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2018版高中数学第1章导数及其应用1.2.1常见函数的导数课件苏教版选修2_2_图文

第1章 1.2 导数的运算
1.2.1 常见函数的导数

学习目标
1.能根据定义求函数y=C,y=x,y=x2,y=1x,y= x 的导数. 2.掌握基本初等函数的导数公式.
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.

内容索引

知识梳理 题型探究 当堂训练

知识梳理

知识点一 几个常见函数的导数
1.(kx+b)′=k(k,b为常数); 2.C′=0(C为常数); 3.(x)′=1; 4.(x2)′=2x; 5.(x3)′=3x2; 6.(1x)′=-x12;
7.( x)′=21 x .

知识点二 基本初等函数的导数公式
1.(xα)′=αxα-1(α为常数); 2.(ax)′=axln a(a>0,且a≠1); 3.(logax)′=1xlogae=xln1 a(a>0,且 a≠1); 4.(ex)′=ex; 5.(ln x)′=1x; 6.(sin x)′=cos x; 7.(cos x)′=-sin x.

题型探究

类型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数. (1)y=cos π6; 解 y′=0.
(2)y=x15; 解 ∵y=x15=x-5, ∴y′=(x-5)′=-5x-6=-x56.
解答

(3)y= x2x;



∵y=

x2x=

x

3 2



∴y′=(

x

3 2

)′=

3 2

1
x 2 =32

x.

(4)y=lg x;

解 y′=xln110.

解答

(5)y=5x; 解 y′=5xln 5. (6)y=cos(π2-x). 解 ∵y=cos(2π-x)=sin x, ∴y′=(sin x)′=cos x.
解答

反思与感悟
若给出函数解析式不符合导数公式,需通过恒等变换对解析式进行化简 或变形后求导,如根式化指数幂的形式求导.

跟踪训练1 (1)下列结论:

①(sin x)′=cos x;

5

2

②( x3 )′= x 3 ;

③(log3x)′=3l1n x;

④(ln x)′=1x. 其中正确结论的序号是_①__④___.

解析 答案

(2)求下列函数的导数.

①y=(1- x)(1+ 1x)+ x;

解 ∵y=(1- x)(1+ 1x)+ x

1-x = x+

x= 1x,

∴y′=

?

1

?
x

3 2

.

2

解答

②y=2cos2 2x-1. 解 ∵y=2cos2 2x-1=cos x, ∴y′=(cos x)′=-sin x.
解答

类型二 求函数在某一点处的导数

例 2 求函数 f(x)= 1 在 x=1 处的导数. 6 x5



∵f(x)=

1

=x

?

5 6



6 x5

∴f′(x)=(

?5
x6

)′=

?

5

?11
x6



6

∴f′(1)=-56.

解答

反思与感悟
求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简,然后求导,最后将 变量的值代入导函数便可求解.

3 跟踪训练 2 函数 f(x)= x,则 f′(3)=__6__.

解析 ∵f′(x)=( x)′=21 x,

∴f′(3)=2 1 3=

3 6.

解析 答案

类型三 利用导数研究切线问题 命题角度1 已知切点解决切线问题 例3 (1)已知P,Q为抛物线y= 1 x2上两点,点P,Q横坐标分别为4,-2,
2 过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的坐标为_(1_,__-__4_)_.
解析 答案

(2)已知两条曲线y=sin x,y=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点, 使在这一点处两条曲线的切线互相垂直?并说明理由. 解 设存在一个公共点(x0,y0),使两曲线的切线垂直, 则在点(x0,y0)处的切线斜率分别为k1=y′| x?x0 =cos x0,k2=y′|x?x0 =-sin x0. 要使两切线垂直,必须有k1k2=cos x0(-sin x0)=-1, 即sin 2x0=2,这是不可能的. 所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直.
解答

反思与感悟
解决切线问题,关键是确定切点,要充分利用:(1)切点处的导数是切 线的斜率;(2)切点在切线上;(3)切点在曲线上,这三个条件联立方程 即可解决.

1 跟踪训练3 已知函数y=kx是曲线y=ln x的一条切线,则k=__e__.

解析 设切点坐标为(x0,y0),

由题意,得 y′|x?x0 =x10=k,



又y0=kx0,



而且y0=ln x0,



由①②③可得 x0=e,y0=1,则 k=1e.

解析 答案

命题角度2 已知斜率解决切线问题 例4 求抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离.

解 设切点坐标为(x0,x20 ),依题意知,与直线x-y-2=0平行的抛物

线y=x2的切线的切点到直线x-y-2=0的距离最短.

∵y′=(x2)′=2x,∴2x0=1,∴x0=12,

∴切点坐标为(12,14),

∴所求的最短距离

d=|12-142-2|=7 8

2 .

解答

反思与感悟
利用基本初等函数的求导公式,可求其图象在某一点P(x0,y0)处的切线 方程,可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题,一般都与函 数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况,再 利用导数的几何意义准确计算.

跟踪训练4 已知直线l: 2x-y+4=0与抛物线y=x2相交于A、B两点,O 是坐标原点,试求与直线l平行的抛物线的切线方程,并在弧 AOB 上求 一点P,使△ABP的面积最大.
解答

当堂训练

1.下列函数中的求导运算正确的个数为_3__. ①(3x)′=3xlog3e;②(log2x)′=xln1 2;③?ln 1x?′=x;④若 y=x12, 则 y′|x=3=-227. 解析 ①中(3x)′=3xln 3,②③④均正确.

12345

解析 答案

2.函数f(x)=x3的切线斜率等于1的有_2_条.

解析 设切点为(x0,y0),∵f′(x0)=3x20=1,

∴x0=±

3 3.

故斜率等于1的切线有2条.

12345

解析 答案

1 3.设函数f(x)=logax,f′(1)=-1,则a=_e__. 解析 f′(x)=xln1 a, 则 f′(1)=ln1a=-1,∴a=1e.
12345

解析 答案

4.求过曲线 y=sin x 上一点 P(π6,12)且与在这一点处的切线垂直的直线方程.

解 曲线 y=sin x 在点 P(π6,12)处切线的斜率

k=

y? x=?=cos 6

6π=

23,

则与切线垂直的直线的斜率为-2 3 3,

∴所求直线方程为 y-12=-23 3(x-π6),

即 12 3x+18y-2 3π-9=0.

12345

解答

5.求下列函数的导数.

3

3

(1)y=( x 2 +1)( x 2 -1)+1;

解 ∵y=x3,∴y′=3x2.

(2)y=(cos 2x+sin 2x)2-1;



∵y=cos2 2x+sin2

2x+2sin

x 2cos

2x-1=sin x,

∴y′=cos x.

12345

解答

(3)y=3log2 3 x. 解 ∵y=log2x,∴y′=xln1 2.

12345

解答

规律与方法
1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数,其关键是 牢记和运用好导数公式.解题时,能认真观察函数的结构特征,积极地进 行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导. 如求 y=1-2sin2 2x的导数.因为 y=1-2sin2 2x=cos x, 所以y′=(cos x)′=-sin x. 3.对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,二是注意函 数符号的变化.

本课结束



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