人教版必修1高中数学2.2.1 对数与对数运算(2)课件_图文

2.2.1对数的概念(2) 复习上节内容 对数定义： 一般地，如果 a x ? N ?a ? 0, 且a ? 1?, 那么数x叫做 以a为底N的对数?log arithm?, 记作 叫做对数的底数， N叫做真数。 x ? loga N , 其中a 指数式 x x 对数式 复习上节内容 有关性质： ⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ） ⑵ loga 1 ? 0, loga a ? 1 ⑶对数恒等式 a loga N ?N 复习上节内容 ⑷常用对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作lgN。 ⑸自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。 为了简便，N的自然对数 loge N 简记作lnN。 （6）底数a的取值范围： (0,1) ? (1,??) 真数N的取值范围 : (0,??) 对数x的取值范围 : ?? ?,??? 新授内容： 积、商、幂的对数运算法则： 如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有： loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N n loga M ? nloga M(n ? R) (3) 为了证明以上公式，回顾一下 指数运算法则 ： a m ? a n ? a m ? n (m, n ? R ) (a m ) n ? a mn (m, n ? R ) (ab) n ? a n ? b n (n ? R) 证明：①设 loga M ? p, 由对数的定义可以得：M p q loga N ? q, p?q a ? a ∴MN= ? loga MN ? p ? q ?a ? a , N ? aq p 即证得 loga (MN) ? loga M ? loga N (1) 证明：②设 loga M ? p, 由对数的定义可以得：M p loga N ? q, ? a , N ? aq p M ? ∴ N 即证得 a p ?q M ? a ? log a ? p?q q N a M loga ? loga M ? loga N (2) N 证明：③设 loga M ? p, 由对数的定义可以得：M ∴ ?a , p M ?a n np ? loga M n ? np 即证得 loga M ? nlog a M(n ? R) (3) n 上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数 式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形； 然后再根据对数定义将指数式化成对数式。 loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N loga M n ? nloga M(n ? R) (3) ①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”…… ②掌握公式的正用、逆用、变形用 ③真数的取值范围必须是 (0,??) ④对公式容易错误记忆，要特别注意： loga (MN ) ? loga M ? loga N , loga (M ? N ) ? loga M ? loga N 其他重要公式1: log a m 证明：设 n N ? log a N ?a ? 0, 且a ? 1; N ? 0? m n logam N n ? p, 由对数的定义可以得： ∴ N ? (a ) , n m p m p n N ?a n mp ?N ?a n m ? log a N ? p n 即证得 log a m 这个公式叫做对数的除指公式 n N ? log a N m 其他重要公式2: logc N loga N ? logc a 证明：设 (a, c ? (0,1) ? (1,??), N ? 0) loga N ? p 由对数的定义可以得： p N ?a , p ? logc N ? logc a , ? logc N ? p logc a, logc N ? p? 即证得 logc a 这个公式叫做对数的换底公式 logc N loga N ? logc a 其他重要公式3: 1 loga b ? logb a a, b ? (0,1) ? (1,??) logc N 证明:由换底公式 loga N ? logc a logb b 取以b为底的对数得： loga b ? logb a 1 ? logb b ? 1, ? loga b ? log a b 还可以变形,得 loga b ? logb a ? 1 这个公式叫做对数的倒数公式 讲解范例 例1 用 loga x, loga y, loga z 表示下列各式： x2 y xy (1)loga ; (2) loga 3 z z xy 解（1） log a ? log a ( xy ) ? log a z z ? loga x ? loga y ? loga z 解（2） loga x2 y 3 z ? loga ( x 2 y ) ? loga z 1 2 1 2 1 3 ? loga x 2 ? loga y ? loga z 1 3 1 1 ? 2 log a x ? log a y ? log a z 2 3 讲解范例 例2 计算 （1） log2 (25 ? 47 ) 解 : log (25 ? 47 ) ? log 25 7 ? log2 4 2 2 ? log2 25 ? log2 214 =5+14=19 （2） log9 27 解 : log9 27 ? log32 3 3 ? log 3 3 2 3 ? 2 3 讲解范例 （3） log2 3 ? log3 7 ? log7 8 解 :