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高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数:第7节 幂函数


第 7 节 幂函数 【基础知识】 1、定义:形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. 2、幂函数的图象比较 3.常用幂函数的图象与性质 函数 性质 图象 {x|x∈R 且 x≠0} {y|y∈R 且 y≠0} 奇函数 x∈(0 ,+ ∞) 时, 单调性 增 x∈[0, +∞)时, 增; x∈(-∞,0]时,减 增 增 减; x∈(-∞,0)时, 减 y=x y=x2 y=x3 1 y=x 2 y=x -1 定义域 R R R [0,+∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) 非奇非偶函 数 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 【规律技巧】 1.幂函数 y=x (? ? R ) ,其中 ? 为常数,其本质特征是以幂的底 x 为自变量,指数 ? 为 ? 常数,这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准. 2.在 ? 0,1? 上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”),在(1,+∞) 上,幂函数中指数越大,函数图象越远离 x 轴.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一 定不会出现在第四象限内,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的 图象最多只能同时出现在两个象限内; 如果幂函数的图象与坐标轴相交, 则交点一定是原点. 【典例讲解】 例 1、已知幂函数 f(x)=xm2-2m-3 (m∈N*)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是 m m 减函数,求满足(a+1)- <(3-2a)- 的 a 的取值范围. 3 3 【拓展提高】 (1)幂函数解析式一定要设为 y=xα (α 为常数的形式); (2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性. 【变式探究】 已知幂函数 f(x)=x(m2+m) 1(m∈N*) - (1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若该函数还经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值范围. 3 【答案】a 的取值范围为[1, ). 2 【针对训练】 1 1、图中曲线是幂函数 y=x n 在第一象限的图象,已知 n 取± 2,± 四个值,则对应于曲线 2 C1,C2,C3,C4 的 n 值依次为( ) 1 1 , ,2 2 2 1 1 C.- ,-2,2, 2 2 A.-2,- 【答案】B 1 1 ,- ,-2 2 2 1 1 D.2, ,-2,- 2 2 B.2, ? 1 ? 2 2、已知函数 f(x)= ? x , 0 ? x ? c ,其中 c>0.那么 f(x)的零点是________;若 f(x)的值 2 ? ? x ? x, ?2 ? x ? 0 域是 ? 1 ? ? , 2 ,则 c 的取值范围是________. ? ? 4 ? ? 【答案】-1 和 0 (0,4] 3、已知幂函数 f ? x ?=x(m 2+m)-1 (m ? N * ) ,经过点(2, 2 ),试确定 m 的值,并求满 足条件 f (2-a ) ? f (a-1) 的实数 a 的取值范围. 【答案】 ?1, ? ? 3? ? 2? 【综合点评】(1)幂函数解析式一定要设为 y=x (? ? R ) ,其中 ? 为常数的形式;(2)可以借 ? 助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性. 【练习巩固】 1.已知幂函数 f(x)=xα 的图象经过点?2, ? 2? ,则 f(4)的值等于 2? 1 D. 2 (

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