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高中总复习第一轮数学 第十二章 统计(文) 12.1 抽样方法与总体分布的估计

第十二章
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统计(文)

考点目标定位 1.抽样方法,总体分布的估计. 2.总体期望值和方差的估计. 复习方略指南 在本章的复习中,要理解几种抽样方法的区别与联系.应充分注意一些重要概念的实际 意义,理解概率统计中处理问题的基本思想方法,掌握所学的概率统计知识的实际应用. 这部分内容高考命题趋向主要以选择题、填空题为主,重点考查基础知识、基本概念及 其简单的应用. 对有关概率统计的应用题要多加关注. 12.1 抽样方法与总体分布的估计 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.常用的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样两种. 这两种抽样方法都是不放回抽样和等概率抽样. 2.总体分布的估计.用样本估计总体, 是研究统计问题的一个基本思想方法, 样本容量越 大,估计越精确. 将总体与随机变量沟通后,就可以用概率的知识研究统计问题. (1)当总体中的个体取不同值很少时,其频率分布表由所取的样本的不同值及相应的频 率来表示,其几何表示就是相应的条形图. (2)当总体中的个体取不同值较多时,对其频率分布的研究要用到整理样本数据的知识, 列出频率分布表和区间内取值的频率分布表和频率分布直方图. 3.累积频率分布.累积频率分布是从另一角度反映了一组数据分布的情况, 因此在频率分 布表中常增设一列累积频率, 而且常在频率分布直方图下面画出累积频率分布图; 当样本容 量无限增大, 频率分布直方图趋近于总体密度曲线时, 相应的累积频率分布图也会趋近于一 条光滑曲线,即累积分布曲线. 4.生产过程中的质量控制图.通过生产过程中的质量控制图, 了解统计中假设检验的基本 思想,明确正态总体及其概率密度函数的概率,掌握正态曲线的性质及其应用,并了解“小 概率事件”的概念和它在一次试验中不可能发生的思想. 二、点击双基 1.为调查参加运动会的 1 000 名运动员的年龄情况,从中抽查了 100 名运动员的年龄,就这 个问题来说,下列说法正确的是( ) A.1 000 名运动员是总体 B.每个运动员是个体 C.抽取的 100 名运动员是样本 D.样本容量是 100

解析:这个问题我们研究的是运动员的年龄情况.因此应选 D. 答案:D 2.一个总体中共有 10 个个体,用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为 3 的样本,则某 特定个体入样的概率是( ) A.

3 3 C10

B.

3 10 ? 9 ? 8

C.

3 10

D.

1 10

解析:用简单随机抽样法从中抽取,则每个个体被抽到的概率都相同为

3 ,所以选 C. 10

答案:C 3.(2005 江西高考)为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名高三学生的视 力情况,得到频率分布直方图如下图,由于不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频数成等 比数列,后 6 组的频数成等差数列,设最大频率为 a,视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b, 则 a、b 的值分别为( )

A.0.27,78 B.0.27,83 C.2.7,78 解析:组距=0.1,4.3—4.4 之间的频数为 100×0.1×0.1=1. 4.4—4.5 之间的频数为 100×0.1×0.3=3. 根据前 4 组频数成等比数列,则 4.6—4.7 的频数为 1·( ∴最大频率 a=

D.2.7,83

3 3 ) =27. 1

27 =0.27. 100 6?5 d=87, 2

根据后 6 组成等差数列,且有 100-13=87(人),设公差为 d,则 6×27+ ∴d=-5.∴b=4×27+

4?3 ×(-5)=78. 2

答案:A 4.(2005 全国高考卷Ⅲ)经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢” “不喜欢”和“一般”三 种态度,其中执“一般”态度的比“不喜欢”的多 12 人,按分层抽样方法从全班选出部分学生 座谈摄影,如果选出的是 5 位“喜欢”摄影的同学、1 位“不喜欢”摄影的同学和 3 位执“一 般”态度的同学,那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多_____________人. 解析:由题知,设三种态度的人数分别为 5x、x、3x,则 3x-x=12.∴x=6,即人数分别为 30、6、 18.∴30-(30+6+18)÷2=3. 答案:3 5.(2006 郑州模拟)一个单位有职工 360 人,其中业务人员 276 人,管理人员 36 人,后勤人员 48 人,为了了解职工的住房情况,要从中抽取一个容量为 30 的样本,若采用分层抽样的抽样方法, 则应从后勤人员中抽取__________________人. 解析:由题意得

30 ×48=4(人). 360

答案:4 诱思·实例点拨 【例 1】 某批零件共 160 个,其中一级品 48 个,二级品 64 个,三级品 32 个,等外品 16 个.从中抽取一个容量为 20 的样本.请说明分别用简单随机抽样和分层抽样法抽取时总体中 的每个个体被取到的概率均相同. 剖析:根据简单随机抽样和分层抽样法的概念 ,设计抽样的方法步骤 ,然后求出每个个体被取 到的概率. 解:(1)简单随机抽样法: 可采取抽签法,将 160 个零件按 1—160 编号,相应地制作 1—160 号的 160 个签,从中随机抽 20 个.显然每个个体被抽到的概率为 (2)分层抽样法:按比例

20 1 = . 160 8

20 1 = ,分别在一级品、二级品、三级品、等外品中抽取 48 160 8 1 1 1 1 6 × =6 个,64× =8 个,32× =4 个,16× =2 个,每个个体被抽到的概率分别为 , 8 8 8 8 48 8 4 2 1 , , ,即都是 . 64 32 16 8 1 综上可知,无论采取哪种抽样,总体的每个个体被抽到的概率都是 . 8
讲评:弄清两种抽样方法的实质 ,是灵活选用抽样方法的前提和基础 ,在解决问题时可根据实 际情况灵活选用. 链接·提示 当总体中的个体较少时 ,一般可用简单随机抽样;当总体由差异明显的几部分组成时 ,一 般可用分层抽样.而简单随机抽样作为一种最简单的抽样方法,又在其中处于一种非常重要的 地位.实施简单随机抽样,主要有两种方法:抽签法和随机数表法. 【例 2】 把容量为 100 的某个样本数据分为 10 组,并填写频率分布表,若前七组的累积频 率为 0.79,而剩下三组的频数成公比大于 2 的整数等比数列,则剩下三组中频数最高的一组 的频数为_______________________________. 解析:已知前七组的累积频率为 0.79,而要研究后三组的问题,因此应先求出后三组的频率 之和为 1-0.79=0.21,进而求出后三组的共有频数,或者先求前七组共有频数后,再计算后三 组的共有频数. 由已知知前七组的累积频数为 0.79 × 100=79, 故后三组共有的频数为 21 ,依题意

a1 ? (1 ? q 3 ) =21,a1(1+q+q2)=21.∴a1=1,q=4.∴后三组频数最高的一组的频数为 16. 1? q
答案:16 讲评:此题剖析只按第二种思路给出了解答,你能按第一种思路来解吗? 【例 3】 对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下: 寿命(h) 个 数 100—200 20 200—300 30 300—400 80 400—500 40 500—600 30

(1)列出频率分布表; (2)画出频率分布直方图和累积频率分布图; (3)估计电子元件寿命在 100—400 h 以内的概率; (4)估计电子元件寿命在 400 h 以上的概率. 剖析:通过本题可掌握总体分布估计的各种方法和步骤.

解:(1)频率分布表如下: 寿命(h) 100—200 200—300 300—400 400—500 500—600 合 计 (2)频率分布直方图如下: 频数 20 30 80 40 30 200 频率 0.10 0.15 0.40 0.20 0.15 1 累积频率 0.10 0.25 0.65 0.85 1

(3)由累积频率分布图可以看出,寿命在 100—400 h 内的电子元件出现的频率为 0.65, 所以我们估计电子元件寿命在 100—400 h 内的概率为 0.65. (4)由频率分布表可知, 寿命在 400 h 以上的电子元件出现的频率为 0.20+0.15=0.35,故我 们估计电子元件寿命在 400 h 以上的概率为 0.35. 讲评:画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义.



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