BAE 为等腰直角三角形,

∴PO⊥AE,OB⊥AE,PO=OB= 2 , ∵PB=2,∴ PO2 ? OB2 ? PB2 ,

∴PO⊥OB………………………………………………………………3 分 又 AE OB ? O ,∴平面 PO⊥平面 ABCE, ∵PO 平面 PAE,∴平面 PAE⊥平面 ABCD……………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,PO⊥AE,OB⊥AE, PO OB ? O ,故 AE⊥平面 POB. ∵PB 平面 POB,∴AE⊥PB,又 BC//AE,∴BC⊥PB.

在 Rt△PBC 中, PC ? PB2 ? BC 2 ? 22 ? (2 2 )2 ? 2 3

在△PEC 中,PE=CE=2,

∴ S PEC ?

1 2

?2

3?

22 ? ( 3 )2

?

3 ………………………………9 分

设点 B 到平面 PCE 的距离为 d,由V三棱锥P?BCE ? V三棱锥B?PEC ,

得 d ? S BCE PO ?

1 2

?2?2?

2

?2

6

…………………………12 分

S PEC

3

3

19.解:(Ⅰ)由题意知,中位数为 103.5………………………………………………4 分

(Ⅱ)设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”(i=1,2,…,13).

根据题意, P( Ai ) ?

1 13

,且 Ai

Aj ? ?(i ? j) .

设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则 B ? A5 A8 .

∴ P(B) ? P( A5

A8 ) ? P( A5 ) ? P( A8 ) ?

2 13

………………………………8 分

(Ⅲ)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大……………………12 分

20.解:(Ⅰ)抛物线 E : y2 ? 4x 的准线 l 的方程为 x ? ?1………………………………1 分

由点 C 的纵坐标为 2,得点 C 的坐标为(1,2)…………………………2 分

∴点 C 到准线 l 的距离 d=2,又| CO |? 5 ,

∴| MN |? 2 | CO |2 ?d 2 ? 2 5 ? 4 ? 2 ……………………………………5 分

(Ⅱ)设 C(

y02 4

, y0 ) ,则圆 C 的方程为 (x ?

y02 4

)2 ? ( y ? y0 )2 ?

y04 16

? y02 ………6 分

即 x2 ?

y02 2

x ? y2 ? 2y0 y ? 0 .

由 x ? ?1,得 y2 ? 2y0 y ?1?

y02 2

?0.

设 M (?1, y1), N(?1, y2 ) ,则

? ???

?

4 y02

?

4(1 ?

?

? ??

y1

y2

?

y02 2

?1

y02 2

) ? 2 y02 ? 4 ? 0 ,

由 | AF |2 ?| AM | | AN | ,得 | y1 y2 |? 4 ……………………………………9 分



y02 2

?1 ? 4,解得 y0 ? ?

6

,此时 ? ? 0 .

∴圆心

C

的坐标为

(

3 2

,

6

)或(

3 2

,?

6),

从而 | CO |2 ?

33 4

,| CO |?

33 2

即圆 C 的半径为 33 ………………………………………………12 分 2
21.解:(Ⅰ) f (x) 的反函数为 g(x) ? ln x ,设所求切线的斜率为.

∵ g?(x) ?

1 x

,∴ k ? g?(1) ?1,

于是在点(1,0)处的切线方程为 y ? x ?1…………………………4 分

(Ⅱ)证法一:曲线

f (x) ? ex 与曲线 y ?

1 2

x2 ? x ? 1公共点的个数等于函数?(x) ? ex ?

1 2

x2 ? x ?1

零点的个数……………………………………6 分

∵?(0) ?1?1 ? 0,∴?(x) 存在零点 x ? 0 ………………………………7 分

又??(x) ? ex ? x ?1,令 h(x) ? ??(x) ? ex ? x ?1,则 h?(x) ? ex ?1.

当 x ? 0 时, h?(x) ? 0 ,∴??(x) 在 (??,0) 上单调递减;

当 x ? 0 时, h?(x) ? 0 ,∴??(x) 在 (0,??) 上单调递增,

∴??(x) 在 x ? 0 处有唯一的极小值??(0) ? 0 ………………………………10 分

即??(x) 在 R 上的最小值为??(0) ? 0 .

∴??(x) ? 0 (当且仅当 x ? 0 时等号成立),

∴?(x) 在 R 上是单调递增的,∴?(x) 在 R 上有唯一的零点,

故曲线 y ? f (x) 与曲线 y ? 1 x2 ? x ? 1有唯一公共点…………………12 分 2

证法二:∵ ex

?0,

1 2

x2

? x ?1? 0,

∴曲线 y ? ex 与曲线 y ?

1 2

x2 ? x ?1公共点的个数等于曲线 y ?

1 2

x2

? x ?1

与 y ?1的公

ex

共点的个数………………………………6 分

设?(x) ?

1 2

x2

?

x ?1

,则?(0) ?1,即当 x ? 0 时,两曲线有公共点.

ex

又??(x) ?

(x ?1)ex ? ( 1 x2 ? x ?1)ex 2 e2x

?

? 1 x2 2 ex

? 0(当且仅当 x ? 0 时等号成立),∴?(x)

在 R 上单调递减,∴?(x) 与 y ?1有唯一的公共点,

故曲线 y ?

f (x) 与曲线 y ?

1 2

x2 ? x ? 1有唯一公共点…………………12 分

22.解:(Ⅰ) 依题意有 P(2cos?, 2sin?), Q(2cos 2?, 2sin 2?) …………………………2 分 因此 M (cos? ? cos 2?, sin? ? sin 2?) ………………………………………3 分

M

的轨迹的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

cos? sin ?

? cos 2? ? sin 2?

(?

为参数,

0??

?

2?

)……5



(Ⅱ) M 点到坐标原点的距离 d ? x2 ? y2 ? 2 ? 2cos? (0 ? ? ? 2? ) …………7 分 当? ? ? 时, d ? 0 ,故 M 的轨迹过坐标原点………………………………10 分

??2x ? 6, x ? 2 23.解:(Ⅰ)当 a ? 2 时, f (x)? | x ? 4 |? ??2, 2 ? x ? 4 ………………………………1 分
??2x ? 6, x ? 4 当 x ? 2 时,由 f (x) ? 4? | x ? 4 | 得 ?2x ? 6≥4 ,解得 x ?1 …………2 分
当 2 ? x ? 4 时, f (x) ? 4? | x ? 4 | 无解……………………………………3 分
当 x ? 4 时,由 f (x) ? 4? | x ? 4 | 得 2x ? 6 ? 4 ,解得 x ? 5 ……………4 分 ∴ f (x) ? 4? | x ? 4 | 的解集为{x | x ?1或x ? 5}…………………………5 分

(Ⅱ)记 h(x) ? f (2x ? a) ? 2 f (x),则

??2a, x ? 0 h(x) ? ??4x ? 2a, 0 ? x ? a ………………………………………………7 分
??2a, x ? a

由 | h(x) |? 2 ,解得

a ?1 2

?x?

a ?1 2

……………………………………9 分

又已知 | h(x) |? 2 的解集为{x |1 ? x ? 2},

?



? ?

? ?

a ?1 2
a ?1 2

?1 ,于是 a ? 3………………………………………………10
?2





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