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[课件]概率与统计2.2离散型随机变量-PPT精选文档_图文

离散型随机变量

2019/3/17

§2.2 离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律 定义:如果随机变量X 至多取可列无穷个 数值:x1, x2, … , 记 pi = P{X = xi }, 且满足
( 1 ) p 0 ,? i ; i?

(2)

i?1

?pi ?1.

?

称X 是离散型随机变量.
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pi = P{X = xi },i = 1,2,…
X P{ X = xi } x1 p1 x2 p2 … … xi pi … …

为X 的分布律. 表示为

质量分布图(分布律的直观解释) 质量为p1 x1 总质量为1 质量为pn xn …
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x2



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上节例1中赌博彩金Y 是离散型随机变量,其 分布律为:
Y 0 0.05 0.2 2

P{Y = yi }

0.5001 0.3589 0.1282 0.0128

其它例子 因

产品检验试验

对于离散型随机变量X ,由概率可加性,

{ X ? x } ?? { X ? x } i
x x i?
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故 F ( x ) ? P { X ? x }
? P { X ? x } ? ?P [ ?{ X ?x }] i i
x x i?

xi ? x

二、贝努里试验和二项分布 E1:抛一枚硬币出现正反面; E2:检查一件产品是否合格; E3:射击,观察是否命中; 贝努里 试验

E4:考一门课,是否通过;
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特点 关注试验的两个结果: A 和 . A 实际结果可能不 止两个 贝努里试验仅有两个基本事件 :A和 A , 记 P(A) = p 令随机变量

1 , 若事件 A 发生; ? X?? 0 , 若事件 A 不发生 . ?
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则X 的分布律为
X P{X=xi} 0 1-p 1 p

称X 服从 (0-1)分布

思考 怎样求X 的分布函数? 定义 将试验E 按下述条件重复进行n次

(1) 每次试验的条件不变; (2) 各次试验的结果互不影响. 称这n次试验为n次重复独立试验.
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当试验E 是贝努里试验,称这n次独立试验为 n重贝努里试验 ,或称贝努里概型.
对于n重贝努里试验,可考察哪 些问题,考虑哪些变量 (1) n次试验中事件A 发生的总次数X; (2) 事件A 首次发生时的试验次数Y; (3) 事件A 发生k次时的试验次数Z; 练习 尝试写出随机变量 Y和Z的分布律.
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定理 在n 重贝努里试验中,事件A 发生

概率为P(A) = p,0 < p < 1,则事件A 发生
的次数 X 的分布律为
k k n ? k ? 0 , 1 , 2 , ? , n . P { X ? k } ? C p ( 1 ? p ) ,k n

证 n重贝努里试验中,事件A 发生的总次数 X 可能取数值: 0,1,2,…,n.

事件A在指定的k 次试验中出现的概率为

p( 1?p )

k

n ? k
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式.

从n次试验中选出k 次试验有C

k n

种不同的方

且各种方式的事件互不相容,由概率的有 限可加性可得
kk n ? k P ( k ) ? C p ( 1 ? p ) , n n

结论成立.
称随机变量X 服从二项分布 ,记为X ~ B(n, p). (0—1)分布可以看作X ~B(1, p).
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例子

产品抽检试验 强弱对抗试验 设备排障试验

三、泊松分布 定义:若随机变量X 的分布律为
k ?

l l P { X ? k } ?e , k ? 0 , 1 , 2 , ? ;( l ? 0 )
k !
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称X 服从参数为l 的泊松分布. 记为 X ~ P(l ).

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存储问题 泊松分布的重要性在于: (1) 现实中大量随机变量服从泊松分布; (2) 泊松分布可视为二项分布的极限分布. 定理 设随机变量序列Xn~ B(n , pn), n = 1, 2,…, 即有 k k n ? k P { X ? k } ? C p ( 1 ? p ) n nn n ,

若 lim np ? l( l ? 0 ) , 则有 n
n ? ?
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k l ? l lim P { X ? k } ? e , n ? ? n

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k !

k ? 1 , 2 , ?

证明略.

i m n p l?0 , 思考:你能从条件 l n?
中分析出什么结论吗? 注
n? ??

n ? ? ?

lim npn ? l

即数列{ pn } 与 { 1 n } 是同阶的无穷小.故

pn lim ?l n ??? 1 / n
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(1) 当n 够大, p 较小时有

kk n ? k P ( k ) ? C p ( 1 ? p ) ? n n

l ? l e
k

其中l ? n p .

k !

设备排障试验 (2) 实际问题中, n 次独立重复试验中,“稀有

事件”出现的次数可认为服从泊松分布.
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例1 某种产品在生产过程中的废品率为p

(0<p<1),对产品逐个检查,直到检查出
5个不合格品为止,试写出停止检查时已检 查的产品个数X 的分布律.

解 关键是分析随机事件{X=k}, 事件{ X = k }相当于第k 次检查到的产品 必为不合格品,而前k – 1 次检查中查出4 件 不合格品.
如指定前4次:
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1

2

3

4



k- 1

k

合格 不合格 进行 k 次检查,指定的5次检查出现不合格 品的概率为 p5(1 – p ) k – 5. 从前k-1次检查中选出4 次出现不合格产品 共有 C
4 k ?1

不合格

种不同的方式.
4 5 k ? 1 k ? 5

故分布律为
#

P { X ? k } ? C p ( 1 ? p ), k ? 5 , 6 , ?
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例2 设有一批同类产品共有N 个,其中次

品有M 个,现从中逐个有放回地取出n 个,
试求取出n 件中所含的次品件数X 的分布律.

分析 产品是逐件有放回取出,各次抽到
次品是相互独立的,抽n 件产品相当于做n

重贝努里试验,并 关注事件发生的总次数.

M X ~ B(n , N).
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故 X 的分布律为
M k k M n ? k P { X ? k } ? C ( ) ( 1 ? ) n N N

其中 k = 0,1,2,…,n. 思考:将抽取方式改为无放回抽取,试写 出X 的分布律.

#
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2019/3/17

例3 强弱两队进行乒乓球对抗赛,得胜人数
多的一方获胜,已知强队每个队员获胜的概率

为0.6,下面两个方案中哪一个对弱队有利?
(1)双方各出3人; (2)双方各出7人. 解:设A = {弱队获胜},弱队获胜的人数为X.

双方逐对较量独立进行,故为独立重复试 验. (1)当双方各出3人时, X ~ B( 3, 0.4 )
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k k (0.6)3-k P( A ) = P{ X ≥ 2 } = ∑C (0.4) 3 k=2

3

≈0.352 (2)当双方各出7人时, X ~ B( 7, 0.4 ).
P( A ) = P{ X ≥ 4 } = ∑C k=4 7

k k 7-k (0.4) (0.6) 7

≈0.290 故第一种方案对弱队更有利一些.
#
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例4 某商店根据过去的销售记录知道某种 商品每月销售量可以用参数为λ=10的泊松分 布来描述。为了以95%的概率保证不脱销, 问商店在月底应存多少该种商品(设仅在月底 进货)?
解 设该商店每月销售件数为X,月底存货 为a件,需求a使
P { X ? a } ? 0 . 95



k 10 ? 10 P { X ? a } ? e ? 0 . 95 ? ! k ? 0k a

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14 k

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10 ? 10 查表可 得 e ? 0 . 9166 ? 0 . 95 ? ! k ? 0k
k 10 ? 10 e ? 0 . 9513 ? 0 . 95 ? ! k ? 0 k 15

这家商店在月底保证存货不少于15件就 能以95%的概率保证下个月该种商品不会 脱销.

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例5 有300台独立运转的同类机床,每台
机床发生故障的概率都是0.01,若一人排除

一台的故障. 问至少需要多少名工人,才能
保证不能及时排除故障的概率小于0.01. 解:设X 表示同一时刻发生故障的机床数,则 X ~ B( 300, 0.01 ). 若 配N 个工人, 应使

0.01 > P{ X > N } = 1 – P{ X ≤ N }
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k k 30 ? k 0 ? 1 ? C ( 0 . 01 ) ( 1 ? 0 . 01 ) ? 300 k ? 0 N

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即求使上述不等式成立的最小N 值.

#

续例4
因为300×0.01 = 3 (n较大,p较小),故可认为X

近似服从 λ= 3 的泊松分布,即 X ~ P( 3 ).
3? 3 于是 0 . 01 ? P { X ? N } ?? e k ! k ? N ? 1
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? k

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查P288 的附表1 可得 P{ X > 7 } = 0.11905 > 0.01 P{ X > 8 } = 0.003803 < 0.01

所以,至少需要配备8 个修理工人.

#

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