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河南省南阳市方城一中2014-2015学年高二下学期第一次月考数学(理)试卷 Word版含解析


2014-2015 学年河南省南阳市方城一中高二(下)第一次月考数 学试卷(理科)
一.选择题 1.设定义在(a,b)上的可导函数 f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 f(x)的 极值点的个数为( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.函数 y= x ﹣x +5 在 x=1 处的切线倾斜角为( A. B. C. D.
3 2



3.若 f′(x0)=﹣3,则 A. ﹣3 B. ﹣12 C. ﹣9 D. ﹣6

=(



4.函数 f(x)=2x ﹣3x +a 的极大值为 6,那么 a 的值是( A. 5 B. 0 C. 6 D. 1 5.要使 成立,a、b 应满足的条件是(

3

2





A. ab<0 且 a>b B. ab>0 且 a>b C. ab<0 且 a<b D. ab>0 且 a>b 或 ab<0 且 a<b 6.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理根,那么 a,b,c 中至少有一个是偶数”时,下列假设中正确的是( ) A. 假设 a,b,c 不都是偶数 B. 假设 a,b,c 都不是偶数 C. 假设 a,b,c 至多有一个是偶数 D. 假设 a,b,c 至多有两个是偶数 7. e dx=(
|x| 2



A. 2e ﹣2 B. 2e C. e ﹣e
3

2

2

2

﹣2

D. e +e ﹣2

2

﹣2

8.曲线 f(x)=x +x﹣2 在 p0 处的切线平行于直线 y=4x﹣1,则 p0 点的坐标为( ) A. (1,0) B. (2,8) C. (2,8)和(﹣1,﹣4) D. (1,0)和(﹣1, ﹣4) 9.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标 系中,不可能正确的是( )

A.

B.

C.

D. 10.函数 f(x)=2x ﹣9x +12x﹣a 恰有两个不同的零点,则 a 可以是( A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 11.在数学解题中,常会碰到形如“
3 2



”的结构,这时可类比正切的和角公式.如:设 a,

b 是非零实数,且满足

=tan

,则 =(



A. 4 B.

C. 2 D.

12.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x<0 时,f(x)+xf′(x)<0 且 f(﹣4)=0,则 不等式 xf(x)>0 的解集为( ) A. (﹣4,0)∪(4,+∞) B. (﹣4,0)∪(0,4) C. (﹣∞,﹣4)∪(4, +∞) D. (﹣∞,﹣4)∪(0,4)

二、填空题(每空 5 分,共 20 分) 13. 黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案, 则第 4 个图案中有白色

地面砖

块.

14.在△ ABC 中,AC=1,BC=

,∠A=60°,则∠C=

. .

15.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则其高为 16.下列命题中假命题的序号是

①x=0 是函数 y=x 的极值点; 3 2 ②函数 f(x)=x ﹣ax +3ax+1 有极值的必要不充分条件是 a≥2013; 3 2 ③奇函数 f(x)=mx +(m﹣1)x +48(m﹣2)x+n 在区间(﹣4,4)上是单调减函数; ④若双曲线的渐近线方程为 ,则其离心率为 2.

3

三、解答题(70 分) 3 2 17. (10 分) (2013?山东模拟)求垂直于直线 2x﹣6y+1=0 并且与曲线 y=x +3x ﹣5 相切的 直线方程. 18. (12 分) (2015 春?方城县校级月考) 已知数列{an}的第一项 a1=5, 且 Sn﹣1=a( n n≥2 n∈N+) (1)求 a2、a3、a4 并由此猜想 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明(1)的结论. 19. (12 分) (2014?碑林区校级一模)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)当 a=1,且 x≥1 时,证明:f(x)≤1. 20. (12 分) (2015?唐山一模)已知圆 O:x +y =4,点 A( ,0) ,以线段 AB 为直径的 圆内切于圆 O,记点 B 的轨迹为 Γ. (Ⅰ)求曲线 Γ 的方程; (Ⅱ)直线 AB 交圆 O 于 C,D 两点,当 B 为 CD 的中点时,求直线 AB 的方程.
2 2

(a∈R) .

21. (12 分) (2015 春?高唐县校级期末)在边长为 60cm 的正方形铁片的四角切去相等的正 方形,再把它的边沿虚线折起(如图) ,做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时, 箱子的容积最大?最大容积是多少?

22. (12 分) (2015 春?方城县校级月考)已知 f(x)=

﹣mlnx

(m∈R)

(1)若函数 f(x)在( ,+∞)上单调递增,求实数 m 的取值范围; (2)当 m=2 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最大,最小值; (3)求 f(x)的单调区间.

2014-2015 学年河南省南阳市方城一中高二(下)第一次 月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题 1.设定义在(a,b)上的可导函数 f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 f(x)的 极值点的个数为( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 数形结合. 分析: 导数的正负与函数单调性的关系是:导数小于 0 则函数是减函数,导数大于 0 则函 数是增函数,进而可以分析出正确答案. 解答: 解:根据导数与函数单调性的关系可得函数 f(x)在区间(a,b)上的单调性为: 增,减,增,减, 结合函数的单调性可得函数有 3 个极值点. 故选 C. 点评: 解决此类问题的关键是准确理解导数的符号与原函数单调性之间的关系,导数小于 0 则函数是减函数,导数大于 0 则函数是增函数,进而可以分析出正确答案.

2.函数 y= x ﹣x +5 在 x=1 处的切线倾斜角为( A. B. C. D.

3

2



考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 求导数,x=1 时,y′=﹣1,即可求出函数 y= x ﹣x +5 在 x=1 处的切线倾斜角. 解答: 解:∵y= x ﹣x +5, ∴y′=x ﹣2x, x=1 时,y′=﹣1, ∴函数 y= x ﹣x +5 在 x=1 处的切线倾斜角为
3 2 2 3 2 3 2



故选:D. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何运用,比较基础.

3.若 f′(x0)=﹣3,则 A. ﹣3 B. ﹣12 C. ﹣9 D. ﹣6 考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据 = [4?

=(



]=4



)=4f′(x0) ,利用条件求得结果.

解答: 解:∵f′(x0)=﹣3,则 = [4? ]=4



)=4f′(x0)=4×(﹣3)=﹣12,

故选:B. 点评: 本题主要考查函数在某一点的导数的定义,属于基础题. 4.函数 f(x)=2x ﹣3x +a 的极大值为 6,那么 a 的值是( A. 5 B. 0 C. 6 D. 1
3 2



考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 计算题. 分析: 令 f′(x)=0,可得 x=0 或 x=6,根据导数在 x=0 和 x=6 两侧的符号,判断故 f(0) 为极大值,从而得到 f(0)=a=6. 3 2 2 解答: 解:∵函数 f(x)=2x ﹣3x +a,导数 f′(x)=6x ﹣6x,令 f′(x)=0,可得 x=0 或 x=1, 导数在 x=0 的左侧大于 0,右侧小于 0,故 f(0)为极大值.f(0)=a=6. 导数在 x=1 的左侧小于 0,右侧大于 0,故 f(1)为极小值. 故选:C. 点评: 本题考查函数在某点取得极值的条件,判断 f(0)为极大值,f(6)为极小值,是 解题的关键.

5.要使

成立,a、b 应满足的条件是(



A. ab<0 且 a>b B. ab>0 且 a>b C. ab<0 且 a<b D. ab>0 且 a>b 或 ab<0 且 a<b 考点: 不等式比较大小. 专题: 计算题. 分析: 本题即寻找使 0,即 ab 与 a﹣b 同号即可. 解答: 解:要使 只要 <
2 2

成立的充分条件,分析可得只要

ab(a﹣b)>

成立,只要 a﹣b+3

﹣3

<a﹣b,

,只要 ab <a b,即只要 ab(a﹣b)>0.

故只要 ab>0 且 a>b,或 ab<0 且 a<b, 故选 D. 点评: 本题考查不等式比较大小的方法,用分析法证明不等式,是一道基础题. 6.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理根,那么 a,b,c 中至少有一个是偶数”时,下列假设中正确的是( ) A. 假设 a,b,c 不都是偶数 B. 假设 a,b,c 都不是偶数 C. 假设 a,b,c 至多有一个是偶数 D. 假设 a,b,c 至多有两个是偶数 考点: 反证法与放缩法. 专题: 证明题;反证法. 分析: 本题考查反证法的概念, 逻辑用语, 否命题与命题的否定的概念, 逻辑词语的否定. 根 据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,故只须对“b、c 中至少有一个偶数”写出否定 即可. 解答: 解:根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”.
2

即假设正确的是:假设 a、b、c 都不是偶数 故选:B. 点评: 一些正面词语的否定:“是”的否定:“不是”;“能”的否定:“不能”;“都是”的否定: “不都是”;“至多有一个”的否定:“至少有两个”;“至少有一个”的否定:“一个也没有”;“是 至多有 n 个”的否定:“至少有 n+1 个”;“任意的”的否定:“某个”;“任意两个”的否定:“某 两个”;“所有的”的否定:“某些”. 7. e dx=(
2 |x|


2 2
﹣2

A. 2e ﹣2 B. 2e C. e ﹣e

D. e +e ﹣2

2

﹣2

考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求出被积函数的导函数,然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案. 解答: 解:
2 2 0 2

e dx=

|x|

=

=﹣e ﹣(﹣

0

e )+e ﹣e =2e ﹣2. 故选:A. 点评: 本题考查了定积分,关键是求出被积函数的导函数,是基础题. 8.曲线 f(x)=x +x﹣2 在 p0 处的切线平行于直线 y=4x﹣1,则 p0 点的坐标为( ) A. (1,0) B. (2,8) C. (2,8)和(﹣1,﹣4) D. (1,0)和(﹣1, ﹣4) 考点: 导数的几何意义. 分析: 先设切点坐标,然后对 f(x)进行求导,根据导数的几何意义可求出切点的横坐标, 代入到 f(x)即可得到答案. 解答: 解:设切点为 P0(a,b) ,f'(x)=3x +1,k=f'(a)=3a +1=4,a=±1, 3 把 a=﹣1,代入到 f(x)=x +x﹣2 得 b=﹣4; 3 把 a=1,代入到 f(x)=x +x﹣2 得 b=0, 所以 P0(1,0)和(﹣1,﹣4) . 故选 D. 点评: 本题主要考查导数的几何意义,即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的 斜率. 9.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标 系中,不可能正确的是( )
2 2 3

A.

B.

C.

D. 考点: 利用导数研究函数的单调性;导数的几何意义. 专题: 压轴题. 分析: 本题可以考虑排除法,容易看出选项 D 不正确,因为 D 的图象,在整个定义域内, 不具有单调性,但 y=f(x)和 y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势,不具有这样 的函数. 解答: 解析:检验易知 A、B、C 均适合,不存在选项 D 的图象所对应的函数,在整个定 义域内,不具有单调性,但 y=f(x)和 y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势,不 具有这样的函数,故选 D. 点评: 考查函数的单调性问题. 10.函数 f(x)=2x ﹣9x +12x﹣a 恰有两个不同的零点,则 a 可以是( A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
3 2



考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件利用导数求得函数的极值,再结合三次函数的图象特征求得函数 f(x)的零 点有 2 个时 a 的值,从而得出结论. 解答: 解:∵f(x)=2x ﹣9x +12x﹣a,∴f′(x)=6x ﹣18x+12=6(x﹣1) (x﹣2) , 令 f′(x)=0,求得 x=1,或 x=2. 在(﹣∞,1)上,f′(x)>0,f(x)单调递增;在(1,2)上,f′(x)<0,f(x)单调 递减;在(2,+∞)上,f′(x)>0,f(x)单调递增. 故 f(1)=5﹣a 为函数 f(x)的极大值;f(2)=4﹣a 为函数 f(x)的极小值, 故当 a=4,或 a=5 时,函数 f(x)的零点有 2 个, 故选:B. 点评: 本题主要考查利用导数求函数的极值,函数的零点,三次函数的图象特征,属于中 档题.
3 2 2

11.在数学解题中,常会碰到形如“

”的结构,这时可类比正切的和角公式.如:设 a,

b 是非零实数,且满足

=tan

,则 =(



A. 4 B.

C. 2 D.

考点: 类比推理. 专题: 计算题;三角函数的求值.

分析: 先把已知条件转化为 tan

=

=tan(

+θ) ,利用正切函数的周期性求



,即可求得结论.

解答: 解:因为 tan

=

=tan(

+θ) ,且 tanθ=



+θ=kπ+ ,



∴θ=kπ+

∴tanθ=tan(kπ+ ∴ =

)=



故选:D. 点评: 本题主要考查三角函数中的恒等变换应用,属于基本知识的考查. 12.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x<0 时,f(x)+xf′(x)<0 且 f(﹣4)=0,则 不等式 xf(x)>0 的解集为( ) A. (﹣4,0)∪(4,+∞) B. (﹣4,0)∪(0,4) C. (﹣∞,﹣4)∪(4, +∞) D. (﹣∞,﹣4)∪(0,4) 考点: 抽象函数及其应用;奇偶性与单调性的综合;导数的乘法与除法法则. 专题: 计算题. 分析: 由题意构造函数 g(x)=xf (x) ,再由导函数的符号判断出函数 g(x)的单调性, 由函数 f(x)的奇偶性得到函数 g(x)的奇偶性,由 f(﹣4)=0 得 g(4)=0、还有 g(﹣ 4)=0,再通过奇偶性进行转化,利用单调性求出不等式得解集. 解答: 解:设 g(x)=xf(x) ,则 g'(x)=[xf(x)]'=x'f(x)+xf'(x)=xf′(x)+f(x)< 0, ∴函数 g(x)在区间(﹣∞,0)上是减函数,

∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴g(x)=xf(x)是 R 上的奇函数, ∴函数 g(x)在区间(0,+∞)上是减函数, ∵f(﹣4)=0, ∴f(4)=0; 即 g(4)=0,g(﹣4)=0 ∴xf(x)>0 化为 g(x)>0, 设 x>0,故不等式为 g(x)>g(4) ,即 0<x<4 设 x<0,故不等式为 g(x)>g(﹣4) ,即 x<﹣4 故所求的解集为(﹣∞,﹣4)∪(0,4) 故选 D. 点评: 本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性,利用函数的单调 性和奇偶性的关系对不等式进行转化,注意函数值为零的自变量的取值. 二、填空题(每空 5 分,共 20 分) 13. 黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案, 则第 4 个图案中有白色

地面砖 18 块. 考点: 归纳推理;等差数列的通项公式. 专题: 规律型;等差数列与等比数列. 分析: 通过已知的几个图案找出规律,可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可. 解答: 解:第 1 个图案中有白色地面砖 6 块; 第 2 个图案中有白色地面砖 10 块; 第 3 个图案中有白色地面砖 14 块; … 设第 n 个图案中有白色地面砖 n 块,用数列{an}表示, 则 a1=6,a2=10,a3=14,可知 a2﹣a1=a3﹣a2=4,… 可知数列{an}是以 6 为首项,4 为公差的等差数列, ∴an=6+4(n﹣1)=4n+2. 当 n=4 时,a4=18, 故答案为:18 点评: 由已知的几个图案找出规律转化为求一个等差数列的通项公式是解题的关键. 14.在△ ABC 中,AC=1,BC= ,∠A=60°,则∠C= 90° .

考点: 正弦定理的应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 运用正弦定理,求得角 B,再由内角和定理,可得角 C. 解答: 解:由正弦定理,得 = ,

即为 sinB=

=

= ,

则 B=30°或 150°, 若 B=30°,则 C=180°﹣60°﹣30°=90°; 若 B=150°,则 B+A>180°不成立. 故答案为:90°. 点评: 本题考查正弦定理及应用,考查三角形内角和定理,考查运算能力,属于基础题.

15.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则其高为

cm .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 设出圆锥的高,求出底面半径,推出体积的表达式,利用导数求出体积的最大值时 的高即可. 解答: 解析:设圆锥的高为 h cm, ∴V 圆锥= π(400﹣h )×h, ∴V′(h)= π(400﹣3h ) .令 V′(h)=0, 得h = 当 0<h< 当 ∴当 h= 故答案为:
2 2 2

,∴h=

(cm)

时,V′>0;

<h<20 时,V′<0, 时,V 取最大值. cm.

点评: 本题考查旋转体问题,以及利用导数求函数的最值问题,考查计算能力,是中档题. 16.下列命题中假命题的序号是 ①②④ 3 ①x=0 是函数 y=x 的极值点; 3 2 ②函数 f(x)=x ﹣ax +3ax+1 有极值的必要不充分条件是 a≥2013; 3 2 ③奇函数 f(x)=mx +(m﹣1)x +48(m﹣2)x+n 在区间(﹣4,4)上是单调减函数; ④若双曲线的渐近线方程为 ,则其离心率为 2. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 3 2 分析: 根据 3 次幂函数的图象和性质,可判断①;求出函数 f(x)=x ﹣ax +3ax+1 有极值 3 2 的充要条件,可判断②;根据函数 f(x)=mx +(m﹣1)x +48(m﹣2)x+n 是奇函数,求 出函数的解析式,进而分析其在区间(﹣4,4)上的单调性,可判断③;根据双曲线的渐 近线方程,求出双曲线的离心率,可判断④.

解答: 解:函数 y=x 在 R 上为增函数,不存在极值点,故①错误; 3 2 2 2 函数 f(x)=x ﹣ax +3ax+1 有极值?f′(x)=3x ﹣2ax+3a=0 有两个不等的实数根?△ =4a ﹣36a>0?a<0,或 a>9, 3 2 故 a≥2013 是函数 f(x)=x ﹣ax +3ax+1 有极值的充分不必要条件,故②错误; 3 2 奇函数 f(x)=mx +(m﹣1)x +48(m﹣2)x+n 满足 m﹣1=n=0, 3 2 即 f(x)=x ﹣48x,由 f′(x)=3x ﹣48 得,当 x∈(﹣4,4)时,f′(x)<0 恒成立,则函 数 f(x)为减函数,故③正确; 若双曲线的渐近线方程为 的焦点在 y 轴上,则离心率 e= .若双曲线的焦点在 x 轴上,则离心率 e=2; 若双曲线 ,故④错误;

3

故假命题的序号为:①②④ 故答案为:①②④ 点评: 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用, 此类题型往往综合较多的其它知识点, 综合性强,难度中档. 三、解答题(70 分) 17. (10 分) (2013?山东模拟)求垂直于直线 2x﹣6y+1=0 并且与曲线 y=x +3x ﹣5 相切的 直线方程. 考点: 直线的点斜式方程. 专题: 常规题型. 3 2 分析: 先设出切点 (a, b) , 求出与直线 2x﹣6y+1=0 垂直的直线斜率 k, 再求出曲线 y=x +3x ′ ′ ﹣5 的导函数在切点处的函数值 y (a) ,由 y (a)即可求得答案. 3 2 2 解答: 解:设切点为 p(a,b) ,函数 y=x +3x ﹣5 的导数为 y′=3x +6x, 又∵与 2x﹣6y+1=0 垂直的直线斜率为﹣3, ∴切线的斜率 k=y′=3a +6a=﹣3, 解得 a=﹣1, 代入到 y=x +3x ﹣5, 得 b=﹣3,即 p(﹣1,﹣3) , 故切线的方程为 y+3=﹣3(x+1) ,即 3x+y+6=0. 点评: 此题主要考查曲线的切线方向与直线斜率之间的关系,比较简单. 18. (12 分) (2015 春?方城县校级月考) 已知数列{an}的第一项 a1=5, 且 Sn﹣1=a( n n≥2 n∈N+) (1)求 a2、a3、a4 并由此猜想 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明(1)的结论. 考点: 数学归纳法;归纳推理. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)利用 Sn﹣1=an,代入计算,可得结论,猜想 an=5×2 (n≥2,n∈N ) . (2)用归纳法进行证明,检验 n=1 时等式成立,假设 n=k 时命题成立,证明当 n=k+1 时命 题也成立. 解答: 解: (1)当 n=2 时,S1=a1=a2=5, 当 n=3 时,a3=a1+a2=10, 当 n=4 时,a4=a1+a2+a3=20,
n﹣2 * 3 2 2 3 2

猜想 an=5×2 (n≥2,n∈N ) 2﹣2 (2)证明:①当 n=2 时,a2=5×2 =5,猜想成立, k﹣2 * ②假设 n=k 时成立,即 ak=5×2 (k≥2,k∈N ) , 那么当 n=k+1 时,ak+1=Sk=a1+a2+a3+a4+…+ak=5+5+10+…+5×2
﹣1

n﹣2

*

k﹣2

=5+

=5×2

k

, 故 n=k+1 时猜想成立, 由①②可知对 n≥2,n∈N ,an=5×2 ∴an= 点评: 此题主要考查归纳法的证明,归纳法一般三个步骤: (1)验证 n=1 成立; (2)假设 n=k 成立; (3)利用已知条件证明 n=k+1 也成立,从而得证,这是数列的通项一种常用求解 的方法 (a∈R) .
* n﹣2



19. (12 分) (2014?碑林区校级一模)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)当 a=1,且 x≥1 时,证明:f(x)≤1.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)利用导函数的正负性,求函数的单调区间和极值; (Ⅱ)构造函数,利用最值即可证明不等式. 解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为{x|x>0}, 所以
1﹣a



令 f'(x)=0,得 x=e . 当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表: x (0,e ) e (e ,+∞) f′(x) + 0 ﹣ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) 由表可知:f(x)的单调递增区间是(0,e 所以 f(x)在 x=e (Ⅱ)当 a=1, 令 ∴
1﹣a 1﹣a 1﹣a 1﹣a 1﹣a

) ,单调递减区间是(e

1﹣a

,+∞) . .

处取得极大值, , , (x≥1) , ≤0,∴g(x)在[1,+∞)上单调递减,

∴g(x)≤g(1)=0,即 f(x)≤1. 点评: 本题考查的是导数的应用,导数作为一门工具,常用来判断函数的单调性和求函数 的极值,也是高考常的题型. 20. (12 分) (2015?唐山一模)已知圆 O:x +y =4,点 A( ,0) ,以线段 AB 为直径的 圆内切于圆 O,记点 B 的轨迹为 Γ. (Ⅰ)求曲线 Γ 的方程; (Ⅱ)直线 AB 交圆 O 于 C,D 两点,当 B 为 CD 的中点时,求直线 AB 的方程.
2 2

考点: 轨迹方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)设 AB 的中点为 M,切点为 N,连 OM,MN,通过|OM|+|MN|=|ON|=2,推出 |OM|+|MN|=4.说明点 B 的轨迹是以 A′,A 为焦点,长轴长为 4 的椭圆.然后求解曲线 Γ 的方程. (Ⅱ)推出 OB⊥CD,设 B(x0,y0) ,然后利用直线与椭圆方程联立求出 B 的坐标,即可 求解直线 AB 的方程. 解答: 解: (Ⅰ)设 AB 的中点为 M,切点为 N,连 OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,取 A 关于 y 轴的对称点 A′,连 A′B, 故|A′B|+|AB|=2(|OM|+|MN|)=4. 所以点 B 的轨迹是以 A′,A 为焦点,长轴长为 4 的椭圆. 其中,a=2,c= ,b=1,则曲线 Γ 的方程为 +y =1.
2

(Ⅱ)因为 B 为 CD 的中点,所以 OB⊥CD, 则 ⊥ .设 B(x0,y0) , )+y =0.

则 x0(x0﹣



+y

=1 ,y0=± ,kAB=? . ,

解得 x0= 则 kOB=±

则直线 AB 的方程为 y=± (x﹣ ) , 即 x﹣y﹣ =0 或 x+y﹣ =0.

点评: 本题考查轨迹方程的求法,判断轨迹的椭圆简化解题的过程,考查直线与椭圆的位 置关系的应用,考查分析问题解决问题的能力. 21. (12 分) (2015 春?高唐县校级期末)在边长为 60cm 的正方形铁片的四角切去相等的正 方形,再把它的边沿虚线折起(如图) ,做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时, 箱子的容积最大?最大容积是多少?

考点: 函数模型的选择与应用;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题. 分析: 先设箱底边长为 xcm,则箱高 应注意函数的定义域. 解答: 解: 设箱底边长为 xcm, 则箱高 (0<x<60) . cm, 得箱子容积 cm,得箱子容积,再利用导数的方法解决,

(0<x<60) 令 =0,

解得 x=0(舍去) ,x=40, 并求得 V(40)=16 000 由题意可知,当 x 过小(接近 0)或过大(接近 60)时,箱子容积很小,因此,16 000 是最 大值 3 答:当 x=40cm 时,箱子容积最大,最大容积是 16 000cm

点评: (1)解有关函数最大值、 最小值的实际问题, 需要分析问题中各个变量之间的关系, 找出适当的函数关系式,并确定函数的定义区间;所得结果要符合问题的实际意义. (2)根 据问题的实际意义来判断函数最值时, 如果函数在此区间上只有一个极值点, 那么这个极值 就是所求最值,不必再与端点值比较. (3)相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简 单 (m∈R)

22. (12 分) (2015 春?方城县校级月考)已知 f(x)=

﹣mlnx

(1)若函数 f(x)在( ,+∞)上单调递增,求实数 m 的取值范围; (2)当 m=2 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最大,最小值; (3)求 f(x)的单调区间. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)若函数 f(x)在( ,+∞)上是增函数,?f′(x)≥0 在( ,+∞)上恒成立.利 用二次函数的单调性即可得出; (2)利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出; (3)先求出函数 f(x)的导数,通过讨论 m 的范围,从而求出函数的单调区间. 解答: 解: (1)若函数 f(x)在( ,+∞)上是增函数, 则 f′(x)≥0 在( ,+∞)上恒成立. 而 f′(x)=x﹣ ,即 m≤x 在( ,+∞)上恒成立, 可得 m≤ .
2

(2)当 m=2 时,f′(x)=x﹣ =



令 f′(x)=0 得 x=± , 当 x∈[1, )时,f′(x)<0,当 x∈( ,e)时,f′(x)>0. 故 x= 是函数 f(x)在[1,e]上唯一的极小值点, 故 f(x)min=f( )=1﹣ln2, 又 f(1)= ,f(e)= e ﹣2=
2

> ,

故 f(x)max=



(3)f′(x)=x﹣ , (x>0) , 当 m≤0 时,f′(x)>0 对 x>0 恒成立, ∴f(x)在(0,+∞)单调递增, 当 m>0 时,令 f′(x)=0,解得:x= , ∴0<x< 时,f′(x)<0,f(x)递减, x> 时,f′(x)>0,f(x)递增. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、二次函数的单调性等基础知 识与基本技能方法,属于中档题.



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