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2014年人教版数学必修一、二全册课件合集(必修1、必修2)课件


必修一

1.集合与元素
(1)集合元素的三个特性:_______、________、 无序性 _________. 不属于? 属于∈ (2) 元素与集合的关系: _______、________、

确定性

互异性

反映个体与整体之间的关系. 列举法
________ . 自然 数集 数集

描述法

图示法

区间法 (3)集合的表示法:_______、_______ 、_______、 (4)常用数集的记法
正整 数集 整数 有理 集 数集 实数 集 复数

记法

N?

Z

Q

R

C

空集 . 无限集 、______ (5)集合的分类:有限集 ______、______

2. 集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质 ①对任意的x∈A,都有x∈B,则A___B(或B__A). ②若A?B,且在B中至少有一个元素x∈B,但x?A, ? ). 则A____ ? B(或B____A ③ ?___A;A___A; A?B,B?C?A_____C. ④若A含有n个元素,则A的子集有___ 2n 个,A的非空 子集有______ 2n-1 个,A的非空真子集有_______ 2n-2 个.
(2)集合相等

若A?B且 B?A,则A___ ?B.

3. 集合的运算及其性质
(1)集合的交集、并集、补集的定义
集合的并集
符号 表示

集合的交集

集合的补集
全集为U,集合A的 ? UA 补集为_______

A∪B

A∩B

图形 表示

意义 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B}

?UA={x|x∈U且x?A}

(2) 集合的运算性质
1) 并集性质

3) 补集性质

(1) A ? A ? A;(2) A ? ? ? A; (1) ?UU= ? (2) ?U ? =U (3) A ? B ? B ? A; (4) A ? A ? B; A ? B ? B; (3) ?U(?UA)=A (5) A ? B ? A ? B ? A.
2) 交集性质

(4) A ? (?UA)= ?

(1) A ? A ? A; (2) A ? ? ? ?;(5) A ? (?UA)=U (3) A ? B ? B ? A; (6) ?U(A ? B)=(?UA) ? (?UB) (4) A ? B ? A, A ? B ? B; (7) ? (A ? B)=(? A)? (? B)

(5) A ? B ? A ? A ? B.

U

U

U

题 型一

集合的基本概念
2 2

例 1. (1)已知 A={a+2,(a+1) ,a +3a+3}, 且 1∈A,求实数 2 013a 的值; (2)x,x -x,x -3x 能表示一个有三个元素的集 合吗?如果能表示一个集合, 说明理由; 如果不能表 示, 则需要添加什么条件才能使它表示一个有三个元 素的集合.
变式训练 1
2 3

若集合A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则 实数a=________.

题 型二

集合间的基本关系

? ? 1 ? 【例 2】已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B= x|-2<x≤2?. ? ?

(1)若 A?B,求实数 a 的取值范围; (2)若 B?A,求实数 a 的取值范围; (3)A、B 能否相等?若能,求出 a 的值;若不能,试说明理由.

变式训练 2

已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则 实数 a 的取值范围是 (c,+∞),其中 c=________.

题 型三

集合的基本运算

【例 3】设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m +1)x+m=0}.若(?UA)∩B=?,则 m 的值是________.
变式训练 3

设全集是实数集 R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}. (1)当 a=-4 时,求 A∩B 和 A∪B; (2)若(?RA)∩B=B,求实数 a 的取值范围.

集合中的新定义问题 题 型四 【例 4】在集合{a,b,c,d}上定义两种运算 ? 和 ? 如下:

那么 d ? (a ? c)等于 ( A.a
变式训练 4

) D.d

B.b

C.c

已知集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A 时,若有x-1?A,且x+1?A,则称x为A的一个“孤立元 素”,那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有 ________ 个,其中的一个是____________.

易错警示
忽略空集致误

(1)(4 分)若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1 =0}, 且 S?P, 则由 a 的可取值组成的集合为__________.
(2) (4 分)若集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+ 1≤x≤2m-1},且 B?A,则由 m 的可取值组成的集合 为____________.

感悟提高
失误与防范

1.空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论, 防止漏解. 2.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从 属关系;二是集合与集合的包含关系. 3. 解答集合题目 , 认清集合元素的属性 ( 点集、数集 或其它情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. 4.Venn图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补 运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端 点是实心还是空心. 5.要注意A?B, A∩B=A, A∪B=B, ?UA??UB, A∩(?UB)=?这五个关系式的等价性.

4.重要结论

??A (1) A≠?

? ?? A
A? B ? A A? B ? B

A? B ? (4)六个关系式的等价性 (A, B?U)

(5) 易混的解集 {x| y=f(x)} {y| y=f(x)} {(x,y)| y=f(x)}

(?UB)?(?UA) A∩(?UB)= ? (?UA)∪B=U

定义域 值域 点集 方程的解集 不等式的解集

{x| f(x)=0} {x| f(x)<0}

题型一 集合的概念
例1.已知:A={x|y=x2-2x+1},B={y|y=x2-2x+1}, C={x|x2-2x+1=0}, D={x|(x-1)2<0}, E={(x, y)|y=x2-2x+1}, 则下面结论正确的有??????? ( ) A. A?B?C?D C. A=E
B. D C B A

D. A=B

练一练
(1)若A={(x, y)| |x+2|+ y ? 1 =0},B={-2,-1}, 则必有( ) ? ?B A. A? B. A? B
C. A=B

?

D. A∩B= ?

?

(2)集合A={y∈R|y=lgx,x>1},B={-2,-1,1,2},则下 列结论中正确的是( ) A.A∩B={-2,-1} B.(?RA)∪B=(-∞,0) C.A∪B=(0, +∞) D.(?RA)∩B={-2,-1}

题型二 集合的运算 例2.设A={x|x>4或 x<-2}, B={x|a≤x<a +3},

(1)若A∩B=?,求实数a的取值范围;
(2)若A∩B≠?,求实数a的取值范围; (3)若A∩B=B,求实数a的取值范围; (4)若 (?RA)∪B= ?RA ,求实数a的取值范围.

4. 已知全集 U ? R, 集合 A ? x2x ? x ? 6 ? 0 , 43. . 已知全集 U ? R, 集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 , 例
2

题型三 集合间的基本关系

2 2 2 , B? x x ? 2 x ? 8 ? 0 C ? x x ? 4 ax ? 3 a ?0 , 2 2 2 , C ? x x ? 4ax ? 3a ? 0 , B若 ? ?x(A x∪ ? 2 x ? 8 ? 0 B) ? C,求实数a的取值范围。

?

?



?


U

( A ? B) ? C ,求实数 a 的取值范围. ? ( A ? B) ? C ,求实数 a 的取值范围.
U

U

?

?

? ?

?

?

? ?

? ?

(1) A={ x|-2≤x≤5}, B={x|m+1≤x≤2m-1},B?A, 则m的取值范围是_________.

(2)已知P ={x|x2– mx – 6m2=0} , Q={x|mx–1=0},且 Q P , 则由实数 a 组 成的集合是__________.

?

题型四

集合中的信息迁移题

【例4】对任意两个正整数m、n,定义某种运算⊕:
, ?m ? n, m与n奇偶性相同 则集合P= m?n? ? , ?mn, m与n奇偶性不同

{(a, b)|a⊕b=8,a , b∈N* }中元素的个数为(
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

)

补集思想
补集思想 : 对于一些比较复杂、比较抽象, 条件和结论不明确,难以从正面入手的数学问 题,在解题时要调整思路,从问题的反面入手, 探求已知与未知的关系,能起到化难为易,化 隐为显的作用,从而解决问题.这种“正难则 反”策略运用的是补集思想,即已知全集U求 子集A,若直接求A困难,可先求 ?UA,再 ?U(?UA)=A 由 ,求A.

题型五 用补集思想解决问题
例5.已知下列三个方程
x2 ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0;

x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0; x 2 ? 2ax ? 2a ? 0.至少有一
个方程有实数根.求a的取值范围.

? 5 ? 0的解集为M, 已知关于x的不等式 ax 3? M 【1】 2 x ?a
且5 ? M, 求实数 a 的取值范围.

【2】已知A={x|x2+x+a≤0}, B={x|x2-x+2a-1<0}, C={x|a≤x≤4a-9}, 且A、B、C中至少有一个不是空集, 求a的取值范围.

[3]. 已知集合 = x| x - 2x0} - 3[3]. ≤ 0} = {x+ |x 已知集合 A [3]. 已知集合 A=A {x |x2{ - 2 x- 3≤ , B = { x, |x2B - 2mx
(1) 若 A∩ B= [0,3] ,求实数 m 的值; (1) 若 A∩ B =[0,3] ,求实数 m 的值;

2

∈ R , ∈ R , mm ∈ }, B = {x∈ |R}. x2R}. -2mx+ m2-4≤0,x∈R,m∈R}.

(1)若 A∩B=[ (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围. 值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围 . (2)若 A?? B,
R

x- 5 2 [4].已知集合 A={x| ≤0}, B={x|x -2x-m<0} x+ 1 x-5 2 2 当 m = 3 时,求 A ∩ ( ? B ) ; 0} , B= { x | x - 2 x - m <0} , R [4].已知集合 A= {x| ≤ 0}, B= {x|x - 2 x+1 若 A(1) ∩B = {x |- x<4},求实数 m 的值. 当 m = 31< 时,求 A∩ (? RB );

范围.

实数 m若 的值 . B= {x|-1<x<4},求实数 m 的值 . (2) A∩

函数的概念 ——定义——表示——列表法,解析法,图象法 ——三要素——定义域,对应关系,值域 ——值域与最值——观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、 重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 ——函数的图象 函数的基本性质 ——单调性——1.求单调区间:定义法、导数法、用已知函数的单调性. 2.复合函数单调性:同增异减. ——对称性——轴对称:f (a-x)=f(a+x); 中心对称: f (a-x)+f(a+x)=2b ——奇偶性——1.先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)=f(x)还是-f(x). 2.奇函数图象关于原点对称,若x=0有意义,则f(0)=0. 3.偶函数图象关于y轴对称,反之也成立. ——周期性——f (x+T)=f (x);周期为T的奇函数有f (T)=f (T/2)= f (0)=0. 函数常见的几种变换——平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换 基本初等函数——正(反)比例函数;一次(二次)函数;幂、指数、对数函数 (定义,图象,性质,应用) 复合函数——单调性:同增异减; 奇偶性:内偶则偶,内奇同外 抽象函数——赋值法 函数的应用 ——函数与方程——函数零点、一元二次方程根的分布 ——常见函数模型——幂、指、对函数模型;分段函数;对勾函数模型

1.函数的基本概念
(1)函数的定义 数集 ,如果按照某种确定的对应关系f, 设A,B是非空的______ 唯一确定 任意 一个数 x ,在集合 B 中都有 ________ 使对于集合 A 中的 ______ 的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一 y=f(x),x∈A . 个函数,记作______________ (2)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫 定义域 ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值 做函数的_______ 值域 .显然,值域是集合B的 的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的______ 子集. (3)函数的三要素:定义域 ________、______ 值域 和___________ 对应关系 . (4) 相等函数:如果两个函数的 _________ 定义域 和 __________ 对应关系 完 全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.

2.函数的表示法 解析法、图象法 表示函数的常用方法有:______ ______、_______. 列表法 3.映射的概念 设A, B是两个非空集合,如果按某一个确定的对应 关系f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 都有唯一 确定的元素y与之对应,那么就称对应 中_________ 一个映射 . f :A→B为从集合A到集合B的_________ 4.函数与映射的关系 由映射的定义可以看出,映射是_____ 函数 概念的推广, 函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合 A, 非空数集 B必须是__________ .

题 型一
【例 1】有以下判断:

函数的概念及应用

? ?1,?x≥0? |x| (1)f(x)= x 与 g(x)=? 表示同一函数; ?-1,?x<0? ?

(2)函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个; (3)f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+1 是同一函数; (4)若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f ( f ( 1 )) ? 0 .

2

其中正确判断的序号是________.

变式训练 1

试判断以下各组函数是否表示同一函数: (1)y=1,y=x0; (3)y=x,y= t 3 ;
3

(2)y= x-2· x+2,y= x2-4; (4)y=|x|,y=( x)2.

题 型二

函数与映射

【例2】(课本改编题)下列对应关系是集合P上的函数的是_____. (1)P=Z,Q=N*,对应关系f:对集合P中的元素取绝对 值与集合Q中的元素相对应; (2)P={-1,1,-2, 2},Q={1, 4},对应关系:f:x→y=x2, x∈P,y∈Q; (3)P={三角形},Q={x|x>0},对应关系f:对P中三角形 求面积与集合Q中元素对应.

变式训练 2

(1)已知 a,b 为两个不相等的实数,集合 M={a2-4a,- 1},N={b2-4b+1,-2},f:x→x 表示把 M 中的元素 x 映射 到集合 N 中仍为 x, 则 a+b 等于 A.1 B.2 C.3 D .4 ( )

变式训练 2

(2)已知映射f:A→B.其中A=B=R,对应关系f: x→y=-x2+2x,对于实数k∈B,在集合A中不存在 元素与之对应,则k的取值范围是( ) A.k>1 B.k≥1 C.k<1 D.k≤1

题 型三

函数的表示方法

【例3】如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一 棵树与两墙的距离分别是 a m (0<a<12) 、 4 m, 不考虑树的粗 细.现在想用 16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃 ABCD. 设此矩形花圃的面积为 S m2 , S的最大值为 f(a) ,若将 这棵树围在花圃内,则函数u=f(a)的图象大致是 ( )

变式训练 3

― 龟兔赛跑 ‖ 讲述了这样的故事:领先的兔子看着 慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时, 发现乌龟快到达终点了,于是急忙追赶,但为时已晚, 乌龟还是先到达了终点 ……,用s1,s2分别表示乌龟和 兔子所行的路程, t 为时间,则下图与故事情节相吻 合的是 ( )

题 型四

分段函数及其应用

【例 4】(典题新编)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ?log2?1-x?, x≤0, 则 f(2013)的值为______. ? ?f?x-1?-f?x-2?,x>0,
变式训练 4
(2011· 北京)根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单

? ? 位:分钟)为 f(x)=? c ,x≥A ? ? A
别是( ) A.75, 25 B.75, 16

c ,x<A, x

(A,c 为常数).已知工人组装第 4

件产品用时 30 分钟, 组装第 A 件产品用时 15 分钟, 那么 c 和 A 的值分 C.60, 25 D.60, 16

易错警示
忽略分段函数中自变量的限制条件致误
? x 2 ? bx ? c, x ≤ 0 (14分)设函数 f ( x ) ? ? , x?0 ? 2,

若 f(-2)=f(0), f(-1)=-3, 求关于

x的方程f(x)=x 的解. 2 2 2 解 : 当 x ≤ 0 时, f ( x ) = x +bx bx+ +c c,因为 ,因为 f f( (- -2) 2)= =f f(0) (0), , 2 解: :当 当x x≤ ≤0 0 时, 时,f f( (x x) )= =x x+ + 解 bx + c ,因为 f ( - 2) = f (0) , 2 2 2 2 ? - 2 ? -2 2b b+ +c c= =c c b = 2 , ? ? 2 ? - 2 ? - b = 2 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-2? -2b+c=c b=2, ? ? =-3,∴ ,解得 [4分 分 ? ? ? ? f ( - 1) ,解得 [4 ]] ? ? =- 2 2 ? 2 2 f(-1)=-3,∴? ,解得 [4 分 ] ?- -1 1? ? -b b+ +c c=- =-3 3 c =- 2 , 2- ? ? ? c =- 2 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 1 ? - b + c =- 3 c =- 2 , ? ? 2 2 2 x2 + +2 2x x- -2 2? ?x x≤ ≤0 0? ? ? ?x ? ? x + 2 x - 2 ? x ≤ 0 ? ? ? ∴f f( (x x) )= = [6 分 分] ] ? ∴ [6 ∴f(x)=? [6 分 ] ?2 2 ? ?x x>0 >0? ? ? ? ? ? 2 ? x>0 ? ? 2 2 2 当 x ≤ 0 时,由 f ( x ) = x 得, x +2 2x x- -2 2= =x x, , 2 当x x≤ ≤0 0 时,由 时,由 f f( (x x) )= =x x 得, 得,x x+ + 当 2x -2 =x , 得x x=- =-2 2或 或x x= =1. 1.由 由x x= =1>0 1>0,所以舍去. ,所以舍去. [10 分 得 [8 分 ]] 得 x=- 2或 x= 1.由 x= 1>0,所以舍去. [8 分 ] 当x x>0 >0 时,由 时,由 f f( (x x) )= =x x得 得x x= =2 2, , [10 分 分]] [12 当 [10 当 x>0 时,由 f(x)=x 得 x=2, [10 分] 所以方程 f f( (x x) )= =x x 的解为- 的解为-2, 2, 2. 2. [12 分 分]] [14 所以方程 [12 所以方程 f( x) =x 的解为-2, 2. [12 分]

感悟提高
方法与技巧

1 .在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣 两点:一是定义域相同;二是对应关系相同. 2 .定义域优先原则:函数定义域是研究函数的 基础依据,对函数性质的讨论,必须在定义域上进 行,坚持定义域优先的原则,之所以要做到这一点, 不仅是为了防止出现错误,有时还会为解题带来很 大的方便.

感悟提高
失误与防范

1.判断对应是否为映射,即看A中元素是否满足 “每元有象”和“且象惟一”.但要注意: (1)A 中不同元素可有相同的象,即允许多对一, 但不允许一对多; (2)B中元素可无原象,即B中元素可有剩余. 2.求分段函数应注意的问题 在求分段函数的值 f(x0) 时,一定要首先判断 x0 属 于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式;分 段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的 取值范围的并集.

三、解答题
7. 甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的距 离与乙从家到公园的距离都是2 km,甲10时出发前往乙家.如

图所示,表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程 y(km) 与时
间x(分)的关系.试写出y=f(x)的函数解析式.

f?x?+|f?x?| 8.已知 f(x)=x +2x-3,用图象法表示函数 g(x)= , 2
2

并写出 g(x)的解析式.

三、解答题
8.规定[t]为不超过 t 的最大整数,例如[12.6]=12,[-3.5]=-4,对任 意实数 x,令 f1(x)=[4x],g(x)=4x-[4x],进一步令 f2(x)=f1[g(x)]. (1) 7 若 x= ,分别求 f1(x)和 f2(x); 16 (2)若 f1(x)=1,f2(x)=3 同时满足,求 x 的取值范围.

7? 7 ?7? 3 ? ∴f1(x)=? ?=1,g(x)= -? ?= . 4 ?4? 4 ?4? 3? ? ∴f2(x)=f1[g(x)]=f1?4?=[3]=3. ? ? (2)∵f1(x)=[4x]=1,g(x)=4x-1, ∴f2(x)=f1(4x-1)=[16x-4]=3. ?1≤4x<2, 7 1 ∴? ∴ ≤x< . 16 2 ?3≤16x-4<4.

1.函数与映射的概念的异同
函数 映射

设A、B是两个非空 数集 ______ 如果按照某种确定 的对应关系f,使对 任意 对应关系 于集合A中的____ 数 x 在集合B f:A→B 一个____ 唯一确定 的 中都有________ 数f(x)和它对应 两集合 A、B
名称 记法

设A、B是两个非空 集合 _______ 如果按某一个确定 的对应关系f,使对 任意 于集合A中的____ 一个元素x在集合B 中都有唯一确定的 元素y与之对应

f:A→B 称对应:_________ f : A → B 称_________为从集合 为从集合A到集合B的 A到集合B的一个函数 一个映射 对应f:A→B是一个映 y=f(x),x∈A 射

考点一

课堂互动讲练

函数的三种表示方法

?用解析法表示函数关系的优点是:函数关系清楚, 容易根据自变量的值求出对应的函数值,便于用解析 式来研究函数的性质.
?用图象法表示函数关系的优点是:能直观形象地 表示出函数值的变化情况. ?用列表法表示函数关系的优点是:不必通过计算 就知道自变量取某些值时函数的对应值.

考点一 函数的三种表示方法 例1 已知某人在2009 年 课堂互动讲练 1月份至6月份的月经济 【解】图象法: 收入如下:1月份为 1000元,从2月份起每 月的月经济收入是其上 一个月的2倍,用列表、 图象、解析式三种不同 形式来表示该人1月份 至6月份的月经济收入 y(元)与月份序号x的函 数关系,并指出该函数 的定义域、值域和对应 法则.

x 1 2 3 4 5 6 [解]列表法: y 1000 2000 4000 8000 16000 32000

考点一

函数的三种表示方法

【解】解析法: 解析式:y=1000?2x-1 (x∈{1,2,3,4,5,6}). 其中定义域为{1,2,3,4,5,6}, 值域为{1000,2000,4000,8000,16000,32000}. 对应法则f:x→y=1000?2x-1. 【规律小结】列表法、图象法和解析式法是表示函数 的三种方法,其实质是一样的,只是形式上的区别, 列表和图象更加直观,解析式更适合计算和应用.在 对待不同题目时,选择不同的表示方法,因为有的函 数根本写不出其解析式.

考点二

函数与映射

1.判断对应是否为映射,即看A中元素是 否满足―每元有象‖和―象唯一‖,即可以是―一对 一‖或者―多对一‖. 2.f:A→B形成函数时,A即函数的定义域, 但B不一定是值域.如果B中的元素都有原象, 则B才是值域,即函数就是从定义域到值域的映 射.
例2

已知函数f(x),g(x)分别由下表给出 x 1 f(x) 1 2 3 3 1 x 1 g(x) 3 2 2 3 1

则f[g(1)]的值为________;满足 f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________.

变式

【1】设集合A={a,b},B={c,d,e},则从A到

B的映射共有________个.

a b a b c a d b e

c d e c d e a b

a b c d e

c d e a b c d e a b

a b

c d e c d e

c a d b e

【总结】 (1)函数的定义中应注意 A,B是两个非空的数集,函 数的值域C与B的关系是C?B. (2)在映射中,集合A与B的地位是 不对等的,在集合B中不要求每个元素在集合A中都有元素与之 对应,即集合B中可以有空闲的元素.

变式

2.设集合 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的 4 个图 形中,能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的有 ( )

A.①②③④ C.②③

B.①②③ D.②

由映射的定义,要使函数在定义域上都有图象,并且一个 x 对应 着一个 y,据此排除①④,③中值域为{y|0≤y≤3}不合题意.

走进高考
1.(2008?山东)设函数
则f ( 1 ) f ( 2)

?1 ? x 2 , f ( x) ? ? 2 ? x ? x ? 2,

x ≤ 1, x ? 1,

的值为(
27 B.? 16


8 C. 9 D .18

15 A. 16

1 1 15 f ( 2) ? 4, f ( ) ? 1 ? ? . 4 ?6 16

2.(2008· 陕西)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)= f(x)+f(y)+2xy(x, y∈R), f(1)=2, 则f(-3)等于( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

1.函数的定义域
使函数有意义的自变量的取 (1)函数的定义域是指__________________________ 值范围 . ________ (2)求定义域的步骤 ①写出使函数式有意义的不等式(组); ②解不等式组; ③写出函数定义域.

(3)常见基本初等函数的定义域
①分式函数中分母不等于零. ②偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域为___. R ④y=ax (a>0且a≠1),y=sin x, y=cos x,定义域均为__. R ⑤y=tan x的定义域为________________________. ⑥函数f(x)=x0的定义域为_________________ {x|x∈R且x≠0} .

2.函数的值域 (1)在函数y=f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫 函数值的集合 叫函数的值域. 函数值 ,_____________ ________ (2)基本初等函数的值域 基本初等函数 值域
①y=kx+b (k≠0)

②y=ax2+bx+c (a≠0)
③ y ? k (k ? 0) ④y=ax (a>0且a≠1) ⑤y=logax (a>0且a≠1) ⑥y=sin x, y=cos x ⑦ y=tan x
x

3.函数解析式的求法
(1) 换元法:若已知 f(g(x)) 的表达式,求 f(x) 的解析式 , 通常是令g(x)=t,从中解出x=φ(t),再将g(x)、x代入已知 解析式求得 f(t)的解析式,即得函数f(x)的解析式,这种方 法叫做换元法,需注意新设变量“t‖的范围. (2)待定系数法:若已知函数类型,可设出所求函数的 解析式,然后利用已知条件列方程(组),再求系数. ) (3)消去法:若所给解析式中含有f(x), f ( 1 x 或 f(x), f(-x) 等形式,可构造另一个方程,通过解方程组得到f(x). (4)配凑法或赋值法:依据题目特征,能够由一般到特 殊或由特殊到一般寻求普遍规律,求出解析式.

题 型一

3x 【例 1】(1)函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域为_____________. 1- x ln?x+1?
2

2

求函数的定义域

(2)函数 y=

的定义域为 ____________. -x -3x+4 变式训练 1

(1)(2011· 江西)若 f(x)=

1 , 则 f(x)的定义域为( log 1 (2 x ? 1)
2

)

1 1 1 ? ? ? ? ? ? D.(0,+∞) A.?- ,0? B.?- ,0? C.?- ,+∞? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? x- 4 (2)若函数 f(x)= 2 的定义域为 R,则实数m mx + 4mx+ 3

的取值范围是 _______ .

探究提高
(1)求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有 意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集, 其准则一般是:

①分式中,分母不为零;
②偶次根式,被开方数非负; ③对于y=x0,要求x≠0; ④对数式中,真数大于0,底数大于0且不等于1; ⑤由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束.

(2)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系.

题 型二

抽象函数的定义域

【例2】若函数f(2x)的定义域是[-1, 1],求f(log2x)的定义域.

变式训练 2

已知 f(x)的定义域是[0,4],求: (1)f(x )的定义域; (2)f(x+1)+f(x-1)的定义域.
2

题 型三

求函数的值域

【例 3】求下列函数的值域. (1)y=x +2x (x∈[0,3]); (3) y ? x ? 1 ? 2 x
变式训练 3
2

x-3 (2)y= ; x+1

3x (4) y ? 2 x ?4

求下列函数的值域: x2-x (1)y= 2 ; (2)y=2x-1- 13-4x. x -x+1 1?2 3 1 2 ? 解: (1)方法一 (配方法) ∵y=1- 2 , 又 x -x+1= x-2 + ? ? 4 x -x+1 1 4 1

探究提高
(1)当所给函数是分式的形式,且分子、分母是同次的,可 考虑用分离常数法; (2)若与二次函数有关,可用配方法;

(3)若函数解析式中含有根式,可考虑用换元法或单调性法;
(4)当函数解析式结构与基本不等式有关,可考虑用基本不 等式求解; (5)分段函数宜分段求解; (6)当函数的图象易画出时,还可借助于图象求解.

题 型四

求函数的解析式

1 2 1 【例 4】(1)已知 f ( x ? ) =x + 2,求 f(x)的解析式; x x (2)已知 f ( 2 ? 1) =lg x,求 f(x)的解析式; x (3)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求 f(x)的解析式; (4)已知 f(x)满足 2f(x)+ f ( 1 ) =3x,求 f(x)的解析式.
变式训练 4

x

给出下列两个条件: (1)f( x+1)=x+2 x;

(2)f(x)为二次函数且 f(0)=3, f(x+2)-f(x)=4x+2. 试分 别求出 f(x)的解析式.

探究提高
函数解析式的求法 (1)凑配法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式;

(2) 待定系数法:若已知函数的类型 ( 如一次函数、二次函
数),可用待定系数法; (3) 换元法:已知复合函数 f(g(x)) 的解析式,可用换元法,

此时要注意新元的取值范围;
) 或f(-x)的表达式,可根 (4)方程思想:已知关于f(x)与 f ( 1 x 据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组

求出f(x).

答题规范
函数问题首先要考虑定义域

3 解:∵f(x)=2+log3 3x 的定义域为[1,9], 解 ∵ x =2 2 + log33x x 的定义域为[1,9] [1,9], , 2 2 2 解 :: ∵ ff [( x ]) = + log 的定义域为 2 2 2 2 2 2 要使 ( f ( x )) + f ( x ) 有意义 , 必有 1 ≤ x ≤ 9 且 1 ≤ x ≤ 9 , 2+ f(x2)有意义 ,必有 1≤x≤ 9 且 1≤ x2 要使 ( f ( x )) ≤ 9 , 要使 ( f ( x )) + f ( x ) 有意义 , 必有 1 ≤ x ≤ 9 且 1 ≤ x ≤ 9 , 2 2 2 解:∵ f ( x ) = 2 + log x 的定义域为 [1,9] , 2 2 2 3 要使 [ f ( x )] + f ( x ) 有意义 , 必有 1 ≤ x ≤ 9 且 1 ≤ x ≤ 9 要使(f(x)) +f(x )有意义,必有 1≤x≤9 且 1≤x ≤9, , 2 2 2 ∴ 1 ≤ ≤ , [3 分 ]] [3 分 要使 (fx (x ))3 + , ∴ x ≤ 3 , [3 分 ∴1 1≤ ≤ x ≤ 3 ,f(x )有意义,必有 1≤x≤9 且 1≤x ≤9 [3 分] ] [4 ∴1≤x≤32 , 2 [3 分] 2 2 2 2+f(x2 2)的定义域为[1,3]. ∴ x ≤ , [3 分 ]] 2 ∴1 y≤ =[ (f f (x x3 )) [4 分 ] )] 的定义域为 [1,3] . [5 分 ∴ y = ( ( )) + f ( x ) 的定义域为 [1,3] . [4 分 ] 2 2 2 +f(x 2 ∴ = ( fx (+ x )) [4分 分 ] 2 )的定义域为 2 [1,3]. 2 2 2 2 ∴ yy = (f ( )) +f ( x ) 的定义域为 [1,3] . [4 ] 又 y = (2 log x ) + 2 + log x = (log x + 3) - 3. [6 分 ] 2 3x)2 3x2 3x+3) 2+ 2+ log3 2=(log3 2- 3. 又y y= =(2 (2+ +log log3 [8 分 分]] ] 3 又 x ) + 2 + log x = (log x + 3) - 3. [6 x + 3) - 3. [6 分 3 3 2 3 22 3 22 3 2 又x = (2 + log x ) + 2 + log x = (log x + 3) - 3. [6 [6 分 ] 又 yy = (2 + log x ) + 2 + log x = (log x + 3) - 3. 分 ]] 3 3 3 ∵ ∈ [1,3] , ∴ log x ∈ [0,1], [8 分 3 3 3 3 ∵ x ∈ [1,3] , ∴ log x ∈ [0,1], [8 分 ]] 3x ∵x x∈ ∈[1,3] [1,3], ,∴ ∴2 log3 x∈ ∈[0,1], [0,1], [10 分 2 [8 分 ] ∵ log [8 分 ] 3 ∴ y = (1 + 3) -3 3 = 13 ,ymin=(0+3) -3=6. [8 [10 分 ] ∵ x ∈ [1,3] , ∴ log x ∈ [0,1], 分 ]] max ∵ x ∈ [1,3] , ∴ log x ∈ [0,1], [8 分 3 2 2 2- 2- 3=6. 2 2 2 2 ∴ y = (1 + 3) 3 = 13 , y = (0 + 3) [10 分 ] 2 2 2 2 max min ∴ y = (1 + 3) - 3 = 13 , y = (0 + 3) - 3 = 6. [10 分 ]] [12 max min ∴y 函数 y = ( f ( x )) + f ( x ) 的值域为 [6, 13] . [12 分 2 2 ∴ = (1 + 3) - 3 = 13 , y = (0 + 3) - 3 = 6. [10 分 ] max min - 3 = 13 , y = (0 + 3) - 3 = 6. [10 分 ] max min max min ∴ymax=(1+3) 2 -3=13 ,ymin=(0+3) -3=6. [10 分] 2 2 2 2 2+ f(x 2)的值域为 [6, 13]. ∴ 函数 y = x )) [12 分 2 2 ∴函数 函数 y y= =[( (ff f(( (x x)] ))2 + f ( x ) 的值域为[6, [6,13] 13] . [12分 分 ] ∴ + f ( x ) 的值域为 . [14 ]] 2 2 ∴ 函数 = (( ff (( x )) ff (( xx)) 的值域为 [6, . [12 ]] ∴ 函数yy = x )) + + 的值域为 [6,13] 13] . [12分 分

(14分)已知f(x)=2+log3x,x∈[1, 9],试求函数y= 2+f(x2)的值域. [ f ( x )] 解 : ∵ f ( 解:∵f(x x) )= =2 2+ +log log3x x 的定义域为 的定义域为[1,9] [1,9], ,

批阅笔记

(1)本题考查了函数的定义域、值域的概念及求 法,是函数的重点知识. (2)本题易错原因是忽略对定义域的研究,致使 函数y=[f(x)]2+f(x2)的讨论范围扩大. (3)解答有关函数的问题要规范,研究函数问题, 首先研究其定义域,这是解答的规范,也是思维 的规范.

感悟提高
方法与技巧

1.函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并 且它是研究函数性质的基础.因此,我们一定要树立函数定义 域优先意识. 求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或 不等式(组);对于含有字母参数的函数定义域,应注意对参数取 值的讨论;对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义. 2.函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变 化范围.利用函数几何意义,数形结合可求某些函数的值域. 3.函数的值域与最值有密切关系,某些连续函数可借助函 数的最值求值域,利用配方法、判别式法、基本不等式求值域 时,一定注意等号是否成立,必要时注明“=”成立的条件.

感悟提高
失误与防范

1.求函数的值域,不但要重视对应关系的作用,
而且还要特别注意定义域对值域的制约作用. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题,要重视 函数单调性在确定函数最值过程中的作用.特别要 重视实际问题的最值的求法.

2 .对于定义域、值域的应用问题,首先要用
“定义域优先”的原则,同时结合不等式的性质.

三、解答题 1.已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1.

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 y=f(x -2)的值域.
1 2 2.若函数 f(x)= x -x+a 的定义域和值域均为[1,b](b>1),求 2 a, b 的值. 1 1 2 解: ∵f(x)= (x-1) +a- . 2 2
2 3.已知函数 f ( x ) = x - 4ax+ a+ 6 (f a R). ∴其对称轴为 x= 1,即 [12 , b]为 (∈ x)的单调递增区间.
2

1 (1)若函数的值域为 [0 ,+∞ ∴f(x)min=f(1)=a- =1①),求 a 的值; f(x)max=f(b)= b -b+a=b② 2 [0,+∞), 解: (1)∵函数的值域为 3

(2)若函数的值域为非负数,求函数 g(a)=2-a|a+3|的值域. 1 2

2

考点一 求函数的定义域
1.给定函数的解析式,求函数的定义域的依据是以 函数的解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或 不等式组,然后求出它们的解集,其准则一般是: ①分式中,分母不等于零, ②偶次根式中,被开方数 为非负数, ③对于y=x0,要求x≠0,④对数式中,真数 大于0,且底数为不等于1的正数,⑤正切函数等.

2.由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题
的约束.
3.抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系.

考点一 求函数的定义域
例1 求下列函数的定义域: 1 (1)y= + x2-1; 2-|x| x2 (2)y= +(5x-4)0. lg(4x+3) (3)已知y=f(2x+1)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域;

(4)已知f(x)的定义域为[0,2],求f(2x)的定义域.

变式

【1】(08?湖北)函数 f ( x) ? 1 1n( x 2 ? 3 x ? 2 ? ? x 2 ? 3 x ? 4)
x

的定义域为(

)
B.(-4, 0) ∪(0, 1)

A.(-∞, -4]∪[2, +∞)

C.[-4, 0)∩(0, 1]

D.[-4, 0)∪(0, 1)

课堂互动讲练
例1

考点二 求函数的解析式
例2 【1】f(x) 为二次函数,且满足f(0)=0,f(x+1)-

f(x)=x+1,求f(x).

3 f ( x) ? 2 f (? x) ? 2x ? 2, 求 【2】已知函数f(x)满足 f(x)的解析式.

解:由题意 3 f ( x ) ? 2 f ( ? x ) ? 2 x ? 2, 3 f (? x ) ? 2 f ( x ) ? 2 ? 2 x.
(1) ? 3 ? (2) ? 2, 得

?

(1) (2)

f ( x) ? 2 x ? 2 . 5

考点二 求函数的解析式
例2

(3)已知f(x)是R上的函数,且f(0)=1,对任意x, y∈R

恒有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1), 求f(x).
(4)方法一: ∵ f(x-y) =f(x)-y(2x-y+1), 令y=x,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1),

∵f(0)=1,∴f(x)=x2+x+1.
方法二 令x=0,得f(-y)=f(0)-y(-y+1)=y2-y+1,

再令y=-x, 得 f(x)=x2+x+1.

变式

考点二 求函数的解析式

【1】设定义在R上的函数f(x) 对任意实数 x, y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y), 且满足f(1)=1, 求 f(0)及 f(x)的表达式.

考点二 求函数的解析式
(4) 如图是函数f(x)的图象,OC段是射线,而OBA 是抛物线的一部分,试写出f(x)的表达式. y 解:(1)当x≤0时, ∵直线OC经过(-2,-2), ∴直线方程为y=x;
例2

(2)当x≥0时, 抛物线过B(1,-1),A(2,0) C

-2

o 1
-1 -2

A
2

B

x

易求得抛物线的解析式为:y=x2-2x. ∴解析式为
x ≤ 0, ? x, y?? 2 ? x ? 2 x , x ? 0.

1.函数的单调性
(1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义 域I内某个区间D上的任意两个自变量x1, x2 定 当x1<x2时,都有 当 x 1< x 2时 , 都 有 义 f(x1) < f(x2),那么函数 ____________ f(x1) > f(x2) , 那么函数f(x) __________ f(x)在区间D上是增函数 在区间D上是减函数 图 象 描 上升的 自左向右看图象是下降的 _____ 述 自左向右看图象是______

(2)单调区间的定义 增函数 或________, 减函数 则称函 若函数f(x)在区间D上是_______ 数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,________ 区间D 叫做 y =f(x)的单调区间.

2.函数的最值
前 提

设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
(3)对于任意x∈I,都有 f(x)≥M ; __________ (4)存在x0∈I, 使得 f(x0)=M . __________ M为最小值

(1)对于任意x∈I,都有 f(x)≤M ; _________ 条 件 (2)存在x0∈I, 使得 f(x0)=M . _________ 结 M为最大值 论

题 型一

函数单调性的判断及应用

【例 1】已知函数 f(x)= x2+1-ax,其中 a>0. (1)若 2f(1)=f(-1),求 a 的值; (2)证明:当 a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上为单调 减函数; (3)若函数 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求 a 的取值 范围.

x 已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1, +∞)内单调递减, 求 a 的取值范围.

变式训练 1

探究提高
(1) 证明函数的单调性用定义法的步骤是 : 值—作差—变形—确定符号—下结论. (2) 利用导数证明的一般步骤为:求导,判断导 函数在区间上的符号,下结论.导数法是比较常用 的一种方法. 取

题 型二
2

求函数的单调区间

【例 2】求函数 y ? log 1 ( x 2 ? 3 x ? 2) 的单调区间.
变式训练 2

求函数 y= x +x-6的单调区间.
探究提高
求函数的单调区间与确定单调性的方法一致. (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差 或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义. (3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象 易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间. (5)本题的易错点是忽视函数的定义域.

2

题 型三

抽象函数的单调性及最值

【例 3】已知函数 f(x)对于任意 x, y∈R, 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), 2 且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3, 3]上的最大值和最小值.

探究提高
对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的 定义,结合题目所给性质和相应的条件,对任意x1, x2在 f (x x1 1) f ( ) 与1的大小. 所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小,或 f (x x2 2) x1 有时根据需要,需作适当的变形:如 x1=x2·x 或x1=x2 2 +(x1-x2)等.

变式训练 3

函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切 x>0,y>0 都有

f ( x ) =f(x)-f(y),当 x>1 时,有 f(x)>0. y
(1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性并加以证明. (3)若 f(4)=2,求 f(x)在[1,16]上的值域.

答题模板
函数的单调性与不等式
(14 分)函数 f(x)对任意的 m, n∈R, 都有 f(m+n)=f(m) +f(n)-1,并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.

审题视角

(1)对于抽象函数的单调性的证明,只能用定义.应 该构造出f(x2)-f(x1)并与0比较大小. (2) 将函数不等式中的抽象函数符号“ f‖ 运用单调性 “去掉”, 是本小题的切入点. 要构造出f(M)<f(N)的形式.

(1) 证明 : 设 x < x , ∴ x - x >0 , (1) 证明 : 设 x < x , ∴ x - x >0 , (1) 证明 x < x , ∴ x x >0 , 1 2 2 1 (1) 证明 :设 x < x , ∴ x - x >0 , 1 2 2 1 1 2 1 : 设 - 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 当 x >0 时, f ( x )>1 , ∴ f ( x - x )>1. x x >0 时, f ( x )>1 , ∴ f ( x - x )>1. x >0 时, f ( x )>1 , ∴ f ( x )>1. 2 1 当 x >0 时, f ( x )>1 , ∴ f ( x - x )>1. 当 2 1 2 1 当 - 2 1 2 1 2 1 ( x ) f [( x - x + x ] = f ( x - x ) + f ( x ) - 1 f ff = ) , ( x ) = f [( x - x ) + x ] = f ( x - x ) + f ( x ) - 1 , ( x ) f [( x - x + x ] = f ( x - x ) + f ( x ) - 1 2 2 1 1 2 1 1 f ( x ) = f [( x - x ) + x ] = f ( x - x ) + f ( x ) - 1 , = ) , 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 x f x ) = f x - x ) - 1>0 ? f ( x )< f ( x ) ∴ f ( x ) - f ( x ) = f ( x - x ) - 1>0 ? f ( x )< f ( x ) , ∴ ff ( x ) - f ( x ) = f ( x - x ) - 1>0 ? f ( x )< f ( x ) , 2 1 2 1 1 2 ∴ f ( x ) - f ( x ) = f ( x - x ) - 1>0 ? f ( x )< f ( x ) , ∴ ( ) - ( ( , 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 ∴ f ( x ) 在 R 上为增函数. ∴ f ( x ) 在 R 上为增函数. x R 上为增函数. ∴ f ( x )在 R 上为增函数. ∴ f ( ) 在 (2) 解 :: ∵ m , n ∈ R ,不妨设 m = n = 1 , (2) 解 : ∵ m , n ∈ R ,不妨设 m = n = 1 , n (2) 解 n ∈ R ,不妨设 m = = 1 , (2) 解 ∵ m , n ∈ R ,不妨设 m = n = 1 , : ∵ m ,

[2 分 ]] [2 分 ] [2 ] [2 分 分 [4 分 ]] 分 [4 分 ] [4 ] [4 分 [6 分 ]] [6 分 ] [6 ] [6 分 分

∴ f (1 + 1) = f (1) + f (1) - 1 ? f (2) = 2 f (1) - 1 , [8 分 ]] f (1 + 1) = f (1) + f (1) - 1 ? f (2) = 2 f (1) - 1 , [8 分 ] (1 1) f (1) + (1) 1 ? f (2) = 2 f (1) - 1 , [8 ] ∴ f (1 + 1) = f (1) + f (1) - 1 ? f (2) = 2 f (1) - 1 , [8 分 ∴ ∴ f + = f - 分 f (3) = 4 ? f (2 + 1) = 4 ? f (2) + f (1) - 1 = 4 ? 3 f (1) - 2 = 4 , (3) = 4 ? f (2 + 1) = 4 ? f (2) + f (1) - 1 = 4 ? 3 f (1) - 2 = 4 , (3) = 1) = 4 f (2) + (1) 1 4 ? 3 (1) 2 4 , f (3) = 4 ? f (2 + 1) = 4 ? f (2) + f (1) - 1 = 4 ? 3 f (1) - 2 = 4 , f f 4 ? f (2 + ? f - = f - = f (2) = 2 ? 2 1 = 3 , ∴ f (1) = 2 , f (2) = 2 ? 2 - 1 = 3 , ∴ ff (1) = 2 , - f (2) = 2 ? 2 1 = 3 , ∴ f (1) = 2 , f (2) = 2 ? 2 - 1 = 3 , ∴ (1) = 2 , -
22 2 2 2 2 a + 5)<2 (1) , ∴ f ( a + a - 5)<2 = f (1) , ∴ f ( a + a - 5)<2 = ff (1) , ∴ + a - 5)<2 = f (1) , ∴ ff ((a a - =

[10 分 ]] [10 分 ] [10 分 ] [12 [10 分

22 2 2 2 2 ∵ f ( x ) 在 R 上为增函数, ∴ a + a - 5<1 ? - 3< a <2 , ∵ f ( x ) 在 R 上为增函数, ∴ a + a - 5<1 ? - 3< a <2 , a ∴ aa + - 5<1 3< a <2 ∵ fx (x )在R R上为增函数, 上为增函数, ∴ + a - 5<1 ? - 3< a <2 , ∵ f( )在 ? - , 即 a ∈ ( - 3,2) . [14 分 ]] 即 a ∈ ( - 3,2) . [12 分 ] a 3,2) [12 分 ] [12 即 a ∈ (- 3,2) . [12 分 即 ∈ ( - .

答题模板

解函数不等式的问题的一般步骤: 第一步:确定函数f(x)在给定区间上的单调性; 第二步:将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式; 第三步:运用函数的单调性“去掉”函数的抽象 符号“f ‖,转化成一般的不等式或不等式组; 第四步:解不等式或不等式组确定解集; 第五步:反思回顾.查看关键点,易错点及解题 规范.

感悟提高
方法与技巧
1. 根据函数的单调性的定义,证明(判定)函数f(x)在其区间上的 单调性,其步骤是: (1)设x1, x2是该区间上的任意两个值,且x1<x2(或x1>x2); (2)作差f(x1)-f(x2),然后变形; (3)判定f(x1)-f(x2)的符号; (4)根据定义得出结论. 2. 求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域,函数的单调区间都是其定义域 的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调 区间.常用方法:根据定义,利用图象和单调函数的性质,还 可以利用导数的性质. 3. 复合函数的单调性 对于复合函数 y = f(g(x)) ,若 t = g(x) 在区间 (a , b) 上是单调 函数,且 y = f(t) 在区间 (g(a) , g(b)) 或者 (g(b) , g(a)) 上是单调函 数,若 t = g(x) 与 y = f(t) 的单调性相同 ( 同时为增或减 ) ,则 y = f(g(x))为增函数;若t=g(x)与y=f(t)的单调性相反,则y=f(g(x)) 为减函数.简称为:同增异减.

感悟提高
失误与防范

1 .函数的单调区间是指函数在定义域内的某 个区间上单调递增或单调递减.单调区间要分开写, 即使在两个区间上的单调性相同,也不能用并集表 示. 2.两函数f(x), g(x)在x∈(a,b)上都是增(减)函 数,则f(x)+g(x)也为增(减)函数, 但f(x)· g(x),
1 f ( x)



的单调性与其正负有关,切不可盲目类比.

三、解答题 1 1 1.已知函数 f(x)= - (a>0,x>0), a x
(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; (2)若 f(x)在 [ 1 , 2] 上的值域是 [ 1 , 2] ,求 a 的值.

2

2

(1)证明:设 x2>x1>0,设 x2-x1>0,x1x2>0, 1 1 x2-x1 1 1 1 1 ) ? ( ? )= - = ∵f(x2)-f(x1)= ( ? >0, x x x x 1 2 1 2 a x2 a x1 ∴f(x2)>f(x1),∴f(x ) 在 (0 ,+ ∞ ) 上是单调递增的. ax 8.试讨论函数 f(x )= 2 ,x∈(-1,1) 的单调性(其中 a≠0). 1 1 x 上的值域是 -1 (2)解: ∵f(x)在 [ , 2] [ , 2] , 2 2 解:设-1<x1<x2<1, 又 f(x)在 [ 1 , 2] 上单调递增, a? x2-x1??x1x2+1? ax1 ax2 22)= 2 - 2 = 2 则 f(x1)-f(x . x1-1 x2-1 ?x1-1??x2 - 1 ? 2

2.已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 a,b∈[- f?a?+f?b? 1, 1],a+b≠0 时,有 >0 成立. a+b (1)判断 f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明它; 1 1 (2)解不等式:f(x+ )<f( ); 2 x-1

1.函数单调性的定义
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域 I内的 某个区间D内的任意两个自变量x1、x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数. 设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内 的某个区间D内的任意两个自变量x1、x2, 当x1<x2时, 都有f(x1)>f(x2) , 那么就说f(x)在区间D上是增函数.

2. 函数的单调性的判定方法: (1)利用单调性定义(证明函数f(x)在给定的区间 (先判断定义域)D上的单调性的一般步骤) ①任取x1, x2∈D,且x1<x2; ②作差f(x1)-f(x2); ③变形; ④判号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ⑤定论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性).

(2)常见函数的单调性规律总结 若函数f(x),g(x)在给定的区间D上具有单调性,

①k > 0 时 , 函数 y=f(x) 与 y=kf(x)+b 具有相 同的单调性; ②若 f(x) 恒为正或恒为负时 , 函数 f(x) 与 1/f(x)具有相反的单调性. ③ 若 函 数 f(x),g(x) 都 是 增 ( 减 ) 函 数 , 则 f(x)+g(x)仍是增(减)函数. ④奇函数在对称的区间上有相同的单调性, 偶函数在对称的区间上有相反的单调性. ⑤复合函数f[g(x)]的单调性由f(x)和g(x)的 单调性共同决定(同则增异则减) .

⑤复合函数单调性的判断 复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:
u ? g ( x)

增↗ 增↗

减↘ 增↗ 减↘ 减↘ 减↘ 增↗ 减↘

y ? f (u )
y ? f [ g ( x)]

增↗

?以上规律还可总结为:“同增异减”. 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间

2. 函数的单调性的判定方法: (3)导数法 ①若f(x)在某个区间内可导,当f '(x)>0 时, f(x)为增函数;当 f '(x) < 0时,f(x)为减 函数. ②若f(x)在某个区间内可导,当f(x)在 该区间上递增时,则f '(x)≥ 0;当f(x)在该 区间上递减时,则f '(x)≤0.

一、抽象函数的单调性与最值
例1. 已知定义在R上的函数y=f(x)满足, f(0)≠0 , 且当 x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R, f(a+b)= f(a) · f(b). (1)求f(0)的值;? (2)判断f(x)的单调性.

【1】若对一切实数x, y 都有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ). (1)求f(0)的值; (2)判定f(x)的奇数偶性. 【 2 】 若 函 数 f(x) 对 任 意 a, b∈ R 都 有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且当x>0 时, 有 f(x)>1. 求证: f(x) 是 R 上 的增函数. 【3】已知函数 f (x) 对于任何实数 x, y 都有 f (x+y)+f(x-y)=2f (x) f (y) 且 f (0)≠0. 求证: f (x) 是偶函数.

二、函数单调性的判定及证明
例2.判断函数 在区间(-1,1)上的单调性.

(1)求b的值; (2)判断函数f(x)的单调性; 2 2 f ( t ? 2 t ) ? f (2 t ? k) ? 0 (3)若对于任意t ∈ R, 不等式 恒成立,求实数k的取值范围.

x ? 2 ?b f ( x ) ? 例3. 设 2 x ?1 ? 2 为奇函数,且定义域为R.

【1】

走进高考
【 2 】 (09 湖 南 ) 变 式 2. 设 函 数 y ? f ( x) 在
(??, ??) 内有定义,对于给定的正数 K ,定义函数

? f ( x), f ( x) ? K , f K ( x) ? ? ? K , f ( x) ? K .

1 取函数 f ( x) ? 2 .当 K = 2
?x

时,函数 f K ( x) 的单调递增区间为( A. (??, 0)



B. (0, ??) C. (??, ?1) D. (1, ??)

二、高考热点聚焦
热点一:函数概念与抽象函数 【例 1】 函数 f ( x) 对于任意实数 x 满足条件

f ( x ? 2) ? 1 ,若 f (1) ? ?5 ,则 f ( f (5)) ? _______. f ( x)

【例 2】 已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上 的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? 5 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是( ) 2 1 5 A. 0 B. C. 1 D. 2 2

【例 3】函数 f ( x) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与
f ( x ? 1) 都是奇函数,则(

) (B) f ( x) 是奇函数 (D) f ( x ? 3) 是奇函数

(A) f ( x) 是偶函数 (C) f ( x) ? f ( x ? 2)

走进高考
(09山东)

【 16 】 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) , 满 足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 且 在 区 间 [0,2] 上 是 增 函 数 , 若 方 程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.

y

w.w.w.k.s.5. u.c.o. m

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

1.奇、偶函数的概念

一般地,如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x , f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做偶函数. 都有_______________ 一般地,如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x , f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数. 都有______________ 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称.

2.奇、偶函数的性质

相同 ,偶 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_____ 函数在关于原点对称的区间上的单调性_____ 相反 . (2)在公共定义域内,①两个奇函数的和是 ______,两 奇函数 个奇函数的积是偶函数; 偶函数 ; ②两个偶函数的和、积都是_________ 奇函数 . ③一个奇函数,一个偶函数的积是________

3.周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一 个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时, f(x) ,那么就称函数y=f(x)为周 都有f(x+T)=______ 期函数,称T为这个函数的周期. (2) 最小正周期:如果在周期函数 f(x) 的所有 存在一个最小 的正数,那么这个最小正 周期中 _____________ 数就叫做f(x)的最小正周期.

题 型一

函数奇偶性的判断

【例 1】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 9-x2+ x2-9; (2)f(x)=(x+1) 4-x (3)f(x)= . |x+3|-3
变式训练 1
2

1 -x ; 1+x

判断下列函数的奇偶性. 1-x 2+x (1)f(x)=lg ;(2)f(x)=(x-1) ; 1+x 2-x 2 ? x ? +x ?x>0?, lg?1-x2? (3)f(x)=? 2 (4)f(x)= 2 . |x -2|-2 ? ?x -x ?x<0?;

探究提高
判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充 分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是有利的; (2)判断f(x)与 f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运 算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 (f(x)+f(-x)= 0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数, 分段函数奇偶性的判断,要分别从x>0或x<0来寻找等式f(-x)= f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关 系时,分段函数才具有确定的奇偶性.

题 型二

函数的单调性与奇偶性

【例 2】定义在(-1, 1)上的函数 f(x).

x? y ); (ⅰ)对任意 x,y∈(-1, 1)都有:f(x)+f(y)= f ( 1 ? xy
(ⅱ)当 x∈(-∞,0)时,f(x)>0,回答下列问题. (1)判断 f(x)在(-1, 1)上的奇偶性,并说明理由; (2)判断函数 f(x)在(0, 1)上的单调性,并说明理由; 1 1 (3)若 f ( ) = ,试求 f ( 1 ) ? f ( 1 ) ? f ( 1 ) 的值. 5 2 2 11 19
变式训练 2
函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数, 且当 x∈(0, +∞)时是增函数, 若 f(1)=0, 1 求不等式 f[x(x- )]<0 的解集. 2 解:∵y=f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,

题 型三

函数的奇偶性与周期性

【例 3】 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且对任意实数 x, 恒有 f(x +2)=-f(x).当 x∈[0, 2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2, 4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 011).

变式训练 3

1 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=- , f?x? 当 2≤x≤3 时,f(x)=x,则 f(105.5)=________. 答案 2.5

答题规范
等价转换要规范

(14 分)函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0}, 且满足对于任意 x1, x2∈D.有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)=1, f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 且 f(x)在(0, +∞) 上是增函数,求 x 的取值范围.
审题视角 (1)从f(1)联想自变量的值为1,进而想到赋值x1=x2=1. (2)判断f(x)的奇偶性, 就是研究f(x), f(-x)的关系. 从而想到 赋值x1=-1,x2=x. 即f(-x)=f(-1)+f(x). (3)就是要出现f(M)<f(N)的形式,再结合单调性转化为M<N 或M>N的形式求解.

答题规范
等价转换要规范

解 :(1) 令 x x2=1, 1= 解 :(1) 令 x 1=x2=1, 解:(1) :(1)令 令x x1 =x x2 =1 1, , 1= 2= 解 解 :(1) 令 x = x = 1 , 1 2 有 f (1 ? 1) = f (1)+ +f f(1) (1),解得 ,解得 f f(1) (1)= =0. 0. [2 分 分] ] 有 f (1 ? 1) = f (1) [2 有f f(1 (1? ?1) 1)= =f f(1) (1)+ +f f(1) (1),解得 ,解得 f f(1) (1)= =0. 0. [2 分 分] ] 有 [2 有 f (1 ? 1) = f (1) + f (1) ,解得 f (1) = 0. [2 分 ] (2) f ( x ) 为偶函数,证明如下: [4 分 分] ] 2=1, (2) f ( x ) 为偶函数,证明如下: [4 (2)f f( (x x) )为偶函数,证明如下: 为偶函数,证明如下: [4 分 分] ] (2) [4 (2) f (1 x )为偶函数,证明如下: [4 分] f(1)+ f(1) ,解得 f(1) =0. [2 分] 令 x = x =- 1 , 2 令 x 1=x2=-1, 令x x1 =x x2 =-1 1, , 1= 2=- 令 令 x = x =- 1 , 函数,证明如下: 分 ],解得 f(-1)=0. 1 -1)× 2 (-1)]=f(-1)+f[4 有 f [( ( - 1) 有 f [( - 1)× ( - 1)] = f ( - 1) + f ( - 1) ,解得 f ( - 1) = 0. 有 f [( - 1)× ( - 1)] = f ( - 1) + f ( - 1) ,解得 f ( - 1) = 0. 有 f [( - 1)× ( - 1)] = f ( - 1) + f ( - 1) ,解得 f ( - 1) = 0. 有 f [( - 1)× ( - 1)] = f ( - 1) + f ( - 1) ,解得 f ( - 1) = 0. -1, 令 x 1 , x2= =x x,有 ,有 f f( (- -x x) )= =f f( (- -1) 1)+ +f f( (x x) ), , 1=- 令 x =- 1 , x 1 2 令 x =- 1 , x =x x,有 ,有 f f( (- -x x) )= =f f( (- -1) 1)+ +f f( (x x) ), , 1 2= 令 x =- 1 , x 1 2 令 x =- 1 , x = x ,有 f ( - x ) = f ( - 1) + f ( x ) , 1 x 2 -1)]∴ =f(- 1) +f(x - 1)∴ ,解得 f(-1)=0. ) = ) . f( (x x) )为偶函数. 为偶函数. [7 分 分] ] ∴ f ( - x ) = f ( x ) . ∴ f [7 ∴f f( (- -x x) )= =f f( (x x) ). .∴ ∴f f( (x x) )为偶函数. 为偶函数. [7 分 分] ] ∴ [7 ∴ f ( - x ) = f ( x ) . ∴ f ( x ) 为偶函数. [7 分 ] ,x2= x,有 f4) (- xf )(4) =f (- 1)+ f (, x), (3) f (4 ? = + f (4) = 2 (3) f (4 ? 4) = f (4) + f (4) = 2 , (3) f (4 ? 4) = f (4) + f (4) = 2 , (3) f (4 ? 4) = f (4) + f (4) = 2 , (3) f (4 ? 4) = f (4) + f (4) = 2 , x).∴ f(x )为偶函数. [7 分] f (16 ? 4) = f (16) + f (4) = 3. [8 分 分] ] f (16 ? 4) = f (16) + f (4) = 3. [8 f(16 (16? ?4) 4)= =f f(16) (16)+ +f f(4) (4)= =3. 3. [8 分 分] ] f [8 f (16 ? 4) = f (16) + f (4) = 3. [8 分 ] f(4)+f(4)=2,

∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数.
(3) f(4 ? = f(4) + f(4) = 2, (3) f(4 ? 4)4) = f(4) + f(4) = 2,

[7 分]

f(16 ? = f(16) + f(4) = 分 f(16 ? 4)4) = f(16) + f(4) = 3.3. [8[8 分 ]] 由 f (3 x + 1) + f (2 x - 6) ≤ 3 , 由 f (3 x + 1) + f (2 x - 6) ≤ 3 , 由 f (3 x + 1) + f (2 x - 6) ≤ 3 , 由 f (3 x + 1) + f (2 x - 6) ≤ 3 , 由 (3 x + 1) + (2 x - 6) ≤ 3 , 由 ff (3 x + 1) + ff (2 x - 6) ≤ 3 , 由 f (3 x + 1) + f (2 x - 6) ≤ 3 , 变形为 f [(3 x + 1)(2 x - 6)] ≤ f (64) . (*) 变形为 f [(3 x + 1)(2 x - 6)] ≤ f (64) . (*) 变形为 f [(3 x + 1)(2 x - 6)] ≤ f (64) . (*) 变形为 f [(3 x + 1)(2 x - 6)] ≤ f (64) . (*) 变形为 [(3 x + 1)(2 x - 6)] ≤ (64) . (*) 变形为 ff [(3 x + 1)(2 x - 6)] ≤ ff (64) . (*) 变形为 f [(3 x + 1)(2 x - 6)] ≤ f (64) . (*) ∵ f ( x ) 为偶函数, ∴ f ( - x ) = f ( x ) = f (| x |) . ∵ f ( x ) 为偶函数, ∴ f ( - x ) = f ( x ) = f (| x |) . ∵ f ( x ) 为偶函数, ∴ f ( - x ) = f ( x ) = f (| x |) . ∵ f ( x ) 为偶函数, ∴ f ( - x ) = f ( x ) = f (| x |) . ∵ x 为偶函数, ∴ - x = x = (| x |) . ∵ ff (( x )) 为偶函数, ∴ ff (( - x )) = ff (( x )) = ff (| x |) . ∵ f ( x ) 为偶函数, ∴ f ( - x ) = f ( x ) = f (| x |) . ∴ 不等式 (*) 等价于 f (|(3 x + 1)(2 x - 6)|) ≤ f (64) . [9 分 ] ∴ 不等式 (*) 等价于 f (|(3 x + 1)(2 x - 6)|) ≤ f (64) . [9 分 ] ∴ 不等式 (*) 等价于 f (|(3 x + 1)(2 x - 6)|) ≤ f (64) . [10 分 ] ∴ 不等式 (*) 等价于 f (|(3 x + 1)(2 x - 6)|) ≤ f (64) . [9 分 ] ∴ 不等式 (*) 等价于 (|(3 x + 1)(2 x - 6)|) ≤ (64) . [9 分 ∴ 不等式 (*) 等价于 ff (|(3 x + 1)(2 x - 6)|) ≤ ff (64) . [9 分 ]] ∴ 不等式 (*) 等价于 f (|(3 x + 1)(2 x - 6)|) ≤ f (64) . [9 分 ] 又 ∵ f ( x ) 在 (0 ,+ ∞ ) 上是增函数, 又∵ ∵f f( (x x) )在 在(0 (0,+ ,+∞ ∞) )上是增函数, 上是增函数, 又 又 ∵ f ( x ) 在 (0 ,+ ∞ ) 上是增函数, 又 ∵ x 在 (0 ,+ ∞ 上是增函数, 又 ∵ ff (( x )) 在 (0 ,+ ∞ )) 上是增函数, 又 ∵ f ( x ) 在 (0 ,+ ∞ ) 上是增函数, ∴ |(3 x + 1)(2 x - 6)| ≤ 64 ,且 (3 x + 1)(2 x - 6) ≠ 0. ∴ |(3 x + 1)(2 x - 6)| ≤ 64 ,且 (3 x + 1)(2 x - 6) ≠ 0. ∴ |(3x + 1)(2x x- -6)| ≤ 64 ,且 (3x x+ 1)(2x x- -6) 6)≠ ≠0. 0. ∴ |(3 x + 1)(2 6)| ≤ 64 ,且 (3 + 1)(2 ∴ |(3 x + 1)(2 x - 6)| ≤ 64 ,且 (3 x + 1)(2 x - 6) ≠ 0. ∴ |(3 x + 1)(2 x - 6)| ≤ 64 ,且 (3 x + 1)(2 x - 6) ≠ 0. 7 1 1 ∴ |(3 x + 1)(2 x - 6)| ≤ 64 ,且 (3 x + 1)(2 x - 6) ≠ 0. 7 1 1 7 1 1 解得- ≤ x < - 或- < x <3 或 3< x ≤ 5. 7 1 1 解得-3 ≤x x< <- -3 或-3 <x x<3 <3 或 或 3< 3<x x≤ ≤5. 5. 7 1 1 7 1 1 解得- ≤ 或- < 7 1 1 3≤ 3或- 3< 解得- x < - x <3 或 3< x ≤ 5. 解得- ≤ x < - 或- < x <3 或 3< x ≤ 5. 3 3 3 解得- ≤ x < - 或- < x <3 或 3< x ≤ 5. 解得- ≤ x < - 或- < x <3 或 3< x ≤ 5. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 7 1 1 3 3 {x|- 37 7≤x<- 1 1或-1 1<x<3 或 3<x≤5}.[12 分] ∴ x 的取值范围是 7 1 1 ∴x x 的取值范围是 的取值范围是{ {x x||- -3 ≤x x< <- -3 或-3 <x x<3 <3 或 或 3< 3<x x≤ ≤5}.[12 5}.[12 分 分] ] 7 1 1 7 1 1 ∴ ≤ 或- < 7 1 1 3 3 3 ∴ x { x | ≤ x < - 或- x <3 或 3< x ≤ 5}.[12 分 ] ∴ x 的取值范围是 { x ≤ x < - 或- < x <3 或 3< x ≤ 5}.[14 分 3 3 3< ∴ x 的取值范围是 { x ||- - ≤ x < - 或- < x <3 或 3< x ≤ 5}.[12 分 ]] ∴ x的取值范围是 的取值范围是 { x |- - ≤ x < - 或- < x <3 或 3< x ≤ 5}.[12 分 ] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

批阅笔记
数学解题的过程就是一个转换的过程.解题质量的高 低,取决于每步等价转换的规范程度.如果每一步等价转 换都是正确的、规范的,那么这个解题过程就一定是规范 的.等价转化要做到规范,应注意以下几点: (1)要有明确的语言表示.如“M‖等价于“N‖,“M‖ 变形为“N‖. (2) 要写明转化的条件.如本例中:∵f(x) 为偶函数, ∴不等式(*)等价于f(|(3x+1)(2x-6)|)≤f(64). (3) 转化的结果要等价.如本例:由于 f(|(3x + 1)(2x - 6)|)≤f(64)?|(3x + 1)(2x - 6)|≤64 ,且 (3x + 1)(2x - 6)≠0. 若漏 掉(3x+1)(2x-6)≠0,则这个转化就不等价了.

感悟提高
方法与技巧 1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两 个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数 或偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依 据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行 化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x)?f(-x)±f(x) f (? x ) =0? f ( x ) =±1(f(x)≠0). 3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y轴对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象 的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.

感悟提高
失误与防范

1 .判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定 义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函 数具有奇偶性的一个必要条件. 2.判断函数 f(x)是奇函数,必须对定义域内的 每一个 x ,均有 f( - x) =- f(x) ,而不能说存在 x0 使 f(-x0)=-f(x0).对于偶函数的判断以此类推. 3 .分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点 进行判断,不可以利用函数在定义域某一区间上不 是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.

a 1.已知函数 f(x)=x + (x≠0). x
2

(1)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 f(1)=2,试判断 f(x)在[2,+∞)上的单调性.

解: (1)当 a=0 时,f(x)=x2,f(-x)=f(x) ,函数是偶函数. 2 a 当 a≠0 时,f(x)=x + (x≠0,常数 a∈R), 2.已知函数 f(x)是定义在 R x 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=取 1 对称. x=± 1,得 f(-1)+f(1)=2≠0; (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; f(-1)-f(1)=-2a≠0, (2)若 f(x)= x (0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解 ∴ f ( - 1) ≠ - f (1) , f ( - 1) ≠ f (1) . 析式. ∴函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (1)证明 :由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,

3.函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1, x2∈D, 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1, f(x-1)<2, 且 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 求 x 的取值范围. 解: (1)∵对于任意 x1,x2∈D, 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1), ∴f(1)=0.

1.奇函数、偶函数的概念 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一 f(-x)= f(x) ,那么函数f(x)就叫 个x,都 有_______________ 做偶函数. 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一 f(-x)=-f(x) 个x,都 有_______________ ,那么函数f(x)就叫 做奇函数.

2. 函数奇偶性的判定

?定义法 ①考查函数定义域是否关于原点对称; ②判断f(-x)=±f(x)之一是否成立; ③作出结论.
f ( x) f ( x ) ? f (? x ) ? 0, ? ?1. f (? x )

?图象法:画出函数图象

?利用性质

3.性质: (1)奇函数、偶函数的图象特点 ?一个函数为奇函数?它的图象关于原点对称. ?一个函数为偶函数?它的图象关于y 轴对称. (2)在定义域的关于原点对称的公共区间内 ?奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶. ?偶?偶=偶;奇?奇=偶;偶?奇=奇. (3)奇偶性与单调性的关系 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同 的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有 相反的单调性.

4.任意一个定义域关于原点对称的函数,总可以表 示成一个奇函数与一个偶函数的和. ( 1 )设函数 f(x) 的定义域关于原点对称 , 判断 下列函数的奇偶性:
f ( x ) ? f (? x ) f ( x ) ? f (? x) ② G( x ) ? ① F ( x) ? 2 2 f ( x) ? f (? x ) f ( x) ? f (? x) (2) f ( x ) ? ? 2 2

0 5. 对于奇函数f(x),若x能取到零,则f(0)=__. 6. 若f(x)为偶函数,则 f ( ? x ) ? f ( x ) ? f (| x |).

【 例 3 】 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) , 满 足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 且 在 区 间 [0,2] 上 是 增 函 数 , 若 方 程 f(x)=m (m >0)在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.

w.w .w.k .s. 5 .u .c.o.m

y

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

(

)

例1.判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) ? 1 ? x 2 ? x 2 ? 1

解:函数的定义域为{-1, 1}, ? f (?1) ? f (1) ? ? f (1) ? 0.

∴ f(x)既是偶函数, 又是奇函数.
(2)f(x)=|x+1|-|x-1|
解 : ? f (? x)

? ? f ( x). 所以函数 f(x) 为奇函数.

?| ? x ? 1| ? | ? x ? 1| ?| x ? 1| ? | x ? 1|

y
2 -1

o
-2

1

x

2 ? ? ?1 ≤ x ≤ 1, ? 1 ? x ≥ 0, 解:(1)由 ? ?? ? ?1 ≤ x ≤ 1, 且x ? 0. ? ? x ? 2 ? 2 ? 0. ? x ? 0, 且x ? ?4.

∴定义域为[-1,0)∪(0,1].
2 2 1 ? x 1 ? x (2) ? f ( x ) ? ? , ( x ? 2) ? 2 x
2 1 ? ( ? x )2 1 ? x 又 ? f (? x ) ? ?? , ?x x

即f(-x)= - f(x). 所以函数 f(x) 为奇函数. 点评:判断函数是否具有奇偶性,先看定义域是 否关于原点对称,其次要对解析式进行化简.

例2.定义在[-1,1]上的函数f(x) 是奇函数,并且在[1,1] 上f(x)是增函数,求满足条件f(1-a)+f(1-a2)≤0 的 a 的取值范围.

[变式练习] 【1】定义在[-2,2]上的偶函数f(x), 当
x≥0时, f(x)单调递减,若 f(1-m)<f(m) 成立,求 m 的取值范围.

【2】若函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,
且在区间(-∞,0]上是减函数,又f(2a-1) > f(3-a), 则a的取值范围是______________.

例4.已知f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x, 求当 x<0时,f(x)的解析式,并画出此函数f(x) 的图象.
[练习]【1】已知 f(x) 是定义在R上的奇函数,

当x>0时, f(x)=x2+x-1, 求函数f(x)的表 达式.
【 2 】已知 f (x) 是偶函数 ,g(x) 是奇函数, f ( x) x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式 g( x) ? 0

的解集是_______________.

【3】f(x)是R上偶函数, 且在[0,+∞)上是 [练习] 增函数, f(0.5)=0,则不等式 f (log 4 x ) ? 0 的解 集为__________.
【1】

1. 二次函数的定义与解析式
(1)二次函数的定义 形如:f(x)=ax2+bx+c (a≠0)的函数叫做二次函数.

(2)二次函数解析式的三种形式
y=ax2+bx+c (a≠0) ①一般式:__________________. ②顶点式:__________________, (m, n) y=a(x-m)2+n(a≠0) 顶点为______. x1, x2 是 ③零点式:____________________, y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 其中_______ 方程ax2+bx+c=0的两根.

2.二次函数的图象和性质
图象
定义域 值域 奇偶性 a>0

函数性质
x∈R(个别题目有限制的,由解析式确定) a<0

b=0时为偶函数, b≠0时既非奇函数也非偶函数 a>0 a<0 上递增 上递减

单调性

上递减 上递增

图象 特点 ①对称轴:______②顶点:_________

3.二次函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0)与轴两交点的距离 当Δ=b2-4ac>0时,图象与x轴有 两个交点M1(x1, 0) , M2(x2, 0),
4. 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m, n]上的最值 (1)若 ∈[m, n], 则

f(x)min= f(x0)= (2)若 ?[m, n], 则
①当 x0<m 时, f(x)min=f(m), f(x)max=f(n); ②当 x0>n 时, f(x)min=f(n), f(x)max=f(m).

求二次函数的解析式 题 型一 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1, 且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数.

探究提高
二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c (a≠0); (2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k (a≠0); (3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 已知函数的类型(模型),求其解析式,用待定系数法,根据 题设恰当选用二次函数解析式的形式,可使解法简捷.

变式训练 1
设f (x)是定义在 R 上的偶函数,当 0≤x≤2 时,y=x,当 x>2 时,y=f (x)的图象 是顶点为 P (3,4) ,且过点 A (2,2) 的抛物线的一部分.

(1)求函数 f (x)在(-∞,-2)上的解析式; (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数 f (x)的草图; (3)写出函数 f (x)的值域.

二次函数的图象与性质 题 型二 【例2 】已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4, 6]. (1)当a=-2时,求f(x)的最值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4, 6]上是单 调 函数; (3)当a=1时, 求f(|x|)的单调区间.

变式训练 2

已知函数f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0, 1] 内有一个最大值-5,求a的值.

题 型 三 二次函数的综合应用 【例3】 若二次函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0) 满足 f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)若在区间[-1, 1]上,不等式 f(x)>2x+m恒成立, 求实数m的取值范围.
变式训练 3 已知函数 f(x)=x2+mx+n 的图象过点(1, 3),且 f(-1+x)=f(-1- x)对任意实数都成立,函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于原点对称.
(1)求 f(x)与 g(x)的解析式; (2)若 F (x)=g(x)-λ f (x)在(-1,1]上是增函数, 求实数λ 的取值范围.

思想与方法
分类讨论在二次函数中的应用

(14 分)设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围; (2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出 演算步骤)不等式 h(x)≥1 的解集.

审题视角

(1)求 a的取值范围,是寻求关于 a的不等式, 解不等式即可; (2)求f(x)的最小值,由于f(x)可化为分段函数, 分段函数的最值分段求,然后综合在一起. (3)对a讨论时,要找到恰当的分类标准.

分类讨论在二次函数中的应用
批阅笔记

分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法 之一.本题充分体现了分类讨论的思想方法.在解答本题 时有两点容易造成失分 : 一是求实数 a 的值时,讨论的 过程中没注意a自身的取值范围,易出错;二是求函数 最值时,分类讨论的结果不能写在一起,不能得出最 后的结论.除此外,解决函数问题时,以下几点容易造成 失分: 1.含绝对值问题,去绝对值符号,易出现计算错误; 2.分段函数求最值时要分段求,最后写在一起时, 没有比较大小或不会比较出大小关系; 3.解一元二次不等式时,不能与一元二次函数、一元 二次方程联系在一起,思路受阻.

感悟提高
方法与技巧
1.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法. 特别是涉及二 次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思路. 2. 含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨 论.比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系,又例 如涉及二次不等式需讨论根的大小等. 3.关于二次函数 y=f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(x1)= x1+x2 f(x2),那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x= . 2 (2)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(a+x)= f(a-x)成立,那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x=a(a 为 常数).

感悟提高
方法与技巧

(3)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(x+ 2a)=f(x),那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x=a(a 为 常数).注意:(2)(3)中, f(a+x)=f(a-x)与 f(x+2a)=f(x) 是等价的. 2 (4)利用配方法求二次函数 y=ax +bx+c (a≠0)对称轴 b 方程为 x=- ; 2a (5)利用方程根法求对称轴方程.若二次函数 y=f(x)对 应方程为 f(x)=0 两根为 x1, x2,那么函数 y=f(x)图象的对 x1+x2 称轴方程为 x= . 2

感悟提高
失误与防范
1.求二次函数的单调区间时要用配方法,要熟练准确利用配方法. 2.对于函数 y=ax2+bx+c 要认为它是二次函数,就必须认定 a≠0, 当题目条件中未说明 a≠0 时,就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况. 3.对于二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)给定了定义域为一个区间[k1, 4ac-b2 k2]时,利用配方法求函数的最值 是极其危险的,一般要讨论函数 4a b 图象的对称轴在区间外、内的情况,有时要讨论下列四种情况:①- 2a k1+k2 b k1+k2 b b <k1;②k1≤- < ;③ ≤- <k2;④- ≥k2. 2a 2 2 2a 2a 对于这种情况,也可以利用导数法求函数在闭区间的最值方法求最值. 这两种方法运算量相当. 4.注意判别式作用,正确利用判别式.

三、解答题
1.是否存在实数 a,使函数 f(x)=x2-2ax+a 的定义域为 [-1, 1]时, 值域为[-2, 2]?若存在, 求 a 的值; 若不存在, 说明理由.
2.已知二次函数 f(x)=ax2+bx (a,b 为常数,且 a≠0),满足条件 f(1+x)=f(1-x) ,且方程 f(x)=x 有等根.(1)求 f(x)的解析式;(2)是否 存在实数 m,n(m<n), 使 f (x )的定义域和值域分别为[ m,n]和 [3m,3n],如果存在,求出 m、n 的值,如果不存在,说明理由.
3.已知关于 x 的二次函数 f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t.

(1)求证:对于任意 t∈R,方程 f(x)=1 必有实数根; 1 3 (2)若 <t< , 求证:方程 f(x)=0 在区间(-1,0)及 (0, 1 ) 上各有一个实根. 2 4 2

1. 二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 实根分布问题
涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布问题, 一般情况下要从四个方面考虑:

① f(x) 图象的开口方向;
②方程 f(x)=0的判别式; ③ f(x) 图象的对称轴与区间的关系; ④区间端点处函数值的符号.

1. 二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 实根分布问题 记 f(x)=ax2+bx+c(a>0)
①方程 f(x)=0 有两正根 ?

②方程 f(x)=0 有两负根 ?

③方程 f(x)=0 有一正根一负根 ?

根的分布

图象

充要条件

根的分布

图象

充要条件

根的分布

图象

充要条件

两个实根有 且仅有一根 在区间 内

2. 二次函数图象和性质 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 向上 a<0时,开口_____ 向下 . (1)开口方向: a>0时,开口____, (2)顶点、对称轴: 顶点坐标为_____________ ;对称轴方程为________ . (3)与坐标轴的交点 (0, c) ①与y轴的交点是________; ②当Δ>0时,与x轴两交点的横坐标x1、x2分别是 方程ax2+ bx+c=0的两根.且|x1-x2|=______; ③当Δ=0时,与x轴切于一点________; 不相交. ④当Δ<0时,与x轴_______ (4)在对称轴的两侧单调性相反. (5)当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数.

3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式 三者之间的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 Δ=b2-4ac
y

二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 方程ax2+bx +c=0的根

y

y

x1 o

x2 x

2

o

x1

x

o

1

x

有两不等实 根x1, x2

有两相等 实根x1=x2

无实根

ax2+bx+c>0 {x|x<x , x>x } {x|x≠x } 2 1 1 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 {x|x1<x<x2} ? (a>0)的解集

R ?

4. 不等式 ax2+bx+c>0 恒成立问题
① ax2+bx+c>0在R上恒成立 ? ② ax2+bx+c<0在R上恒成立 ? ③ f(x)=ax2+bx+c>0(a>0) 在 [m, n] 上恒成立

? f(x)min>0(x∈[m, n])
④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0) 在 [m, n] 上恒成立?

【例1】 已知函数 上的最大值是2,求实数 a 的值.

y ? ? x 2 ? ax ? a ? 1 在区间[0, 4 2

1]

[练一练]已知函数f(x)=-x2+8x,求函数f(x)在区间 [t, t+1] 上的最大值h(t).

例2.设不等式 mx2-2x- m+1<0 对于满足|m|≤2的一切 值都恒成立,求实数 x 的取值范围. 解:设 f(m)=mx2-2x-m+1, 则 f(m)是一个以m为自变量的一次函数,其图象 是直线,由题意知该直线当-2≤m≤2时,线段在x轴下 方,

所以实数 x 的取值范围是 【点评】解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量, 谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁 的范围,谁就是参数.

练一练

1 ≤ x ≤ 2时,不等式ax 2 ? 2 x ? 2 ? 0恒成立, 当 【1 】 2 则实数a的取值范围是________.

【2】若方程x2-2x=k在区间[-1,1]上有解,则实数 k的取值范围为_____________.
【3】方程x2-mx+1=0的两根为α,β且 则实数m的取值范围是____________. 例3.已知函数f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合M={m|使方程f(x)=mx有四个不相等的实根}.

? ? 0, 1 ? ? ? 2,

不等式恒成立问题 2 例4. 关于x的不等式 2 x ? 9 x ? m ≤ 0 在区间[ 2, 3] m≤9 上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
解:m≤-2x2+9x在区间[2,3]上恒成立,

记 g ( x) ? ?2 x2 ? 9 x, x ?[2,3],
? gmin ( x) ? g(3) ? 9, ? m ≤ 9. (1)变量分离法(分离参数)
【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题,如果能够将 不等式中的变量和参数进行剥离,即使变量和参数分别位于不 等式的左、右两边,然后通过求函数的值域的方法将问题化归 为解关于参数的不等式的问题.

则问题转化为 m≤g(x)min

不等式恒成立问题 2 例4. 关于x的不等式 2 x ? 9 x ? m ≤ 0 在区间[ 2, 3] 上恒成立,则实数m的取值范围是_______. m≤9 2 解:构造函数 f ( x ) ? 2 x ? 9 x ? m, x ? [2, 3],
问题等价于f(x)max≤0,
2 9 ? f ( x ) ? 2( x ? ) ? m ? 81 , x ? [2,3], 4 8

y

? fmax ( x) ? f (3) ? m ? 9 ≤ 0,

o

2

? m ≤ 9.
(2)转换求函数的最值

.

.

3

x

不等式恒成立问题 2 例4. 关于x的不等式 2 x ? 9 x ? m ≤ 0 在区间[ 2, 3] m≤9 上恒成立,则实数m的取值范围是_______. 2 解:构造函数 f ( x) ? 2 x ? 9 x ? m, x ?[2,3],


? f (2) ≤ 0 ? ? f (3) ≤ 0
o

y

? ?10 ? m ≤ 0 ? m ≤ 9. ?? ? ?9 ? m ≤ 0

2

.

.

3

x

(3)数形结合思想

不等式恒成立问题 2 例4. 关于x的不等式 2 x ? 9 x ? m ≤ 0 在区间[ 2, 3] 上恒成立,则实数m的取值范围是_______. m≤9 解:据题意, ? ? 81 ? 8m ≥ 0,
不等式解集为:[ 9 ? 81 ? 8m , 9 ? 81 ? 8m ]
A 2

4

4

? 9 ? 81 ? 8m ≥3 ? ? 4 由已知得: ? ? 9 ? 81 ? 8m ≤ 2 ? ? 4

3

? m ≤ 9.

(4)不等式解集法

22.(14分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c. (1)若f(-1)=0,试判断函数f(x)零点个数; (2)是否存在a,b,c∈R,使f(x)同时满足以下条件: i.对 x∈R, f(x-4)= f(2-x), 且f(x)≥0,1 ii. 对 x∈R,都有 0 ≤ f(x)- x ≤ (x-1)2, 2 若存在,求出a,b,c的值;若不存在,请说明理由。

付价格 S 是多少?(净收入=获赔金额-经济损失) . (本小题满分 14 分) 2 已知二次函数 f ( x14 ) ?分 ax 22 . (本小题满分 ) ? bx ? c . 2 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx . ? c 2 f ( x) ? ax f? ?c . (bx x) 零点个数; (I)若 已知二次函数 f ? ?1? ? 0 ,试判断函数

(I)若 f ? ?1? ? 0 ,试判断函数 f ( x ) 零点个数; ( x) 零点个数; (I)若 f ? ?a ,试判断函数 1, ? 0? ?b ,c R ,使 f ( x) f (Ⅱ)是否存在 同时满足以下条件

走进高考 ? x ≥ 1, ?x , (2007 ? 浙江,理 , g(x f (? x) f ? (2 f) 是二次函数,若 ( x) ≥ 0 , f ( g ( x)) ? x? R, f (10 x)设 ? 4) ①对 ? ? x) ,且 xf 1 1,且 f 2(,若存在, x) ≥ 0 , ? ?x ?,都有 R, f (0 x≤ ? 4) ?x (2x? x) ①对 ? ?x ? R ②对 fx, ( )?? ≤ ( x ? 1) 2 2 1 g ( x ) 的值域是 ,则 的值域是( ) 0 ,∞ ? ? ? ②对 ?x ? R ,都有 0 ≤ f ( x) ? x ≤ ( x ? 1) ,若存在,求 2 1 2 ? x ? R 请说明理由 . ?1 , 都有 ,若存 0 ≤ f ( x ) ? x ≤ ( x ? 1) ?∞, ? 1 ,∞ ? ? ∞, ? 1 ? 0 ,∞ ? A. ?②对 B . ? ? ? ? ? ? 2?
? ? D. ?1,∞

(Ⅱ)是否存在 a, b, c ? R ,使 f ( x ) 同时满足以下条件 b,? c? R?,使 f ( xf)(同时满足以下条 (Ⅱ )x 是否存在 x ) ≥ 0, ? ? R, f ( x a ?,4) f (2 x ) ①对 ,且 2

C. ?0,∞ 说明理由 .? ?

1. 根式的概念
根式的概念
如果xn=a,那么 x 叫做 a 的n 次方根. n为奇数时,正数的奇次方根是 n 正数;负数的奇次方根是负数. n为偶数时,正数的偶次方 根有两个且互为相反数.

符号表示

备注 n>1,且 n∈N*.

a

零的n次方根是零 负数没有偶次方根

2. 两个重要公式 公式 (1) (n a )n ? a 适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R. 公式 (2)
? n ? 2 k ? 1, k ? N , a , ? n n a =? ?| a |,

②当n为大于1的偶数时, a≥0.

3. 幂的有关概念 幂指数 正整数 指数

a ? a ? a ?? ? a ? ? ?? ?
n n个a

定义

条件

n? N ,a ? R

?

零指数 负整数 指数 正分数 指数 负分数 指数

a ?1
0
m n

a?0
n? N ,a ? 0
?
m

a ? 1n a
?n

a
a
?m n

?

n

a
n

a>0,m,n?N*,n>1
a>0,m,n?N*,n>1

?

1 ? m an

1 am

规定: 0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂没有意义.

4.有理数指数幂的运算性质: (a>0, b>0, r, s?Q )

(1) a a ? a
r s
r s

r?s
rs

;
r

(2) (a ) ? a ;

(3) (ab) ? a b .
r r

5.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的性质: 当x>0时, 当x<0时, a >1 y>1. y 当x<0时,

0< a <1

0<y<1.

y

图 0<y<1. (0,1) y=1 象 y=1 (0,1) o x o x 1.定义域: 当x>0时, 性 2. 值域: y>1. 3.过点 , 即 x= 时 , y= 质 4.在R上是 函数 在R上是 函数

6.第一象限中,指数函数底数与图象的关系
y ? bx y ? ax

y

y ? cx y ? dx

o

x=1

x

图象从下到上,底数逐渐变大.

题 型 一 指数式与根式的计算问题 【例 1】计算下列各式的值.
-1 27 (1) ( ? ) + (0.002) -10( 5-2) +( 2- 3)0; 8

?2 3

?1 2

1 (2) -( 3-1)0- 9-4 5; 5+ 2
变式训练 1

(3)

ab

3 23 1 2 4

ab
?1 3

2 1 3

计算下列各式: 计算下列各式:
11 ?? 33

(a b ) a b

1 4

(a ? 0, b ? 0) .
22 33

00 0.25 6 2) ; 7 0.25 4 3 2 ? 3)6 4 2 ?( 3 2 7 ? ( (1) 1.5 ? ( ? ) ? 8 ? (1) 1.5 ? (? ) ? 8 ? 2 ? ( ) ;

6 6

3 3

(2) (2)

ab? ?4 4 b aa ??22 ab b
33

22 33

aa ? a ?8 8 ab b

44 33

11 33

22 33

3 b ) ? 3 a ( a ? 0, ? 0,b b? ? 0) 0). . ?(1 (1? ?2 23 a

题 型 二 指数函数的图象及应用 x xa 【例 2】(1)函数 y= (0<a<1)图象的大致形状是 ( |x|

)

(2)若函数 y=ax+b-1 (a>0 且 a≠1)的图象经过第 二、 三、 四象限,则 a, b 的取值范围是__________________.
x

(3)方程 2 =2-x 的解的个数是________.

变式训练 2

e +e (1)(2009 山东)函数 y= x -x的图象大致为( A ) e -e

x

-x

(2)k为何值时,方程|3x-1|=k无解?有一解?有两解?

题 型三

指数函数的性质及应用

【例3】设a>0且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1, 1]上 的最大值为14,求a的值.

(2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m

1 已知定义在 R 上的函数 f (x)=2x. 3 | x| 2 (1)若 f (x)= 2 ,求 x 的值;

变式训练 3

思想与方法
方程思想及转化思想在求参数中的应用
-2x+b (14 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

批阅笔记
(1) 根据 f(x) 的奇偶性,构建方程求参数体现了方程的 思想;在构建方程时,利用了特殊值的方法,在这里要注 意的是:有时利用两个特殊值确定的参数,并不能保证对

所有的x都成立.所以还要注意检验.
(2)数学解题的核心是转化,本题的关键是将f(t2-2t)+ f(2t2-k)<0等价转化为:t2-2t>-2t2+k恒成立.这个转化

考生易出错.其次,不等式 t2- 2t>- 2t2+ k恒成立,即对
一切t∈R有3t2-2t-k>0,也可以这样做:k<3t2-2t, t∈R, 只要k比3t2-2t的最小值小即可,而3t2-2t的最小值为-1/3, 所以k<-1/3.

感悟提高
方法与技巧

1 .单调性是指数函数的重要性质,特别是函数图 象的无限伸展性, x 轴是函数图象的渐近线.当 0<a<1 时, x→+∞,y→0;当a>1时,x→-∞,y→0;当a>1时,a的 值越大,图象越靠近 y 轴,递增的速度越快;当 0<a<1 时, a的值越小,图象越靠近y轴,递减的速度越快. 2 .画指数函数 y = ax(a>0 , a≠1) 的图象,应抓住三 个关键点:(1,a), (0, 1), ( ?1, 1 ) . a 3 .在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中, 要注意运用方程的观点处理问题,通过解方程(组)来求值, 或用换元法转化为方程来求解.

感悟提高
失误与防范

1.指数函数y=ax (a>0,a≠1)的图象和性质跟a 的 取 值 有 关 , 要 特 别 注 意 区 分 a>1 与 0<a<1 来 研 究. 2 .对可化为 a2x + b· ax + c = 0 或 a2x + b· ax + c≥0 (≤0)的指数方程或不等式,常借助换元法解决,但 应注意换元后“新元”的范围.

三、解答题
2
2 1 1

? ? ? 0.5 3 4 3 3 1.(1)计算:[ (3 ) - (5 9 ) + (0.008) ÷(0.02) 2 ? (0.32) 2 ] 8

÷ 0.062 5
(2)化简:
4 3 2 3 3

0.25
1 3


2 3

a ? 8a b 4b ? 2 ab ? a

? (a

?2 3

3 2 ? b )? a

a 3 a2
5

a3 a

(式中字母都是正数).

2.已知函数f(x)=3x,f(a+2)=18,g(x)=λ· 3ax-4x的 定义域为[0, 1]. (1)求a的值. (2)若函数g(x)在区间[0, 1]上是单调递减函数,求 实数λ的取值范围.

a - 3.已知函数 f(x)= 2 (ax-a x) (a>0,且 a≠1). a -1 (1)判断 f(x)的单调性; (2)验证性质 f(-x)=-f(x),当 x∈(-1,1)时,并应用该性质求 f(1-m)+f(1-m2)<0 的实数 m 的范围.

【01】

例2.讨论函数 其值域.

x2 ? 2 x 1 f ( x) ? ( ) 5

的单调性,并求

x a ? 2 ? a ? 2 为奇函数.求: 【例3】(12分)设函数 f ( x ) ? 2x ? 1

(1)实数a的值; (2)用定义法判断f(x)在其定义域上的单调性. 例4.求证函数

是奇函数,并求其值域.

?x e 知能迁移2 设 f ( x ) ? a ? a ? x 是定义在R上的函数. e

(1)f(x)可能是奇函数吗? (2)若f(x)是偶函数,试研究其单调性.

练一练
(2)

? 0 ?2 3 1 (1) (2 ) ? 2 ? (2 ) 2 ? (0.01)0.5 ? _________; 5 4

1

3

a ? a ? a ? a ?5 ? _______ .
3 10

?6

3

5 2

(3)函数f(x)=a-2x的图象经过原点,则不等式
f ( x ) ? 3 的解集是 4

.

变式训练
1 )| x ?1| y ? ( 【1】作出函数 的图象,求定义域、值域. 2

变式训练

(1) y ? 2
y

【2】说出下列函数的图象与指数函数 y=2x 的图 象的关系,并画出它们的示意图. ?x
?x

(2) y ? ?2
y

x

(3) y ? ?2
y

o o x (x,y)和(-x,y) 关于y轴对称!

x

o

x

( x ,y ) 和 ( x ,- y ) 关 于x轴对称!

( x ,y ) 和 ( - x ,- y ) 关 于原点对称!

(1) y ? 2
y
(0,1)

?x

(2) y ? ?2
y
(0,1)

x

(3) y ? ?2
y
(0,1)

?x

o

x

o

x

o

x

(1) y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y 轴 对称;

(2) y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x 轴 对称;
(3) y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 原 点 对称.

变式训练
【3】说出下列函数的图象与指数函数 y=2x 的图 象的关系,并画出它们的示意图.

(4) y ? 2 与 y ? 2
x

| x|

y

o

x

由 y=f(x) 的图象作 y=f(|x|) 的图象:保留y=f(x)中y 轴右侧部分,再加上这部分关于y轴对称的图形.

变式训练 x 2 【4】方程 2 ? x y 的解有_____ 3 个.

x 【点评】当判断方程 f (x) = g (x)的实根个数时, 我们可转化为判断函数y = f (x) 与函数 y = g (x)的 图像的交点的个数.

o

变式训练
【5】函数y=ax+2011+2011(a>0,且a≠1)的 图象恒过定点___________. 点评:函数y=ax+2011+2012的图象恒过定点 (-2011,2012),实际上就是将定点(0,1)向右平移 2011个单位,向上平移2011个单位得到. 由于函数y=ax(a>0,且a≠1)恒经过定 点 (0,1), 因此指数函数与其它函数复合会产生 一些丰富多彩的图象过定点问题.

1. 对数的概念 (1)对数的定义 如果ax=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底 x=logaN 其中____ a 叫做对数的底 N的对数, 记作_________, N 叫做真数. 数 ,____ (2) 几种常见对数 对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 特点 底数为a(a>0且a≠1) 10 底数为____ 底数为____ e 记法 loga N _______ lg N ______ ln N ______

2. 对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①负数和零没有对数; ② logaa = 1; ③ loga1 = 0. (2) 积、商、幂的对数运算法则: ( a > 0,且 a ? 1,M > 0, N > 0) ① loga ( M ? N ) ? loga M ? log a N ;
③ loga M n ? nloga M (n ? R);

④ log a n M ? 1 log a M . n

2. 对数的性质与运算法则 (3)对数的重要公式 1) 对数的换底公式
log b log b ? (a, c ? (0,1) ? (1, ??), b ? 0) log a
c a c

2) 对数恒等式 3) 四个重要推论
lg b ln b n ? ; ② logam N ? n loga N ; m lg a ln a ③ loga b ? 1 ; ④ loga b ? logb c ? loga c. logb a ① log a b ?

3. 对数函数图象与性质
函 数

y = logax ( a>0 且 a≠1 )





定义域 值 域

单调性
过定点 趋 势

(0, +∞) R 增函数 (1,0)
底数越大,图象越靠近 x 轴

(0, +∞) R 减函数 (1,0)
底数越小,图象越靠近 x 轴

取值范围

0<x<1时, y<0 x>1时, y>0

0<x<1时, y>0 x>1时, y<0

4. 反函数 y=logax 互为反 指数函数y=ax与对数函数_________ 函数,它们的图象关于直线_________ y=x 对称.

5. 第一象限中,对数函数底数与图象的关系

y
y=1

o

x

图象从左 到右,底数逐渐 变大.

题 型一

对数式的化简与求值

【例 1】计算下列各式. (1)lg 25+lg 2· lg 50+(lg 2)2; 2 ?lg 3? -lg 9+1· ?lg 27+lg 8-lg 1 000? (2) ; lg 0.3· lg 1.2 (3)(log32+log92)· (log43+log83).
变式训练 1

3 (1)化简 lg +lg 70-lg 3- lg23-lg 9+1; 7

(2)已知 f(3x)=4xlog23+233,求 f(2)+f(4)+f(8)+?+f(28)的值. 3 ?70

题 型二

对数函数的图象与性质

【例 2】作出函数 y=log2|x+1|的图象,由图象指出函数的 单调区间, 并说明它的图象可由函数 y=log2x 的图象经过怎 样的变换而得到.
作出函数y=log2x的图象,将其关于y轴对 称得到函数y=log2|x|的图象,再将图象 向左平移1个单位长度就得到函数 y=log2|x+1|的图象(如图所示).由图知,

函数 y=log2|x+1|的递减区间为(-∞, -1), 递增区间为(-1,+∞). 探究提高

作一些复杂函数的图象 ,首先应分析它可以从哪一个基 本函数的图象变换过来 .一般是先作出基本函数的图象 , 通 过平移、对称、翻折等方法,得出所求函数的图象.

|lg x|, 0<x≤10, ? ? 已知函数 f(x)=? 1 若 a,b,c 互不相等, - x+6, x>10, ? ? 2 且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc 的取值范围是__________.

变式训练 2

A.(1,10)

B.(5,6)

C.(10,12)

D.(20,24)

题 型三 对数函数的综合应用 【例 3】已知函数 f(x)=loga(8-2x) (a>0 且 a≠1).
(1)若 f(2)=2,求 a 的值; (2)当 a>1 时,求函数 y=f(x)+f(-x)的最大值.
变式训练 3

已知函数f(x)=loga(x+1) (a>1),若函数y=g(x)图象上任 意一点P关于原点对称的点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x) 的图象. (1)写出函数g(x)的解析式; (2)当x∈[0,1)时总有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范围.

思想与方法
数形结合思想在对数函数中的应用

(14分)已知函数f(x)=loga(ax-1) (a>0且a≠1). 求证:(1)函数f(x)的图象总在y轴的一侧; (2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.
x x x x x x>1, 证明 : (1) 由 a - 1>0 ,得 a x x x x 证明 : (1) 由 a - 1>0 ,得 a >1 , 证明 : (1) 由 a - 1>0 ,得 a >1 , 证明:(1)由 a -1>0,得 a >1, ∴ 当 a >1 时 ,, x x >0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 (0, + ∞ ), ∴ 当 a >1 时 , >0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 (0, + ∞ ), ∴ 当 a >1 时 x >0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 (0, + ∞ ), ∴当 a>1 时, x>0,即函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 此时函数 f ( x ) 的图象在 y 轴的右侧; 此时函数 f ( x ) 的图象在 y 轴的右侧; 此时函数 f ( x ) 的图象在 y 轴的右侧; 此时函数 f(x)的图象在 y 轴的右侧; 当 0< a <1 时 ,,x x <0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 ( - ∞ ,0), 当 0< a <1 时 , <0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 ( - ∞ ,0), 当 0< a <1 时 x <0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 ( - ∞ ,0), 当 0<a<1 时,x<0,即函数 f(x)的定义域为(-∞,0), 此时函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的左侧. 此时函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的左侧. 此时函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的左侧. 此时函数 f(x)的图象总在 y 轴的左侧. ∴ 函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的一侧. ∴ 函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的一侧. ∴ 函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的一侧. ∴函数 f(x)的图象总在 y 轴的一侧.

[1 分 ] [1 分 ] [1 分 ] [1 分] [3 分 ] [3 分 ] [3 分 ] [3 分] [5 分 ] [5 分 ] [5 分 ] [5 分] [6 分 ] [6 分 ] [6 分 ] [6 分]

(2)设 A(x1, y1), B(x2, y2)是函数 f(x)图象上的任意两点, 且 x1<x2, y1 - y2 则直线 AB 的斜率 k= . [7 分] x1-x2 x1 x1 x2 a y1 ? y2 ? log a (a ? 1) ? log a (a ? 1) ? log a x2 ? 1 , [8分] a ?1
x x 1 2 x x x1 x2 1 2 ? 1. x x ? 0 ? a ? 1 ? a 1 ? 0 ? a 1 ? 1 ? a 22 ? 1. x x 1 x1 1 ?1 x a 1 1 a ?1 ? 0 ? ? 1 ∴ , ∴ y -y2 <0. 1 x 1 1-y2 2<0. 1 ∴ 0 ? ax , ∴ y 2 x2 1 2 2 ?1 x2 2 a ?1

x 1 x 1 x1 1 x >1 当 a 时,由 (1) 知 0< x < x , ? 1 ? a 1 1 2 1 当 a >1 时,由 (1) 知 0< x < x , 1 2 1 2 当 a>1 时,由(1)知 0<x1<x2, ?1 ? a

x

x 2 x 2 x2 2, x ? a 2 2 ?a ,

[9 分 ] 又 - <0 [11 分 1 2 又 x1 -x x2 <0, ,∴ ∴k k>0. >0. [9 分 分 ]] 1- 2<0 又x x x , ∴ k >0. [9 ] 1 2 x x x x 1 2 x x 1 2 x x2 1 1 2 x x a 当 0< <1 时,由 (1) 知 x < x <0 , ∴ a ? a x x 1 2 1 2 1 2 ? 1, a<1 时,由(1)知 x1 2 1 2 当 0<a < x <0 , ∴ a ? a ? 1, 1 2 x x 1 2 x x x1 x2 1 2 ? 1 >0. a ? 1 ? a x x ∴ [10 分 ] 1 2 1 2 ∴ >0. [10 分 ] ∴ a ? 1 ? a ? 1 >0. [10 分 [13 ]

a ? 1 ? 1 ,∴y -y <0. 又 x -x <0,∴k>0. ∴ 1-y2 2<0. 又 x1 1-x2 2<0,∴k>0. ∴ x , ∴ y x2 1 2
x1 x 1

a ?1

∴函数 函数 f (x x) 0. [12 [14 分 分] ] ∴ f( )图象上任意两点连线的斜率都大于 图象上任意两点连线的斜率都大于 0.
批阅笔记

说到数形结合思想,我们更多的会想到以 “形”助“数”来解决问题.事实上,本题是以 “数”来说明“形”的问题,同样体现着数形结 合的思想.本题的易错点是: ①找不到证明问题的切入口.如第(1)问,很 多考生不知道求其定义域. ②不能正确进行分类讨论.若对数或指数的 底数中含有参数,一般要进行分类讨论.

感悟提高
方法与技巧

1 .指数式 ab = N 与对数式 logaN = b 的关系以及
这两种形式的互化是对数运算法则的关键. 2 .指数运算的实质是指数式的积、商、幂的 运算,对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和 乘法公式;对数运算的实质是把积、商、幂的对数

转化为对数的和、差、积.
3.注意对数恒等式、对 数 换 底 公 式 及 等式 logam bn ? n loga b , logab= 1 在解题中的灵活应用. log b a m

感悟提高
失误与防范

1.在运算性质logaMn=nlogaM时,要特别注意 条 件 , 在 无 M > 0 的 条 件 下 应 为 logaMn = nloga|M|(n∈N*,且n为偶数). 2.指数函数y=ax (a>0,且a≠1)与对数函数y= logax(a>0 ,且 a≠1) 互为反函数,应从概念、图象和 性质三个方面理解它们之间的联系与区别. 3.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数 的性质,要记忆函数的性质可借助于函数的图象 .因 此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指 数函数和对数函数的图象.

1.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)若 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集. 2 x 2 x 8 . (2011· 深圳模拟 ) 已知函数 f ( x ) = . log ( a ? 3 a ? 3) 2.已知函数 f(x)= log (a ? 3a ? 3) . 1
1 2

2

2 ? 3a ? 3) x 的定义域为 R. log 1 (a 解 :(1) 函数f(fx (x )= x x 解 :(1) 函数 ) = 的定义域为 log ( a ? 3 a ? 3) 1 lg(a -b ) (a>1> 3. 已知函数f(x)= b>0).R.

(1) 判断函数的奇偶性; (1) 判断函数的奇偶性; (2) 若 y= (x )在 (-∞,+∞ )上为减函数,求aa 的取值范围. (2) 若 y= f(fx )在 (-∞,+∞ )上为减函数,求 的取值范围.
2 x 2 2 2 2

?x 2 x (1) 求 y = f= (x) 的定义域; ? x 2 x log ( a ? 3 a ? 3) ? log ( a ? 3 a ? 3) 又 f ( - x ) = =- fx (x ), 又 f(-x)= log 1 1 = ? log 1 1 =- f( ), ( a ? 3 a ? 3) ( a ? 3 a ? 3) 2 x) 的图象上是否存在不同的两点 2 (2)在函数y=2 f( ,使得过这 2 所以函数 fx (x )是奇函数. 两点的直线平行于 x轴; 所以函数 f( )是奇函数. 2 x 2 ? 3a ? 3) x f(在 (3) 当 a , b 满足什么条件时, x() 在 (1 ,+ ∞) 上恒取正值. log ( a (2) 函数 f ( x ) = ( - ∞ ,+ ∞ )上为减函数, (2)函数 f(x)= log 1 - ∞ ,+ ∞ )上为减函数, (a ? 3a ? 3) 在
12 2

【1】比较大小

A

解析

1,

图象应用问题
例4.方程

3个. 的解有__

y

y

o o
1 2 x

x

练一练
【1】方程

的解有__ 2 个.

【2】函数 y ? loga ( x ? 2) ? 1(a ? 0, 且a ? 1) 的 ( ?1,1) 图象恒过点_______.

练一练 2 个. 个数是_______
【3】已知0<a<1,方程a |x| = |log a x|的实根

y
1

o

x

【点评】当判断方程 f (x) = g (x)的实根个数时, 我们可转化为判断函数y = f (x) 与函数 y = g (x)的图 像的交点的个数.

练一练
【4】已知函数 是

(-∞, +∞)上的减函数 , 则实数 a 的取值范围 是________.
【5】函数y=loga|x+b| (a>0,a≠1,ab=1)的图象只可能是( )

练一练 【1】(07上海)方程 9 x ? 6 ? 3 x ? 7 ? 0 的解是
_________.
【2】不等式 2
x2 ?5 x ? 5

? 1 的解集是______________. 2

【3】不等式 log2 ( x2 ? 3x ? 4) ? log2 (2x ?10) 的解集是 ____________________.

【4】函数 y=log3 x 的反函数为 g(x), 则

g(? log9 2) ? _______ .
【5】函数 的单调

增区间是________,值域是________.

b 【6】设f ( x ) ? lg(10 ? 1) ? ax是偶函数,g( x ) ? 4 ? x 2 是奇函数,那么a ? b的值是( ) A. 1 B. -1 C. 1 D. ? 1
x x

练一练

2

2

【7】(06山东)设函数

则f[f(2)]=

.

【8】计算 lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ).
9.(09· 辽宁)已知函数f(x)满足:当x≥4时, f ( x ) ? ( 1 ) x ; 2 当x<4时,f(x)=f(x+1).则f(2+log23)=( ) 1 3 1 1 A. B. 12 C. 8 D. 8
24

必修二

第一章
1.1 1.2 1.3

1.1

空间几何体的结构

主要内容
空间几何体导入 1.1.1棱、锥、台、球的结构特征 1.1.2简单组合体的结构特征

空间几何体导入

奥运场馆

鸟巢

奥运场馆

水立方

世博场馆

中国馆 世博轴

演艺中心

观察实例,思考共性
观察下面的图片,这些图片中的物体具有什 么几何结构特征?你能对它们进行分类吗?分类 依据是什么?

观察实例,思考共性

观察实例,思考共性

观察实例,思考共性

归类分析

归类分析

多面体

我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫 做多面体.

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面
相邻两个面的公共边叫做多面体的棱

棱与棱的公共点叫做多面体的顶点

多面体

D1 A1 B1 C1


D C A B

顶点

面ADD1 A1 , 面 ABCD等 棱A1A, 棱AB等 顶点 A, 顶点B等

归类分析

归类分析

旋转体

一个矩形绕着它的一条边所在的一条直 线旋转所成的封闭几何体叫做圆柱,这条定 直线叫做圆柱的轴. 我们把一个平面图形绕着它所在平面内 的一条直线旋转所行成的封闭几何体叫做旋 转体,这条定直线叫做旋转体的轴.

探究问题
分别以直角三角形的不同的边所在的直线为 轴旋转三角形得到的旋转体形状相同吗? 如果不 同请你画出来。

1.1.1 柱、 锥、 台、 球

的结构特征

1. 棱柱的结构特征
什么叫棱柱? 有两个面互相平行, 其余各面都是四边形,并 且每相邻两个四边形的公 共边都互相平行,由这些 面围成的多面体叫做棱柱.
底面

侧面

侧棱

顶点

记为:棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'

棱柱的分类
??棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边 形、……把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、 五棱柱、……

三棱柱

四棱柱

五棱柱

棱柱的表示

三棱柱ABC-A'B'C' 四棱柱ABCD-A'B'C'D' 六棱柱ABCD-A'B'C'D'E'F

常见的棱柱

?

?

平行六面体

直平行六面体

长方体

正方体

?正方体?? ?长方体?? ?直平行六面体 ? ? ?平行六面体?

你能举出关于棱柱的生活实例吗?

2.棱锥的结构特征
什么是棱锥?

一般地,有一个面是 多边形,其余各面都是有 一个公共点的三角形,由 这些面围成的多面体叫做 棱锥.

符号表示:四棱锥S-ABCD

棱锥的分类
依据底面多边形的边数进行分类,底面是n 边形的棱锥叫做n棱锥. 常见的棱锥:三棱锥、四棱锥、五棱锥等

你能举出关于棱柱的生活实例吗?

思考?
这两个几何体与棱锥有什么关系?

S
截面A' B ' C ' D ' E '∽ 底面 ABCDE
E'
A' D' C' B'

S A'B 'C 'D'E ' S ' H '2 ? S ABCDE SH 2

D O

E A

C
B

3. 棱台的结构特征
什么是棱台? 一般地,用一个平行于棱锥底面的平面去截 棱锥,底面和截面中间的部分的多面体叫做棱台.

上底面 侧面

侧棱

下底面

顶点

三棱台

四棱台ABCD-A'B'C'D'

棱台的应用

4. 圆柱的结构特征
什么叫圆柱?

以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三 边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.

侧面

底面
轴 母线

旋转轴叫做圆柱的轴

平行于轴的 边旋转而成 的曲面叫做 圆柱的侧面 无论旋转到什么 位置不垂直于轴 的边都叫做圆柱 侧面的母线 垂直于轴的边 旋转而成的面 叫圆柱的底面

棱柱和圆柱统称为柱体

5. 圆锥的结构特征
什么叫圆锥?
与圆柱一样,以直角三角形的一条直角边所 在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成 的旋转体叫做圆锥.


侧面

母线 底面

探究圆锥的轴、底面、 侧面、母线的定义.
旋转轴叫做圆锥的轴 不垂直于轴的边旋 转而成的曲面叫做 圆锥的侧面

无论旋转到什么位置 不垂直于轴的边都叫 做圆锥侧面的母线

垂直于轴的边旋转而 成的面叫圆锥的底面

6. 圆台的结构特征
什么是圆台? 与棱台类似,用一个平行于圆锥底面的平 面去截圆锥,底面和截面中间的部分的旋转体 叫做棱台.

上底面

母线

下底面


侧面

探究:类比圆柱、圆锥, 圆台可以看成由什么平 面图形旋转得到?

棱台和圆台统称为台体

7. 球的结构特征
什么叫球?

以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转 一周形成的旋转体叫做球体,简称球.
球心

球的半径

探究
棱柱、棱锥与棱台都是多面体,它 们在结构上有哪些相同点和不同点?三 者关系如何?当底面发生变化时,它们 能否互相转化? 圆柱、圆锥与圆台呢?

探究 问题:侧面都是等边三角形的棱锥不可能是( D
A. 三棱锥 B. 四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥



小结
空间几何体的结构特征
1. 棱柱的结构特征 2. 棱锥的结构特征 3. 棱台的结构特征 4. 圆柱的结构特征

5. 圆锥的结构特征
6. 圆台的结构特征

7. 球的结构特征

作业
P8-p9习题1.1 1,2

1.1.2 简单组合体的 结构特征

问题1:有两个面互相平行, 其余各面都是四边形的几何体是 棱柱吗? 答:不一定是.如右图所 示,不是棱柱. 问题2:有两个面互相平行, 其余各面都是平行四边形的几 何体是棱柱吗? 答:不一定是.如右图所 示,不是棱柱.

凸多面体和凹多面体
V

C
D A B

E 把多面体的任何一个面伸展为平面,如果 所有其他各面都在这个平面的同侧,这样的多 面体叫做凸多面体。

正多面体

正四面体

正六面体

正八面体

正十二面体

正二十面体

多面体

正多面体的展开图

简单组合体
现实世界中的物体表示的几何体,除柱 体、锥体、台体和球体等简单几何体外,还 有大量的几何体是是由简单几何体组合而成 的,这些几何体叫做简单组合体.

探究

观察实物图形判断这些几何体是怎样由简单几 何体组成的?

简单组合体的构成
一、由简单几何体拼接而成 二、由简单几何体截取或挖 去一部分而成

观察两个实物几何体,你能说出它们各由哪 些简单几何体组合而成吗?

(1)

(2)

思考1

世博轴的曲面是如何构成的?

世博中国馆是外形如何构成的?
思考2

思考3 课后思考题 观察本地标志性建筑思考其外观几何体是如 何构成的?

小结
凸多面体

正多面体
简单的组合体

作业
P7 练习 1,2,3

P9习题1.1 A 3,4,5

1.2

空间几何体的三视 图和直观图

主要内容
1.2.1 中心投影与平行投影

1.2.2空间几何体的三视图 1.2.3空间几何体的直观图

1.2.1

中心投影与平行投影

投影
我们知道,光线是直线传播的,由于光的照射, 在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影 子,这种现象叫做投影。 其中,我们称光线叫投影线,把留下物体的屏 幕叫做投影面

投影线 投影面

中心投影
定义 把光由一点向外散射形成的投影,叫做中心 投影. 一个点光源把一个图形照射到一个平面上、 这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影. 中心投影后的图形与原 图形相比虽然改变较多、但 直观性强、看起来与人的视 觉效果一致、最像原来的物 体、所以在绘画时、经常使 用这种方法.

平行投影
定义

我们把一束平行 光线照射下形成的投 影,叫做平行投影.
平行投影的投影 线是平行的. 投影面 在平行投影中, 投影线正对着投影面 时,叫做正投影,否 则叫做斜投影.

光线
斜投影

投影线斜对 着投影面

正投影

对比三种投影
平行投影

(a)中心投影 (b)斜投影 (c)正投影

探究
问题1:一个三角形ABC在中心投影下,得到 三角形A’B’C’, 问这两个三角形是否相似?为什 么?

问题2:一个三角形ABC在平行投影投影下, 得到三角形A’B’C’, 问这两个三角形是否全等? 为什么?

小结
? 投影 ? 中心投影

? 平行投影

1.2.2
空间几何体的三视图

三视图概念
三个互相垂直的投影面
从前向后方 向的投影线 从左向右方 向的投影线

从上到下方 向的投影线

“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得 到的投影图.

三视图的形成 光线从几何体的前面向后面正投影 所得的投影图称为“正视图” 侧视图 光线从几何 体的左面向 右面正投影 所得的投影 图称为“侧 视图”

正视图

俯视图

光线从几何体的上面向下面正投影所得的投 影图称为“俯视图”.

三视图的平面位置
正视图、侧视图、俯视图在平面图中的一般位置
正视图 侧视图

俯视图 正视图、侧视图、俯视图统称为三视图

三视图的关系
定义:长、宽、高 长:左、右方向的长度 宽:前、后方向的长度 高:上、下方向的长度
结论:


正视图

侧视图 高平齐 宽 相 等


1.一个几何体的正视图和侧视图 的高度一样,
2.正视图与俯视图的长度一样

长对正

3.侧视图与俯视图宽度一样

俯视图

举例画出三视图

正视图

侧视图

圆锥

俯视图

举例画出三视图

正视图

侧视图

正三棱锥
俯视图

举例画出三视图

正视图

侧视图

六棱柱
俯视图

举例画出三视图

根据三视图想象其表示的几何体

根据三视图想象它们表示的几何体的结构特征

正视图

侧视图

圆台
俯视图

根据三视图想象它们表示的几何体的结构特征

正视图

侧视图

正四棱台 俯视图

简单组合体的三视图

知识小结

小结
? 三视图的概念
? 三视图的形成

? 三视图的平面位置
? 三视图的关系

? 三视图的举例
? 简单组合体的三视图

作业
P15 练习1,2,3,4 P20-21 习题1.2 1,2,3.

1.2.3 1.2.3 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图

斜二测画法
观察正方体的平面图

问:正方体的每个面都是正方形,但在 平面图中有几个面画成正方形?平行四边形?

水平直观图
正方形的水平直观图
y y

0 0

x

x

1. 水平方向线段长度不变;
变化 规则

2. 竖直方向的线段向右倾斜450,长度减半;
3. 平行线段仍然平行.

水平直观图
正三角形的水平直观图

C C A
0

y B x

B

A

o

M

水平直观图
直角梯形的水平直观图
y

D

C D′

y′ C′ B′ x′

A

B x
0

A′

1 ?x?o?y? ? 45 , A?D? ? AD , A?B? ? AB 2

水平直观图
正六边形的水平直观图的画法
y

F

M

E F′ M A′ D
x

y′ E′ D′ C′ x′

A

o′ B′

N

B

N

C

斜二测画法
定义:上述画水平放置的平面图形的直观图的
方法叫做斜二测画法,有如下步骤和规则
(1)在原图形中建立平面直角坐标系xoy,同 时建立直观图坐标系 x?o?y ?,确定水平面,?x?o?y? ? 450 (2)与坐标轴平行的线段保持平行; (3)水平线段等长,竖直线段减半.
y y' 0 x o

x'

空间几何体的直观图
例1.画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长 方体ABCD-A′B′C′D′的直观图?
D′ A′ D Q z y B′ C x B A

C′
A′

D′
B′ D B

C′

C

o
A P

水平方向的矩形画成平行四边形的直观 图竖直方向(z轴)的线段长度不变

斜二测画法
由几何体的三视图可以得到几何体的直观图
z
y′

正视图

侧视图

A′ o′

B′ y B x′

俯视图

A

o

x

反思提高
思考题:如图ΔA’B’C’是水平放置的ΔABC的直 观图,则在ΔABC的三边及中线AD中,最长的线段 是( AC )

小结
? 正方形的水平直观图 ? 正三角形的水平直观图

? 直角梯形的水平直观图
? 正六边形的水平直观图

? 斜二测画法
? 长方体的直观图

作业
P19-20 练习 1,2,3,4,5 P21 习题1.2 A.4,5 B组1,2,3

1.3 空间几何体的表面积 与体积

主要内容
1.3.1 柱体、椎体、台体的表面积与体积 1.3.2 球的表面积和体积

1.3.1 柱体、锥体、台体 的表面积与体积

什么是面积? 面积:平面图形所占平面的大小
a b a A c h a

S=ab
b

h

S?

1 ( a ? b) h 2

S?
C

1 ah ? 1 ac sin B 2 2

r

S ? ? ?r2
1 n S ? l ?r ? ? ?r2 360 2

B

b A a

S ? a ? ha ? b ? hb

l
r

? ab sin A

圆心角为n0

特殊平面图形的面积
正三角形的面积
a

1 3 s? ? a?a 2 2

正方形的面积
正六边形的面积

s?a

2

a

a

1 3 3 3 2 S ? 6? ? a?a ? a 2 2 2

多面体的表面积
正方体和长方体的表面积

h b a

长方体的表面展开图是六个矩形组成的 平面图形,其表面是这六个矩形面积的和. 设长方体的长宽高分别为a、b、h,则 S=2(ab+ah+bh) 其表面积为

特别地,正方体的表面积为S=6a2

多面体的表面积
一般地,由于多面体是由多个平面围成的空间 几何体,其表面积就是各个平面多边形的面积之和.
棱柱的表面积=2 ?底面积+侧面积 侧面积是各个侧面面积之和

棱锥的表面积=底面积+侧面积

棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积

多面体的表面积
例1.已知棱长为a,底面为正方形,各侧面均 为等边三角形的四棱锥S-ABCD,求它的表面积. 解:四棱锥的底面积为a2, 每个侧面都是边长为a的正三 角形,所以棱锥的侧面积为
1 3 S侧 ? 4 ? ? a ? a ? 3a 2 2 2 所以这个四棱锥的 表面积为
S ? a 2 ? 3a 2 ? (1 ? 3)a 2

旋转体的表面积
一般地,对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体,其 底面是平面图形(圆形),其侧面多是曲面,需要 按一定规则展开成平面图形进行面积的计算,最终 得到这些几何体的表面积. 圆柱 底面是圆形 圆柱的侧面展 开图是一个矩 形

S底 ? ?r

2

S侧 ? 2?r ? l

S表 ? 2?r (r ? l )

旋转体的表面积
圆锥 侧面展开图是 一个扇形

底面是圆形

S底 ? ?r

2

1 S侧 ? ? 2?r ? l 2 ? ?rl

S表 ? ?r (r ? l )

旋转体的表面积
圆台 侧面展开图是 一个扇状环形

底面是圆形

S上底 ? ?r?2

S下底 ? ?r

2

S侧 ? ? (r? ? r )l
2 2 ? S表 ? ? (r ? r ? r?l ? rl )

旋转体的表面积
例2.一个圆台形花盆盆口直径为 20cm,盆底直 径为 15cm ,底部渗水圆孔直径为 1.5cm ,盆壁长 15cm,为了美化花盆的外观,需要涂油漆. 已知每 平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多 少 油 漆 ( 精 确 到 1 毫 升 ) ?
20

解:由圆台的表面积公式得一 个花盆外壁的表面积
15 15 20 1.5 S 表 ? ? [( ) 2 ? ?15 ? ?15] ? ? ? ( ) 2 2 2 2 2 ? 1000(cm) 2 ? 0.1(m 2 )

15

所以涂100个花盆需油漆: 0.1?100?100=1000(毫升).

空间几何体的体积
体积:几何体所占空间的大小
正方体的体积=棱长3

长方体的体积=长×宽×高

棱柱和圆柱的体积
高h

底面积S 柱体的体积 V=Sh

棱锥和圆锥的体积
S 高h

D
E O

底面积S

C

A

B

1 体积 V ? Sh 3

棱台和圆台的体积

高h

1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重 5.8kg(铁的密度是7.8g/cm3),已知螺帽的底 面是正六边形,边长为12mm,内孔直径为10mm, 高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个? 解答: V≈2956(mm3)=2.956 (cm3) 5.8×100÷7.8×2.956 ≈252(个)

小结
? 常见平面图形的面积 ? 多面体的表面积和体积 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 ? 旋转体的表面积和体积 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积

作业
? P27 练习1,2 ? P28-29 习题1.3 A组 1,2,3,4,5,6

1.3.2

球的体积和表面积


球的表面积
球的体积 球面距离

球的体积和表面积
设球的半径为R,则有体积公式和表面积公式

4 3 V ? ?R 3

A

R
O

S ? 4?R

2
B

球的体积和表面积
例1 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直 2 径,求证:(1)球的体积等于圆柱体积的 3 ; (2)球的表面积等于圆柱的侧面积. 解:设球的半径为R,则圆柱的底面 半径为R,高为2R.
1)因为 V球 ? ?R 3, V圆柱 ? ?R ? 2R ? 2R
2

4 3

3

2 所以, V球 ? V圆柱 3

2)因为 S球 ? 4?R ,S圆柱侧 ? 2?R ? 2R ? 4R
2

2

所以,S球 ? S圆柱侧

球的体积和表面积
例2. 已知正方体的八个顶点都在球O的球面上, 且正方体的棱长为a,求球O的表面积和体积. 解答:正方体的一条对 角线是球的一条直径, 所以球的半径为
3a R? 2

C′

o
3a 2 ) ? 3?a 2 2

S球 ? 4?R ? 4?(
2

4 3 3 3 3 V球 ? ?( a) ? ?a 3 2 2

A

球的体积和表面积
例3 已知A、B、C为球面上三点,AC=BC=6, AB=4,球心O与△ABC的外心M的距离等于球半径的 一半,求这个球的表面积和体积.
3 6 解答:R ? , 2 S ? 54? ,V ? 27 6?

O A
M B C

球面距离
球面距离 即球面上两点间的最短距离, 是指经过这两点和球心的大圆的劣 弧的长度. 球心O
B

O
A

B

大圆劣弧的圆心角为α弧 度,半径为R,则弧长为

A

大圆圆弧

L=αR

球面距离
例4. 已知地球的半径为R,在地球的赤道上 经度差为1200的两点间距离.
2 答案:120 ? ? 3
0

o B A

2 球面距离为 d ? ?R 3

作业
P28 练习1,2,3 P29-30 习题 B组 1,2,3

第二章
2.1 2.2 2.3

2.1

空间点、直线、平 面之间的位置关系

主要内容
2.1.1 平面 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系

2.1.1 平 面

构成图形的基本元素
D′ A′ D A B 面无厚薄 点、线、面 B′ C′ 点无大小

C

线无粗细



直线

可无限延伸的

平面

平面是可无限延展的

平面的表示
平面的画法 一般来说,常用正方形或长方形表示平面,如 图一, 在画立体图时,为了增强立体感, 常常把平 面画成平行四边形,如图二是按照斜二测画法得到的 平面的水平直观图.

图一

图二

平面的表示
平面的符号表示 D C ? A B 1. 希腊字母: 平面?, 平面?,平面?

2. 一个或几个拉丁字母: 平面M, 平面AC,

平面ABCD等

平面的表示
两个相交平面的画法和表示 平面?和平面?相交于一条直线a ? a ? 平面??平面?=直线a 被遮住的部分画虚线

a

平面的表示
用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线 与平面的关系 直线和平面都可以看成点的集合

P ? l, A ?? “点P在直线l上”,“点A在平面α内”
P ? l , A ?? “点P在直线l 外”,“点A在平面α外”
直线 l 在平面α内,或者说平面α经过直线 l 直线 l 在平面α外.

l ? ?,l ? ?

平面的基本性质
思考1:如何让一条直线在一个平面内?

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内.

平面经过这条直线 集合符号表示

A .

B .

α

A ? l , B ? l , 且A ?? , B ?? ? l ? ?
作用:为判断直线与平面的位置关系提供依据

平面的基本性质
思考2:经过两点可以确定一条直线, 那么经过几个点可以确定一个平面呢?

公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个 平面. “不共线的三点确定一个平面”
?

集合符号表示

. A . B . C

已知A、B、C三点不共线,则存在惟一平 面?,使得A、B、C?? 作用:判断几个点共面或直线在同一个平面内

平面的基本性质
思考3:如果两个平面有一个公共点, 那么还会有其它公共点吗?如果有这些 公共点有什么特征?

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P ?? , 且P ? ? ? ? ? ? ? l , 且P ? l

?

作用:判断两个平面位 置关系的基本依据

?

P

l

例题
例1 如图,用符号表示下列图形中点、直线、 平面之间的位置关系.

a
α A l

α a l b β

B β

P

(1)

(2)

解:1) A??,B??,???=l,a??=A,a??=B 2) a??,b??,???=l,a?l=P, b?l=P, a?b=P

例2:已知直线a,和点P,P?a,求证 经过点P和直线a有且只有一个平面.
P a

探究问题
? 根据公理1探究直线与平面的各种位置关系. ? 根据公理2探究两条相交直线或平行直线确定一个

平面的合理性.
? 根据公理3探究平面与平面的各种位置关系.

小结
1.平面的表示:概念、图形、符号等 2.平面的基本性质

公理1
公理2

公理3
3.判断共面的方法

作业
P43 练习1,2,34

P51 习题A组 1,2

2.1.2

空间中直线与直线 之间的位置关系

两条直线的位置关系
思考1:同一平面内两条直线有几种位置关系? 空间中的两条直线呢?

b
C

a

1)教室内日光灯管所在直线与黑板左右两 侧所在直线的位置关系如何?

2)天安门广场上,旗杆所在直线与长安 街所在直线的位置关系如何?

两条直线的位置关系
观察 如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中,线段 A′B所在直线分别与线段CD′所在直线,线段 BC所在直线,线段CD所在直线的位置关系如何? D' A' B' C'

D A
B

C

两条直线的位置关系
定义 不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.

a
b

a

b

异面直线的图示

两条直线的位置关系
问题 关于异面直线的定义,你认为下列哪个说法 最合适? A. 空间中既不平行又不相交的两条直线;

B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线;
C. 分别在不同平面内的两条直线;

D. 不在同一个平面内的两条直线;
E. 不同在任何一个平面内的两条直线.

两条直线的位置关系
空间中的直线与直线之间有三种位置关系: 相交直线: 同一平面内,有且只有一 个公共点; 平行直线: 同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点

共面直线

探究 如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原 为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线 是异面直线的有多少对? A D A C G D
H E F E 直线EF 和直线HG 直线AB 和直线CD

B

H

B

G
C

F

答:3对

直线AB 和直线HG

平行直线
观察 如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中, BB′∥AA′,DD′∥AA′,那么BB′与DD′平行 吗 ? D' C'

A'
D A 答:平行

B'

C B

平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.

如果a//b,b//c,那么a//c 空间中的平行线具有传递性 C F D F

D
A C

B

E

A

B

三条平行线共面

E 三条平行线不共面

平行直线
问题 已知三条直线两两平行,任取两条直线能确 定一个平面,问这三条直线能确定几个平面? D C

F

D
A C E
三条平行线不共面

F

B

E

A

B

三条平行线共面

平行直线
例2 如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分 别是AB,BC,CD,DA的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形. 证明:连接BD,

因为
所以 同理

EH是 ?ABD 的中位线,
1 EH // BD ,且 EH ? BD 2 1 FG // BD ,且 FG ? BD 2

A E H

D
F

G C

因为 EH // FG ,且 EH ? FG B 所以 四边形EFGH 是平行四边形.

探究 在上例中,如果再加上条件AC=BD,那么四 边形EFGH 是什么图形? 答:四边形EFGH是菱形 A H

1 1 因为EF ? AC, EH ? BD 2 2 且AC ? BD 所以EF ? EH 所以平行四边形 EFGH是菱形
B

E
D F G C

等角定理 思考1 在平面上,我们容易证明“如果一个角的 两边和另一个角的两边分别平行, 那么这两个 角相等或互补”.空间中,结论是否仍然成立?

思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行 四边形,∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′ 的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何 ? C' C' B' B' A' A' D' D' C C B B

D

A
∠ADC=∠A′D′C′

D

A

∠ADC+∠B′A′D′=1800

思考3 如图,在空间中AB// A′B′,AC// A′C′, 你能证明∠BAC与∠B′A′C′ 相等吗?

E? A? E D? C

C?

B?

A

D

B

等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行,那么这两个角相等或互补.
AC // A?C?, ? AB // A?B?
C
C

? A
C?

B

? A

B
C?

?

A?

B?

?

B?

A?

等角定理:空间中如果两个角的两边分别 对应平行且方向相同,那么这两个角相等.

异面直线所成的角
思考 在同一平面内两条相交直线形成四个角,常 取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系,这 个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条 异面直线的位置关系呢?

a

a b b
平面内两条相交直线 空间中两条异面直线

已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直 线 a? // a, ?b? // b ,把 a ? 与 b ? 所成的锐角(或直角)叫 做异面直线a与b所成的角.
b
b?

b
a?

?

a

O

?

O

a? a

异面直线所成的角
探究 我们规定两条平行直线的夹角为0°,那么 两条异面直线所成的角的取值范围是什么?
b
? ?? ? 0, ? ? 2?

?

a

如果两条异面直线所成角为900,那么这两 条直线垂直. 记直线a垂直于b为:a?b

异面直线所成的角
探究 (1)在长方体ABCD ? A?B?C ?D?中,有没有两条棱 所在的直线是相互垂直的异面直线? 如: AD与BB?, A?D?与BB? 等.
D?

C?
B?

(2)如果两条平行直线中的 D 一条与某一条直线垂直,那么, B 另一条直线是否也与这条直线 A 垂直? 垂直 (3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?

A?

C

不一定,如上图的立方体中 AB ? BB?, BC ? BB?, 直线AB与BC相交,

异面直线所成的角
例3 已知正方体 ABCD ? A?B?C ?D? . B A? (1)哪些棱所在直线与直线 是异面直线? BA? 和 CC ? 的夹角是多少? (2)直线 (3)哪些棱所在的直线与直线 AA? 垂直? 解:(1)由异面直线的定义可知, D? C? 棱 AD, ? DC , ? C C?, ? D D?, D?C?, ?B?C? 所在 A? B? 的直线分别与直线 BA?是异面直线. D C ?B?BA? 为 (2)由 BB? // CC ? 可知, B ?B?BA? ? 45?, A 异面直线 BA?与 CC ?的夹角, 所以 BA? 与 CC ? 的夹角为 45? . BC , ? CD , ? DA , ?A?B?, ?B?C?, ?C?D?, ?D?A? (3)直线 AB, ? 分别与直线 AA? 垂直.

练习1
在如图所示的长方体中,AB= 3 ,且

AA1=1,求直线BA1和CD所成角的度数.

D1

C1

A1

B1

D
A

C

B

30

O

练习2
如图,在四面体ABCD中,E,F分别是棱AD, BC上的点,且 EF ? 3 , 求异面直线AB和CD所成的角. A E
AE BF 1 ? ? ,已知AB=CD=3, ED FC 2

D
B F C

练习3

n直线相交最多有几个交点?

本节小结
基本知识 (1)空间直线的三种位置关系.
(2)平行线的传递性. (3)等角定理. (4)异面直线所成的角.

基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.

作业
P48 练习1,2 P51 -52习题2.1 A组 3,4(1)(2)(3)(6),5,6, B组1

2.1.3
空间中直线与平面之间 的位置关系

主要内容
直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行

直线与平面
思考?
1)一支铅笔所在的直线 与一个作业本所在的平面, 可能有几种关系?
2)如图,线段A’B所在直 线与长方体ABCD-A’B’C’D’的六 A' 个面所在平面有几种位置关 系? A D' B' C'

D
B

C

直线与平面
直线和平面的位置关系有且只有三种 (1)直线在平面内 有无数个公共点

a ?

记为:a??

直线与平面
(2)直线与平面相交 有且只有一个公共点

a

?

A

记为:a??=A

直线与平面

(3)直线与平面平行
a

没有公共点

?

记为:a//?

直线与平面
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 记为:a?? a//?
a a

a??=A 或

A ?

?

直线与平面
例1. 下列命题中正确的个数是 ( B ) 1)若直线 l 上有无数个点不在平面?内,则 l//? 2) 若直线 l 与平面?平行,则 l 与平面?内的任意 一条直线都平行 3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那 么另一条也与这个平面平行 4)若直线 l与平面?平行,则 l与平面?内的任意一 条直线都没有公共点.
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

主要内容
直线与平面的位置关系 直线在平面内

直线与平面相交
直线与平面平行

作业
P49 练习

P51-53 习题2.1A组 4(4)(5) B 2,3

2.1.4

平面与平面之间的 位置关系

平面与平面之间的位置关系
思考 (1)拿出两本书,看作两个平面,上下、左 右移动和翻转,它们之间的位置关系有几种?

(2)如图,围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面, 两两之间的位置关系有几种?
D' A' D A B B' C'

C

两个平面的位置关系
两个平面的位置关系有且只有两种 ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线. 分类的依据是什么?

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共 点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

两个平面平行或相交的画法及表示
? ? ? ? m

?//?

???=m

探究1

? ,直线a、b,且?//?,a??,b??, 已知平面? 、 则直线a与直线b具有怎样的位置关系?

a ? b

?

答:平行或异面

探究2 如果三个平面两两相交,那么它们的交线 有多少条?画出图形表示你的结论.

b β γ
α
相交于一条交线

β

l

a

b

l a

γ

α

三条交线

三条交线

探究3

? 一个平面可以把空间分成几个部分? ? 两个平面可以把空间分成几个部分?

? 三个平面可以把空间分成几个部分?

小结
平面与平面的位置关系 平面与平面相交

平面与平面平行

作业
P50 练习 P52 习题2.1 A组7,8

2.2 直线、平面平行的 判定及其性质

主要内容
2.2.1 直线与平面平行的判定

2.2.2 平面与平面平行的判定

2.2.3 直线与平面平行的性质

2.2.4 平面与平面平行的性质

2.2.1 直线与平面平行的 判定

复习

直线和平面的位置关系 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种:

(1)直线在平面内——有无数个公共点. (2)直线和平面相交——有且只有一个公共点. (3)直线和平面平行——无公共点.

直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.

直线和平面的三种位置关系的画法

直线在平面内

直线与平面相交

直线与平面平行

观察 若将一本书平放在桌面上,翻动书的封面,观察封面边缘所在直线l与 桌面所在的平面具有怎样的位置关系?

l

直线和平面平行
思考 如图,设直线b在平面α内,直线a在平面α外,猜想在什么条件下 直线a与平面α平行.

a

a//b
α
b

直线和平面平行
判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直 线和这个平面平行.

b

?

判定定理的证明

? a ?? b ? 已知: ,
求证: a // ?

a // b ,
b

证明:因为a // b
所以经过a、b确定一个平面?. 因为 a?? ,而a?? , 所以? 与?是两个不同的平面. 因为b??,b? ? 所以 ???=b

?

未完

判定定理的证明

下面用反证法证明a与?没有公共点:
假设a与?有公共点P??,而???=b,得P?b, 所以 点P是a、b的公共点,这与a//b矛盾.

所以a//?

例1 求证:空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过另外两边 的平面.

E、F 分别是 AB、AD 已知:空间四边形 ABCD 中, 的中点.

求证: EF //平面 BCD . 证明:连结 BD . AE ? EB ? ? AF ? FD? ? EF // BD ? ? 又EF ? 平面BCD? BD ? 平面BCD ? ?

? EF // 平面BCD

例2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中. (1)作出过直线AC且与直线BD1平行的截面,并说明理由.

(2)设E、F分别是A1B和B1C的中点,求证直线EF//平面ABCD. D1

C1

M A1 D E H A G B B1 F C

小结
直线与平面平行的判定定理可简述为

“线线平行,则线面平行”

思想方法 通过直线间的平行,推证直线与平面平 行,即将直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关 系(平面问题).

作业
P55-56练习1,2
P62 习题2.2 A组 3,4

2.2.2

平面与平面平行的判定

思考1: 我们知道,两个平面的位置关系是平行或相交.

? ?

问:对于两个平面α、β,你猜想在什么条件 下可保证平面α与平面β平行?

思考2

1.三角板的一条边所在直线 与桌面平行,这个三角板所在平 面与桌面平行吗?
2. 三角板的两条边所在直线分别与桌 面平行,三角板所在平面与桌面平行吗?

A

A

思考3

1.一般地,如果平面α内有一条直线平行 于平面β,那么平面α与平面β一定平行吗?

2. 如果平面α内有两条直线平行于平面β, 那么平面α与平面β一定平行吗?
α

β

两个平面平行的判定
判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

平面平行的判定定理的证明 已知:在平面?内,有两条直线 、 相交且和平面?a 平行. b
求证:

? // . ?
假设 .? c ? ??

证明:用反证法证明.

? a // ? , a ? ? ,

? a // c 同理 b // c, ? a // b 这与题设 和 a 是相交直线是矛盾的. b ?? // ?

例题分析
例1 已知:在正方体ABCD-A′B′C′D′中. 求证:平面AB′D′∥平面BC′D.

D′ B′ A′ D

C′

C

A

B

例2 心.

在三棱锥P-ABC中,点D、E、F分别是△PAB、△PBC、△PAC的重

求证:平面DEF//平面ABC.

P

F A M B D E C N

练习

已知:

交与点 O, AA'=A' O, 直线 AA'、BB '、CC ',

BB' ? B' O,

CC ' ? C ' O,求证:平面 ABC ??平面 A' B ' C '

小结
1. 知识小结

2. 思想方法
线线平行 线面平行 面面平行

作业
P58练习1,2,3 P62 习题2.2 A 组 7, 8

2.2.3

直线与平面平行的 性质

复习

直线与平面平行的判定定理是什么?
定理 若平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行,则该直线与此平面平行.

问:其逆定理是否成立?

思考1

如果直线a与平面α平行,那么直线a与平 面α内的直线有哪些位置关系?

a
α

思考2

若直线a与平面α平行,那么在平面α内与直 线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如 何?

a
α

思考3

教室内日光灯管所在的直线与地面平行,如 何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行?

a

α

直线与平面平行
性质定理及证明 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这 条直线和交线平行.

已知: a // ? ,? ? ? ,? ? ? ? b a // b . 求证: 证 明:

? ?? ?b . ? b ??
a // ?

? ? ?

? a ? b ? ?? ? 又a ? ? ? ? a // b ? b?? ?

问题解决

教室内日光灯管所在的直线与地面平行,如 何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行?
灯管

地面

例1 在图中所示的一块木料中,棱BC平行于平面A’C’ . (1)要经过平面 内的一点P 和棱BC将木料据开,应怎样画线? (2)所画的线和平面AC 是什么位置关系?

A?C ?

D′ A′ D A B P C′

B′
C

例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证另一条 也平行于这个平面.

如图,已知直线a,b和平面α ,a∥b, a∥α , a,b都在平面α外 . 求证:b∥α .

b

a
α c

练习 如果三个平面两两相交,有三条交线,如果有两条交线平行,那么第 三条交线和这两条交线的位置关系如何?

b

β

?
l α a

三条交线两两平行

小结
直线与平面平行的性质定理可简述为
“线面平行,则线线平行”

思想方法 线面平行的性质定理不但提供了用线面平行来证明线线平行的方法, 也提供了作平行线的一种方法.

作业
P61-63习题2.2 A组1,2,5,6

2.2.4

平面与平面平行的性质

复习1: 两个平面的位置关系是

平行或相交 .

? ?

复习2:

两个平面平行的判定

判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

思考1 若

l与平面β的位置关系如何? ? // ? ,,则直线 l ??

?

l

?

两个平面平行的性质
结论1
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平 面.

?

a

? // ? , a ? ? ? a // ?
?

思考2 若 如何?

?,直线 // ?

l 与平面α相交,那么直线 l 与平面β的位置关系

l

α β

思考3

若 ?//? ,平面α、β分别与平面γ相交于直线a、b,那么直线a、b 的位置关系如何?为什么?

α β

a b

?

两个平面平行的性质定理 定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线 平行.

即:

? // ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? b? ?
这个定理判定两直线平行的依据之一

例1 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.

A

C

β

α

B

?

D

例2 在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M在CD′上,试判断直线MB′与平面 BDA′的位置关系,并说明理由.

C′ A′

B′

D′

M

C

B

D

A

例3 如图,已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段,M、N分别为 AB、CD的中点,求证:MN∥平面β.

C A α N M E D β B

l

练习1

如果三个平面两两相交,那么它们的交线位置如何?

b γ

β

β α

l α

γ a b l a

相交于一条交线

三条交线两两平行

三条交线相交 于一点

应用举例
练习2 一条斜线和两个平行平面相交,求证它和两个平面所成的角相等.

小结
1. 知识小结 几个结论和性质的应用 2. 思想方法

面面平行

线面平行或线线平行

作业
P61 练习 P63习题2.2 B组2,3,4

2.3 直线、平面垂直的 判定及其性质

主要内容
2.3.1 直线与平面垂直的判定

2.3.2 平面与平面垂直的判定

2.3.3 直线与平面垂直的性质

2.3.4 平面与平面垂直的性质

2.3.1

直线与平面垂直的 判定

复习1 直线和平面的位置关系

直线在平面内

直线与平面相交

直线与平面平行

观察
旗杆与地面的位置关系

大桥的桥柱与水面的位置关系

线面垂直

直线和平面垂直
思考1 旗杆与地面中的直线的位置关系如何?

思考2

将一本书打开直立在桌面上, 观察书脊 (想象成一条直线)与桌面的位置关系呈什么 状态?此时书脊与每页书和桌面的交线的位置 关系如何?

思考3

一条直线与一平面垂直的特征是什么?

特征:直线垂直于平面内的任意一条直线.

A C

?

C?

B?

B

直线和平面垂直
定义 如果直线 l 与平面?内的任意一条直线都垂直,我们说直线 l 与平 面? 互相垂直.

记为l ? ?

平面 ? 的垂线 垂足

l
P

直线 l 的垂面

?
平面内任意一 条直线

思考4

如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线, 那么这条直线是否与这个平面垂直?

l α

探究 如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验:

A

A
D

C
B
D

C

?

B

过?ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD, DC于桌面接触). (1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面?垂直.

A

A

C
B
D

D

C

?

B

当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时,AD 所在直线与桌面所在平面α垂直.

思考5
(1)有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平面 上的一条直线垂直,就可以判断AD 垂直平面 ,你同意他的说法吗?

? ?

(2)如图,由折痕 变, ,

AD ? CD

,翻折之后垂直关系不 AD ? BC .由此你能得到什么结论?

AD ? BD
A

A
C
D

B

D

C

?

B

线面垂直的判定
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线 与此平面垂直.

? ? ? a ?? ??l ?? ? b ?? a ?b ? A ? ?
作用: 判定直线与平面垂直. 思想: 直线与平面垂直

l?a l ?b

l

b

?

A

a

直线与直线垂直

例1. 如图,已知 证明:在平面 因为直线 内作

,求证

a // b, ? a ??
两条相交直线m,n.

b ? ?.
b
n

?

, a ??

a

根据直线与平面垂直的定义知

a ? m, a ? n.
又因为 所以

?
是两条相交直线,

m

b // a
b ? m, b ? n.


所以

m ? ? , n ? ? , m, n
b ? ?.

例2 已知:正方体中,AC是面对角线,BD' 是与AC 异面的体对角线. 求证:AC⊥BD'

D′ A′ D A B

C′

B′
C

证明:连接 BD
因为正方体ABCD-A'B'C'D' 所以DD‘⊥平面ABCD 又因为 AC ? 平面ABCD 所以 AC ? DD'
A′

D′
B′

C′

因为AC、BD 为对角线
所以AC⊥BD 因为DD'∩BD=D 所以AC⊥平面D'DB 所以AC⊥BD'
A

D

C

B

例3 在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点, 求证:AD⊥PC.

P D A B

C

探究 如图,直四棱柱 A?B?C ?D? ? ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱) 中,底面四边形 ABCD 满足什么条件时,A?C ? B?D? ?

A? B?

D?

C?

A D B
答:底面四边形ABCD对角线相互垂直.

C

小结
直线与平面垂直的判定定理可简述为 “线线垂直,则线面垂直”

思想方法 通过直线间的垂直,推证直线与平面垂直,即将直线与平面的垂 直关系(空间问题)转化为直线间的垂直关系(平面问题).

问题提出

前面讨论了直线与平面垂直的问题,那么直 线与平面不垂直时情况怎么样呢?

第2课时

直线与平面所成的角

线面角相关概念
平面的斜线 平面的垂线

P
斜足A

l

垂足B

α
斜线PA在平面内的射影

A

B

斜线PA与平面?所成的角为?PAB

1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的 射影所成的角 (0,900 )
2.平面的垂线与平面所成的角为直角
3. 一条直线与平面平行或在平面内,则这条直线与平面所成的角的 00角

一条直线与平面所成的角的取值范围是

[0,900 ]

例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.

(1)求直线A1B和平面ABCD所成的角;
(2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
D1 C1 B1 A1

O C D A B

例2 如图,AB为平面?的一条斜线,B为斜足, AO⊥平面?,垂足为O,直线BC在平面?内,已知 ∠ABC=60°,?OBC=45°,求斜线AB和平面α所 成的角.
A

B D

O

α

C

思考1

如图,∠BAD为斜线AB与平面α所成的角,AC 为平面α内的一条直线,那么∠BAD与∠BAC的大小 关系如何?
B 解:作BO?AD于O,BE?AC于E, 则 BD<BE sin?BAD<sin?BAC o A

D ∠BAD >∠BAC

α

E

C

思考2

两条平行直线与同一个平面所成的角的大小 关系如何?反之成立吗?一条直线与两个平行平 面所成的角的大小关系如何?

思考3

1.两条平行直线在同一个平面内的射影可能 是哪些图形?
2.两条相交直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形?

3.两条异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形?

小结
1. 直线与平面的位置关系可以用直线与平面所成的 角来度量. 线面垂直和线面平行是特殊情况.

2. 斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线 所成角中最小的角.
3. 求一斜线与平面所成的角的关键是找出该斜线在 平面内的射影.

作业
P67练习1,2,3

2.3.2

平面与平面垂直的判定

地球赤道面 卫星轨道面

概念

直线上的一点将直线分割成两部分,每一部 分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成 两部分,每一部分叫半平面.

射线 射线

半平面

半平面

概念

A
从一点出发的两条射线,构成平面角.

O
记作?AOB 同样,从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的 棱,这两个半平面叫做二面角的面.

B

?

m

?

记为:二面角?-m-?

二面角的图示

二面角的记号
(1)以直线 为棱,以 l 为半平面的二面角记为:

?, ?

(2)以直线AB为棱,以 为半平面的二面角记为:

?, ?

? ?l ? ?
?
l

? ? AB ? ?
?
B

?

?

A

思考3

两个相交平面有几个二面角?

探究

如何用平面角来表示二面角的大小?
β B l

二面角?-l-?
O A β B l O α A α

二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个 面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线 所成的角叫做二面角的平面角.

∠AOB即为二面角α-AB-β的

平面角

注意:二面角的平面角必须满足: (1)角的顶点在棱上. (2)角的两边分别在两个面内. (3)角的边都要垂直于二面角的棱.

二面角的取值范围

?0 ,180 ?或 [0,? ]
0 0

β

l

α

0度角

00~1800

180度角

例1.在正方体中,找出二面角C1-AB-C的平 面角,并指出大小.
D1 B1 C1

A1

N M D C

A

B

端点

例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角B1-AC-B的正切值.

C1 B1 C
O

D1 A1 D A

B

例3 如图所示,河堤斜面与水平面所成二面角 为300,堤面上有一条直道CD,它与堤角的水平线AB 的夹角为450 ,沿这条直道从堤脚C向上行走10m到 达E处,此时人升高了多少m?

D E
O

A C

F

B

小结二面角的平面角的作法:

1.定义法: 根据定义作出来.

?
A o

l

?
B

2.作垂面: 作与棱垂直的平面与两半平面 的交线得到.
3.应用三垂线定理: 应用三垂线定理或其逆定理作 出来.

o

?
A
l

?
B

l

A
o

?
?

l

B

第2课时

平面与平面垂直的判定

平面与平面垂直的判定
定义 一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平 面互相垂直.

记为??? β a A α b ? ?

判定定理:如果一个平面经过另一个平面的 垂线,则这两个平面垂直.
β

a?? a ? 面?

?? ? ?
α

a

A

线线垂直

线面垂直

面面垂直

例1 如图,⊙O在平面α内,AB是⊙O的直径, 同于A、B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.

PA⊥α,C为圆周上不

P

C A O B

证明: ? PA ? 面? , BC ? 面?
又? AB为圆的直径

? PA ? BC ? AC ? BC

? AC ? BC ? ? PA ? AC ? A ? ? PA ? 面PAC ? ? AC ? 面PAC ?
BC ? 面PAC ? ? ? 面PAC ? 面PBC BC ? 面PBC ?

PA ? BC

例2 在四面体ABCD中,已知AC⊥BD,∠ BAC= ∠CAD=45°,∠BAD=60°, 求证:平面ABC⊥平面ACD.

D

C E

B

A

例3 如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,M为AB的中 点,求证:平面PMC⊥平面PCD.

P
F E

D A M

C

B

探究: 已知AB ? 面BCD, BC ? CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?

AB ? 面BCD ? 面ABC ? 面BCD AB ? 面BCD ? 面ABD ? 面BCD CD ? 面ABC ? 面ABC ? 面ACD
B

A

D C

小结
1. 知识小结 1)二面角及其平面角 2)两个平面互相垂直 2. 思想方法
线线垂直 线面垂直 面面垂直

作业
P69练习 P73习题2.3 A,1,2,3,4.

2.3.3

直线与平面垂直的 性质

复习

a??

直线与平面垂直的定义是什么?

直线与平面垂直的判定定理是什么?

a

α

思考1 如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱AA1,BB1,CC1,DD1所在直线与底面ABCD 的位置关系如何?它们彼此之间具有什么位置关系?

C1 A1

D1

B1

C B A

D

思考2

如果直线a,b都垂直于同一条直线l,那么直线a,b的位置关系如何?

l
a b a b

l

b

l
a

相交

平行

异面

思考3 如果直线a,b都垂直于平面α,那么a与b一定平行吗?

a

b

?

直线与平面垂直的性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行
a b

?
a ??? ? ? a // b b ???

直线与平面垂直
性质定理的证明

反证法证明:
a b’

b

α

O

c

例1
求证:

如图,已知
.

CB ?于点 ? B,

? ? ? 于点 ? lA ,, CA ? ? , a ? ? , a ? AB,
C
β

a // l

B α l A a

小结
直线与平面垂直的性质定理可简述为
“线面垂直,则线线垂直” “线面垂直,则线线平行” 思想方法 线面垂直的性质定理不但提供了用线面垂直来证明线线平行的方 法,也提供了作平行线的一种方法.

作业
P71练习1,2 P73习题2.3 A组,5,6. B组1,2

2.3.4

平面与平面垂直的性质

复习1

两个平面相互垂直

三个平面两两垂直

α
β

α

β

l γ

l

复习2

两个平面垂直的判定

判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线, 那么这两个平面互相垂直.
α

β

l

1.黑板所在平面与地面所在平面垂直,在黑板上是否存在直线与地面垂直? 若存在,怎样画线?

α

β

2.如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,平面A1ADD1与平面ABCD垂直,其交线为 AD,直线A1A,D1D都在平面A1ADD1内,且都与交线AD垂直,这两条直线与平面 ABCD垂直吗?

C1

D1

B1

A1

C

D

B

A

3. 设 ? , , ? ? CD , AB ? ? , AB ? CD 垂足为B,那么直线AB与平面?的位置关系如何?为什么?

?

? ?

?

β E D

B α C

A

两个平面垂直的性质
性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂 直于交线的直线与另一个平面垂直.
β
a l α A
面面垂直?线面垂直

? ?? ? ? ? ? ? ? l? ? a ? ? ? a?? ?
a?l ? ?

若α⊥β,过平面α内一点A作平面β的垂线a,那么垂线a与平面?具有什么样 的位置关系?

α

A

反证法证明点B在两个平面的交线 上

B
β

B’

注意:过一点只能作一条直线垂直于 已知平面.

结论
如果两个平面互相垂直,那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平 面的直线,必在这个平面内.

α

A

B β

例1.如图,已知α⊥β,a⊥β,a??,试判断直线l与平面α的位置关系, 并说明理由.

α b l β A a

例2 如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,AB=2, BC ? 2 ,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD. (1)证明:侧面PAB⊥侧面PBC; (2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角.

P

A
E B

D

C

对于三个平面?、?、?,如果???,???,β??,???= l ,那么直线l与平面? 的位置关系如何?为什么?

β

l
α a b ?

解答:在?内分别作平面的垂 线a、b,则a? l,b? l, a与b 必相交. 所以l⊥?

小结
1. 知识小结 几个结论和性质的应用 2. 思想方法

面面垂直

线面垂直或线线垂直

作业
P73练习:1,2.

P73习题2.3A组:7,8,9
P74习题2.3B组:3,4

第三章
3.1 3.2 3.3

3.1

直线的 倾斜角和斜率

主要内容
3.1.1 倾斜角与斜率 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

3.1.1 倾斜角与斜率

倾斜角与斜率
y

对于平面直角坐标系 内的一条直线l,它的位 置由哪些条件确定呢? o x 两点确定一条直线. 还有其他方法吗?或 者说如果只给出一点,要 确定这条直线还应增加什 么条件? 在直角坐标系中,图中的四条红色直线在位置上有 什么联系和区别? 经过同一点 倾斜程度不同

倾斜角与斜率
直线的倾斜角 当直线l与x轴相交时, 我们取x轴作为基准,x轴 正向与直线l向上方向所成 的角?叫做直线l 的倾斜角. 0 ??<180
o o

y

y

y
l

l4
y o

y o

l3

l2

l1
o

l

x
o

P
l

? x
x

y o

o?x
l

? xx

l1的倾斜角为锐角 l2的倾斜角为直角 l3的倾斜角为钝角

规定:当直线与x轴平行或重合时,它的倾斜角为0o

平面直角坐标系内,任何一条直线都有倾斜角, 倾斜角表示平面坐标系内一条直线的倾斜程度.

在平面直角坐标系中,已知直线上一点不能 3x 的图象是直线,在坐标 一次函数 y ? x, y ? 确定一条直线的位置 . 同样已知直线的倾斜角, 系中画出这两条直线,并求这两条直线的倾斜角分 也不能确定一条直线的位置. 别是多少? y y 已知直线上一点和其倾斜角可以惟一确定一 y y=x A y ? 3x 条直线. C A 问:不同的直线其倾斜角一定不相同吗? y=x+1
o B x o C o
D B x x

取点A(1,1) B(1,0) 取点 取点 A(1 C( ,1 2) , B(1 ,0) D( C(-1 1,0 , ) 0) 3 )

?AOB=450

00 ? ? ACB=45 COD=60

思考:日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量呢? 下列各图中标出的角α是直线的倾斜角吗?
y α
o y y x y o升 α

y

升高量 坡度(比) o? α x x 前进量

o
o

α

?



x
x

前进

直线的斜率 一条直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。 斜率通常用k 表示,即: (? ? 90o ) 0 0 (1)当 ? ?[0 ,90 ) 时,k随? 增大而增大,且k ? 0 0 0 (2)当 ? ? (90 ,180 ) 时,k随? 增大而增大,且k<0

k ? tan ?
0

注意: ? ? 90 时,k不存在

y

o

x

关于直线的倾斜角和斜率,其中DEF __说法是正确的. A.任一条直线都有倾斜角,也都有斜率; B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大; C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π; D.两直线的斜率相等,它们的倾斜角相等 E.直线斜率的范围是(-∞,+∞).. F. 一定点和一倾斜角可以唯一确定一条直线

1.当倾斜角α =0 ,30 ,45 ,60 时,这条直线 的斜率分别等于多少? 2.当倾斜角α =120 ,135 ,150 时,这条直线的
o o o

o

o

o

o

斜率分别等于多少?
3.当直线的倾斜角在什么范围时,其斜率k>0? 当直线的倾斜角在什么范围时,其斜率k<0? 倾斜角为锐角时,k>0; 倾斜角为钝角时,k<0; o 倾斜角为0 时,k=0.

4.指出下列直线的倾斜角和斜率: (1) y ? ? 3x; (2) y ? x tan60?;  (3) y ? x tan( ?30?).  5.结合图形,观察倾斜角变化时,斜率的变化情况.
y o x y o x y o x y o x

如果给定直线的倾斜角,我们当然可以根据斜率 的定义 k =tanα求出直线的斜率; 如果给定直线上两点坐标,直线是确定的,倾斜 角也是确定的,斜率就是确定的,那么又怎么求出直

线的斜率呢?

探究: 经过两点 p1 ( x1 , y1 ), p2 ( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 的直线的斜率k
y y

P1 ( x1 , y1 )
o
?

P2 ( x2 , y2 )
?

P2 ( x2 , y2 )
?

y

y

Q( x2 , y1 ) Q( x2 , y1 )
x

P 1 ( x1 , y1 ) ?

P2
?

P1
?

P1
Q
?

Q

P2

o

x

o

x

?

o

x

(1)

(2)

(3)

(4)

1.当直线 PP 1 2 的方向向上时:

k 图(1)在 Rt ?PP 1 2Q 中,

? tan ?

0 Q ? tan(180 ? ? ) ? ? tan ? k ? tan ? 图(2)在 Rt ?PP 中, 1 2 y2 ? y1 | QP2 | y2 ? y1 tan ? ? | QP | ? x ? x ? ? x ? x 2 1 1 1 2 y2 ? y1 y1 ? y2 ? k ? tan ? ? ? x2 ? x1 x1 ? x2 y2 ? y1 y1 ? y2 ? 同理也有k ? tan ? ? 2.当直线 PP 1 2 的方向向下时, x2 ? x1 x1 ? x2

| QP2 | y2 ? y1 ? tan ?QPP ? 1 2 ? x2 ? x1 | QP 1|

斜率公式 经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 的直线的斜率公式

公式的特点: (1) 与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两 点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 o (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=90 1.当直线P1P2平行于x轴或与x轴重合时,用上述公 式求斜率. 由y1=y2,得 k=0 2.当直线P1P2平行于y轴或与y轴重合时,上述公式 由x1=x2,分母为零,斜率k不存在 还适用吗?为什么?

y2 ? y1 k? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

例1 、如图,已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2), 求直线AB、BC、CA的斜率,并判断这 些直线的 倾斜角是什么角? y. B . A 解: . . . . . . . o x 2?2 . ?0 直线AB的斜率 k ?
AB

直线BC的斜率 kBC 直线CA的斜率 kCA

?2?2 ?4 1 ? ? ?? 0 ? (?8) 8 2

?8? 4

C

∵ k AB ? 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ k BC ? 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA ? 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角

2 ? ( ?2) 4 ? ? ?1 4?0 4

例2 . 已知点A(3,2),B(-4,1),C(0,-l),求 直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角.

例3 在平面直角坐标系中,画出经过原点且 斜率分别为1,-1,2及-3的直线l1,l2,l3及l4.
l4 l2

y

l3

l1

思考:斜率随倾斜角 逐渐变大是怎样的变 化?

o

x

y

o
0 0 45 ? ? ? 60 ? 例4、(1)直线的倾斜角为 ,且

x

[1, 3] 则直线的斜率k的取值范围是______ 。

(2)直线的倾斜角为 ? ,且 450 ? ? ? 1350 [1, ??) ? (??, ?1] 。 则直线的斜率k的取值范围是_______
(3)设直线的斜率为k,且 ?1 ? k ? 1 ,则直线
0 0 0 0 [0 , 45 ) ? [135 ,180 的倾斜角?的取值范围是_______。 )

小结:1.由()( 1 2)得出:若?的范围不含900,则k范围取中间 若?的范围含900,则k范围取两边 2.由(3)得:负 ? k ? 正,应将k值分为正负两部分,

再求角范围

(3,2),( B -4,1),C(0, ?1 ), 例5:已知点 A

(1).求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这 些直线的倾斜角是锐角还是钝角 (2).过点C的直线 l 与线段AB有公共点, 求 l 的斜率k的取值范围
y

A B

o
C

1? 2 1 解:(1)k AB ? ? 锐角 ?4 ? 3 7 ?1 ? 1 1 k BC ? ?? 钝角 0 ? ( ?4) 2 x ?1 ? 2 锐角 kCA ? ?1 0?3 1 (2)k ?[1,+?)?(-?,- ] 2

一半

3 例6:已知直线AB的斜率为 4 ,直线
解:kl ? 2k AB 3 3 ? 2? ? 2 4 tan 2?
错解 2?

l 的倾斜角是 直线AB的倾斜角 ?的两倍,求直线 l 的斜率.

? ? 2 tan 2 tan 3 2k 2 2 解:由 tan ? ? 得: ? ? ,即 2 4 1 ? k 2? 2? 1 ? tan 1 ? tan 2 2 1 2 3k ? 8k ? 3 ? 0, 解得:k1 ? 或k2 ? ?3 (舍) 3

3 24 4 解:k ? tan 2? ? ? ? 2 1 ? tan ? 1 ? ( 3 ) 2 7 4

小 结

1 直线倾斜角的概念 2 直线的倾斜角与斜率的对应关系 ?a ? 0? ? k ? tan0? ? 0 ? ? ? 0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? ? ? a ? 90 ? tan a(不存在) ? k不存在 ? ?90? ? a ? 180? ? k ? t ana ? 0 ? 3 已知两点坐标,如何求直线的斜率? 斜率公式中脚标1和2有顺序吗?
y2 ? y1 y1 ? y2 k? ? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1 x1 ? x2

作业

P86练习:1,2,3,4. P89习题3.1A组:1,2,3,4,5

y

y

o

x

o

x

3.1.2
两条直线的 平行与垂直的判定

在平面直角坐标系下,倾斜角可以表示直线的 倾斜程度, 斜率也可以表示直线相对于x轴的倾斜 程度。我们能否通过直线斜率来判断两条直线的位 置关系? y

l1

l2

y2 ? y1 k? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

o

?1

?2

x

设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2
若l1// l2, 则k1,k2满足什么关系? l1 // l2 k=tan?

? ?1 ? ? 2

l1 // l2且斜率都存在? k1 ? k2

反之, 若k1=k2, ,则易得 l1// l2

两条直线平行的条件
对于两条不重合的直线,平行的充要条件

l1 // l2 ? k1 ? k2或斜率都不存在
如果两直线垂直,这两条直线的倾斜角有什么 关系?斜率呢? 如图,设直线l1与l2的倾斜角 y 分别为α1与α2,且α1<α2,

l2
α
1

l1 α
2

因为l1⊥l2 ,所以α2=90 +α1 1 tan? 2 ? ? cot?1 ? ? tan?1
1 所以k 2 ? ? k1

o

O

x

两条直线的垂直判定
当 k 1· k2 =-1时,直线l1与l2一定垂直吗? 是 对于两条互相垂直的直线l1和l2,若一条直 线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率如何? y l1 y l1 l2 l
2
o x

对于直线l1和l2,其斜率 分别为k1,k2,根据上述分析 可得什么结论?

O

α

1

α

2

x

l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1

例1 下列说法正确的是( ③ ) ①若两条直线斜率相等,则两直线平行。 ②若l1//l2, 则k1=k2 ③若两条直线中有一条直线的斜率不存在, 另一条直线的斜率存在,则两直线相交。 ④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行。
例2 已知A、B、C、D四点的坐标,试判断直线 AB与CD的位置关系. (1)A(2,3),B(-4,0) C(-3,l),D(-l,2); (2)A(-6,0),B(3,6) C(0,3),D(6,-6); (3)A(-6,0),B(3,6) C(0,3),D(6,-6); (4)A(3,4),B(3,100) C(-10,40),D(10,40).

例3.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状, 并给出证明.
y D C A o B
P Q y A

x

B

o

x

例4.已知A(2,3),B(-4,0), P(-3,1),Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系,并证明你的结论。 例5 已知过A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2 的直线平行,则m 的值是( ) A、-8 B 、0 C 、2 D、10

例6、已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6), 判断直线AB与PQ的位置关系。 例7 已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3),试判断△ABC y C 的形状.
B o A x

例8 已知点A(m,1),B(-3,4),C(1,m),D(-1,m+1), 分别在下列条件下求实数m的值: (1)直线AB与CD平行; (2)直线AB与CD垂直.

练习:
1.下列命题中正确命题的个数是( A ) ①若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行; ②若两条直线平行,则这两条直线的斜率相等; ③若两直线垂直,则这两条直线的斜率之积为-1; ④若两条直线平行,则这两条直线的倾斜角相等; ⑤若两直线的斜率不存在,则这两条直线平行. A.1 B.2 C.3 D.4 2.直线 l1 的倾斜角为 30°,直线 l1⊥l2,则直线 l2 的斜率为( B ) 3 3 B .- 3 D .- 3 A. 3 C. 3 3.直线 l 平行于经过两点 A(-4,1),B(0,-3)的直线,则 直线的倾斜角为( D ) A.30° D.135° 2 4.原点在直线 l 上的射影是 P(-2,1),则 l 的斜率为___. B.45° C.120°

重难点 1 两直线平行

1.已知直线 l1:y=k1x+b1 , l2:y=k2x+b2,
如果 l1∥l2,则 k1=k2 且 b1≠b2; 如果 k1=k2 且 b1≠b2,则 l1∥l2. 2.当 l1 与 l2 的斜率都不存在且 l1 与 l2 不重合时,则 l1 与 l2 平行. 重难点 2 两条直线垂直 (1)当 l1⊥l2 时,它们的斜率之间的关系有两种情况: ①它们的斜率都存在且 k1k2=-1; ②一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为 0. (2)使用 l1⊥l2?k1k2=-1 的前提是 l1 和 l2 都有斜率且不等于 0. 注意:在立体几何中,两直线的位置关系有平行、相交和异面 (没有重合关系);而在本章中,在同一平面内,两直线有重合、平行、 相交三种位置关系.

两条直线平行的判定 例 1:已知直线 l1 过点 A(3,a),B(a-1,4),直线 l2 过点 C(1,2), D(-2,a+2). (1)若 l1∥l2,求 a 的值; (2)若 l1⊥l2,求 a 的值. 思维突破:由 C、D 两点的横坐标可知 l2 的斜率一定存在,由 A、B 两点的横坐标可知 l1 的斜率可能存在也可能不存在,因此应 对 a 的取值进行讨论. 2 - ?a+ 2 ? a l k k 解:设直线 2 的斜率为 2,则 2= =-3, 1 - ?- 2 ? a- 4 a (1)若 l1∥l2,则 k1= (a≠4)=-1=k2=-3, 3 - ?a- 1 ? ∴a=3. (2)若 l1⊥l2, 当 k2=0 时,此时 a=0,k1=-1,显然不符合题意; 当 k2≠0 时,l1 的斜率存在,此时 k1=-1, 由于 l1⊥l2,∴k1· k2=-1,解得 a=-3.

判断两条直线平行( 或垂直) 并寻求平行( 或垂直)的条件时,特 别注意结论成立的前提条件.对特殊情形要数形结合作出判断.

变式训练:试确定 m 的值,使过点 A(m+1,0)和点 B(-5,
m)的直线与过点 C(-4,3)和点 D(0,5)的直线平行. 5 -3 1 m-0 m = ,kCD= =2 解:由题意得:kAB= ? ? 0 4 - - -5-?m+1? -6-m m 1 由于AB∥CD,即 kAB=kCD,所以 =2,所以 m=-2. 6 m - - 两条直线垂直的判定 例 2:已知 A(1,-1),B(2,2),C(4,1),求点 D,使直线 AB⊥CD 且直线 AD∥BC. 解:设 D(x,y),∵AB⊥CD, 2- ? - 1? 1- y 1- y kAB= =3,kCD= , ∴ 3× =-1 ①. 2- 1 4- x 4- x y-?-1? y+1 1- 2 1 y+1 1 ∴ =- ②. = =- , 又AD∥BC,kAD= ,kBC= 2 x- 1 x- 1 x- 1 4- 2 2 由①②,则 x=-17,y=8,则 D(-17,8).

变式训练:已知三点 A(m-1,2),B(1,1),C(3,m2-m-1),
若 AB⊥BC,求 m 的值. 解:设 AB、BC 的斜率分别为 k1、k2, m2-m-1-1 m2-m-2 = , 则 k 2= 3- 1 3- 1 又知 xA-xB=m-2, ①当m-2=0,即m=2时,k1不存在,此时k2=0,则AB⊥BC; 1 m 2 0 m 2 k . ②当 - ≠ ,即 ≠ 时, 1= m-2 2 m -m-2 1 · 由 k1k2= =- 1,得 m=- 3, 2 m-2 故若 AB⊥BC,则 m=2 或 m=-3.

平行和垂直关系的综合应用 ?14 23? 例 3:已知 A(0,1),B(2,5),C? 5 , 5 ?,D(-1,-3),试判 ? ? 断四边形 ABCD 是否为梯形?如果是梯形,是否是直角梯形? 5- 1 解:∵直线 AB 的斜率 kAB= = 2, 2- 0 23 ? 3? 5- - 直线 CD 的斜率 kCD=14 =2,∴kAB=kCD. ? 1? 5- - 又∵直线 AB 和直线 CD 不重合,∴AB∥CD. 23 -5 - 3- 1 1 5 ∵直线 AD的斜率kAD= , 直线 的斜率 BC =-2 =4 kBC= - 1- 0 14 -2 5 ∴k ≠k
AD BC

即直线 AD 与直线 BC 不平行.∴四边形 ABCD 是梯形. 1 kBC=-2?2=-1, 又∵kAB· ∴AB⊥BC. ∴梯形 ABCD 是直角梯形.

(1)判断一个四边形为梯形,需要两个条件:①有一对相互平行的 边;②另有一对不平行的边.(2)判断一个四边形为直角梯形,首先需 要判断它是一个梯形,然后证明它有一个角为直角. ? 7? ? 变式训练:求证:顺次连接 A(2,-3),B?5,- 2÷ ,C(2,3), ? D(-4,4)四点所得的四边形是梯形. 7 -2-?-3? 4- 3 1 1 证明:∵kAB= =-6,kCD= =-6,∴kAB 5- 2 -4-2

=kCD,从而 AB∥CD.

-3-4 13 7 又∵kBC= =- 6 ,kDA= =-6,∴kBC≠kDA. 2-5 2-?-4?
从而直线 BC 与 DA 不平行, ∴四边形 ABCD 是梯形.

? 7? 3-?-2? ? ?

注意陷阱:在直角△ABC 中,∠C 是直角,A(-1,3),B(4,2),
点 C 在坐标轴上,求点 C 的坐标. 错因剖析:没有分类讨论,主观认为点 C 在 x 轴上导致漏解. 正解:(1)当点 C 在 x 轴上时,设 C(x,0), -3 -2 , 则 kAC= ,kBC= x+ 1 x- 4 6 ∵AC⊥BC,∴kAC· kBC=-1,即 =-1, ?x+1??x-4? ∴x=1 或 x=2,故所求点为 C(1,0)或 C(2,0). (2)当点 C 在 y 轴上时,设 C(0,y),由 AC⊥BC, y- 3 y- 2 kBC=-1,故 · 知 kAC· =-1, 0+ 1 0- 4 5+ 17 5- 17 ∴ y = 2 或 y= 2 . 5- 17? 5+ 17? ? ? ? ? 或 C ?0 , . 故 C ?0 , 2 ? 2 ? 5- 17? 5+ 17? ? ? ? ? 为所求. C(1,0) 或 C(2,0) 或 C?0, 综上所述: 或 C ?0 , ? ? 2 2

变式训练:已知点 A(-2,-5),B(6,6),点 P 在 y 轴上,且
∠APB=90°,试求点 P 的坐标. 解:设点 P 的坐标为(0,b),则 kAP· kBP=-1, b- ? - 5? b- 6 即 · =-1,解得 b=7 或 b=-6. 0- ? - 2? 0- 6 所以点 P 的坐标为(0,7)或(0,-6).

小结 1.两条直线平行的判定
2.两条直线垂直的判定 3.思想方法 倾斜角、平行是几何概念, 坐标、 斜率是代数概念,解析几何的本质是用 代数方法来研究几何问题.

作业 P89练习:1,2.
P90习题3.1 A组:8. B组:3,4.

3.2

直线的方程

主要内容
3.2.1 直线的点斜式方程 3.2.2 直线的两点式方程 3.2.3 直线的一般式方程

3.2.1

直线的点斜式方程

在平面直角坐标系内,如果给定一条直线 l 经 过的一个点 P ?x , y ? 和斜率 k ,能否将直线上所

有的点的坐标 ? x, y ?满足的关系表示出来呢?
y

0

0

0

l

P0
O x

点斜式方程
直线 l 经过点 P0 ?x0 , y0 ?,且斜率为 k ,设点 P?x, y ? 是直线上不同于点 P 的任意一点,因为直线 l 的斜率
0

为 k ,由斜率公式得:

y ? y0 k? , x ? x0
即: 点斜式方程

y

P

l

P0
O x

y ? y0 ? k ?x ? x0 ?

点斜式方程
(1)过点 P ,斜率是 k 的直线 l 上的 0 ?x0 , y0 ? 点,其坐标都满足方程 y ? y0 ? k ?x ? x0 ? 吗?

在过点 P 斜率为 k 的直线 l 上吗? 0 ?x0 , y0 ?
上述两条都成立,所以这个方程

(2)坐标满足方程 y ? y0 ? k ?x ? x0 ? 的点都

就是过点 P 斜率为 k 的直线 l 的方程. 0 ?x0 , y0 ?

y ? y0 ? k ?x ? x0 ?

(1)x 轴所在直线的方程是什么? 当直线 l的倾斜角为 0 ? 时,即 tan 0? ? 0.

这时直线 l 与

x 轴平行或重合,
y

l 的方程就是
y ? y0 ? 0 ,或 y ? y0

P0 l
O x

(2) y 轴所在直线的方程是什么?

当直线 l 的倾斜角为 90? 时,直线没有斜率,这 时,直线 l 与 y 轴平行或重合,它的方程不能用点斜 式表示.这时,直线 l 上每一点的横坐标都等于 x0,
所以它的方程就是 y l

x ? x0 ? 0 ,或 x ? x0
O

P0
x

例1 直线 l 经过点P0(-2,3),且倾斜角为600, 求直线l的点斜式方程,并画出直线 l.

y P P0 o x

直线的斜截式方程
如果直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 ?0, b ?

得直线的点斜式方程,
也就是: y ? kx ? b

y ? b ? k ? x ? 0?
y

l
b

我们把直线与 y 轴交点的纵坐标 叫做直线在y轴上的截距。

P0
O

x

该方程由直线的斜率与它在 y 轴上的截距确定, 所以该方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式.

例2 已知直线 l1 : y ? k1 x ? b1,l2 : y ? k2 x ? b2 ,

试讨论:(1) l1 // l2 的条件是什么?(2) l ? l 1 2 的条件是什么?
解: l1 : y ? k1 x ? b1,l2 : y ? k2 x ? b2

l1 // l2

k1 ? k2 ,且 b1 ? b2 ; k1k2 ? ?1.

l1 ? l2

? ?

例3 求下列直线的斜截式方程: (1)经过点A(-1,2),且与直线 y=3x+1垂直; (2)斜率为-2,且在x轴上的截距为5.

例4 已知直线 l 的斜率为 1 ,且与两坐标轴围
2

成的三角形的面积为4,求直线l的方程.

小结
1. 直线的点斜式方程:
2. 直线的斜截式方程:

y ? y0 ? k ?x ? x0 ?
y ? kx ? b

3. 特殊情况 ①直线和x轴平行时,倾斜角α=0°

y ? y0 ? 0或y ? y0
②直线与x轴垂直时,倾斜角α=90°

x ? x0 ? 0或x ? x0

作业
P95练习:1,2,3,4 P100习题3.2 A组:1,5,6,10.

3.2.2 直线的两点式方程

已知直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2), (x1?x2 ,y1?y2),如何求出这两个点的直线方程呢? 经过一点,且已知斜率的直线,可以写出它 的点斜式方程.

可以先求出斜率,再选择一点,得到点斜式 方程.

两点式方程
根据两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),
y2 ? y1 斜率 k ? x2 ? x1

y
P1(x1,y1)

l

代入y ? y0 ? k ( x ? x0 )得
y2 ? y1 y ? y1 ? ( x ? x1 ) x2 ? x1
P2(x2,y2)

x

两点式

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

截距式方程
例1. 已知直线经过点A(a,0),B(0,b), a?0,b?0,求直线方程 y
B(0,b)

解:代入两点式方程得

y?0 x?a ? b?0 0?a
化简得
A(a,0)

l

x
截距式

x y ? ?1 a b

横截距

纵截距

中点坐标公式
已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)则线段P1P2的中 点P0的坐标是什么? y
A(x1,y1)

B(x2,y2)

中点
x

x1 ? x2 ? x? ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y 2 ? ? 2
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

P0的坐标为 (

例2 已知三角形的三个顶点 A(-5,0),B (3,-3),C(0,2),求BC边所在直线的方程, 以及该边上中线所在直线的方程.

y
C A o

M x B

例3.求经过点P(-5,4),且在两坐标轴上的截 距相等的直线方程.

y

P o
x

例4 求经过点P(0,3),且在两坐标轴上的截距 之和为2的直线方程.

例5. 已知直线 l 经过点P(1,2),并且点 A(2,3)和点 B(4,-5)到直线l 的距离相等,求 直线l 的方程.

y

A

P
o x B

直线方程小结
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

两点式 两点坐标 点斜式 两个截距 截距式

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

x y ? ?1 a b

作业
P97练习:1,2. P100习题3.2A组:3,4,8,9,11.

3.2.3

直线的一般式方程

1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可以 用一个关于x,y的二元一次方程表示吗?

2. 每一个关于x,y的二元一次方程都表示 一条直线吗?

讨论
1. 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式 都是关于X,y的二元一次方程

2. 经过点P(x0,y0)且斜率不存在的直线的方 程: x-x0=0 可以看成y的系数为0的二元一次方程.

3.对于二元一次方程
1)当B?0时可化为

Ax+By+C=0(A,B不全为零)
y??
?

A C x? B B

表示经过点(0, 的直线. 2)

A B

),斜率k为

?

C B

C 当B=0时,A?0,方程可化为 x ? ? A

表示垂直于x轴的直线.

直线的一般式方程
1. 所有的直线都可以用二元一次方程表示
2. 所有二元一次方程都表示直线

Ax ? By ? C ? 0
(其中A,B不同时为0)

此方程叫做直线的一般式方程

4 例1 已知直线经过点A(6,-4),斜率为 ? , 3

求直线的点斜式和一般式方程.

例2 把直线l 的一般式方程 x-2y+6=0化成斜 截式,求出直线l 的斜率以及它在x轴与y轴上的截 距,并画出图形.

两条直线平行和垂直的条件

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0
重合

l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

平行

A1 B1 C1 l1 // l2 ? ? ? A2 B2 C2

垂直

l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0

例3 已知直线
l1:ax+(a+1)y-a=0



l2:(a+2)x+2(a+1)y-4=0,

若l1//l2,求a的值.

例4 已知直线l1:x-ay-1=0和l2:a2x+y+2=0, 若l1⊥l2,求a的值.

小结
斜率和一点坐标 斜率k和截距b 点斜式 斜截式 两点式 两点坐标

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

点斜式
两个截距

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
x y ? ?1 a b

截距式
一般式

Ax ? By ? C ? 0

小结
1.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以 化成一般式. 反之不一定. 2. 特殊的直线方程 如x+2=0, 2y-3=0. 有时不存在点斜式或斜截式、两点式、截距式. 3. 根据一般方程也能很快判断两条直线的位置关系. 4. 一般不特别指明时直线方程的结果都要化成一般 式.

作业
P99-100练习:1,2. P101习题3.2B组:1,2,5.

3.3 直线的交点坐标与 距离公式

主要内容
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离

3.3.3 点到直线的距离
3.3.4两条平行直线间的距离

3.3.1
两条直线的交点坐标

一般地,若直线l1:A1x+B1y+C1=0和 l2:A2x+B2y+C2=0相交,如何求其交点坐标?

用代数方法求两条直线的交点坐标,只需写 出这两条直线的方程,然后联立求解.

几何概念与代数表示
几何元素及关系
点A 直线l 点A在直线l上 代数表示
A(a, b)

l : Ax ? By ? C ? 0
A的坐标满足方程 l : Aa ? Bb ? C ? 0 A的坐标是方程组的解

直线l1与l2的交点是A

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

对于两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,

若方程组

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

有唯一解,有无数组解,无解,则两直线的 位置关系如何?
两直线有一个交点, 重合、平行

例1. 求下列两条直线的交点坐标

l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 l2 : 2x ? y ? 2 ? 0

当?变化时,方程

3x ? 4 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0
表示什么图形?图形有何特点? 表示的直线包括过交点M(-2,2)的一族直线

例2 判断下列各对直线的位置关系,如果相交, 求出其交点的坐标.

(1)l1:x ? y ? 0,
3x ? 4y ? 5 ? 0, (3)l1:

l2: 3x ? 3y ?10 ? 0 ;
l2: 6x ? 8y ?10 ? 0.

6x ? 2y ?1 ? 0; 3x ? y ? 4 ? 0, l2: (2) l1:

例3 求经过两直线3x+2y+1=0 和 2x-3y+5=0的交 点,且斜率为3的直线方程.

例4.设直线y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交,且交点 P在第一象限,求k的取值范围.

y B o P A x

小结
1.求两条直线的交点坐标 2.任意两条直线可能只有一个公共点,也可能 没有公共点(平行) 3.任意给两个直线方程,其对应的方程组得解 有三种可能可能: 1)有惟一解 2)无解 3)无数多解

4.直线族方程的应用

作业
P109 习题3.3A组:1,3,5. P110 习题3.3B组:1.

3.3.2

两点间的距离

已知平面上两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),如何
点P1和P2的距离|P1P2|? y P2(x2,y2)

P1(x1,y1)

O

x

两点间距离公式推导
y y2

P2(x2, y2)

| P2Q |?| y2 ? y1 |
y1
P1(x1,y1) x1

Q(x2,y1)
x2 x

O

| PQ 1 |?| x2 ? x1 |

两点间距离公式
一般地,已知平面上两点P1(x1, y1 )和P2(x2,y2), 利用上述方法求点P1和P2的距离为

| PP ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y 1 ) 1 2 |?
2

2

特别地,点P(x,y)到原点(0,0)的距离为

| OP |?

x ?y
2

2

例1 已知点 A(?1,2) 和 B(2, 7 ) , 在x轴上 求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.

例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对 角线的平方和.

证明:以A为原点,AB为x轴建立直角坐标系.
则四个顶点坐标为A(0,0),B(a,0),D(b,c),C(a+b,c)

y
D (b,c) C (a+b,c) x
建立坐标系, 用坐标表示有 关的量。

A(0,0)

B(a,0)

例2题解
y | CD | ? a 2 2 2 2 2 2 | BC | ? b ? c | AD | ? b ? c
2 2 2 2

| AB | ? a

D (b,c)

C (a+b,c)

| AC |2 ? (a ? b)2 ? c2 | BD |2 ? (b ? a)2 ? c2
2 2 2 2

A (0,0)
2 2

B (a,0)
2

x

| AB | ? | CD | ? | AD | ? | BC | ? 2(a ? b ? c ) | AC |2 ? | BD |2 ? 2(a2 ? b2 ? c2 ) | AB | ? | CD | ? | AD | ? | BC | ?| AC | ? | BD |
2 2 2 2 2 2

因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角 线的平方和.

用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤: 第一步;建立坐标系, 用坐标系表示有关的量

第二步:进行 有关代数运算

第三步:把代数运算结果 “翻译”成几何关系

小结
1.两点间距离公式

| PP ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y 1 ) 1 2 |?
2

2

2.坐标法 第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量 第二步:进行有关代数运算

第三步:把代数运算结果翻译成几何关系

拓展
已知平面上两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),直线 P1P2的斜率为k,则 y2-y1可怎样表示?从而点P1和P2 的距离公式可作怎样的变形?

y2 ? y1 ? k ( x2 ? x1 )
2 |P P | ? | x ? x | 1 ? k 1 2 2 1

1 ?| y2 ? y1 | 1 ? 2 k

例3 设直线2x-y+1=0与抛物线

y ? x ? 3x ? 4
2

相交于A、B两点,求|AB|的值.

作业
P106练习:1,2. P110习题3.3 A组:6,7,8.

3.3.3

点到直线的距离

已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax +By +C=0,如 何求点P到直线 l 的距离?
点P到直线 l 的距离,是指从点P0到直线 l 的 垂线段P0Q的长度,其中Q是垂足. y

Q
P0 o

l

x

分析思路一:直接法

y
Q

直线 l 的方程 直线 l 的斜率

O

P0

l
x

l ? P0Q
点P0的坐标 直线P 的斜率 0Q

直线 l 的方程 点P0的坐标
0

直线P 的方程 0Q

点Q 的坐标

点P 、Q之间的距离

P0Q

(点

P0



l 的距离)

分析思路二:用直角三角形的面积间接求法
求出点R 的坐标 求出点S 的坐标
P0Q ? P0 S ? P0 R SR

y
求出P0R 求出P0S

S

利用勾股定理求出SR

d

Q
R

P0
面积法求出P0Q

l
x

O

y

Ax0 ? C ? ? S ? x0, ? B ? ? ?

Q l : Ax ? By ? C ? 0 d

y0
O

P0 (x0,y0)

? By0 ? C ? ? , y R? 0? A ? ?

x0

x

1 | P0 S || P0 R | 2

?

1 d | SR | 2

点到直线的距离公式
点P(x0,y0)到直线 l :Ax +By +C=0的距离为: | Ax0 ? By0 ? C | d? A2 ? B 2

特别地,当A=0,B?0时, 直线By+C=0
| By0 ? C | C d? ?| y0 ? | |B| B

特别地,当B=0,A?0时, 直线Ax+C=0
d? | Ax0 ? C | C ?| x0 ? | | A| A

y

|y1-y0|
y ? y1

y1 y0 O

|x1-x0|
x ? x1

P0 (x0,y0)
x0 x1 x

点到坐标轴的距离
y y0

|x0|
P0 (x0,y0)

|y0|
O x0 x

, 2?到直线 l : 3 x ? 2 的距离. 例1.求点P 0 ?? 1
解: d ?
3 ? ?? 1? ? 2 32 ? 02 5 ? 3

思考:还有其他解法吗?

例2 已知点 A?1 , 3?,B?3, 1?,C?- 1, 0?,求 ?ABC 的面积. 分析:如图,设 AB 边上的高为 h ,则 y 1 S ?ABC ? AB ? h . 4 A 2
AB ?
的距离.

?3 ? 1? ? ?1 ? 3?
2

2

?2 2.

3 2 1

h
1 2 3

AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB

C

B
x

-1 O

y ? 3 x ?1 ? , 解:AB 边所在直线的方程为: 1? 3 3 ?1
即:x ? y ? 4 ? 0 . 点 C ?? 1 , 0? 到 x ? y ? 4 ? 0 的距离

y
4 3 2 h 1

A B
3

h?
因此

?1 ? 0 ? 4

12 ? 12 C 1 5 -1 O S ?ABC ? ? 2 2 ? ? 5. 2 2

5 ? . 2

1 2

x

小结
点到直线的距离公式的推导及其应用 点P(x0,y0)到直线l:Ax +By +C=0的距离为:
d? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

作业
P110习题3.3A组:8,9. 3.3B组:2,4

3.3.4 两条平行直线间的 距离

两条平行直线间的距离是指夹在两 条平行线间公垂线段的长
两平行线间的距离处处相等

1. 怎样判断两条直线是否平行?

2.设l1//l2,如何求l1和l2间的距离? 1)能否将平行直线间的距离转化为点到直线 的距离? 2) 如何取点,可使计算简单?

例1 已知直线 l : 2x ? 7 y ? 8 ? 0 和 l2 : 6 x ? 21y ? 1 ? 0 1 l1 与l2 是否平行?若平行,求 l1与 l2的距离.

例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离.
解: 在l2上任取一点,如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离

两平行线间的 距离处处相等

? d?

2?3 ? 7?0 ? 8 2 ? ( ?7 )
2 2

14 14 53 ? ? 53 53

直线到直线的距离转化为点到直线的距离

例3. 求证:两条平行直线Ax+By+C1=0和 Ax+By+C2=0间的距离为

d?

| c1 ? c2 | A ?B
2

2

例4 已知P在x 轴上, P到直线l1: x- 3 y +7=0 与直线 l2:12x-5y+40=0 的距离相等, 求P点坐标。 解:设P(x,0), 根据P到l1、 l2距离相等,列式为
x ? 3 ?0 ? 7 1 ? (? 3 )
2 2

?

12 x ? 5 ? 0 ? 40 12 2 ? ( ?5) 2

171 x ?1 或 x ? ? 37 171 ,0) 所以P点坐标为:(1,0) 或 ( ? 37

小结
1. 两条平行直线间距离的求法 转化为点到直线的距离 2. 两条平行直线间距离公式

作业
P110习题3.3A组: 10.

习题3.3B组:3,6,9

第四章
4.1 4.2 4.3

4.1

圆的方程

主要内容
4.1.1 圆的标准方程 4.1.2 圆的一般方程

4.1.1

圆的标准方程

在平面直角坐标系中,两点确定一条直线, 一点和倾斜角也能确定一条直线.

在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢?

平面内到定点的距离等于定长的点的集合.

C

·

r

定点 定长

圆心 半径

当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确 定了.因此一个圆最基本要素是圆心和半径.

如图,在直角坐标系中,圆心(点)A的位置 用坐标(a,b)表示,半径 r 的大小等于圆上任意 点M(x, y)与圆心A (a,b)的距离.

y

M(x,y)

O

C

x

圆心C(a,b),半径r

y

M(x,y) O C x

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

标准方程
特别地,若圆心为O(0,0),则圆的方程为:

x ?y ?r
2 2

2

圆的标准方程
已知圆的圆心为C(a,b),半径为r,求圆的方程. 解:设点M (x,y)为圆C上任一点, 圆上所有点的集合

y

M(x,y)

P = { M | |MC| = r }

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

O

C

x

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

在直角坐标系中,已知点M(x0,y0)和圆C: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2,如何判断点M在圆外、圆上、 圆内?

y 1.点M在圆外,|MC|>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外;
2.点M在圆上,|MC|=r

M

(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
3.点M在圆内,|MC|<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.

O

C

x

例1 写出圆心为 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的 方程,并判断点 M1 (5,?7) ,M 2 (? 5 ,?1) 是否在这个圆上. 解: 圆心是 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的标 准方程是 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 把 M1 (5,?7) 的坐标代入圆的方程,左右两边相 等,点 M 1 的坐标适合圆的方程,所以点 M 1 在这 个圆上; 把点 M 2 (? 5 ,?1) 的坐标代入方程,左右两边不 相等, 点 M 2 的坐标不适合圆的方程,所以点 M2 不在这个 圆上.

例2 ?ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) ,求它的外接圆的 方程. 分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一 个圆,三角形有唯一的外接圆.

解:设所求圆的方程是 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆 上,所以它们的坐标都满足圆的方程,于是
?(5 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ( 7 ? a ) ? ( ? 3 ? b ) ? r ? ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ?

解此方程组,得
?a ? 2, ? ?b ? 3, ?r 2 ? 25. ?

?ABC 的外接圆的方程是 所以,

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

结论:在平面直角坐标系中,已知三个点的 坐标可以确定一个圆的方程

例3 已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2), 且圆心C 在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C 的圆的标 准方程. 分析:如图,确定一个圆只需确定圆心位置与半 径大小.圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),由 于圆心C 与A,B 两点的距离相等,所以圆心C 在线段 AB 的垂直平分线 l '上.又圆心C 在直线l 上,因此圆 心C 是直线 l 与直线 l ' 的交点,半径长等于|CA|或 |CB|.

解:因为A(1, 1)和B(2, -2),所以线段AB的中点 3 1 D的坐标 ( ,? ) ,直线AB的斜率
2 2

k AB

? 2 ?1 ? ? ?3 2 ?1
'

y

l A

因此线段AB 的垂直平分线 l 的方程是

1 1 3 y ? ? (x ? ) 2 3 2
即 x ? 3y ? 3 ? 0

C

o B

x

圆心C 的坐标是方程组
?x ? 3 y ? 3 ? 0 ? ?x ? y ? 1 ? 0

? x ? ?3, 的解.解此方程组,得 ? ? y ? ?2. 所以圆心C 的坐标是(?3,?2) 圆心为C 的圆的半径长
r ?| AC |? (1 ? 3) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 5

所以,圆心为C 的圆的标准方程是

( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 25
2 2

小结
1.圆的标准方程的结构特点.

2.点与圆的位置关系的判定.
3.求圆的标准方程的方法: ①待定系数法;②代入法.

作业
P120-121练习:1,2,3,4

4.1.2

圆的一般方程

1. 圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 展开 可得到一个什么式子?

2. 方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 与x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0 都表示的图形是圆吗? 解:分别配方得

( x ?1) 2 ? ( y ? 2)2 ? 4
( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? ?1
第一个方程表示以(1,-2)为圆心,2为半径 长的圆. 第二个方程没有实数解,不存在点的坐标 (x,y)满足这个方程,它不表示任何图形.

方程 x ? y 下表示圆?
2

2

? Dx ? Ey ? F ? 0 在什么条件

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2
2 2 D E D ? E ? 4F ? ? ? ? ? x? ? ?? y ? ? ? 2? ? 2? 4 ? 2 2

(1)当

D2 ? E 2 ? 4F ? 0

时,表示圆,
D2 ? E 2 ? 4F 2
? D E? ?- ,? ? ? 2 2?

? D E? 圆心 ? - , ? ? ? 2 2?

r?

(2)当 (3)当

D ? E ? 4F ? 0
2 2

时,表示点

D2 ? E 2 ? 4F ? 0

时,不表示任何图形

圆的一般方程

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

其中 D2 ? E 2 ? 4F ? 0
? D E? 圆心 ? - , ? ? ? 2 2?

r?

D2 ? E 2 ? 4F 2

练习
判断下列方程是不是表示圆

(1) x ? y ? 4x ? 6 y ? 4 ? 0
2 2

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 9
2 2

表示以(2,3)为圆心,以3为半径的圆

(2) x ? y ? 4x ? 6 y ? 13 ? 0
2 2
2 2

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 0 x ? 2, y ? 3
2 2

表示点(2,3)

(3) x ? y ? 4x ? 6 y ? 15 ? 0
( x ? 2) ? ( y ? 3) ? ?2 不表示任何图形
2 2

比较
圆的一般方程和圆的标准方程各有什么特点? 圆的一般方程的特点 : (1)x2、y2 的系数相同,都不为0.

(2)没有形如xy的二次项.
圆的一般方程与圆的标准方程各有特点: (1)圆的标准方程带有明显的几何的影 子,圆心和半径一目了然. (2)圆的一般方程表现出明显的代数的 形式与结构,更适合方程理论的运用.

例1 求过三点O(0,0),A(1,1),B(4, 2)的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标. 解:设所求圆的方程为:

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上

? 52 ? 12 ? 5D ? E ? F ? 0 ? D ? ?4 ? ? 2 2 ? 7 ? (?1) ? 7 D ? E ? F ? 0 ? ? E ? 6 ? F ? 12 ? 2 2 ? 82 ? 2 D ? 8 E ?


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