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高中数学必修5解三角形习题(05


高中数学必修 5——解三角形习题(1)
★ 知 识 梳理 ★

1. 内角和定理: 在 ?ABC 中, A ? B ? C ? ? ; sin( A ? B) ? sin C ; cos( A ? B) ? ? cosC
cos A? B C ? sin 2 2 1 1 1 ab sin C ? bc sin A = ca sin B 2 2 2

2.面积公式: S?ABC ?

3.正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. a b c 形式一: ? ? ? 2 R (解三角形的重要工具) sin A sin B sin C
?a ? 2 R sin A ? 形式二: ?b ? 2 R sin B ?c ? 2 R sin C ?

(边角转化的重要工具)

4.余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们 夹角的余弦的积的两倍.. 形式一: a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ?
b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B (解三角形的重要工具)
c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C

形式二: cos A ?

b2 ? c2 ? a2 c2 ? a2 ? b2 ; cos B ? ; 2bc 2ca

cosC=

a2 ? b2 ? c2 2ab

巩固训练:

1

在△ABC 中,

,则

等于(



A

B

C

D

cosA b 2 在△ ABC 中,若cosB =a ,则△ ABC 的形状是.( A.等腰直角三角形 B.直角三角形

)

C.等腰或直角三角形 D.等边三角形

3 在△ABC 中,若 C ? 90 0 , a ? 6, B ? 30 0 ,则 c ? b 等于( A



1

B

?1

C

2 3

D

?2 3

4. 【台州市·理】6.在 ?ABC 中,若 a =1,C= 60? , c = 3 则 A 的值为 A. 30? B. 60? C. 30?或150? D. 60?或120? 5 在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( A
30 0 或60 0

) D
30 0 或150 0

B

45 0 或60 0

C

120 0 或60 0

6.在△ABC 中,若 3 a=2bsinA,则 B 为 A.

( C.
2? ? 或 3 3



? 3

B.

? 6

D.

5? ? 或 6 6

7.在 ?ABC 中, a , b , c 分别为角 A , B , C 所对边,若 a ? 2b cosC ,则此三 角形一定是( A.等腰直角三角形 ) B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形

8\(2011 文)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分 a, b, c .若 a cos A ? b sin B ,则
sin A cos A ? cos2 B ?

1 1 B. C. -1 D.1 2 2 9 在△ABC 中,A=60° ,B=75° ,a=10,则 c 等于_________.

A.-

10 在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A 等于________. 1 11 在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C=3,则△ABC 的面积为________. 12、在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° .求角 A,C 和边 c

13、 在?ABC中, A ? 30?, a ? 8, b ? 8 3, 则S?ABC ? ______ .

14 在 Rt △ABC 中,C=

?
2

,则 sin Asin B 的最大值是_______________.

1 15. 【杭州市·文】(12)在△ ABC 中,若∠B=60° ,sinA= ,BC=2,则 AC=. 3

16.在△ABC 中,a+c=2b,A-C=60°,则 sinB=

.

17 . 在 △ ABC 中 , 若 ∠ B=30 ° ,AB=2 3 ,AC=2, 则 △ ABC 的 面 积 为 ___ ___. 18. 【温州中学· 理】12. ?ABC 中, a、b、c 分别为 ?A、?B、?C 的对边, 1 c ? cosB ? b ? cosC ,且 cosA ? ,则 sinB ? ________. 3 ? 19.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,设 a+c=2b,A-C= , 3 求 sinB 的值.

20.根据所给条件,判断△ABC 的形状.? a b c (1)acosA=bcosB; (2) . ? ? cos A cos B cos C

2 21.在△ABC 中,已知 2a ? b ? c , sin A ? sin B sin C ,试判断△ABC 的形状

22.三角形的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,设向量 m ? (c ? a, b ? a) ,
n ? (a ? b, c) , 若 m // n ,求角 B 的大小;

23.已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、 b 、 c ,若 1 cos B cosC ? sin B sin C ? . 2 (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

24.已知△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,其中 c ? 2 , 又向量 m ? (1 , cosC ) ,n ? ( cosC , 1) ,m·n=1. (1)若 A ? 45? ,求 a 的值; (2)若 a ? b ? 4 ,求△ ABC 的面积.

17

. 解 析 : ∵ 2R sin A ? 2R sin C ? 2 ? 2R sin B B A?C B B cos ? cos ? 2 ? sin ? cos , 2 2 2 2 故 sin
B 3 , ? 2 4





∴ sin B ?

39 . 8

18.解析: (1)由余弦定理得:?

acosA=bcosB ? a ? (

b2 ? c2 ? a2 a2 ? b2 ? c2 ) ? b?( ) 2bc 2ac

? a 2c 2 ? a 4 ? b2c 2 ? b4 ? 0
? (a 2 ? b 2 )(c 2 ? a 2 ? b 2 ) ? 0 ? a 2 ? b 2 ? 0或c 2 ? a 2 ? b 2 ? 0 ? a ? b 或c 2 ? a 2 ? b 2

∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.? c sin A c sin B (2)由正弦定理得: a ? 代入已知等式: ,b ? sin C sin C
c sin A c sin B c ? ? cos A sin C cos B sin C cos C sin A sin B sin C ? ? ? cos A cos B cos C

? 即 tanA=tanB=tanC ∵A、B、C∈(0,π )? ∴A=B=C ? ∴△ABC 为等边三角形.? 6.解: (Ⅰ)? cos B cosC ? sin B sin C ?
? cos(B ? C ) ? 1 2 1 2

……………………………

…2 分 又? 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ?
? ?A? B ?C ?? , A ? 2? 3

?
3

…………………4 分 ………………………………6

分 (Ⅱ)由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A 得 (2 3 ) 2 ? (b ? c) 2 ? 2bc ? 2bc ? cos 分
2? 3

………………………………8

1 即:12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) ,?bc ? 4 2 分

………………………………10

∴ S ?ABC ? 分

1 1 3 bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3 2 2 2

………………………………12

7.解:(1)∵mn ? cos C ? cos C ? 2 cos C ? 1


C ? 60?

cos C ?

1 2

? 0? ? C ? 180?



…………………………………2分 正 弦 定 理 得 ,



a 2 ? sin 45? sin 60? ,

a? 2 2 3 ? 2 6 3 ,

……………………………………………4分

………………………………………………………………6分

2 2 (2)∵ c ? 2 , ?C ? 60? , ?a ? b ? 2ab cos60? ? 4 ,


a 2 ? b 2 ? ab ? 4 ,

…………………………………………………………8分 ………………………

2 2 又∵ a ? b ? 4 ,∴ a ? b ? 2ab ? 16 ,∴ ab ? 4 ,

10分 ∴ 12分
S ?ABC ? 1 ab sin C ? 3 2 . ……………………………………………………


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