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电动力学1-2 电流和磁场


第二节 电流和磁场
Electric Current and Magnetic Field

本节主要讨论磁场的基本规律, 本节主要讨论磁场的基本规律 , 因为 磁 场 是 与 电 流 相 互 作 用 的 , 而 Ampere’s law在静磁学中的地位同 在静磁学中的地位同Coulomb’s law 在静磁学中的地位同 在静电学中的地位相当, 所以 , 这节中的 在静电学中的地位相当 , 所以, 电流元相当于上节中的点电荷, 电流元相当于上节中的点电荷 , 在讨论磁 场规律之前, 先讨论电流分布的基本规律。 场规律之前 , 先讨论电流分布的基本规律 。

一、电荷守恒定律
1. 电流的描述 (1)电流强度 I: ) : 单位时间内穿过某一横截面的电量。 单位时间内穿过某一横截面的电量。 I = dq/dt 对于导线中的电流, 对于导线中的电流,用电流强度描述完全可 以满足要求, 以满足要求,但对于横截面不能忽略的导体 来说,仅用电流强度描述太粗略了。 来说,仅用电流强度描述太粗略了。

(2)电流密度矢量 : )电流密度矢量J 大小: 大小:它等于单位时间垂直通过单位面积的 电量。 电量。 方向:沿着该点的电流方向。 方向:沿着该点的电流方向。

2. I 和 J 的关系
的定义, 由电流密度 I 的定义,可知 的电流dI为 通过面元 dS 的电流 为:

dI = JdS cosθ = J ? dS

通过任一曲面S的总电流强度 通过任一曲面 的总电流强度 I 为:

I = ∫ J ? dS
S

所以,电流强度就是电流密度的通量。 所以,电流强度就是电流密度的通量。

讨论: 讨论:
a. 电流由一种运动带电粒子构成, 电流由一种运动带电粒子构成,

J =ρv
b. 电流由几种带电粒子构成, 电流由几种带电粒子构成,

J = ∑ρivi
i

3.电荷守恒定律 电荷守恒定律 若在通有电流的导体内部, 若在通有电流的导体内部,任意 取一小体积V, 取一小体积 ,包围这个体积的 闭合曲面为S。 闭合曲面为 。 单位时间内穿过 S曲面流出去的电量为: ∫SJ ? dS 曲面流出去的电量为: 曲面流出去的电量为 而流出去的电量应该等于封闭曲面S内总电荷在 而流出去的电量应该等于封闭曲面 内总电荷在
d 单位时间内的减少量 ? ∫ ρdτ dt V d ?ρ 所以 ∫SJ ? dS = ? dt ∫V ρdV = ?∫V ?t dV
V

S

——这是电荷守恒定律的积分形式。 这是电荷守恒定律的积分形式。 这是电荷守恒定律的积分形式

应用高斯定理,将闭合面的通量化为体积分, 应用高斯定理,将闭合面的通量化为体积分,即:

?ρ ∫V (?? J)dV = ?∫V ?t dV 由此可得: 由此可得: ?ρ ∫V (?? J + ?t )dV = 0
由于曲面S是任意选取的,所以被积函数恒为零, 由于曲面S是任意选取的,所以被积函数恒为零,即 是任意选取的

?ρ ?? J + =0 ?t
这就是电荷守恒定律的微分形式, 这就是电荷守恒定律的微分形式,称为电流连续性 方程。 方程。

讨论: 讨论:
1. 当V是全空间,S为无穷远界面,由于在 上没有电流 是全空间, 为无穷远界面 由于在S上没有 为无穷远界面, 上没有电流 是全空间 流出, 流出,则有

d ∫ ρdV = 0 dt V

——表示全空间的总电荷守恒。 表示全空间的总电荷守恒。 表示全空间的总电荷守恒 2. 当电流为恒定电流时,一切物理量不随时间变化, 当电流为恒定电流时,一切物理量不随时间变化, 即有 因此, 因此,

?ρ =0 ?t ?? J = 0

这就表示恒定电流的场线处处连续,因而是闭合的。 这就表示恒定电流的场线处处连续,因而是闭合的。

二、毕奥–萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律
1. 磁场:电流之间存在作用力 这种作用力是通过一 磁场 电流之间存在作用力,这种作用力是通过一 电流之间存在作用力 种物质作为媒介来传递,这种特殊物质称为磁场 这种特殊物质称为磁场. 种物质作为媒介来传递 这种特殊物质称为磁场 2. 恒定电流激发磁场由毕奥 萨伐尔定律给出。 恒定电流激发磁场由毕奥–萨伐尔定律给出 萨伐尔定律给出。 为源点x’上的电流密度 为由x’点到场 设J(x’)为源点 上的电流密度,r为由 点到场 为源点 上的电流密度, 为由 点x的距离,则场点上的磁感应强度为 的距离, 的距离

?0 J ( x′) × r dV′ B( x) = 4π ∫ r3
若激发磁场的源是面电流,则毕奥 萨伐尔定律为 若激发磁场的源是面电流 则毕奥–萨伐尔定律为 则毕奥

?0 α( x′) × r B( x) = dS′ 3 4π ∫ r

对于细导线上恒定电流激发的磁场,毕奥 萨伐尔 对于细导线上恒定电流激发的磁场 毕奥–萨伐尔 毕奥 定律为

?0 B( x) = 4π

Idl × r ∫L r 3

三、磁场的环量和旋度
1.安培环路定理: 安培环路定理: 安培环路定理

∫ B ? dl = ? I
L 0

注:当电流连续分布时,环路定理表达为: 当电流连续分布时,环路定理表达为:

∫ B ? d l = ? ∫ J ? dS
L 0 S

2.磁场的旋度 磁场的旋度
根据旋度的定义,我们可以得到 根据旋度的定义,

?× B = ?0J
——上式是恒定磁场的一个基本微分方程。 上式是恒定磁场的一个基本微分方程。 上式是恒定磁场的一个基本微分方程

四、磁场的散度
由电磁学知识, 由电磁学知识,我们知道由电流激发的磁感应线 总是闭合曲线。因此,磁感应强度是无源场。 总是闭合曲线。因此,磁感应强度是无源场。 其微分形式为

?? B = 0

——这说明磁场是无源场。(无散场) 这说明磁场是无源场。(无散场) 这说明磁场是无源场。(无散场

五、磁场旋度和散度公式的证明
1.用毕奥 萨伐尔定律推导磁场散度 用毕奥–萨伐尔定律推导磁场散度 用毕奥 由毕奥–萨伐尔定律出发: 由毕奥 萨伐尔定律出发: 萨伐尔定律出发 ?0 J( x′) × r ?0 1 B( x) = ∫ r3 dV′ = ? 4π ∫ J(x′)×? rdV′ 4π 注意算符? 的微分算符 的微分算符, 无关,由附录知识 注意算符?对x的微分算符,与x’无关 由附录知识 无关
1? ? 1 ? ? ?× ?J( x′) ? = ?? ?× J( x′) r? ? r ? ? 因此 B( x) = ?0 ?× J(x′)dV′ =?× A ∫ r 4π V ?0 J(x′) 式中 A= ∫ r dV′ 4π V

由附录知识可以求得

?? B( x) =?? (?× A) = 0

2.计算 的旋度 计算B的旋度 计算
由附录(2.14)式和附录 式和附录(1.25)式, 由附录 式和附录 式

?× B( x) =?×(?× A) =?(?? A) ??2 A
先计算?? 。由附录(2.15)式和附录 式和附录(1.19)式, 先计算??A。由附录 ?? 式和附录 式 注意?不作用于 注意?不作用于J(x’)上,得 上

?0 1 ? J( x′) ? ′ ?0 ?? A = ∫ ?? ? r ?dV = 4π V J(x′) ?? rdV′ ∫ 4π V ? ?

由于

r = (x ? x′)2 + ( y ? y′)2 + (z ? z′)2
1 ∫ J(x′) ??′ rdV′ 4π V

因而对r的函数而言 对 微分与对 微分仅差一负号, 微分与对x’微分仅差一负号 因而对 的函数而言,对x微分与对 微分仅差一负号 的函数而言 因此, 因此, ?? A = ? ?0

用附录(1.19)式可得 式可得 用附录

?0 ? J( x′) ? ′ ?0 1 ′ ?? A = ? ∫ ?′ ? ? ?dV + 4π ∫ r ? ? J( x′)dV′ 4π V ? r ? V
上式右边第一项可以化为面积分, 上式右边第一项可以化为面积分,由于积分区域包括所有电 流在内,没有电流通过区域的界面S,因而这面积积分为零。 流在内 , 没有电流通过区域的界面 , 因而这面积积分为零。 在右边第二项中,由恒定电流的连续性, 在右边第二项中,由恒定电流的连续性,因此这积分也等于 零。

所以

?? A = 0
2

再计算? , 再计算 2A,由(2.15)式可得 式可得

?0 ?0 r 21 ? A= ∫V J(x′)? rdV′ = ? 4π ∫V J(x′)?? r3dV′ 4π
由直接计算得, 由直接计算得,当r≠0时, 时

r ?? 3 = 0 r
因此上式的被积函数只可能在x’ 点上不为零, 因此上式的被积函数只可能在 ≠ x点上不为零,因而体 点上不为零 积分仅需对包围x点的小球积分 这时可取J(x’)= J(x) , 点的小球积分。 积分仅需对包围 点的小球积分。这时可取 抽出积分号外, 抽出积分号外,而

r r r ∫V ? ? r 3 dV ′ = ? ∫V ?′ ? r 3 dV ′ = ? ∫S r 3 ? dS ′

注意r是由源点 指向场点 的径矢,它和面元dS’反 注意 是由源点x’指向场点 的径矢,它和面元 反 是由源点 指向场点x的径矢 向,因此上式为
r 1 ? ∫ 3 ? dS ′ = ∫ 2 ? dS ′ = ∫ d? = 4π S r S r S

因此, 因此,

? A = ??0J
2

由上面的式子我们可以得出

?× B = ?0J
磁场的旋度得以求证。 磁场的旋度得以求证。

均匀分布于半径为a的无穷长直导线内 例:电流I均匀分布于半径为 的无穷长直导线内,求 电流 均匀分布于半径为 的无穷长直导线内, 空间各点的磁场强度,并由此计算磁场的旋度。 空间各点的磁场强度,并由此计算磁场的旋度。 的圆, 解:在与导线垂直的平面上作一半径为r的圆,圆心 在与导线垂直的平面上作一半径为 的圆 在导线轴上。由对称性, 在导线轴上。由对称性,在圆周各点的磁感应 强度有相同数值,并沿圆周环绕方向。 强度有相同数值,并沿圆周环绕方向。 先求磁感强度: 先求磁感强度: (1) 当r>a时,通过圆内的总电流为 ,用安培环路 时 通过圆内的总电流为I, 定理得

∫ B ? dl = 2πrB = ? I
L 0

因此, 因此,可以得出

?0I ? B= eθ 2π r
(2) 若r<a,则通过圆内的总电流为 则通过圆内的总电流为

(r>a)

式中e 为圆周环绕方向单位矢量。 式中 θ为圆周环绕方向单位矢量。

πr I r J ? S = πr J = = 2I 2 πa a
2 2 2

应用安培环路定理得

∫ B ? dl = 2πrB =
L

?0 Ir 2
a2

因而, 因而,得出

?0Ir ? B= e 2 θ 2π a

(r<a)

用柱坐标的公式求磁场的旋度: 用柱坐标的公式求磁场的旋度: (1) 当r>a时由我们求出的 得出 时由我们求出的B得出 时由我们求出的

?B 1? θ ? ?× B = ? er + (rB )ez = 0 θ ? ?z r ?r
(2) 当r<a时,由上面的式子得 时

(r>a)

?0I ? ?× B = 2 ez = ?0J πa

(r<a)


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