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【学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,必修五)作业:2.1 数列的概念与简单表示法(1)


第二章 § 2.1





数列的概念与简单表示法(一)

课时目标 1.理解数列及其有关概念; 2.理解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项; 3.对于比较简单的数列,会根据其前 n 项写出它的通项公式. 1.按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列 中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做首项), 排在第二位的数称为这个数列的第 2 项,?,排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项. 2.数列的一般形式可以写成 a1,a2,?,an,?,简记为{an}. 3.项数有限的数列称有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列. 4.如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子 叫做这个数列的通项公式.

一、选择题 1.数列 2,3,4,5,?的一个通项公式为( ) A.an=n B.an=n+1 C.an=n+2 D.an=2n 答案 B + 1+?-1?n 1 2.已知数列{an}的通项公式为 an= ,则该数列的前 4 项依次为( 2 A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 1 1 C. ,0, ,0 D.2,0,2,0 2 2 答案 A 3.若数列的前 4 项为 1,0,1,0,则这个数列的通项公式不可能是( ) 1 n-1 A.an= [1+(-1) ] 2 1 B.an= [1-cos(n· 180° )] 2 2 C.an=sin (n· 90° ) 1 - D.an=(n-1)(n-2)+ [1+(-1)n 1] 2 答案 D 解析 令 n=1,2,3,4 代入验证即可. 4.已知数列{an}的通项公式为 an=n2-n-50,则-8 是该数列的( ) A.第 5 项 B.第 6 项 C.第 7 项 D.非任何一项 答案 C 解析 n2-n-50=-8,得 n=7 或 n=-6(舍去). 5.数列 1,3,6,10,?的一个通项公式是( ) n?n-1? A.an=n2-n+1 B.an= 2

)

n?n+1? C.an= D.an=n2+1 2 答案 C 解析 令 n=1,2,3,4,代入 A、B、C、D 检验即可.排除 A、B、D,从而选 C. 1 1 1 1 6.设 an= + + +?+ (n∈N*),那么 an+1-an 等于( ) 2 n n+1 n+2 n+3 1 1 A. B. 2n+1 2n+2 1 1 1 1 C. + D. - 2n+1 2n+2 2n+1 2n+2 答案 D 1 1 1 1 解析 ∵an= + + +? + 2n n+1 n+2 n+3 1 1 1 1 1 ∴an+1= + +?+ + + , 2n 2n+1 2n+2 n+2 n+3 1 1 1 1 1 ∴an+1-an= + - = - . 2n+1 2n+2 n+1 2n+1 2n+2 二、填空题 ?3n+1?n为正奇数? ? 7 . 已 知 数 列 {an} 的 通 项 公 式 为 an = ? .则它的前 4 项依次为 ?4n-1?n为正偶数? ? ____________. 答案 4,7,10,15 1 1 8.已知数列{an}的通项公式为 an= (n∈N*),那么 是这个数列的第______项. 120 n?n+2? 答案 10 1 1 解析 ∵ = , n?n+2? 120 ∴n(n+2)=10×12,∴n=10. 9.用火柴棒按下图的方法搭三角形:

按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以是 ______________. 答案 an=2n+1 解析 a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+2+2=9,?,∴an=2n+1. 10.传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前 570 年—公元前 500 年)学派的数学 家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如,他们将石子 摆成如图所示的三角形状,就将其所对应石子个数称为三角形数,则第 10 个三角形数是 ______.

答案 55 解析 三角形数依次为:1,3,6,10,15,?,第 10 个三角形数为:1+2+3+4+?+10 =55. 三、解答题 11.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,? (2)0.8,0.88,0.888,? 1 1 5 13 29 61 (3) , ,- , ,- , ,? 2 4 8 16 32 64

3 7 9 (4) ,1, , ,? 2 10 17 (5)0,1,0,1,? + 解 (1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n 1 表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的 数的绝对值总比前面数的绝对值大 6,故通项公式为 an=(-1)n(6n-5)(n∈N*). 8 8 (2)数列变形为 (1-0.1), (1-0.01), 9 9 1 8 8 1- n?(n∈N*). (1-0.001),?,∴an= ? 10 ? 9 9? (3)各项的分母分别为 21,22,23,24,?易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 2-3 21-3 22-3 23-3 24-3 项变为- ,因此原数列可化为- 1 , 2 ,- 3 , 4 ,?, 2 2 2 2 2 n 2 - 3 ∴an=(-1)n· n (n∈N*). 2 3 5 7 9 (4)将数列统一为 , , , ,?对于分子 3,5,7,9,?,是序号的 2 倍加 1,可得分子 2 5 10 17 的通项公式为 bn=2n+1,对于分母 2,5,10,17,?联想到数列 1,4,9,16?即数列{n2},可得分 母的通项公式为 cn=n2+1, 2n+1 ∴可得它的一个通项公式为 an= 2 (n∈N*). n +1
? ?0 ?n为奇数? 1+?-1?n (5)an=? 或 an= (n∈N*) 2 ?1 ?n为偶数? ? 1+cos nπ 或 an= (n∈N*). 2 ?9n2-9n+2? ?; 12.已知数列? 2 ? 9n -1 ? (1)求这个数列的第 10 项; 98 (2) 是不是该数列中的项,为什么? 101 (3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内; 1 2? (4)在区间? ?3,3?内有、无数列中的项?若有,有几项?若没有,说明理由. 9n2-9n+2 (1)解 设 f(n)= 9n2-1 ?3n-1??3n-2? 3n-2 = = . ?3n-1??3n+1? 3n+1 28 令 n=10,得第 10 项 a10=f(10)= . 31 3n-2 98 (2)解 令 = ,得 9n=300. 3n+1 101 98 此方程无正整数解,所以 不是该数列中的项. 101 3n-2 3n+1-3 3 (3)证明 ∵an= = =1- , 3n+1 3n+1 3n+1 3 又 n∈N*,∴0< <1,∴0<an<1. 3n+1 ∴数列中的各项都在区间(0,1)内. ? ?3n+1<9n-6 3n-2 2 1 (4)解 令 <an= < ,则? , 3 3n+1 3 ?9n-6<6n+2 ?

?n>6 即? 8 ?n<3

7

7 8 .∴ <n< . 6 3

1 2? 又∵n∈N*,∴当且仅当 n=2 时,上式成立,故区间? ?3,3?上有数列中的项,且只有一 4 项为 a2= . 7 能力提升 13.数列 a,b,a,b,?的一个通项公式是______________________. a+b + a-b? 答案 an= +(-1)n 1? 2 ? 2 ? a+b a-b a+b a-b 解析 a= + ,b= - , 2 2 2 2 a+b + a-b? 故 an= +(-1)n 1? 2 ? 2 ?. 14.根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第 n 个图中有多少个点.

解 图(1)只有 1 个点,无分支;图(2)除中间 1 个点外,有两个分支,每个分支有 1 个 点;图(3)除中间 1 个点外,有三个分支,每个分支有 2 个点;图(4)除中间 1 个点外,有四 个分支,每个分支有 3 个点;?;猜测第 n 个图中除中间一个点外,有 n 个分支,每个分支 有(n-1)个点,故第 n 个图中点的个数为 1+n(n-1)=n2-n+1.

1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有三个性质: (1)确定性:一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是确定的. (2)可重复性:数列中的数可以重复. (3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列次序也有关. 2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如,π 的不同近似值,依据精确的程度 可形成一个数列 3,3.1,3.14,3.141,?,它没有通项公式. 3.如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式.例如:数列-1,1,- + 1,1,-1,1,?的通项公式可写成 an=(-1)n,也可以写成 an=(-1)n 2,还可以写成 ? ?-1 ?n=2k-1?, an=? 其中 k∈N*. ?1 ?n=2k?, ?



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