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高中数学:求函数的值域方法总结


.

函数的值域方法总结 课程标题 求函数的值域方法总结
1、值域:函数 y =

f (x),x ∈ A,我们把函数值的集合 { f ( x ) / x ∈ A} 称为函数的值域。

2、最值:求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上,如果在函数的值域 中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值。因此,求函数的最值和值域,其 实质是相同的,只是提问不同而已。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。

如:1. 求函数

y=

1 x 的值域。

2. 求函数 y = 3 ? x 的值域。

2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 配方法
2 例 1:求函数 y = x ? 2x + 5, x ∈ [?1,2] 的值域。

例 2: 求函数 y = 3 x 2 ? x + 2

x ∈ ( ? 3, 5] 的值域;

3. 函数单调性法 例:. 求函数 y = 2
x ?5

+ log 3 x ? 1(2 ≤ x ≤ 10) 的值域。 x ?1

x ?5 解:令 y1 = 2 , y 2 = log 3

则 y 1 , y 2 在[2,10]上都是增函数 所以 y = y 1 + y 2 在[2,10]上是增函数

当 x=2 时,

y min = 2 ?3 + log 3 2 ? 1 =

1 8

5 当 x=10 时, y max = 2 + log 3 9 = 33

?1 ? ? ,33? 故所求函数的值域为: ? 8 ?
1

.

练习: 求函数 y = x + 1 ? x ? 1 的值域。

4. 判别式法

2 形如 y = a1 x + b1 x + c1 ( a1, a 2 不同时为零 )的函数用判别式法求值 域 ; a 2 x 2 + b2 x + c 2

例子:求函数

y=

1 + x + x2 1 + x 2 的值域。

解:原函数化为关于 x 的一元二次方程

( y ? 1) x 2 + ( y ? 1) x = 0
(1)当 y ≠ 1 时, x ∈ R

? = (?1) 2 ? 4( y ? 1)( y ? 1) ≥ 0

1 3 ≤y≤ 2 2 解得:
?1 3? 1∈ ? , ? (2)当 y=1 时, x = 0 ,而 ? 2 2 ? ?1 3? ? , ? 故函数的值域为 ? 2 2 ?
练习: 求函数 y = x +

1 的值域; x

5、分离常数法形如 y = 分离常数法

cx + d (a ≠ 0) 的函数也可用此法求值域; ax + b 3x + 1 例:求函数 y = 的值域; x ? 2

2

.

6. 换元法 形如 y = ax + b ± cx + d (a、b、c、d为常数, 且a ≠ 0)的函数 常用换元法求值域 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型, 换元法是数学方法中几种最主要方法之一, 在求函数的值域中同样发挥作用。 形如 y = ax + b ± cx + d (a、b、c、d为常数, 且a ≠ 0)的函数 常用换元法求值域 例子. 求函数 y = x + x ? 1 的值域。 解:令 x ? 1 = t , ( t ≥ 0)
2 则x = t +1

1 3 y = t 2 + t + 1 = (t + ) 2 + 2 4 ∵
又 t ≥ 0 ,由二次函数的性质可知 当 t = 0 时, y min = 1 当 t → 0 时, y → +∞ 故函数的值域为 [1,+∞) 例 3. 求函数 y = 2 x + 4 1 ? x 的值域

7、数形结合法 、 例:求函数 y =| x ? 1 | + | x + 4 | 的值域

3

.

课后作业
1.函数 y =

3? x 的值域是 2x + 5

; .函数 y =

3? x ( x ≥ 0) 的值域是 2x + 5
。 )



2.函数 y=-x(x+2)(x ≥ 0)的反函数的定义域是
2

3.若函数 y = log 1 ( x ? 2kx + k ) 的值域为 R,则 k 的取值范围是( A 0<k<1 B
2

0 ≤ k<1

2

C

k≤0 或 k≥1

D

k=0 或 k ≥ 1 )

4.若函数 y=x -3x-4 的定义域为[0,m],值域为 [ ? A

(0,4]

B

3 [ , 4] 2

C

3 [ ,3] 2
ex ?1 ex +1

25 ,?4] ,则 m 的取值范围是( 4 3 ( ,+∞) D 2

5.求下列函数的值域: (1)

y=

(2) y = x ? 4 2 ? x

6.若函数 y =

1 2 3 x ? x + 的定义域和值域都是[1,b](b>1),求 b 的值。 2 2

7.已知函数 f(x)=1-2a -a (a>1)。 (1)求 f(x)的值域。 (2)若 x ∈ [-2,1]时,函数的最小值为-7,求 a 及 f(x)的最 大值。

x

2x

4


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