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2016届吉林省实验中学高三上学期第一次模拟文科数学试题(含解析)


2016 届吉林省实验中学高三上学期第一次模拟文科数学试卷
题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

评卷人

得分 一、选择题(题型注释)

1.已知集合 A ? {x | x ? 2 ? 0} , B ? {x | x ? a} ,若 A ? B ? A ,则实数 a 的取值范围是 ( ) B. [?2, ??) C. (??, 2] D. [2, ??)

A. (??, ?2] 【答案】D 【解析】

试题分析:∵ A ? {x | x ? 2 ? 0} ? {x | x ? 2} , B ? {x | x ? a} , A ? B ? A ,∴ A ? B , ∴a ? 2. 考点:集合的子集关系. 2.若 (a ? 2i )i A.0 【答案】D 【解析】 试题分析:∵ (a ? 2i )i
2013 2013

? b ? i ,其中 a, b ? R , i 是虚数单位,则 a 2 ? b 2 等于(
B.2 C.



5 2

D.5

?a ? ?1 ,∴ ? b ? i ,∴ (a ? 2i )i ? b ? i ,∴ 2 ? ai ? b ? i ,∴ ? ?b?2

a 2 ? b2 ? 5 .
考点:复数的运算. 3.已知两条不同的直线 l , m 和两个不同的平面 ? , ? ,有如下命题: ①若 l ? ? , m ? ? , l / / ? , m / / ?,则? / / ? ; ②若 l ? ? , l / / ? , ? ? ? ? m,则l / / m ; ③若 ? ? ? , l ? ?,则l / /? ,其中正确命题的个数是( )

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A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C 【解析】 试题分析:由于一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行,所以① 错误; 由于一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行, 所 以②正确; 因为 ? ? ? , l ? ?, 则 l / /? 或 l ? ? ,所以③错误; 综上可知:②正确. 考点:线面关系. 4.阅读右面的程序框图,若输出的 y ?

1 ,则输入的 x 的值可能为( 2



A. ?1 【答案】C 【解析】

B. 0

C. 1

D. 5

试题分析:由程序框图知: y ? ?

? ? ?sin x, x ? 2 , 6 x ? ? 2 , x?2

当 x ? ?1 时,y ? sin( ?
5

?

1 ? 1 当 x ? 0 时,y ? sin 0 ? 0 ; 当 x ? 1 时,y ? sin ? ; )?? ; 6 2 6 2

当 x ? 5 时, y ? 2 ? 32 ,所以选 C. 考点:程序框图. 5.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如下图所示,则该几何体的左视图为 (



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【答案】C 【解析】 试题分析:左视图从图形的左边向右边看,看到一个正方形的面,在面上有一条对角线,对 角线是左下角到右上角的线,故选 C. 考点:简单空间图形的三视图. 6.函数 y ?

xa x ? a ? 1? 的图象的大致形状是 ( x



【答案】B 【解析】 试题分析:∵ y ?

? ax , x ? 0 xa x ,所以利用指数函数的图象得到 B 选项. ? a ? 1? ? ? x x ??a , x ? 0


考点:函数图象. 7.下列说法错误 的是 ( ..

A.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是: “若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ” B.如果命题“ ?p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题. C.若命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;
2 2

D. “ sin ? ?

1 ”是“ ? ? 30? ”的充分不必要条件; 2

【答案】D 【解析】 试题分析: “若 P,则 q”的否命题是: “若 ? P,则 ? q” ,所以 A 正确; 如果命题“ ?p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题,所以 P 为假命题,q 为真命题,所以 B 正 确;

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“ ?x ? M , P ( x) ”的否定为“ ?x ? M , ?P ( x) ” ,所以 C 正确; ∵ sin ? ?

1 ? 6? 1 ,∴ ? ? ? 2k? 或 ? ? ? 2k? ,所以“ sin ? ? ”是“ ? ? 30? ”的必 2 6 6 2

要不充分条件. 考点:否命题、命题的否定、充分必要条件、命题的真假. 8.若数列 {a n } 满足 a1 ?

1 1 , an ? 1 ? (n ? 2且a ? N ) ,则 a2013 等于( 2 a n ?1
C.1 D.2



A.-1 【答案】D 【解析】

B.

1 2

试 题 分 析 : ∵ a1 ?

1 1 1 , an ? 1 ? ( n ? 2 且 a ?N ) , ∴ a2 ? 1 ? ? ?1 , 2 a n ?1 a1

a3 ? 1 ?

1 ? 2, a2 1 1 1 1 ? , a5 ? 1 ? ? ?1 , a6 ? 1 ? ? 2 ,?,∴ an ?3 ? an ,∴ a2013 ? a3 ? 2 . a3 2 a4 a5

a4 ? 1 ?

考点:递推公式. 9.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,直线 l : x ? ky ? 1 ? 0 与圆 C : x ? y ? 4 相交于
2 2

???? ? ??? ? ??? ? A, B 两点, OM ? OA ? OB .若点 M 在圆 C 上,则实数 k ?
A. ?2 【答案】C 【解析】 B. ?1 C. 0 D. 1





试题分析:设 AB 的中点为 D,有 OM ? OA ? OB ? 2OD ,∴ | OM |? 2 | OD |? R ? 2 ,∴

???? ?

??? ? ??? ?

????

???? ?

????

???? | OD |? 1 ,
由点到直线的距离公式得 1 ?

| 0 ? 0 ? 1| k 2 ?1

,解得 k ? 0 .

考点:直线与圆相交问题、平面向量的基本定理及其意义. 10.已知 cos( x ?

?
6

)??

3 ? ,则 cos x ? cos( x ? ) ? ( 3 3 2 3 3
C. ? 1



A. ?

2 3 3

B. ?

D. ? 1

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【答案】C 【解析】 试











c o sx ? c o s x(?

?
3

? )

cx os ?

c xo s c o ?s 3

?

1 3 ? sin x x s i n ? cos s i nx ? cos x ? 2 2 3

?

3 3 3 1 3 ? cos x ? sin x ? 3( cos x ? sin x) ? 3 cos( x ? ) ? 3 ? (? ) . 2 2 2 2 3 6
2 3 1 ,看下面四个结论: 2

考点:两角和与差的余弦公式. 11.关于函数 f ( x) ? sin 2 x ? ( ) | x| ? ① f ( x) 是奇函数; ②当 x ? 2007 时, f ( x) ?

1 恒成立; 2

3 ; 2 1 ④ f ( x) 的最小值是 ? . 2
③ f ( x) 的最大值是 其中正确结论的个数为: ( A.1 个 B.2 个 【答案】A 【解析】 ) C.3 个 D.4 个

试题分析:∵ y ? f ( x) 的定义域为 x ? R ,且 f (? x) ? f ( x) ,则函数 f ( x) 为偶函数,因 此结论①错;对于结论②,取特殊值:当 x ? 1000? 时, x ? 2007 , sin 2 1000? ? 0 ,

2 ( )1000? ? 0 , 3 1 2 1000? 1 ?( ) ? ,因此结论②错; 2 3 2 1 ? cos 2 x 2 | x| 1 1 2 对于结论③,又 f ( x) ? ? ( ) ? ? 1 ? cos 2 x ? ( )| x| ,∵ ?1 ? cos 2 x ? 1 , 2 3 2 2 3 1 1 3 2 1 2 3 ∴ ? ? 1 ? cos 2 x ? , ( )| x| ? 0 ,∴ 1 ? cos 2 x ? ( )| x| ? ,即结论③错; 2 2 2 3 2 3 2 2 | x| 1 2 对于结论④,cos 2 x ,( ) 在 x ? 0 时同时取得最大值, 所以 f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? ( )| x| 在 3 2 3 1 x 时可取得最小值 ? ,即结论④正确. 2
∴ f (1000? ) ? 考点:函数奇偶性的判断、函数的最值及其几何意义、函数恒成立问题. 12. 已知函数 f ( x) 的定义域为 R, 且满足 f (4) ? 1 ,f ?( x) 为 f ( x) 的导函数, 又知 y ? f ?( x)

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的图象如图所示,若两个正数 a, b 满足, f (2a ? b) ? 1 ,则

b?2 的取值范围是( a ?1



A. ? ,6 ? 【答案】A 【解析】

?2 ?3

? ?

B. ? ,6? 3

?2 ? ? ?

C. [ , ]

1 5 4 2

D. ? , ?

?1 5? ?4 2?

试题分析:由已知得:当 x ? 0 时, f ( x) 为单调递减函数,当 x ? 0 时, f ( x) 为单调递增 函数,

? 2a ? b ? 4 ? 而 f (2a ? b) ? 1 , f (4) ? 1 ,∴ f (2a ? b) ? f (4) ,∴ 2a ? b ? 4 ,∴ ? a ? 0 ,画出 ? b?0 ?
约束条件满足的区域如图所示,而

b?2 表示区域内的点 (a, b) 与 (?1, ?2) 连线的斜率,∴ a ?1

b?2 ?2 ? 的取值范围是 ? ,6 ? . a ?1 ?3 ?

考点:导数的图象、线性规划.

评卷人

得分 二、填空题(题型注释)

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13.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2,它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点相同, a 2 b2

那么该双曲线的渐近线方程为_________. 【答案】 3 x ? y ? 0 【解析】 试题分析:∵双曲线的一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点相同,∴焦点为 (4, 0) ,∴ c ? 4 , ∵双曲线的离心率为 2,∴

c ? 2 ,∴ a ? 2 ,∵ c 2 ? a 2 ? b 2 ,∴ b ? 2 3 ,∴双曲线的渐 a

近线为 y ? ?

b 2 3 x?? x ? ? 3x ,∴双曲线的渐近线方程为 3 x ? y ? 0 . a 2

考点:双曲线的渐近线方程.

? ?x ? y ? 1 ? ? 2 2 14.记集合 A ? ? x, y ? x ? y ? 1 , B ? ?? x, y ? ? x ? 0 ? ?y ? 0 ? ?

?

?

? ? ? 构成的平面区域分别为 M,N, ? ?

现随机地向 M 中抛一粒豆子(大小忽略不计) ,则该豆子落入 N 中的概率为_________. 【答案】 【解析】 试 题 分 析 : 圆 的 面 积 S ? ? r 2 ? ? ? 12 ? ? , 三 角 形 面 积 为 S ?

1 2? 1 1 ? 1? 1 ? , ∴ 2 2

1 1 P? 2 ? . ? 2?

考点:几何概型. 15. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上, 其中底面的三个顶点在该球的一个大 圆上,则该正三棱锥的体积是 . 【答案】

3 4
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【解析】 试题分析: 正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上, 其中底面的三个顶点在该球的一个 大圆上,所以球心是底面三角形的中心,设球的半径为 1,所以底面三角形的边长为 a,

2 3 1 3 3 . ? a ? 1 , a ? 3 ,该正三棱锥的体积: ? ? ( 3) 2 ?1 ? 3 2 3 4 4
考点:正三棱锥的体积. 16.已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,对 ?x ? R 都有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 成立, 当 x ? (0,1] 且 x1 ? x2 时,有 (1) f (1) ? 0 (2) f ( x) 在[-2,2]上有 5 个零点 (3)点(2014,0)是函数 y ? f ( x) 的一个对称中心 (4)直线 x ? 2014 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴. 则正确是 . 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 试题分析: (1)由题意,令 x ? 0 ,则 f (?1) ? f (1) ,即 ? f (1) ? f (1) ,则 f (1) ? 0 , (2)由题意, f (0) ? 0 , f (1) ? f (?1) ? 0 , f (2) ? f (1 ? 1) ? f (0) ,则 f ( x) 在[-2,2] 上有 5 个零点, ( 3 ) 由 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) , 可 知 f ( x) 以 2 为 周 期 , ∵ f (2014 ? x) ? f ( x) ,

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .给出下列命题: x2 ? x1

f (2014 ? x) ? f (? x) ? ? f ( x) ,
∴ f (2014 ? x) ? ? f (2014 ? x) ,∴点 (2014, 0) 是函数 y ? f ( x) 的一个对称中心, (4)由于(3)正确,故(4)不正确. 考点:抽象函数及其性质. 评卷人 得分 三、解答题(题型注释) 17 . (本题满分 12 分)已知锐角 ?ABC 中内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,

a 2 ? b 2 ? 6ab cos C ,且 sin 2 C ? 2sin A sin B .
(Ⅰ)求角 C 的值;
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(Ⅱ)设函数 f ( x) ? sin(? x ? 为 ? ,求 f ( A) 的取值范围. 【答案】 (1) C ?

?
6

) ? cos ? x(? ? 0) ,且f ( x) 图象上相邻两最高点间的距离

?
3

; (2) 0 ? f ( A) ? 3 .

【解析】 试题分析:本题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的周期、 三角函数的图象、三角函数的值域等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化 能力、计算能力.第一问,由已知条件和余弦定理相结合,得出 cos C ? 条件和正弦定理得 c 2 ? 2ab ,两式结合求出 cos C ? 两角差的正弦公式将 sin(? x ?

c2 ,再结合已知 4ab

?
6

1 ,即得到特殊角 C 的值;第二问,用 2

) 展开,合并同类项,再利用两角差的的正弦公式化简

f ( x) ,使之成为 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B 的形式,利用 f ( x) 图象上相邻两最高点间的距
离为 ? ,计算 T,得到 ? ,从而得到 f ( A) 的解析式,利用 C ? 的范围,代入解析式,数形结合,得到函数 f ( A) 的值域. 试题解析: (Ⅰ)因为 a 2 ? b 2 ? 6ab cos C ,由余弦定理知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab cos C

?
3

,B ?

2? ? A ,得到 A 角 3

c2 所以 cos C ? 4ab
又因为 sin 2 C ? 2 sin A sin B ,则由正弦定理得: c 2 ? 2ab , 所以 cos C ?

c2 2ab 1 ? ? ? ,所以 C ? 4ab 4ab 2 3

(Ⅱ) f ( x) ? sin(? x ? 由已知

?
6

) ? cos ? x ?

3 3 ? sin ? x ? cos ? x ? 3 sin(? x ? ) , 2 2 3

? ? , ? ? 2 ,则 f ( A) ? 3 sin(2 A ? ), ? 3 ? 2? ? ? ? ? 因为 C ? , B ? ? A ,由于 0 ? A ? , 0 ? B ? ,所以 ? A ? , 3 3 2 2 6 2 ? 2? 所以 0 ? 2 A ? ? ,根据正弦函数图象,所以 0 ? f ( A) ? 3 . 3 3
考点:正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的图象、 三角函数的值域. 18. (本题满分 12 分)某班同学利用国庆节进行社会实践,对 [25,55] 岁的人群随机抽取 n
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2?

?

人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳 族” ,否则称为“非低碳族” ,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

(Ⅰ)补全频率分布直方图并求 n 、 a 、 p 的值; (Ⅱ)从年龄段在 [40,50) 的“低碳族” 中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动, 其中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 [40, 45) 岁的概率. 【答案】 (1) n ? 1000, p ? 0.65, a ? 60 ; (2) P ?

8 . 15

【解析】 试题分析:本题主要考查频率分布直方图、分层抽样、概率等基础知识,考查学生的分析问 题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,由于频率÷样本总数=频率,先利用第 二组数据求出 p 的值,再利用第一组数据计算 n 的值,再求第四组数据中 a 的值;第二问, 先利用分层抽样分别求出第四、五组应抽取的人数,然后用字母表示出来,写出任取 2 人的 所有情况,在所有情况中选出符合题意的情况,最后计算概率. 试题解析: (Ⅰ)第二组的频率为 1 ? (0.04 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01) ? 5 ? 0.3 ,所以高为

0.3 ? 0.06 .频率直方图如下: 5

第一组的人数为

120 200 ? 200 ,频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ,所以 n ? ? 1000 . 0.6 0.2 195 ? 0.65 . 300

由题可知, 第二组的频率为 0. 3, 所以第二组的人数为 1000 ? 0.3 ? 300 , 所以 p ?

第四组的频率为 0.03 ? 5 ? 0.15 ,所以第四组的人数为 1000 ? 0.15 ? 150 , 所以 a ? 150 ? 0.4 ? 60 . (Ⅱ)因为 [40, 45) 岁年龄段的“低碳族”与 [45,50) 岁年龄段的“低碳族”的比值为 60 : 30 ? 2 :1 所以采用分层抽样法抽取 6 人, [40, 45) 岁中有 4 人, [45,50) 岁中有 2 人. 设 [40, 45) 岁中的 4 人为 a 、 b 、 c 、 d , [45,50) 岁中的 2 人为 m 、 n ,则选取 2 人作为领
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队的有 (a, b) 、(a, c) 、(a, d ) 、(a, m) 、(a, n) 、(b, c) 、(b, d ) 、(b, m) 、(b, n) 、(c, d ) 、(c, m) 、 共 15 种; 其中恰有 1 人年龄在 [40, 45) 岁的有 (a, m) 、(a, n) 、 (c, n) 、(d , m) 、(d , n) 、(m, n) , (b, m) 、 (b, n) 、 (c, m) 、 (c, n) 、 (d , m) 、 (d , n) ,共 8 种. 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 [40, 45) 岁的概率为 P ?

8 . 15

考点:频率分布直方图、分层抽样、概率. 19. (本题满分 12 分)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点.

(1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由. 【答案】 (1)证明详见解析; (2)证明详见解析; (3)Q 为满足条件的点. 【解析】 试题分析:本题主要考查线线平行、线面平行、线面垂直等基础知识,考查学生的分析问题 解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问,利用中位线得到 DE ∥PC,再利用线面平行的判定得到 DE∥平面 BCP;第二问,先利用 D、E、F、G 分别为 AP、 AC、BC、PB 的中点, 所以得到线之间的平行关系,可证出 DEFG 为平行四边形, 因为 PC⊥AB, 通过平行线进行转化,得到 DE⊥DG,从而得到结论;第三问,取 EG 中点,由第二问知,QD =QE=QF=QG=

1 EG, 再取 PC、 AB 中点, 由第二问的方法可证 MENG 为矩形, 则得到 QM=QN, 2

所以证出 Q 为所求的点. 试题解析: (1)证明:因为 D,E 分别为 AP,AC 的中点,所以 DE∥PC,又因为 DE?平面 BCP, 所以 DE∥平面 BCP. (2)证明:因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点, 所以 DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF,所以四边形 DEFG 为平行四边形. 又因为 PC⊥AB,所以 DE⊥DG,所以四边形 DEFG 为矩形. (3)解 存在点 Q 满足条件,理由如下: 如图,连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点, 由(2)知,DF∩EG=Q,且 QD=QE=QF=QG=

1 EG, 2

分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG,MN, 1 与(2)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线交点为 EG 的中点 Q,且 QM=QN= EG, 2 所以 Q 为满足条件的点. 考点:线线平行、线面平行、线面垂直.

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20. (本题满分 12 分)如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的上、下顶点分别为 A、B,已 a 2 b2
3 . 2

知点 B 在直线 l : y ? ?1 上,且椭圆的离心率 e ?

(1)求椭圆的标准方程; (2)设 P 是椭圆上异于 A、B 的任意一点,PQ⊥y 轴,Q 为垂足,M 为线段 PQ 的中点,直线 AM 交直线 l 于点 C,N 为线段 BC 的中点,求证:OM⊥MN. 【答案】 (1)

x2 (2)证明详见解析. ? y2 ? 1; 4

【解析】 试题分析: 本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、 直线与椭圆的位置关系等基础知识, 考查学生的分析问题解决问题的能力、逻辑思维能力、转化能力、计算能力.第一问,由 b、 离心率、 a 2 ? b 2 ? c 2 联立,解出 a,b,c,从而得到椭圆的标准方程;第二问,设出 P 点 坐标,由 PQ ? y 轴,得出 Q 点坐标,利用中点坐标公式得出 M 点坐标,由 A(0,1) ,知直线 AM 的方程为 y ?

2( y1 ? 1) x ? 1 ,由此能够证明 OM ? MN . x1

试题解析: (1)依题意,得 b ? 1 . ∵e ?

c 3 , a 2 ? c 2 ? b 2 ? 1 ,∴ a 2 ? 4 . ? a 2

∴椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4
2 x0 2 ? y0 ? 1. 4

(2)证明:设 P ( x0 , y0 ) , x0 ? 0 ,则 Q (0, y0 ) ,且 ∵M 为线段 PQ 中点,∴ M (

x0 , y0 ) . 2

又 A(0,1) ,∴直线 AM 的方程为 y ?

2 y0 ? 1 x ? 1. x0
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∵ x0 ? 0 ,∴ y0 ? 1 ,令 y ? ?1 ,得 C ( 又 B(0,-1) ,N 为线段 BC 的中点, ∴ N(

x0 , ?1) . 1 ? y0

x0 , ?1) . 2(1 ? y0 ) x0 x0 ? , y0 ? 1) . 2 2(1 ? y0 ) x0 x0 x0 ( ? ) ? y0 ( y0 ? 1) 2 2 2(1 ? y0 )

∴ MN ? (

???? ?

∴ OM ? MN ?

???? ? ???? ?

?

2 2 x0 x0 2 ? ? y0 ? y0 4 4(1 ? y0 ) 2 2 x0 x0 2 ? y0 )? ? y0 4 4(1 ? y0 )

?(

? 1 ? (1 ? y0 ) ? y0 ? 0 ,
∴OM⊥MN. 考点:椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? a ln x ? (1)当 a ? 2 时,求 f ? x ? 的单调区间; (2)若 f ? x ? 在区间(1,2)上不具有单调性,求 a 的取值范围. 【答案】 (1)增区间 (0,1), (2,??) 减区间(1,2) ; (2) 1 ? a ? 2 .

1 2 . x ? ?1 ? a ? x, a ? R . 2

【解析】 试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性等基础知识,考查学生的 分析问题解决问题的能力、逻辑思维能力、转化能力、计算能力.第一问,当 a ? 2 时,求
' ' 出 f ( x) 的解析式,令 f ( x) ? 0 ,求得 x 的值,再利用导数的符号确定函数 f ? x ? 的单调

区间;第二问,由题意可得, f ( x) ? 0 在 (1, 2) 上有实数根,且在此根的两侧附近, f ( x)
' '

异号,由 f ( x) ? 0 求得根的值,可得 a 的取值范围.
'

试题解析: (1) 当 a ? 2 时, 函数 f ? x ? ? a ln x ?

f ' ( x) ?

2 ( x ? 1)( x ? 2) , ? x ? (1 ? 2) ? x x

1 2 x ? ?1 ? a ? x, a ? R 的定义域为 (0, ??) , 2

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令 f ' ( x) ? 0 ,求得 x ? 1 或 x ? 2 , 在 (0,1) 、 (2, ??) 上, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 是增函数,在 (1, 2) 上, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 是减函 数. (2)若 f ( x) 在区间 (1, 2) 上具有单调性, 则 f ' ( x) ?

a ? x ? 1 ? a ? 0 在 (1, 2) 上有实数根,且在此根的两侧附近, f ' ( x) 异号, x

由 f ' ( x) ? 0 求得 x ? 1 或 x ? a , ∴a 的取值范围为 (1, 2) . 考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性. 22. (本小题满分 10 分)在直角坐标系 xoy 中,直线 l 经过点 P (-1,0) ,其倾斜角为 ? , 以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴,与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,建立极 坐标系.设曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 6 ? cos ? ? 5 ? 0.
2

(1)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 ? 的取值范围; (2)设 M ? x , y ? 为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围 【答案】 (1) ? 0 ,

? ?

??

? 5? ? (2) ?3 ? 2 2 , 3 ? 2 2 ? . ? ,? ?; ? ? ? ? 6? ? 6 ?

【解析】 试题分析:本题主要考查三角函数、圆锥曲线、曲线与方程等基础知识,考查学生的分析问 题解决问题的能力、逻辑思维能力、转化能力、计算能力.第一问,根据直线 l 过点 (?1, 0) , 设出直线的参数方程,并代入圆锥曲线方程,根据曲线有交点得到二次方程有解的结论,从 而解出 cos ? 的范围,再求 ? 的取值范围;第二问,设出圆锥曲线的参数方程,即可用参数 坐标表示 x+y,进而用三角函数的有界性讨论函数的取值范围. 试题解析: (1)将曲线 C 的极坐标方程

? 2 -6 ? cos ? ? 5 ? 0 化 为 直 角 坐 标 方 程 为

x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0
直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?1 ? t cos ? ( t 为参数) ? y ? t sin ?

将?

? x ? ?1 ? t cos ? 2 2 代入 x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 整理得 t 2 ? 8t cos ? ? 12 ? 0 ? y ? t sin ?

? 直线 l 与曲线 C 有公共点,?? ? 64 cos 2 ? ? 48 ? 0
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? cos ? ?

3 3 或 cos ? ? ? 2 2

? ? ? ? 5? ? ?? ? ? 0 , ? ? , ?? 的取值范围是 ?0 , ? ? ? , ? ? ? 6? ? 6 ?
( 2 ) 曲 线 C 的 方 程 x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 可 化 为 ? x ? 3? ? y 2 ? 4 , 其 参 数 方 程 为
2 2
2

? x ? 3 ? 2 cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 2sin ?

? M ? x , y ? 为曲线 C 上任意一点,

?? ? ? x ? y ? 3 ? 2 cos ? ? 2sin ? ? 3 ? 2 2 sin ? ? ? ? 4? ?
? ? x ? y 的取值范围是 ? ?3 ? 2 2 , 3 ? 2 2 ?
考点:三角函数、圆锥曲线、曲线与方程.

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