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2013届高考文科数学第一轮复习测试题16

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A级 命题要点:函数的单调性及其应用?′11年高考,′10年高考?. (时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1 1 1.给定函数:①y=x2;②y=log2(x+1);③y=|x-1|;④y=2x+1.其中在区间(0,1)上单调递 减的函数的序号是( A.①② 解析 ). C.③④ D.①④ 满分:60 分)

B.②③

1 1 ①函数 y=x2在(0,+∞)上为增函数,故在(0,1)上也为增函数,②y=log2(x+1)在(-

1,+∞)上为减函数,故在(0,1)上也为减函数,③y=|x-1|在(0,1)上为减函数,④y=2x+1 在 (-∞,+∞)上为增函数,故在(0,1)上也为增函数. 答案 B ).

2.(★)(2011· 课标全国)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( A.y=x3 C.y=-x2+1 解析 B.y=|x|+1 D.y=2-|x|

(筛选法)对于 A:y=x3 为奇函数,不合题意;对于 C,D:y=-x2+1 和 y=2-|x|在(0,

+∞)上单调递减,不合题意;对于 B:y=|x|+1 的图象如图所示,知 y=|x|+1 符合题意, 故选 B.

答案

B

【点评】 采用筛选法,根据选项中的函数的图象和性质逐一筛选.) 1 3.函数 f(x)=1- x在[3,4)上( A.有最小值无最大值 C.既有最大值又有最小值 解析 ). B.有最大值无最小值 D.最大值和最小值皆不存在

注意到函数 f(x)在[3,4)上是增函数,又函数定义域中含有 3 而没有 4,故该函数有最

小值无最大值,故选 A.
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答案

A

b 4.(2011· 东莞模拟)若函数 y=ax 与 y=- x在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax2+bx 在(0, +∞)上是( A.增函数 解析 ). B.减函数 C.先增后减 D.先减后增

b ∵y=ax 与 y=-x 在(0,+∞)上都是减函数,

b ∴a<0,b<0,∴y=ax2+bx 的对称轴方程 x=-2a<0, ∴y=ax2+bx 在(0,+∞)上为减函数. 答案 B ).

5.(2012· 安庆模拟)函 数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是( 3? ? A.?-∞,2? ? ? 3? ? C.?-1,2? ? ? 解析 ?3 ? B.?2,+∞? ? ? ?3 ? D.?2,4? ? ?

? 3? 25 ?3 ? 函数 f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4=-?x-2?2+ 4 的减区间为?2,4?, ? ? ? ?

?3 ? ∴函数 f(x)的单调减区间为?2,4?. ? ? 答案 D
[来源:学科网 ZXXK]

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)

6.函数 f(x)= x2-2x-3的单调增区间为________. 解析 ∵t=x2-2x-3≥0,∴x≤-1 或 x≥3.

当 x∈(-∞,-1]时,x 递增,t 递减,f(x)递减; 当 x ∈[3,+∞)时,x 递增,t 递增,f(x)递增, ∴当 x∈(-∞,-1]时,f(x)是减函数; 当 x∈[3,+∞)时,f(x)是增函数. 答案 [3,+∞)
[来源:学科网]

7.已知函数 f(x)在定义域(-1,1)内单调递减,则满足 f(1-a)<f(a2-1)的实数 a 的取值范围 为________.

解析

?-1<1-a<1, 2 由题意可知?-1<a -1<1, ?1-a>a2-1,

解之得 0<a<1.

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答案

(0,1)

8.(2011 · 南京模拟)如果函数 f(x)=ax2+2x-3 在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数 a 的取值范围是________. 解析 (1)当 a=0 时,f(x)=2x-3,在定义域 R 上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增;

1 (2)当 a≠0 时,二次函数 f(x)的对称轴为直线 x=-a,因为 f(x)在(-∞,4)上单调递增,所 1 1 1 以 a<0,且-a≥4,解得-4≤a<0,综上所述-4≤a≤0. 答案 ? 1 ? ?-4,0? ? ?

三、解答题(共 23 分) ?3? 9.(11 分)已知函数 y=f(x)在[0,+∞)上是减函数,试比较 f?4?与 f(a2-a+1)的大小. ? ? 解 1? 3 3 ? ?3? ∵a2-a+1=?a-2?2+4≥4>0, 又∵y=f(x)在[0, +∞)上是减函数, ∴f(a2-a+1)≤f?4?. ? ? ? ?

1 1 10.(12 分)已知函数 f(x)=a-x (a>0,x>0). (1)判断函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性; ?1 ? ?1 ? (2)若 f(x)在?2,2?上的值域是?2,2?,求 a 的值. ? ? ? ? 解 (1)设 x1>x2>0,则 x1-x2>0,x1x2>0,

?1 1 ? ?1 1 ? ∵f(x1)-f(x2)=?a-x ?-?a-x ? ? 1? ? 2? 1 1 x1-x2 =x -x = x x >0,
2 1 1 2

∴f(x1)>f(x2),因此,函数 f(x)是在(0,+∞)上的单调增函数. ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1? 1 (2)∵f(x)在?2,2?上的值域是?2,2?,又由(1)得 f(x)在?2,2?上是单调增函数,∴f?2?=2,f(2) ? ? ? ? ? ? ? ? =2, 1 1 1 1 2 即a-2=2,a-2=2.解得 a=5. B级 (时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.已知函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则(
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满分:40 分)

).
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A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) 解析 ∵f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,
[来源:学科网 ZXXK]

B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)

∴a>1,f(1)<f(2)<f(3). 又函数 f(x)=loga|x|为偶函数. ∴f (2)=f(-2),∴f(1)<f(-2)<f(3). 答案 B

x ?a ,x>1, ? 2.(2011· 哈尔滨模拟)已知 f(x)=?? a? ??4-2?x+2,x≤1 ?? ?

是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的

取值范围为( A.(1,+∞) 解析

). B.[4,8) C.( 4,8) D.(1,8)

因为 f(x )是 R 上的单调递增函数,所以可得

? a ?4-2>0, ? ?a≥4-a+2, ? 2
a>1, 答案 B

解得 4≤a<8.

[来源:Zxxk.Com]

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) ?1? 3.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f? x?>f(1)的实数 x 的取值范围为________. ? ? 解析 1 依题意知:x<1,

解得:x<0 或 x>1. 答案 (-∞,0)∪(1,+∞)


x ?e -2,x≤0, 4.(★)(2011· 淮南一模)已知函数 f(x)=? (a 是常数且 a>0).对于下列命题 : ?2ax-1,x>0

①函数 f(x)的最小值是-1; ②函数 f(x)在 R 上是单调函数; ?1 ? ③若 f(x)>0 在?2,+∞?上恒成立,则 a 的取值范围是 a>1; ? ? ?x1+x2? ?< ④对任意的 x1<0,x2<0 且 x1≠x2,恒有 f? ? 2 ? 大家网,大家的! http://www.topsage.com

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f?x1?+f?x2? . 2 其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号). 解析 (数形结合法)根据题意可画出草图,由图象可知,①显然正确;函数 f(x)在 R 上不是

1 ?1 ? 单调函数,故②错误 ;若 f(x)>0 在?2,+∞?上恒成立,则 2a×2-1>0,a>1,故③正确; ? ? 由图象可知在(-∞,0)上对任意的 x1<0,x2<0 ?x1+x2? f?x1?+f?x2? ?< 且 x1≠x2,恒有 f? 成立, 2 ? 2 ? 故④正确.

答案

①③④

【点评】 采用数形结合法.注意本题中的③和④的理解,此题充分体现了数形结合法的直观 性与便捷性. 三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)已知 f(x)= x (x≠a). x-a

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求实数 a 的取值范围. (1)证明 任设 x1<x2<-2. 则 f(x1)-f(x2)= 2?x1-x2? x1 x2 - = . x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2?

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)解 任设 1<x1 <x2,则 a?x2-x1? x1 x2 - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a?

f(x1)-f(x2)=

∵a>0,x2-x1>0,∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1. 综上所述知 0<a≤1. 6.(12 分)(2012· 杭州模拟)已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)= f(x+y),且当 x
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2 >0 时,f(x)<0,f(1)=-3. (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. (1)证明 在 R 上任取 x1,x2,不妨设 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2) =f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2) =f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. (2)解 ∵f(x)在 R 上为减函数,
[来源:Z*xx*k.Com]

∴f(x)在[-3,3]上也为减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 f(-3)、最小值为 f(3), 而 f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2) =f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1) =3f(1)=-2. 令 x=y=0,则 f(0)+f(0)=2f(0)=f(0), ∴f(0)=0,又 0=f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3), ∴f(-3)=-f(3)=2, 因此,f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2.

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