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高中数学必修2立体几何复习(解答题)


高中数学必修 2 立体几何复习
解答题
13.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1,B1C1 的中点.问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由. 解析:(1)由于 M、N 分别是 A1B1 和 B1C1 的中点,可证明 MN∥AC,因此 AM 与 CN 不 是异面直线.(2)由空间图形可感知 D1B 和 CC1 为异面直线的可能性较大,判断的方法可用 反证法. 探究拓展:解决这类开放型问题常用的方法有直接法(即由条件入手,经过推理、演算、 变形等),如第(1)问,还有假设法,特例法,有时证明两直线异面用直线法较难说明问题, 这时可用反证法,即假设两直线共面,由这个假设出发,来推证错误,从而否定假设,则两 直线是异面的. 解:(1)不是异面直线.理由如下: ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点,∴MN∥A1C1. 又∵A1A∥D1D,而 D1D 綊 C1C, ∴A1A 綊 C1C,∴四边形 A1ACC1 为平行四边形. ∴A1A∥AC,得到 MN∥AC, ∴A、M、N、C 在同一个平面内,故 AM 和 CN 不是异面直线. (2)是异面直线.理由如下: 假设 D1B 与 CC1 在同一个平面 CC1D1 内, 则 B∈平面 CC1D1,C∈平面 CC1D1. ∴BC?平面 CC1D1,这与在正方体中 BC⊥平面 CC1D1 相矛盾, ∴假设不成立,故 D1B 与 CC1 是异面直线. 14.如下图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AB 的中点,N 为 BB1 的中点,O 为面 BCC1B1 的中心.

(1)过 O 作一直线与 AN 交于 P,与 CM 交于 Q(只写作法,不必证明); (2)求 PQ 的长(不必证明). 解析: (1)由 ON∥AD 知, 与 ON 确定一个平面 α.又 O、 M 三点确定一个平面 β(如 AD C、 下图所示).

∵三个平面 α,β 和 ABCD 两两相交,有三条交线 OP、CM、DA,其中交线 DA 与交线 CM 不平行且共面. ∴DA 与 CM 必相交,记交点为 Q. ∴OQ 是 α 与 β 的交线.连结 OQ 与 AN 交于 P,与 CM 交于 Q, 故 OPQ 即为所作的直线.

14 . 3 15.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=B1B=a,∠ABC=90°, D、E 分别为 BB1、AC1 的中点. (1)求异面直线 BB1 与 AC1 所成的角的正切值; (2)证明:DE 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线; (3)求异面直线 BB1 与 AC1 的距离. 解析:(1)由于直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1∥BB1,所以∠A1AC1 就是异 面直线 BB1 与 AC1 所成的角. 又 AB=BC=B1B=a,∠ABC=90°, 所以 A1C1= 2a,tan∠A1AC1= 2, 即异面直线 BB1 与 AC1 所成的角的正切值为 2. (2)证明:解法一:如图,在矩形 ACC1A1 中,过点 E 作 AA1 的平行线 MM1 分别交 AC、A1C1 于点 M、M1,连结 BM,B1M1,则 BB1 綊 MM1. 又 D、E 分别是 BB1、MM1 的中点, 可得 DE 綊 BM. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 由条件 AB=BC 得 BM⊥AC, 所以 BM⊥平面 ACC1A1, 故 DE⊥平面 ACC1A1,所以 DE⊥AC1,DE⊥BB1, 即 DE 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线. 解法二:如图,延长 C1D、CB 交于点 F,连结 AF,由条件易证 D 是 C1F 的中点,B 是 CF 的中点,又 E 是 AC1 的中点,所以 DE∥AF. 在△ACF 中,由 AB=BC=BF 知 AF⊥AC. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC, 所以 AF⊥AA1,故 AF⊥平面 ACC1A1, 故 DE⊥平面 ACC1A1,所以 DE⊥AC1,DE⊥BB1, 即 DE 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线. (3)由(2)知线段 DE 的长就是异面直线 BB1 与 AC1 的距离,由于 AB=BC=a,∠ABC= 90°, 2 所以 DE= a. 2 反思归纳: 两条异面直线的公垂线是指与两条异面直线既垂直又相交的直线, 两条异面 直线的公垂线是惟一的, 两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的线段的长度就是两 条异面直线的距离. 证明一直线是某两条异面直线的公垂线, 可以分别证明这条直线与两条 异面直线垂直. 本题的思路是证明这条直线与一个平面垂直, 而这一平面与两条异面直线的 位置关系是一条直线在平面内,另一条直线与这个平面平行. 16.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O,M 分别是 BD1,AA1 的中点. (2)解三角形 APQ 可得 PQ=

(1)求证:MO 是异面直线 AA1 和 BD1 的公垂线; (2)求异面直线 AA1 与 BD1 所成的角的余弦值; (3)若正方体的棱长为 a,求异面直线 AA1 与 BD1 的距离. 解析:(1)证明:∵O 是 BD1 的中点, ∴O 是正方体的中心, ∴OA=OA1, 又 M 为 AA1 的中点, 即 OM 是线段 AA1 的垂直平分线,

故 OM⊥AA1. 连结 MD1、BM,则可得 MB=MD1. 同理由点 O 为 BD1 的中点知 MO⊥BD1, 即 MO 是异面直线 AA1 和 BD1 的公垂线. (2)由于 AA1∥BB1, 所以∠B1BD1 就是异面直线 AA1 和 BD1 所成的角. 在 Rt△BB1D1 中,设 BB1=1,则 BD1= 3, 3 所以 cos∠B1BD1= , 3 3 故异面直线 AA1 与 BD1 所成的角的余弦值等于 . 3 (3)由(1)知,所求距离即为线段 MO 的长, 3 a 2 1 由于 OA= AC1= a,AM= ,且 OM⊥AM,所以 OM= a. 2 2 2 2 13.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,侧面对角线 AB1,BC1 上 分别有两点 E、F,且 B1E=C1F,求证:EF∥ABCD. 证明:解法一:分别过 E、F 作 EM⊥AB 于 M,FN⊥BC 于 N,连结 MN. ∵BB1⊥平面 ABCD, ∴BB1⊥AB,BB1⊥BC, ∴EM∥BB1,FN∥BB1, ∴EM∥FN. 又 B1E=C1F,∴EM=FN, 故四边形 MNFE 是平行四边形, ∴EF∥MN, 又 MN 在平面 ABCD 中, 所以 EF∥平面 ABCD. 解法二:过 E 作 EG∥AB 交 BB1 于 G, B 1E B 1G 连结 GF,则 = , B 1A B 1B ∵B1E=C1F,B1A=C1B, C 1F B 1G ∴ = ,∴FG∥B1C1∥BC. C 1B B 1B 又 EG∩FG=G,AB∩BC=B, ∴平面 EFG∥平面 ABCD, 而 EF?平面 EFG, ∴EF∥平面 ABCD. 14.如下图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC.过 BD 作与 PA 平行的平面,交侧棱 PC 于点 E,又作 DF⊥PB,交 PB 于点 F.

(1)求证:点 E 是 PC 的中点; (2)求证:PB⊥平面 EFD. 证明:(1)连结 AC,交 BD 于 O,则 O 为 AC 的中点,连结 EO. ∵PA∥平面 BDE,平面 PAC∩平面 BDE=OE,∴PA∥OE. ∴点 E 是 PC 的中点; (2)∵PD⊥底面 ABCD 且 DC?底面 ABCD, ∴PD⊥DC,△PDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线,

∴DE⊥PC,① 又由 PD⊥平面 ABCD,得 PD⊥BC.∵底面 ABCD 是正方形,CD⊥BC, ∴BC⊥平面 PDC. 而 DE?平面 PDC.∴BC⊥DE.② 由①和②推得 DE⊥平面 PBC.而 PB?平面 PBC, ∴DE⊥PB,又 DF⊥PB 且 DE∩DF=D, 所以 PB⊥平面 EFD. 15.如图,l1、l2 是互相垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段.点 A、B 在 l1 上,C 在 l2 上,AM=MB=MN.

(1)求证 AC⊥NB; (2)若∠ACB=60°,求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值. 证明:(1)如图由已知 l2⊥MN,l2⊥l1,MN∩l1=M,可得 l2⊥平 面 ABN. 由已知 MN⊥l1,AM=MB=MN,可知 AN=NB 且 AN⊥NB. 又 AN 为 AC 在平面 ABN 内的射影, ∴AC⊥NB. (2)∵Rt△CNA≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC 为正三角形. ∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此 N 在平面 ABC 内的射影 H 是正三角形 ABC 的中心.连结 BH, ∠NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角. 在 Rt△NHB 中, 3 AB 6 HB 3 = . cos∠NBH= = 3 NB 2 AB 2 16.如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E、F 分别是 AB、BD 的中点.

求证: (1)直线 EF∥平面 ACD; (2)平面 EFC⊥平面 BCD. 命题意图:本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象能力、 推理论证能力. 证明:(1)在△ABD 中,∵E、F 分别是 AB、BD 的中点,所以 EF∥AD. 又 AD?平面 ACD,EF?平面 ACD,∴直线 EF∥平面 ACD. (2)在△ABD 中,∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD. 在△BCD 中,∵CD=CB,F 为 BD 的中点,∴CF⊥BD. ∵EF?平面 EFC,CF?平面 EFC,EF 与 CF 交于点 F,∴BD⊥平面 EFC.

又∵BD?平面 BCD,∴平面 EFC⊥平面 BCD. 13.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,PA⊥平面 ABCD, 且 PA=2AB. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PBD; (2)求二面角 B-PC-D 的余弦值. 解析:(1)证明:∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥BD. ∵ABCD 为正方形,∴AC⊥BD. ∴BD⊥平面 PAC,又 BD 在平面 BPD 内,∴平面 PAC⊥平面 BPD. (2)在平面 BCP 内作 BN⊥PC,垂足为 N,连结 DN, ∵Rt△PBC≌Rt△PDC, 由 BN⊥PC 得 DN⊥PC; ∴∠BND 为二面角 B-PC-D 的平面角, 5 在△BND 中,BN=DN= a,BD= 2a, 6 5 2 5 2 a + a -2a2 6 6 1 ∴cos∠BND= =- . 5 2 5 a 3 14.如图,已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,G 在 BB1 上,且 AE=FC1=B1G=1,H 是 B1C1 的中点. (1)求证:E、B、F、D1 四点共面; (2)求证:平面 A1GH∥平面 BED1F. 证明:(1)连结 FG. ∵AE=B1G=1,∴BG=A1E=2, ∴BG 綊 A1E,∴A1G 綊 BE. ∵C1F 綊 B1G, ∴四边形 C1FGB1 是平行四边形. ∴FG 綊 C1B1 綊 D1A1, ∴四边形 A1GFD1 是平行四边形. ∴A1G 綊 D1F,∴D1F 綊 EB, 故 E、B、F、D1 四点共面. 3 (2)∵H 是 B1C1 的中点,∴B1H= . 2 B 1G 3 又 B1G=1,∴ = . B 1H 2 FC 2 又 = ,且∠FCB=∠GB1H=90°, BC 3 ∴△B1HG∽△CBF, ∴∠B1GH=∠CFB=∠FBG, ∴HG∥FB. 又由(1)知 A1G∥BE,且 HG∩A1G=G, FB∩BE=B, ∴平面 A1GH∥平面 BED1F. 15.在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥面 ABC,△ABC 为正三角形,D、E 分 别为 BC、AC 的中点,设 AB=PA=2. (1)求证:平面 PBE⊥平面 PAC; (2)如何在 BC 上找一点 F,使 AD∥平面 PEF,请说明理由; (3)对于(2)中的点 F,求三棱锥 B-PEF 的体积. 解析:(1)证明:∵PA⊥面 ABC,BE?面 ABC, ∴PA⊥BE.

∵△ABC 是正三角形,E 为 AC 的中点, ∴BE⊥AC,又 PA 与 AC 相交, ∴BE⊥平面 PAC, ∴平面 PBE⊥平面 PAC. (2)解:取 DC 的中点 F,则点 F 即为所求. ∵E,F 分别是 AC,DC 的中点, ∴EF∥AD, 又 AD?平面 PEF,EF?平面 PEF, ∴AD∥平面 PEF. 1 1 1 3 3 3 (3)解:VB-PEF=VP-BEF= S△BEF·PA= × × × ×2= . 3 3 2 2 2 4 16.(2009·天津,19)如图所示, 在五面体 ABCDEF 中, FA⊥平面 ABCD,AD∥BC∥FE, 1 AB⊥AD,M 为 CE 的中点,AF=AB=BC=FE= AD. 2 (1)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (2)求证:平面 AMD⊥平面 CDE; (3)求二面角 A-CD-E 的余弦值. 解答:(1)解:由题设知,BF∥CE,所以∠CED(或其补角)为异面直 线 BF 与 DE 所成的角.设 P 为 AD 的中点,连结 EP,PC.因为 FE 綊 AP, 所以 FA 綊 EP.同理, 綊 PC.又 FA⊥平面 ABCD, AB 所以 EP⊥平面 ABCD. 而 PC,AD 都在平面 ABCD 内,故 EP⊥PC,EP⊥AD.由 AB⊥AD,可得 PC⊥AD.设 FA=a,则 EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= 2a. 故∠CED=60°. 所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60°. (2)证明:因为 DC=DE 且 M 为 CE 的中点,所以 DM⊥CE.连结 MP,则 MP⊥CE.又 MP∩DM=M,故 CE⊥平面 AMD.而 CE?平面 CDE,所以平面 AMD⊥平面 CDE. (3)设 Q 为 CD 的中点,连结 PQ,EQ.因为 CE=DE,所以 EQ⊥CD.因为 PC=PD,所 以 PQ⊥CD,故∠EQP 为二面角 A-CD-E 的平面角. 6 2 由(1)可得,EP⊥PQ,EQ= a,PQ= a. 2 2 3 PQ 于是在 Rt△EPQ 中,cos∠EQP= = . EQ 3 3 所以二面角 A-CD-E 的余弦值为 . 3 13.(2009·重庆)如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥AD,AD⊥DC,PA⊥底面 ABCD, 1 1 PA=AD=DC= AB=1,M 为 PC 的中点,N 点在 AB 上且 AN= NB. 2 3 (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)求直线 MN 与平面 PCB 所成的角. 解析:(1)证明:过点 M 作 ME∥CD 交 PD 于 E 点,连结 AE. 1 ∵AN= NB, 3 1 1 ∴AN= AB= DC=EM. 4 2 又 EM∥DC∥AB,∴EM 綊 AN, ∴AEMN 为平行四边形, ∴MN∥AE,∴MN∥平面 PAD. (2)解:过 N 点作 NQ∥AP 交 BP 于点 Q,NF⊥CB 于点 F. 连结 QF,过 N 点作 NH⊥QF 于 H,连结 MH,

易知 QN⊥面 ABCD,∴QN⊥BC,而 NF⊥BC, ∴BC⊥面 QNF, ∵BC⊥NH,而 NH⊥QF,∴NH⊥平面 PBC, ∴∠NMH 为直线 MN 与平面 PCB 所成的角. 3 3 2 通过计算可得 MN=AE= ,QN= ,NF= 2, 4 4 2 QN·NF ON·NF 6 ∴NH= = 2 2= 4 , QF QN +NF NH 3 ∴sin∠NMH= = ,∴∠NMH=60°, MN 2 ∴直线 MN 与平面 PCB 所成的角为 60°. 14.(2009·广西柳州三模)如图所示,已知直平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD⊥BD, AD=BD=a,E 是 CC1 的中点,A1D⊥BE. (1)求证:A1D⊥平面 BDE; (2)求二面角 B-DE-C 的大小. 解析:(1)证明:在直平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, ∵AA1⊥平面 ABCD,∴AA1⊥BD. 又∵BD⊥AD, ∴BD⊥平面 ADD1A1,即 BD⊥A1D. 又∵A1D⊥BE 且 BE∩BD=B, ∴A1D⊥平面 BDE. (2)解:如图,连 B1C,则 B1C⊥BE, 易证 Rt△BCE∽Rt△B1BC, CE BC = ,又∵E 为 CC1 中点, BC B1B 1 ∴BC2= BB2. 2 1 BB1= 2BC= 2a. 取 CD 中点 M,连结 BM,则 BM⊥平面 CC1D1C, 作 MN⊥DE 于 N,连 NB,由三垂线定理知: BN⊥DE,则∠BNM 是二面角 B-DE-C 的平面角. BD·BC 2 在 Rt△BDC 中,BM= = a, DC 2 10 Rt△CED 中,易求得 MN= a, 10 BM Rt△BMN 中,tan∠BNM= = 5, MN 则二面角 B-DE-C 的大小为 arctan 5. 15.如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AB 的中点. ∴ (1)求直线 B1C 与 DE 所成的角的余弦值; (2)求证:平面 EB1D⊥平面 B1CD; (3)求二面角 E-B1C-D 的余弦值. 解析:(1)连结 A1D,则由 A1D∥B1C 知,B1C 与 DE 所成的角即为 A1D 与 DE 所成的角. 连结 A1E,由正方体 ABCD-A1B1C1D1,可设其棱长为 a,则 A1D= 2a,A1E=DE= a, ∴cos∠A1DE 5 2



A1D2+DE2-A1E2 10 = . 2·A1D·DE 5

10 . 5 (2)证明取 B1C 的中点 F,B1D 的中点 G,连结 BF,EG,GF. ∵CD⊥平面 BCC1B1, 且 BF?平面 BCC1B1,∴DC⊥BF. 又∵BF⊥B1C,CD∩B1C=C, ∴BF⊥平面 B1CD. 1 1 又∵GF 綊 CD,BE 綊 CD, 2 2 ∴GF 綊 BE,∴四边形 BFGE 是平行四边形, ∴BF∥GE,∴GE⊥平面 B1CD. ∵GE?平面 EB1D, ∴平面 EB1D⊥平面 B1CD. (3)连结 EF. ∵CD⊥B1C,GF∥CD,∴GF⊥B1C. 又∵GE⊥平面 B1CD, ∴EF⊥B1C,∴∠EFG 是二面角 E-B1C-D 的平面角. 设正方体的棱长为 a,则在△EFG 中, 1 3 GF= a,EF= a, 2 2 FG 3 ∴cos∠EFG= = , EF 3 3 ∴二面角 E-B1C-D 的余弦值为 . 3 16.(2009·全国Ⅱ,18)如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点,DE⊥平面 BCC1. ∴直线 B1C 与 DE 所成角的余弦值是

(1)求证:AB=AC; (2)设二面角 A-BD-C 为 60°,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小. 解析:(1)证明:取 BC 中点 F,连结 EF, 1 则 EF 綊 B1B,从而 EF 綊 DA. 2 连结 AF,则 ADEF 为平行四边形,从而 AF∥DE. 又 DE⊥平面 BCC1,故 AF⊥平面 BCC1,从而 AF⊥BC,即 AF 为 BC 的垂直平分线,所以 AB=AC. (2)解:作 AG⊥BD,垂足为 G,连结 CG.由三垂线定理知 CG⊥BD,故∠AGC 为二面 2 角 A-BD-C 的平面角.由题设知,∠AGC=60°.设 AC=2,则 AG= .又 AB=2,BC= 3 2 2 2,故 AF= 2.由 AB·AD=AG·BD 得 2AD= · AD2+22, 3 解得 AD= 2,故 AD=AF. 又 AD⊥AF,所以四边形 ADEF 为正方形.

因为 BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故 BC⊥平面 DEF,因此平面 BCD⊥平面 DEF. 连结 AE、DF,设 AE∩DF=H,则 EH⊥DF,EH⊥平面 BCD. 连结 CH,则∠ECH 为 B1C 与平面 BCD 所成的角. 1 因 ADEF 为正方形,AD= 2,故 EH=1,又 EC= B1C=2, 2 所以∠ECH=30°,即 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30°. 13.在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面边长为 2 2,侧棱长为 4,E、F 分别为棱 AB、BC 的中点. (1)求证:平面 B1EF⊥平面 BDD1B1; (2)求点 D1 到平面 B1EF 的距离 d. 分析:(1)可先证 EF⊥平面 BDD1B1.(2)用几何法或等积法求距离时,可由 B1D1∥BD, 将点进行转移:D1 点到平面 B1EF 的距离是 B 点到它的距离的 4 倍,先求 B 点到平面 B1EF 的距离即可. EF⊥BD ? ? ? ?EF⊥平面 BDD1B1 ?平面 B1EF⊥平面 解答:(1)证明: ? EF⊥B1B? BDD1B1. (2)解:解法一:连结 EF 交 BD 于 G 点. ∵B1D1=4BG,且 B1D1∥BG, ∴D1 点到平面 B1EF 的距离是 B 点到它的距离的 4 倍. 利用等积法可求. 1 由题意可知,EF= AC=2,B1G= 17. 2 1 1 S△B1EF= EF·B1G= ×2× 17= 17, 2 2 1 1 S△BEF= BE·BF= × 2× 2=1. 2 2 ∵VB-B1EF=VB1-BEF, 1 1 设 B 到面 B1EF 的距离为 h1,则 × 17×h1= ×1×4, 3 3 4 17 ∴h1= . 17 16 17 ∴点 D1 到平面 B1EF 的距离为 h=4h1= . 17 1 解法二: 如图, 在正方形 BDD1B1 的边 BD 上取一点 G, BG= BD, 使 4 连结 B1G,过点 D1 作 D1H⊥B1G 于 H,则 D1H 即为所求距离. 16 17 (直接法). 可求得 D1H= 17 14.如图直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 CC1=2,∠BAC=90°,AB =AC= 2,M 是棱 BC 的中点,N 是 CC1 中点.求: (1)二面角 B1-AN-M 的大小; (2)C1 到平面 AMN 的距离. 解析:(1)∵∠BAC=90°,AB=AC= 2,M 是棱 BC 的中点, ∴AM⊥BC,BC=2,AM=1. ∴AM⊥平面 BCC1B1. ∴平面 AMN⊥平面 BCC1B1. 作 B1H⊥MN 于 H,HR⊥AN 于 R,连结 B1R, ∴B1H⊥平面 AMN. 又由三垂线定理知,B1R⊥AN. ∴∠B1RH 是二面角 B1-AN-M 的平面角. 由已知得 AN= 3,MN= 2,B1M= 5=B1N,

3 2 则 B1H= , 2 RH HN 6 又 Rt△AMN∽Rt△HRN, = ,∴RH= . AM AN 6 RH 14 7 ∴B1R= ,∴cos∠B1RH= = . B1R 14 3 7 ∴二面角 B1-AN-M 的大小为 arccos . 14 (2)∵N 是 CC1 中点, ∴C1 到平面 AMN 的距离等于 C 到平面 AMN 的距离. 设 C 到平面 AMN 的距离为 h, 由 VC-AMN=VN-AMC 1 1 1 1 得 × ·MN·h= × AM·MC. 3 2 3 2 2 ∴h= . 2 15. (2009·北京海淀一模)如图所示, 四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 为直角梯形,且 AB∥CD,∠BAD=90°,PA=AD=DC=2,AB=4.

(1)求证:BC⊥PC; (2)求 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值; (3)求点 A 到平面 PBC 的距离. 解析:(1)证明:如图,在直角梯形 ABCD 中, ∵AB∥CD,∠BAD=90°,AD=DC=2, ∴∠ADC=90°,且 AC=2 2. 取 AB 的中点 E,连结 CE, 由题意可知,四边形 ABCD 为正方形, ∴AE=CE=2. 1 1 又∵BE= AB=2.∴CE= AB, 2 2 ∴△ABC 为等腰直角三角形, ∴AC⊥BC. 又∵PA⊥平面 ABCD,且 AC 为 PC 在平面 ABCD 内的射影, BC?平面 ABCD,由三垂线定理得, BC⊥PC. (2)由(1)可知,BC⊥PC,BC⊥AC,PC∩AC=C, ∴BC⊥平面 PAC. PC 是 PB 在平面 PAC 内的射影, ∴∠CPB 是 PB 与平面 PAC 所成的角.又 CB=2 2, PB2=PA2+AB2=20,PB=2 5, BC 10 10 ∴sin∠CPB= = ,即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为 . PB 5 5 (3)由(2)可知,BC⊥平面 PAC,BC?平面 PBC, ∴平面 PBC⊥平面 PAC. 过 A 点在平面 PAC 内作 AF⊥PC 于 F,

∴AF⊥平面 PBC, ∴AF 的长即为点 A 到平面 PBC 的距离. 在直角三角形 PAC 中, PA=2,AC=2 2, 2 6 PC=2 3,∴AF= . 3 2 6 即点 A 到平面 PBC 的距离为 . 3 16. (2009·吉林长春一模)如图所示, 四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形, PA⊥底面 ABCD, PA=2,∠PDA=45°,点 E、F 分别为棱 AB、PD 的中点. (1)求证:AF∥平面 PCE; (2)求二面角 E-PD-C 的大小; (3)求点 A 到平面 PCE 的距离. 解析:(1)证明:如图取 PC 的中点 G,连结 FG、EG, ∴FG 为△PCD 的中位线, 1 ∴FG= CD 且 FG∥CD. 2 又∵底面四边形 ABCD 是正方形,E 为棱 AB 的中点, 1 ∴AE= CD 且 AE∥CD, 2 ∴AE=FG 且 AE∥FG. ∴四边形 AEGF 是平行四边形, ∴AF∥EG. 又 EG?平面 PCE,AF?平面 PCE, ∴AF∥平面 PCE. (2)解:∵PA⊥底面 ABCD, ∴PA⊥AD,PA⊥CD. 又 AD⊥CD, PA∩AD=A, ∴CD⊥平面 PAD. 又∵AF?平面 PAD, ∴CD⊥AF. 又 PA=2,∠PDA=45°, ∴PA=AD=2. ∵F 是 PD 的中点,∴AF⊥PD. 又∵CD∩PD=D, ∴AF⊥平面 PCD. ∵AF∥EG,∴EG⊥平面 PCD. 又 GF⊥PD,连结 EF, 则∠GFE 是二面角 E-PD-C 的平面角. 在 Rt△EGF 中,EG=AF= 2,GF=1, GE ∴tan∠GFE= = 2. GF ∴二面角 E-PD-C 的大小为 arctan 2. (3)设 A 到平面 PCE 的距离为 h, 1 1 1 1 6 由 VA-PCE=VP-ACE,即 × PC·EG·h= PA· AE·CB,得 h= , 3 2 3 2 3 6 ∴点 A 到平面 PCE 的距离为 . 3 13.(2009·陕西,18)如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,AC=AA1= 3,

∠ABC=60°.

(1)求证:AB⊥A1C; (2)求二面角 A-A1C-B 的大小. 解析:(1)证明:∵三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱, ∴AB⊥AA1, 在△ABC 中,AB=1,AC= 3,∠ABC=60°,由正弦定理得∠ACB=30°, ∴∠BAC=90°,即 AB⊥AC. ∴AB⊥平面 ACC1A1,又 A1C?平面 ACC1A1,∴AB⊥A1C. (2)解:如图,作 AD⊥A1C 交 A1C 于 D 点,连结 BD,由三垂线定理知 BD⊥A1C, ∴∠ADB 为二面角 A-A1C-B 的平面角. 3× 3 AA1·AC 6 在 Rt△AA1C 中,AD= = = , A 1C 2 6 6 AB 在 Rt△BAD 中,tan∠ADB= = , AD 3 6 6 ∴∠ADB=arctan ,即二面角 A-A1C-B 的大小为 arctan . 3 3 14.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 a 的正三角形,侧面 ABB1A1 是菱形且 垂直于底面,∠A1AB=60°,M 是 A1B1 的中点. (1)求证:BM⊥AC; (2)求二面角 B-B1C1-A1 的正切值; (3)求三棱锥 M-A1CB 的体积. 解析:(1)证明:∵ABB1A1 是菱形,∠A1AB=60°?△A1B1B 是正三角形, ∵M是A1B1的中点,∴BM⊥A1B? ?
? 又∵平面AA1B1B⊥平面A1B1C1 ? ?BM⊥平面 A1B1C1. ∴BM⊥A1C1 ? ? ??BM⊥AC. ? 又∵AC∥A1C1? ?

(2)过M作ME⊥B1C1且交于点E,? ? ??BE⊥B1C1,∴∠BEM 为所求二面角的平面角, ? ∵BM⊥平面A1B1C1, ? 3 3 △A1B1C1 中,ME=MB1·sin60°= a,Rt△BMB1 中,MB=MB1·tan60°= a, 4 2 MB ∴tan∠BEM= =2, ME ∴所求二面角的正切值是 2. 1 1 1 1 1 3 3 1 (3)VM-A1CB= VB1-A1CB= VA-A1CB= VA1-ABC= × × a2· a= a3. 2 2 2 2 2 3 4 16 15.(2009·广东汕头一模)如图所示,已知△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥ AE AF 平面 BCD,∠ADB=60°,E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且 = =λ(0<λ<1). AC AD (1)求证:不论 λ 为何值,总有 EF⊥平面 ABC;

1 (2)若 λ= ,求三棱锥 A-BEF 的体积. 2 解析:(1)证明:∵AB⊥平面 BCD, ∴AB⊥CD. 又∵在△BCD 中,∠BCD=90°, ∴BC⊥CD. ∵又 AB∩BC=B, ∴CD⊥平面 ABC. AE AF 又∵在△ACD 中,E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且 = =λ(0<λ<1), AC AD ∴不论 λ 为何值,都有 EF∥CD, ∴EF⊥平面 ABC. (2)在△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1, ∴BD= 2. 又∵AB⊥平面 BCD, ∴AB⊥BC,AB⊥BD. 又∵在 Rt△ABD 中,∠ADB=60°, ∴AB=BD·tan60°= 6, 由(1)知 EF⊥平面 ABC, ∴VA-BEF=VF-ABE 1 = S△ABE·EF 3 1 1 = × S△ABC·EF 3 2 1 1 1 6 = × ×1× 6× = . 6 2 2 24 6 故三棱锥 A-BEF 的体积是 . 24 16.在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面 ABCD 是面积为 2 3的菱形,∠ADC 为菱形的锐角. (1)求证:PA⊥CD; (2)求二面角 P-AB-D 的大小; (3)求棱锥 P-ABCD 的侧面积; 解析:(1)证明:如图所示,取 CD 的中点 E,由 PE⊥CD,得 PE⊥平面 ABCD,连结 AC、AE. ∵AD·CD·sin∠ADC=2 3, AD=CD=2, 3 ∴sin∠ADC= , 2 即∠ADC=60°,∴△ADC 为正三角形,∴CD⊥AE. ∴CD⊥PA(三垂线定理). (2)解:∵AB∥CD,∴AB⊥PA,AB⊥AE, ∴∠PAE 为二面角 P-AB-D 的平面角. 在 Rt△PEA 中,PE=AE,∴∠PAE=45°. 即二面角 P-AB-D 的大小为 45°. (3)分别计算各侧面的面积: ∵PD=DA=2,PA= 6, 1 15 ∴cos∠PDA= ,sin∠PDA= . 4 4

1 1 S△PCD= 3,S△PAB= AB·PA= ·2· 2· 3= 6, 2 2 1 15 S△PAD=S△PBC= PD·DA·sin∠PDA= . 2 2 ∴SP-ABCD 侧= 3+ 6+ 15. 13.把地球当作半径为 R 的球,地球上 A、B 两地都在北纬 45°,A、B 两点的球面距离 π 是 R,A 点在东经 20°,求 B 点的位置. 3 解析:如图,求 B 点的位置即求 B 点的经度,设 B 点在东经 α, π ∵A、B 两点的球面距离是 R. 3 π ∴∠AOB= ,因此三角形 AOB 是等边三角形,∴AB=R, 3 又∵∠AO1B=α-20°(经度差) 2 问题转化为在△AO1B 中借助 AO1=BO1=AOcos45°= R, 2 则 同理: 点也可在西经 70°, B 点在北纬 45°东经 110° B 即 求出∠AO1B=90°, α=110°, 或西经 70°. 14.在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为 49πcm2 和 400πcm2, 求球的表面积和体积. BO 则 解析: 如图, 两平行截面被球大圆所在平面截得的交线分别为 AO1、 2, AO1∥BO2. 若 O1、O2 分别为两截面圆的圆心,则由等腰三角形性质易知 OO1⊥AO1,OO2⊥BO2, 设球半径为 R,∵πO2B2=49π, ∴O2B=7cm,同理 O1A=20cm. 设 OO1=xcm,则 OO2=(x+9)cm. 在 Rt△OO1A 中,R2=x2+202, 在 Rt△OO2B 中,R2=(x+9)2+72, ∴x2+202=72+(x+9)2,解得 x=15cm. ∴R=25cm,∴S 球=2500πcm2, 4 62500 V 球= πR3= πcm3. 3 3 π 15.设 A、B、C 是半径为 1 的球面上的三点,B、C 两点间的球面距离为 ,点 A 与 B、 3 π C 两点间的球面距离均为 ,O 为球心,求: 2 (1)∠AOB、∠BOC 的大小; (2)球心 O 到截面 ABC 的距离. π 解析:(1)如图,因为球 O 的半径为 1,B、C 两点间的球面距离为 , 3 π π 点 A 与 B、C 两点间的球面距离均为 ,所以∠BOC= ,∠AOB=∠AOC= 2 3 π , 2 3 7 (2)因为 BC=1,AC=AB= 2,所以由余弦定理得 cos∠BAC= ,sin∠BAC= ,设 4 4 截面圆的圆心为 O1,连结 AO1,则截面圆的半径 r=AO1,由正弦定理得 r= BC 2 7 21 = ,所以 OO1= OA2-r2= . 7 7 2sin∠BAC 16.如图四棱锥 A-BCDE 中,AD⊥底面 BCDE,AC⊥BC,AE⊥BE. (1)求证:A、B、C、D、E 五点共球; (2)若∠CBE=90°,CE= 3,AD=1,求 B、D 两点的球面距离. 解析:(1)证明:取 AB 的中点 P,连结 PE,PC,PD,由题设条件知

△AEB、△ADB、△ABC 都是直角三角形. 1 故 PE=PD=PC= AB=PA=PB. 2 所以 A、B、C、D、E 五点在同一球面上. (2)解:由题意知四边形 BCDE 为矩形, 所以 BD=CE= 3, 在 Rt△ADB 中,AB=2,AD=1, 2 ∴∠DPB=120°,D、B 的球面距离为 π. 3 17.(本小题满分 10 分)如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,SA⊥底面 ABCD,E 是 SC 上一点.

(1)求证:平面 EBD⊥平面 SAC; (2)假设 SA=4,AB=2,求点 A 到平面 SBD 的距离; 解析:(1)∵正方形 ABCD,∴BD⊥AC,又∵SA⊥平面 ABCD,∴SA⊥BD,则 BD⊥平 面 SAC,又 BD?平面 BED,∴平面 BED⊥平面 SAC. 1 1 1 (2)设 AC∩BD=O,由三垂线定理得 BD⊥SO.AO= AC= 2AB= · 2·2= 2,SA=4, 2 2 2 1 1 则 SO= SA2+AO2= 16+2=3 2,S△BSD= BD·SO= ·2 2·3 2=6.设 A 到面 BSD 的距离 2 2 1 1 4 为 h,则 VS-ABD=VA-BSD,即 S△ABD·SA= S△BSD·h,解得 h= ,即点 A 到平面 SBD 的距离为 3 3 3 4 . 3 18. (本小题满分 12 分)如图, 正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 1=2AB AA =4,点 E 在 C1C 上且 C1E=3EC. (1)证明 A1C⊥平面 BED; (2)求二面角 A1-DE-B 的大小. 解析:依题设知 AB=2,CE=1, (1)证明:连结 AC 交 BD 于点 F,则 BD⊥AC. 由三垂线定理知,BD⊥A1C. 在平面 A1CA 内,连结 EF 交 A1C 于点 G, AA1 AC 由于 = =2 2, FC CE 故 Rt△A1AC∽Rt△FCE,∠AA1C=∠CFE,∠CFE 与∠FCA1 互余. 于是 A1C⊥EF. A1C 与平面 BED 内两条相交直线 BD、EF 都垂直. 所以 A1C⊥平面 BED. (2)作 GH⊥DE,垂足为 H,连结 A1H. 由三垂线定理知 A1H⊥DE, 故∠A1HG 是二面角 A1-DE-B 的平面角. EF= CF2+CE2= 3, CE×CF 2 CG= = . EF 3 3 EG= CE2-CG2= . 3

1 EF×FD EG 1 2 = ,GH= × = . 3 DE EF 3 15 5 6 又 A1C= AA2+AC2=2 6,A1G=A1C-CG= , 1 3 A 1G tan∠A1HG= =5 5. HG 所以二面角 A1-DE-B 的大小为 arctan5 5. 19.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD= 90°,AB=BC=SB=SC=2CD=2,侧面 SBC⊥底面 ABCD. (1)由 SA 的中点 E 作底面的垂线 EH,试确定垂足 H 的位置; (2)求二面角 E-BC-A 的大小. 解析:(1)作 SO⊥BC 于 O,则 SO?平面 SBC, 又面 SBC⊥底面 ABCD, 面 SBC∩面 ABCD=BC, ∴SO⊥底面 ABCD① 又 SO?平面 SAO,∴面 SAO⊥底面 ABCD, 作 EH⊥AO,∴EH⊥底面 ABCD② 即 H 为垂足,由①②知,EH∥SO, 又 E 为 SA 的中点,∴H 是 AO 的中点. (2)过 H 作 HF⊥BC 于 F,连结 EF, 由(1)知 EH⊥平面 ABCD,∴EH⊥BC, 又 EH∩HF=H,∴BC⊥平面 EFH,∴BC⊥EF, ∴∠HFE 为面 EBC 和底面 ABCD 所成二面角的平面角. 在等边三角形 SBC 中,∵SO⊥BC, ∴O 为 BC 中点,又 BC=2. 1 3 ∴SO= 22-12= 3,EH= SO= , 2 2 1 又 HF= AB=1, 2 3 EH 2 3 ∴在 Rt△EHF 中,tan∠HFE= = = , HF 1 2 3 ∴∠HFE=arctan . 2 3 即二面角 E-BC-A 的大小为 arctan . 2 20.(本小题满分 12 分)(2010·唐山市高三摸底考试)如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=1,AA1=2,N 是 A1D 的中点,M∈BB1,异面直线 MN 与 A1A 所成的角为 90°.

(1)求证:点 M 是 BB1 的中点; (2)求直线 MN 与平面 ADD1A1 所成角的大小;

(3)求二面角 A-MN-A1 的大小. 解析:(1)取 AA1 的中点 P,连结 PM,PN. ∵N 是 A1D 的中点,∴AA1⊥PN,又∵AA1⊥MN,MN∩PN=N, ∴AA1⊥面 PMN. ∵PM?面 PMN,∴AA1⊥PM,∴PM∥AB, ∴点 M 是 BB1 的中点.

(2)由(1)知∠PNM 即为 MN 与平面 ADD1A1 所成的角. 1 在 Rt△PMN 中,易知 PM=1,PN= , 2 PM ∴tan∠PNM= =2,∠PNM=arctan2. PN 故 MN 与平面 ADD1A1 所成的角为 arctan2. (3)∵N 是 A1D 的中点,M 是 BB1 的中点,∴A1N=AN,A1M=AM, 又 MN 为公共边,∴△A1MN≌△AMN. 在△AMN 中,作 AG⊥MN 交 MN 于 G,连结 A1G,则∠A1GA 即为二面角 A-MN-A1 的平面角. 30 在△A1GA 中,AA1=2,A1G=GA= , 5 A1G2+GA2-AA2 2 2 1 ∴cos∠A1GA= =- ,∴∠A1GA=arccos(- ), 2A1G·GA 3 3 2 故二面角 A-MN-A1 的大小为 arccos(- ). 3 21.(2009·安徽,18)(本小题满分 12 分)如图所示,四棱锥 F-ABCD 的底面 ABCD 是菱 形,其对角线 AC=2,BD= 2.AE、CF 都与平面 ABCD 垂直,AE=1,CF=2.

(1)求二面角 B-AF-D 的大小; (2)求四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 公共部分的体积. 命题意图: 本题考查空间位置关系, 二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等 知识.考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力. 解答:(1)解:连接 AC、BD 交于菱形的中心 O,过 O 作 OG⊥AF,G 为垂足,连接 BG、 DG. 由 BD⊥AC,BD⊥CF 得 BD⊥平面 ACF,故 BD⊥AF. 于是 AF⊥平面 BGD,所以 BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD 为二面角 B-AF-D 的平面角.

π 2 由 FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC= ,OG= . 4 2 π 2 由 OB⊥OG,OB=OD= ,得∠BGD=2∠BGO= . 2 2 (2)解:连接 EB、EC、ED,设直线 AF 与直线 CE 相交于点 H,则四棱锥 E-ABCD 与 四棱锥 F-ABCD 的公共部分为四棱锥 H-ABCD. 过 H 作 HP⊥平面 ABCD,P 为垂足. 因为 EA⊥平面 ABCD,FC⊥平面 ABCD, 所以平面 ACEF⊥平面 ABCD,从而 P∈AC,HP⊥AC. HP HP AP PC 2 由 + = + =1,得 HP= . CF AE AC AC 3 1 又因为 S 菱形 ABCD= AC·BD= 2, 2 2 2 1 . 故四棱锥 H-ABCD 的体积 V= S 菱形 ABCD·HP= 3 9 22.(2009·深圳调考一)(本小题满分 12 分)如图所示,AB 为圆 O 的直径,点 E、F 在圆 O 上,AB∥EF,矩形 ABCD 所在平面和圆 O 所在的平面互相垂直.已知 AB=2,EF=1.

(1)求证:平面 DAF⊥平面 CBF; (2)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小; (3)当 AD 的长为何值时,二面角 D-FE-B 的大小为 60°? 解析:(1)证明:∵平面 ABCD⊥平面 ABEF,CB⊥AB, 平面 ABCD∩平面 ABEF=AB, ∴CB⊥平面 ABEF. ∵AF?平面 ABEF,∴AF⊥CB, 又∵AB 为圆 O 的直径,∴AF⊥BF, ∴AF⊥平面 CBF. ∵AF?平面 DAF,∴平面 DAF⊥平面 CBF. (2)解:根据(1)的证明,有 AF⊥平面 CBF, ∴FB 为 AB 在平面 CBF 上的射影, 因此,∠ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角. ∵AB∥EF,∴四边形 ABEF 为等腰梯形, 过点 F 作 FH⊥AB,交 AB 于 H. AB-EF 1 AB=2,EF=1,则 AH= = . 2 2 在 Rt△AFB 中,根据射影定理 AF2=AH·AB,得 AF=1, AF 1 sin∠ABF= = ,∴∠ABF=30°, AB 2 ∴直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30°. (3)解:过点 A 作 AM⊥EF,交 EF 的延长线于点 M,连结 DM. 根据(1)的证明,DA⊥平面 ABEF,则 DM⊥EF, ∴∠DMA 为二面角 D-FE-B 的平面角, ∠DMA=60°. 1 在 Rt△AFH 中,∵AH= ,AF=1, 2

∴FH=

3 . 2 3 . 2

又∵四边形 AMFH 为矩形,∴MA=FH= ∵AD=MA·tan∠DMA= 3 3 · 3= . 2 2

3 因此,当 AD 的长为 时,二面角 D-FE-B 的大小为 60°. 2



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