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2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化练习:第三讲 二 一般形式的柯西不等式 Word版含解析

[课时作业] [A 组 基础巩固] ) 1.已知 x2+y2+z2=1,则 x+2y+2z 的最大值为( A.1 C.3 解析:由柯西不等式得 (x+2y+2z)2≤(12+22+22)(x2+y2+z2)=9, 所以-3≤x+2y+2z≤3. y z 当且仅当 x=2=2时,等号成立. 所以 x+2y+2z 的最大值为 3. 答案:C B.2 D.4 2.n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( A.1 C.n2 解析:设 n 个正数为 x1,x2,…,xn, 由柯西不等式,得 1? ?1 1 (x1+x2+…+xn)?x +x +…+x ? ? 1 2 n? 1 1 1 ?2 ? +…+ xn× ? =(1+1+…+1)2=n2. ≥? x1×x1+ x2× x2 xn? ? 当且仅当 x1=x2=…=xn 时取等号. 答案:C 4 9 36 3.设 a、b、c 为正数,则(a+b+c)· (a+b+ c )的最小值为( A.11 C.49 B.121 D.7 B.n D. 1 n ) ) 4 ?4 9 36? ? ?a+b+ c ?≥? a· + b· 解析:(a+b+c)· ? ? ? a 答案:B 9 36?2 ? =121. + c · b c? 4 9 16 4.设 a,b,c 均为正数且 a+b+c=9,则a+b+ c 的最小值为( A.81 C.7 解析:考虑以下两组向量: 3 4? ?2 u=? , , ?,v=( a, b, c). b c? ? a 由(u· v)2≤|u|2· |v|2 得 3 4 ?2 ? ? · a+ · b+ · c?2 b c ? a ? ?4 9 16? ≤?a+b+ c ?(a+b+c), ? ? a2 b2 c2 当且仅当 4 = 9 =16,即 a=2,b=3,c=4 时取等号, ?4 9 16? 可得?a+b+ c ?· 9≥(2+3+4)2=81, ? ? 4 9 16 81 所以a+b+ c ≥ 9 =9. 答案:B 5.设非负实数 α1,α2,…,αn 满足 α1+α2+…+αn=1, 则 y= 2 2 2 + +…+ -n 的最小值为( 2-α1 2-α2 2-αn B. n 2n+1 ) B.9 D.49 ) n A. 2n-1 n+1 C. 2n-1 解析:为了利用柯西不等式,注意到 2n2 D. 2n-1 (2-α1)+(2-α2)+…+(2-αn)=2n-(α1+α2+…+αn)=2n-1, 1 1 ? ? 1 + +…+ ? 所以(2n-1)? 2-αn? ?2-α1 2-α2 1 1 ? ? 1 + +…+ ? ? =[(2-α1)+(2-α2)+…+(2-αn)]· 2-αn? ?2-α1 2-α2 ? ≥? ? 2-α1· 1 2-α1 + 2-α2· 1 2-α2 +…+ 2-αn· ?2 ? =n2, 2-αn? 1 2n2 2n2 n 所以 y+n≥ ,y≥ -n= . 2n-1 2n-1 2n-1 1 等号当且仅当 α1=α2=…=αn=n时成立,从而 y 有最小值 答案:A 6.同时满足 2x+3y+z=13,4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82 的实数 x、y、z 的值 分别为______,______,________. 解析:可令 x1=2x,x2=3y+3,x3=z+2, 2 2 则 x1+x2+x3=18 且 x2 1+x2+x3=108, 2 2 2 2 2 由此及柯西不等式得 182=(x1+x2+x3)2≤(x2 1+x2+x3)(1 +1 +1 )=108×3, n . 2n-1 x1 x2 x3 上式等号成立的充要条件是 1 = 1 = 1 ?x1=x2=x3=6?x=3,y=1,z=4. 所以 3,1,4 是所求实数 x,y,z 的值. 答案:3 1 4 7.已知实数 a,b,c,d,e 满足 a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16, 则 e 的取值范围为________. 解析:4(a2+b2+c2+d2)=(1+1+1+1)(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2, 即 4(16-e2)≥(8-e)2,即 64-4e2≥64-16e+e2. 16 ∴5e2-16e≥0,故 0≤e≤ 5 . 16? ? 答案:?0, 5 ? ? ? 8.设 a,b,c,x,y,z 都是正数,且 a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36, ax+by+cz=30,则 a+b+c =________. x+y+z 解析:由柯西不等式知:25×36=(a2+b2+c2)· (x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=302 =25×36, a b c 当且仅当x= y=z =k 时取等号. 5 由 k2(x2+y2+z2)2=25×36,解得 k=6. a+b+c 5 所以 =k=6. x+y+z 5 答案:6 9.已知 x,y,z∈R,且 x-2y-3z=4,求 x2+y2+z2 的最小值. 解析:由柯西不等式,得 [x+(-2)y+(-3)z]2≤[12+(-2)2+(-3)2](x2+y2+z2), 即(x-2y-3z)2≤14(x2+y2+z2), 即 16≤14(x2+y2+z2). 8 y z 2 4 6 所以 x2+y2+z2≥7,当且仅当 x= = ,即当 x=7,y=-7,z=-7时, -2 -3 8 x2+y2+z2 的最小值为7. 10.在△ABC 中,设其各边长分别为 a,b,c,外接圆半径为 R, 1 1 ? ? 1 求证:(a2+b2+c2)?sin2 A+sin2 B+sin2 C?≥36R2. ? ? a b c 证明:由正弦定理知sin A=sin B=sin C=2R, 1 1 ? ? 1 ∴(a2+b2+c2)?sin2 A+sin2 B+sin2 C? ? ? b c


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