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2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2节两条直线的位置关系课件文


抓 基 础 · 自 主 学 习 明 考 向 · 题 型 突 破

第二节

两条直线的位置关系

课 时 分 层 训 练

[考纲传真]

1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解

方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的 距离公式,会求两平行直线间的距离.

1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2? k1=k2. ②当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2. (2)两条直线垂直
k2=-1 ①如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1⊥l2? k1·

.

②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2.

2.两条直线的交点的求法 直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为
? ?A1x+B1y+C1=0, 常数),则l1与l2的交点坐标就是方程组? ? ?A2x+B2y+C2=0

的解.

3.距离
P1(x1,y1),P2(x2,y2)两 点之间的距离|P1P2| 点P0(x0,y0)到直线l:Ax +By+C=0的距离 平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0间的距离

d= ?x2-x1?2+?y2-y1?2
|Ax0+By0+C| d= A2+B2
|C1-C2| d= 2 A +B2

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2?l1∥l2.( ) )

(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( |kx0+b| (3)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 2 .( 1+k )

(4)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2, B2,C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0.( )

(5)若点P,Q分别是两条平行线l1,l2上的任意一点,则P,Q两点的最小距离 就是两条平行线的距离.( )

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√

2.(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于 ( ) A. 2 C. 2-1 B.2- 2 D. 2+1

|a-2+3| C [由题意得 =1,即|a+1|= 2, 2 又a>0,∴a= 2-1.]

3.直线l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线l恒过定点________.
(2,-2) [直线l的方程变形为a(x+y)-2x+y+6=0, 解得x=2,y=-2,

? ?x+y=0, 由? ? ?-2x+y+6=0,

所以直线l恒过定点(2,-2).]

4.已知直线l1:ax+(3-a)y+1=0,l2:x-2y=0.若l1⊥l2,则实数a的值为 ________. 【导学号:66482375】
a 2 [由 =-2,得a=2.] a-3

5.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是 ________.
2 6 m 14 [∵3= 4 ≠ ,∴m=8, -3

直线6x+my+14=0可化为3x+4y+7=0, |-3-7| ∴两平行线之间的距离d= 2 2=2.] 3 +4

两条直线的平行与垂直

(1)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a +1)y+4=0平行”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

(2)(2017· 青岛模拟)过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为( A.2x+y-1=0 C.x+2y-5=0 B.2x+y-5=0 D.x-2y+7=0

(1)A (2)A [(1)当a=1时,显然l1∥l2, 若l1∥l2,则a(a+1)-2×1=0, 所以a=1或a=-2. 所以a=1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件. 1 (2)直线x-2y+3=0的斜率为2,从而所求直线的斜率为-2. 又直线过点(-1,3), 所以所求直线的方程为y-3=-2(x+1),即2x+y-1=0.]

[规律方法]

1.判定直线间的位置关系,要注意直线方程中字母参数取值的影

响,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,还要考虑到斜率不存在的特殊情况,同 时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件. 2.在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得 A1 B1 C1 出结论,可避免讨论.另外当A2B2C2≠0时,比例式 A 与 B , C 的关系容易记住, 2 2 2 在解答选择、填空题时,有时比较方便.

[变式训练1] 已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线2x+y-1=0为 l2,直线x+ny+1=0为l3.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为( A.-10 C.0 B.-2 D.8 )

4-m A [∵l1∥l2,∴kAB= =-2,解得m=-8. m+2
? 1? 又∵l2⊥l3,∴?-n?×(-2)=-1, ? ?

解得n=-2,∴m+n=-10.]

两直线的交点与距离问题
(1)直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l 的方程为________. (2)过点P(3,0)作一直线l,使它被两直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0所 截的线段AB以P为中点,求此直线l的方程.

(1)x+3y-5=0或x=-1

[法一:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y

-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0. |2k-3+k+2| |-4k-5+k+2| 由题意知 = , 2 2 k +1 k +1 1 即|3k-1|=|-3k-3|,∴k=-3, 1 ∴直线l的方程为y-2=-3(x+1),即x+3y-5=0. 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.

1 法二:当AB∥l时,有k=kAB=-3,直线l的方程为 1 y-2=-3(x+1),即x+3y-5=0. 当l过AB中点时,AB的中点为(-1,4), ∴直线l的方程为x=-1. 故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.]

(2)设直线l与l1的交点为A(x0,y0),则直线l与l2的交点B(6-x0,-y0),2分 11 ? x0 = 3 , ? ? 2 x - y - 2 = 0 , ? 0 0 ? 由题意知 解得? ? ?6-x0-y0+3=0, ?y0=16, 3 ?

6分

16 ?11 16? 3 -0 即A? 3 , 3 ?,从而直线l的斜率k=11 =8,10分 ? ? 3 -3 直线l的方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0. 12分

[规律方法]

1.求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐

标,再结合其他条件写出直线方程;也可利用过交点的直线系方程,再求参数. 2.利用距离公式应注意:①点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线 y=b的距离d=|y0-b|;②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数化 为相等.

[变式训练2] 若直线l过点A(1,-1)与已知直线l1:2x+y-6=0相交于B点, 且|AB|=5,求直线l的方程.
[解] ①过点A(1,-1)与y轴平行的直线为x=1.
? ?x=1, 解方程组? ? ?2x+y-6=0,

求得B点坐标为(1,4), 4分

此时|AB|=5,即直线l的方程为x=1.

②设过点A(1,-1)且与y轴不平行的直线为y+1=k(x-1),
? ?2x+y-6=0, 解方程组? ? ?y+1=k?x-1?,

k +7 4k-2 得x = 且y= (k≠-2,否则l与l1平行). k +2 k+2
?k+7 4k-2? ? , 则B点坐标为? ?k+2 ?. k + 2 ? ?

8分

又A(1,-1),且|AB|=5,
?k+7 ? ? ? 3 ? ?2 ?4k-2 ?2 2 -1? +? +1? =5 ,解得k=- . 所以? 4 k + 2 k + 2 ? ? ? ?

10分

3 因此y+1=-4(x-1),即3x+4y+1=0. 综上可知,所求直线的方程为x=1或3x+4y+1=0. 12分

对称问题

(1)平面直角坐标系中直线y=2x+1关于点(1,1)对称的直线方程是 ________. (2)光线从A(-4,-2)点射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上 的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),则BC所在的直线方程是 ________.

(1)y=2x-3 (2)10x-3y+8=0 [(1)法一:在直线l上任取一点P′(x,y), 其关于点(1,1)的对称点P(2-x,2-y)必在直线y=2x+1上, ∴2-y=2(2-x)+1,即2x-y-3=0. 因此,直线l的方程为y=2x-3.

法二:由题意,l与直线y=2x+1平行,设l的方程为2x-y+c=0(c≠1),则点 (1,1)到两平行线的距离相等, |2-1+c| |2-1+1| ∴ = ,解得c=-3. 2 2 2 +1 2 +1 因此所求直线l的方程为y=2x-3.

法三:在直线y=2x+1上任取两个点A(0,1),B(1,3),则点A关于点(1,1)对称 的点M(2,1),B关于点(1,1)对称的点N(1,-1).由两点式求出对称直线MN的方程 y+1 x-1 为 = ,即y=2x-3. 1+1 2-1

(2)作出草图,如图所示,设A关于直线y=x的对称点为A′,D关于y轴的对 称点为D′,

则易得A′(-2,-4),D′(1,6). 由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C. y-6 x-1 故BC所在的直线方程为 = ,即10x-3y+8=0.] -4-6 -2-1

[迁移探究1] 在题(1)中“将结论”改为“求点A(1,1)关于直线y=2x+1的对 称点”,则结果如何?
[解] 设点A(1,1)关于直线y=2x+1的对称点为A′(a,b),2分
?1+a 1+b? ? 则AA′的中点为? , ? 2 ?,4分 2 ? ?

? ?1+b=2×1+a+1, 2 ? 2 所以? ?b-1×2=-1, ? ?a-1

3 ? ?a=-5, 解得? ?b=9, 5 ?

10分

? 3 9? 故点A(1,1)关于直线y=2x+1的对称点为?-5,5?. ? ?

12分

[迁移探究2] 在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线x-y=0对 称”,则结果如何?

[解] 在直线y=2x+1上任取两个点A(0,1),B(1,3),则点A关于直线x-y=0 的对称点为M(1,0),点B关于直线x-y=0的对称点为N(3,1),6分 y-1 x-3 ∴根据两点式,得所求直线的方程为 = ,即x-2y-1=0. 0-1 1-3 12分

[规律方法]

1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式,将直线关于点的中

心对称转化为点关于点的对称. 2.解决轴对称问题,一般是转化为求对称点问题,关键是要抓住两点,一 是已知点与对称点的连线与对称轴垂直;二是已知点与对称点为端点的线段的中 点在对称轴上.

[变式训练3] (2017· 广州模拟)直线x-2y+1=0关于直线x+y-2=0对称的直 线方程是( ) B.2x-y-1=0 D.x+2y-3=0

A.x+2y-1=0 C.2x+y-3=0

B [由题意得直线x-2y+1=0与直线x+y-2=0的交点坐标为(1,1). 在直线x-2y+1=0上取点A(-1,0), 设A点关于直线x+y-2=0的对称点为B(m,n), ? ? n-0 ×?-1?=-1, ?m+1 则? ?m-1 n +2-2=0, ? 2 ?
? ?m=2, 解得? ? ?n=3.

y-1 x-1 故所求直线的方程为 = ,即2x-y-1=0.] 3-1 2-1

[思想与方法] 1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合 的两条直线l1,l2,l1∥l2?k1=k2;l1⊥l2?k1· k2=-1.若有一条直线的斜率不存 在,那么另一条直线的斜率一定要特别注意. 2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称,点与线的对称, 利用坐标转移法.

[易错与防范] 1.判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.两条直 线都有斜率,可根据判定定理判断,若直线无斜率时,要单独考虑. 2.(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式; (2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相 等.


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