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2019版同步文数(北师大版)课件:第三章第七节正弦定理和余弦定理_图文

第三章 三角函数、解三角形 第七节 正弦定理和余弦定理 高考·导航 C 目 录 ONTENTS 主干知识 自主排查 核心考点 互动探究 课时作业 高考· 导航 掌握正弦定理、余弦定理、并能解决一些简单的三角形 度量问题. 主干知识 自主排查 1.正、余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为△ABC 外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 2 2 2 c b a = b + c -2bccos A ; a sin C 2 =_____ sin B =_____ 2 2 sin A c + a -2cacos B ; 公式 b= =2R 2 2 a + b -2abcos C c= 2 定理 正弦定理 (1)a=2Rsin A, b= 余弦定理 2Rsin B 2Rsin C , c= ; b2+c2-a2 b 2bc cos A=__________ ; a c 2R (2)sin A= ,sin B=____,sin C= ; 2R 2R 常见 c2+a2-b2 sin A∶sin B∶sin C 2ac ; cos B=__________ ; 变形 (3)a∶b∶c= (4)asin B=bsin A, bsin C=csin B, asin C =csin A a2+b2-c2 2ab cos C=___________ [必记结论] 三角形中的常用结论 A+B π C (1)A+B=π-C, = - . 2 2 2 (2)在三角形中大边对大角,反之亦然. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (4)在△ABC 中, tan A+tan B+tan C=tan A· tan B· tan C(A, π B,C≠ ). 2 2.三角形的面积 1 1 1 abc 1 S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+c)· r(r 2 2 2 4R 2 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R,r. [小题诊断] 1.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a= 3 2,c=2 3,cos A= ,且 b<c,则 b=( C ) 2 A. 3 C. 2 B.2 2 D. 3 解析:由 a2=b2+c2-2bccos A,得 4=b2+12-6b,解得 b =2 或 4,∵b<c,∴b=2. 2.(2018· 西安质检)在△ABC 中,若 A=60° ,B=45° ,BC =3 2,则 AC=( B ) A. 4 3 C. 3 B.2 3 3 D. 2 AC BC 解析:在△ABC 中,根据正弦定理,得 = , sin B sin A 2 3 2× 2 BC· sin B ∴AC= = =2 3. sin A 3 2 a-c 3.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b a-b = ,则角 C=( a+c π A. 3 π C. 6 ) π B. 4 π D. 8 a-c a-b 解析:由 b = ,得 a2+b2-c2=ab,由余弦定理得 cos a+c a2+b2-c2 1 π C= = ,所以 C= .故选 A. 2ab 2 3 答案:A 4.已知△ABC 的面积为 3,且 C=30° ,BC=2 3,则 AB =( C ) A. 1 C. 2 B. 3 D. 2 3 1 1 1 解析: 由题意得, S△ABC= AC· BC· sin C= AC×2 3× = 3, 2 2 2 解得 AC=2.由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos C= 3 4+12-2×2×2 3× =4,所以 AB=2.故选 C. 2 5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,若 asin A+bsin B<csin C,则△ABC 的形状是( C ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不确定 解析:根据正弦定理可得 a2+b2<c2.由余弦定理得 cos C= a2+b2-c2 <0,所以角 C 是钝角,故选 C. 2ab 1.由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另 一边的对角时易忽视解的判断. 2.在判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式, 应移项提取公因式,以免漏解. 3.利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角形内角和定 理对角的范围的限制. [小题纠偏] 1. 在△ABC 中, 若 a=18, b=24, A=45° , 则此三角形有( B ) A.无解 C.一解 B.两解 D.解的个数不确定 a b 解析:∵ = , sin A sin B b 24 2 2 ∴sin B=asin A= sin 45° = . 18 3 又∵a<b,∴B 有两个解, 即此三角形有两解. 2.(2017· 高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别 75° 为 a,b,c.已知 C=60° ,b= 6,c=3,则 A=________. bsin C 6sin 60° 2 解析:由正弦定理,得 sin B= = = ,因 c 3 2 为 0° <B<180° , 所以 B=45° 或 135° , 因为 b<c, 所以 B<C, 故 B=45° ,所以 A=180° -60° -45° =75° . 核心考点 互动探究 [典例] (1)(2017· 高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分 别为 a,b,c,若 2bcos B=acos C+ccos A,则 B=________. (2)已知△ABC 的三边 a,b,c 成等比数列,a,b,c 所对的角依次 为 A,B,C,则 sin B+cos B 的取值范围是( ? A.?1,1+ ? ) 3? ? 2? ?1 B.? ,1+ ?


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