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东城2013-2014高二第一学期期末数学理科


东城区 2013—2014 学年度第一学期期末教学统一检测

高二数学(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项. 1.设命题 p : ?x ? R, x ? 2014 ,则 ?p 为(
2

) B. ?x ? R, x ? 2014
2

A. ?x ? R, x ? 2014
2

C. ?x ? R, x ? 2014
2

D. ?x ? R, x ? 2014
2

2.直线 2 x ? 3 y ? 6 在 y 轴上的截距为( A. 3 3.双曲线 B. 2

) C. ?2 ) C. y ? ?2 x ( ) D. y ? ? x D. ?3

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为( 4 4

A. y ? ?4 x

B. y ? ?2 2 x

4.若图中直线 l1 , l 2 , l3 的斜率分别为 k1 , k 2 , k3 ,则 A. k1 < k 2 < k3 C. k3 < k 2 < k1
2 2

B. k1 < k3 < k 2 D. k3 < k1 < k 2 )

5. 设 m ? 0 ,则椭圆 x ? 4 y ? 4m 的离心率是(

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.与 m 的取值有关 ) D. 4 )

6. 已知向量 a ? (?1, x, 3) , b ? (2, ? 4, y) ,且 a ∥ b ,那么 x ? y 等于( A. ?4 B. ?2 C. 2

7.“ a ? b ”是“直线 y ? x ? 2与圆(x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? 2 相切”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 8.已知 l 表示一条直线,

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? , ? 表示两个不重合的平面,有以下三个语句:① l ? ? ;② l ∥ ? ;


③ ? ? ? .以其中任意两个作为条件, 另外一个作为结论, 可以得到三个命题, 其中正确命题的个数是 ( A. 0 B. 1 C. 2 ) D. 3

9. ? , ? 是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定 ? ∥ ? 的是( A. ? , ? 都与平面 ? 垂直

1

B. ? 内不共线的三点到 ? 的距离相等 C. l , m 是 ? 内的两条直线且 l ∥ ? , m ∥ ? D. l , m 是两条异面直线且 l ∥ ? , m ∥ ? , l ∥ ? , m ∥ ? 10.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,与 BD1 所在直线所成的角为 90 是(
?

) D. CD

A. AA1
2

B. B1C

C. AC 1

11.已知抛物线 y ? 4 x 的准线与双曲线 △ FAB 为直角三角形,则 a 的值为( A. 5

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 交于 A , B 两点,点 F 为抛物线的焦点,若 2 a
) C.

B. 3

3 3

D.

5 5

12.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 为侧面 ABB1 A1 所在平面上的一个动点,且 M 到平面 ADD1 A1 的 距离是 M 到直线 BC 距离的 2 倍,则动点 M 的轨迹为( A.椭圆 B.双曲线 ) C.抛物线 D.圆

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.将答案填在题中横线上. 13.若直线 3x ? y ? a=0 过圆 x ? y ? ? x ? ? y ? ? 的圆心,则 a 的值为 14.若直线 x ? (m+1) y ? 2 ? m 与直线 mx ? 2 y ? ?8 互相垂直,则 m 的值为 15.已知 F1 , F2 是椭圆 长为 8 ,则 k 的值为
? ?

. .

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A , B 两点,若△ ABF2 的周 k ? 2 k ?1
.

16. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个 全等的等腰直角三角形,则这个几何体的体积为 .

17.若直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 1相交于 P , Q 两点,且 ?POQ ? 120 (其中 O 为原点),则 k 的值为
2 2
?



x2 y 2 18.过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆于另一个点 B ,且点 B 在 x 轴上 a b
的射影恰好为右焦点 F ,若

1 1 ? k ? ,则椭圆离心率的取值范围是_____________. 3 2

2

三、解答题:本大题共 4 小题,共 34 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. (本题满分 8 分) 如图, DC ? 平面 ABC , EA // DC , AB ? AC ,AE ? (Ⅰ)求证: EM // 平面 ABC ; (Ⅱ)求证:平面 AEM ? 平面 BDC .

1 DC , M 为 BD 的中点. 2

D

E M

A B

C

20. (本题满分 9 分) 已知圆 M 的圆心在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上,且与 x 轴交于两点 A(?5, 0) , B(1,0) . (Ⅰ)求圆 M 的方程; (Ⅱ)求过点 C (1, 2) 的圆 M 的切线方程; (Ⅲ)已知 D(?3, 4) , 点 P 在圆 M 上运动, 求以 AD , AP 为一组邻边的平行四边形的另一个顶点 Q 轨迹方程.

3

21. (本题满分 8 分) 如图,已知四边形 ABCD 与 CDEF 均为正方形,平面 ABCD ? 平面 CDEF . (Ⅰ)求证: ED ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 D ? BE ? C 的大小.

E _

F _

D _ A _ B _

C _

22. (本题满分 9 分) 已知曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 (m ? R ) . m ? 2 3? m

(Ⅰ)若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,求 m 的取值范围; (Ⅱ)设 m ? 2 ,过点 D(0, 4) 的直线 l 与曲线 C 交于 M , N 两点, O 为坐标原点,若 △OMN 为 直角三角形,求直线 l 的斜率.

4

东城区 2013—2014 学年度第一学期期末教学统一检测

高二数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分. 1 .A 7 .A 2.C 8.B 3.D 9.D 4.B 10.B 5.C 11.D 6.A 12.A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分. 13. ?1 18. ( , ) 三、解答题:本大题共 4 个小题,共 34 分. 19. (本题满分 8 分) 证明: (Ⅰ)取 BC 的中点 N ,连接 MN , AN , 在△ BCD 中, M , N 分别为 BD , BC 的中点, 所以 MN // DC ,且 MN ? 而 EA // DC ,且 EA ? D 14. ?

2 3

15. 2

16.

64 3

17.

? 3或 3

1 2 2 3

1 DC . 2

E M

1 DC ,所以 EA // MN , EA ? MN . 2

A N

C

所以 EANM 是平行四边形. 所以 EM // AN . 又因为 EM ? 平面 ABC , AN ? 平面 ABC , 所以 EM //平面 ABC . (Ⅱ)因为 AB ? AC , N 为 BC 的中点, 所以 AN ? BC . 因为 DC ? 平面 ABC , AN ? 平面 ABC , 所以 DC ? AN . 又 DC ? BC ? C , 所以 AN ? 平面 BDC . 又因为 EANM 是平行四边形, 所以 AN // EM . 所以 EM ? 平面 BDC . 因为 EM ? 平面 AEM ,

B …………………… 2 分

…………………… 4 分

…………………… 6 分

5

所以平面 AEM ? 平面 BDC . 20. (本题满分 9 分)

…………………… 8 分

解: (Ⅰ) 因为圆 M 与 x 轴交于两点 A(?5, 0) , B(1,0), 所以圆心在直线 x ? ?2 上. 由?

? x ? ?2, ? x ? ?2, 得? 即圆心 M 的坐标为 (-2,1). ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ? y ? 1.
2 2

半径 r ? 3 ? 1 ? 10 , 所以圆 M 的方程为 ( x ? 2) ? (y ? 1) ? 10 .
2 2

…………………… 3 分

(Ⅱ)由 C 坐标可知点 C 在圆 M 上,由 kCM ?

1 得切线的斜率为 ?3 , 3
…………………… 5 分

故过点 C (1, 2) 的圆 M 的切线方程为 3x ? y ? 5 ? 0 .

(Ⅲ)设 Q( x, y ), P( x0 , y0 ) , 因为 ADQP 为平行四边形,所以其对角线互相平分,

? ?5 ? x ?3 ? x0 ? , ? ? x0 ? x ? 2, ? 2 2 即? 解得 ? ? y0 ? y ? 4. ? y ? 4 ? y0 . ? ?2 2
又 P 在圆 M 上, 代入圆的方程得 ( x ? 2 ? 2) ? ( y ? 4 ? 1) ? 10 ,
2 2

…………………… 7 分

即所求轨迹方程为 x ? ( y ? 5) ? 10 ,除去点 (? 1,8) 和 (?3, 4) .
2 2

…………………… 9 分

21. (本题满分 8 分) 解:(Ⅰ)因为平面 ABCD ? 平面 CDEF ,且平面 ABCD ? 平面 CDEF = CD , 又因为四边形 CDEF 为正方形, 所以 ED ? CD . 因为 ED ? 平面 CDEF , 所以 ED ? 平面 ABCD . (Ⅱ)以 D 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则 D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0), E(0,0,1) . 所以平面 BDE 的法向量为 AC ? (?1,1, 0) . ???5 分 设平面 BEC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) . 因为 CB ? (1,0,0), CE ? (0,?1,1) ,
x _ A _ _ D _ B _ 6 y _ z _ E _ _ F _

???????4 分

????

C _

??? ? ? ? x ? 0, ?CB ? n ? 0, ? x ? 0, 由 ? ??? 得? 即? ? ? ?CE ? n ? 0, ?? y ? z ? 0, ? y ? z.
令 z ? 1 ,则 n ? (0,1,1) . ???????6 分

???? ???? AC ? n 1 ? . 因为 cos ? AC , n ?? ???? | AC || n | 2
所以二面角 D ? BE ? C 的大小为 60 .
0

???????8 分

22. (本题满分 9 分) (Ⅰ)若曲线 C : 解得

x2 y2 ? ? 1 是焦点在 x 轴上的椭圆,则有 m ? 2 ? 3 ? m ? 0 m ? 2 3? m
-------------------2 分

1 ?m?3 . 2

x2 (Ⅱ) m ? 2 时,曲线 C 的方程为 ? y 2 ? 1, C 为椭圆, 4
由题意知,点 D(0, 4) 的直线 l 的斜率存在,所以设 l 的方程为 y ? kx ? 4 ,

? x2 2 ? ? y ? 1, 2 2 由? 4 消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 32kx ? 60 ? 0 , ? y ? kx ? 4 ?
? ? (32k )2 ? 240(1 ? 4k 2 ) ? 64k 2 ? 240 ,
当 ? ? 0 时,解得 k ?
2

-------------------4 分

15 . 4

设 M , N 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , (ⅰ)当 ?MON 为直角时,

32k 60 , , x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ???? ? ???? 因为 ?MON 为直角,所以 OM ? ON ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,
则 x1 ? x2 ? ? 所以 (1 ? k ) x1 x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0 ,
2

所以

15 ? (1 ? k 2 ) 32k 2 ? ? 4 ? 0 ,解得 k ? ? 19 . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
y1 y1 ? 4 ? ? ?1 ,即 x12 ? 4 y1 ? y12 ① x1 x1

-------------------6 分

(ⅱ)当 ?OMN 或 ?ONM 为直角时,不妨设 ?OMN 为直角, 此时, kOM ? k ? ?1 ,所以

7



x12 ? y12 ? 1 ② 4
2

将①代入②,消去 x1 得 3 y1 ? 4 y1 ? 4 ? 0 ,解得 y1 ?

2 或 y1 ? ?2 (舍去) , 3

将 y1 ?

2 2 代入①,得 x1 ? ? 5, 3 3
y1 ? 4 ? ? 5. x1
-------------------8 分

所以 k ?

经检验,所求 k 值均符合题意,综上, k 的值为 ? 19 和 ? 5 .

-------------------9 分

D

E M

A B N

C

8


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