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甘肃省武威第十八中学高一数学上学期期末模拟试题

甘肃省武威第十八中学 2017-2018 学年高一数学上学期期末模拟试


一.选择题:本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的.
1.如果集合 A ? {x | x ? ?1} ,那么正确的结论是( ).

A. 0 ? A

B.{0}? A C.{0} ? A D. ?? A

2.已知 f (x) ? x3 ? 2x ,则 f (5) ? f (?5) 的值是

A. 0

B. –1

C. 1

D. 2

3.三个数

a

?

0.32

,b

?

log

0.3 2

,

c

?

20.3

之间的大小关系是(

)

A.b ? c ? a B. c ? b ? a

C.b ? a ? c

D. a ? c ? b

4.执行如图所示的程序框图,若输入 x 的值为 4,则输出

的结果是( )

A.1 C.

B. D.

5.函数

,则

的值是( )

A.

B.9

C.﹣9

D.﹣

6.函数 f (x) ? 2x ? 2 ? a 的一个零点在区间 (1, 2) 内,则实数 a 的取值范围是( ) x
A. (1,3) B. (1, 2) C. (0, 3) D. (0, 2)

7.如图所示的程序框图表示求算式“ 2?4?8?16?32?64 ”的值,
则判断框内可以填入( )

A. K ? 32? C. K ? 64?

B. K ? 63? D. K ? 70?

1

8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次

投篮恰有两次命中的概率:先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数,用 1,2,3,4

表示命中,用 5,6,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的

结果.经随机模拟产生了 20 组随机数:、、···¨

907 966 191

925

271 932 812 458

569

683、、···¨

431 257 393

027

556 488 730 113

537

989、、···¨

据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )

A.0.35 B.0.30 C.0.25 D.0.20

9.设函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f (x) ? 2x ? x ? 3, 则 f (x) 的零点个

数为( )

A.1

B.2

C.3

1
10.函数 y ? x ? x 3 的图象大致为( )

D.4

11.某单位 200 名职工中,年龄在 50 岁以上占 20% ,40 ~ 50岁占 30%,40 岁以下占 50%;
现要从中抽取 40 名职工作样本。若用系统抽样法,将全体职工随机按 1~200 编号,并按编

号顺序平均分为 40 组(1~5 号,6~10 号,,196~200 号).若第 5 组抽出的号码为 22 ,则
第 8 组抽出的号码应是___①_ ;若用分层抽样方法,则 40 岁以下年龄段应抽取__②_人.①

②两处应填写的数据分别为(

). 、、···¨

A. 82,20

B. 37,20

C. 37,4

D. 37,50

? ? 12.已知函数 f ?x? ? ln x ? 1 ? x2 ? 1 ,则使得 f ?x? ? f ?2x ? 1? 的 x 的取值范围
是( )

A.

B.

2

C.(1,+∞) D.

二.填空题 :(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡对应的空格内)

13. 若 函 数 f ?x? ? a x?2 ? 2(a ? 0且a ? 1) , 则 函 数 f ?x? 的 图 象 恒 过 定





? ? 14.已知 f x ? 3x4 ? 2x3 ? x ? 3, 用秦九韶算法求当 x=2 时,v2 的值等于

.
15. 在区间(0,1)中随机地取出两个数,则两数之和小于 6 的概率是________. 5
16.设函数 f ? x? ? x x ? bx ? c ,给出下列 4 个命题:

① c ? 0 时, y ? f ? x? 是奇函数;

② b ? 0,c ? 0 时,方程 f ? x? ? 0 只有一个实根;

③ y ? f ? x? 的图像关于点 ?0,c? 对称;

④方程 f ? x? ? 0 至多有两个实根.

上述命题中正确的序号为_______________ 三.解答题:(本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,请 把答案写在答题卡对应的区域内).
、、···¨
17.(本小题满分 10 分)已知函数 f ?x? ? x2 ? 2ax ? 2, x ??? 5,5?
(1)当 a ? 1时,求 f ?x?的最大值和最小值; ? ? (2)求实数 a 的取值范围,使 y ? f x 在区间[﹣5,5]上是单调函数. ? ? 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f x ? 2x ? 2?x (1)判断函数 f ?x?的奇偶性;

? ? (2)证明:函数 f x 为(﹣∞,+∞)上的增函数.

19. (本小题满分 12 分)连锁经营公司所属 5 个零售店某月的销售额利润资料如表:

商品名称

A

B

C

D

E

销售额 x/千 3

5

6

7

9

3

万元

利润额 y/百 2

3

3

4

5

万元



(1)若销售额和利润额具有相关关系,试计算利润额 y 对销售额 x 的回归直线方程.

(2)估计要达到 1000 万元的利润额,销售额约为多少万元.

(参考公式: =

=

, = ﹣ x)

20. (本小题满分 12 分)参加高一年级期末考试的学生中抽出 40 名学生,将其成绩(均为 整数)分成六段,[40,50),[50,60),…[90,100]后画出如下部分频率分布直方图,观 察图形的信息,回答下列问题:、、···¨ (1)求第四小组的频率,并补全频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分; (3)从成绩是 40~50 分及 90~100 分的学生中选两人,记他们的成绩为 x,y,求满足“|x ﹣y|>10”的概率.
、、···¨

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=lg( )

(1)求证:f(x)+f(y)=f( );

(2)若 f( )=1,f(

)=2,求 f(a),f(b)的值.

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x? ? x 2a ? x ? 2x , a ?R .

4

(1)若函数 f ? x? 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若存在实数 a ???2, 2?,使得关于 x 的方程 f ? x? ?tf ?2a? ? 0 有三个不相等的实数根,
求实数 t 的取值范围.
5

高一数学试题答案 1. C.2. A. 3. C.4.C.5. A.6.C 7. D 8.C.9. C 10.A 11.B 12. A.

13.(﹣2,3 )

14.16
15. 17 25
16.①②③
17.已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[﹣5,5],

(1)当 a=1 时,求 f(x)的最大值和最小值;

(2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调函数. 解:(1)f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2﹣a2, 其对称轴为 x=﹣a,当 a=1 时,f(x)=x2+2x+2,

所以当 x=﹣1 时,f(x)min=f(﹣1)=1﹣2+2=1; 当 x=5 时,即当 a=1 时,f(x)的最大值是 37,最小值是 1.

(2)当区间[﹣5,5]在对称轴的一侧时,

函数 y=f(x)是单调函数.所以﹣a≤﹣5 或﹣a≥5,

即 a≥5 或 a≤﹣5,即实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣5]∪[5,+∞)时,

函数在区间[﹣5,5]上为单调函数. 18.已知函数 f(x)=2x﹣2﹣x.

(1)判断函数 f(x)的奇偶性;

(2)证明:函数 f(x)为(﹣∞,+∞)上的增函数.

解:(1)函数 f(x)的定义域是 R, 因为 f(﹣x)=2﹣x﹣2x=﹣(2x﹣2﹣x)=﹣f(x), 所以函数 f(x)=2x﹣2﹣x 是奇函数;

(2)设 x1<x2,

则 f(x1)=2 ﹣2

,f(x2)=2 ﹣2



∴f(x1)﹣f(x2)=2 ﹣2

﹣(2 ﹣2



6

=



∵x1<x2,



,1+

>0,

∴f(x1)<f(x2), ∴函数 f(x)为(﹣∞,+∞)上的增函数.

19. (本小题满分 12 分)连锁经营公司所属 5 个零售店某月的销售额利润资料如表:

商品名称

A

B

C

D

E

销售额 x/千万元 3

5

6

7

9

利润额 y/百万元 2

3

3

4

5



(1)若销售额和利润额具有相关关系,试计算利润额 y 对销售额 x 的回归直线方程.

(2)估计要达到 1000 万元的利润额,销售额约为多少万元.

(参考公式: =

=

, = ﹣ x)

解:(1)∵ =

=6, =



∴n =5×6× =102,

xiyi=3×2+5×3+6×3+7×4+9×5=112,

=32+52+62+72+92=200,

n =5×62=180,

=

= =0.5,

= ﹣ = ﹣0.5×6= =0.4,

∴利润额 y 对销售额 x 的回归直线方程是 =0.5x+0.4

7

(2)根据题意,令 =0.5x+0.4=10, 解得 x=19.2(千万元), ∴销售额约为 19. 2 千万元. 20.参加高一年级期末考试的学生中抽出 40 名学生,将其成绩(均为整数)分成六段,[40, 50),[50,60),…[90,100]后画出如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列 问题:、、···¨ (1)求第四小组的频率,并补全频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分; (3)从成绩是 40~50 分及 90~100 分的学生中选两人,记他们的成绩为 x,y,求满足“|x ﹣y|>10”的概率.
、、···¨
试 题 解 析 : 解 :( 1 ) 由 频 率 分 布 的 直 方 图 可 得 , 第 四 小 组 的 频 率 为 1 ﹣ 10 (0.01+0.015+0.015+0.025+0.05)=0.3.
、、···¨
故第四个小矩形的高为 =0.03.如图所示:
(2)由于这次考试的及格的频率为 10×(0.015+0.03+0.025+0.005)=0.75,故及格率为 0.75.
、、···¨
8

由频率分布直方图可得平均分为 0.1×45+0.15×55+0.15×65+0.3×75+0.25×85+0.05×95=71.
、、···¨
(3)由频率分步直方图可得,成绩是 40~50 分的有 40×0.1=4 人,90~100 分的学生有 40×0.05=2 人,记取出的 2 个人的成绩为 x,y,
、、···¨
“|x﹣y|>10”说明选出的 2 个人一个成绩在[40,50)内,另一个在[50,60)内, 故满足“|x﹣y|>10”的选法有 4×2=8 种,而所有的取法有 =15 种,

故满足“|x﹣y|>10”的概率等于 .

21. 已知函数 f(x)=lg( )

(1)求证:f(x)+f(y)=f( );

(2)若 f( )=1,f(

)=2,求 f(a),f(b)的值.

解:(1)证明:f(x)+f(y)=lg +lg =lg



而 f( )=lg

=lg

=lg



∴f(x)+f(y)=f( )成立.

(2)由函数 f(x)=lg( ),可得 >0,即

,解得﹣1<x<1,故函数的

定义域为(﹣1,1),关于原点对称.、、···¨

再根据 f(﹣x)=lg =﹣lg =﹣f(x),可得 f(x)是奇函数.

若 f( )=1,f(

)=2,则由(2)可得 f(a)+f(b)=1,f(a)﹣f(b)=2,

解得 f(a)= ,f(b)=﹣ .

22. 已知函数 f ? x? ? x 2a ? x ? 2x , a ?R . (1)若函数 f ? x? 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若存在实数 a ???2, 2?,使得关于 x 的方程 f ? x? ?tf ?2a? ? 0 有三个不相等的实数根,
求实数 t 的取值范围.

9

解:(1)

f

(x)

?

? x2 ? (2 ? 2a)x

? ??

x2

?

(2

?

2a)x

(x ? 2a) , (x ? 2a)

当 x ? 2a 时, y ? f (x) 的对称轴为: x ? a ?1;

当 x ? 2a 时, y ? f (x) 的对称轴为: x ? a ?1;

∴当 a ?1? 2a ? a ?1时, y ? f (x) 在 R 上是增函数,

即 ?1? a ?1时,函数 y ? f (x) 在 R 上是增函数;

(2)方程 f (x) ? tf (2a) ? 0 的解即为方程 f (x) ? tf (2a) 的解.

①当 ?1? a ?1时,函数 y ? f (x) 在 R 上是增函数,

∴关于 x 的方程 f (x) ? tf (2a) 不可能有三个不相等的实数根; ②当 a ?1时,即 2a ? a ?1 ? a ?1, ∴ y ? f (x) 在 (??, a ?1) 上单调增,在 (a ?1, 2a) 上单调减,在 (2a, ??) 上单调增,

∴当 f (2a) ? tf (2a) ? f (a ?1) 时,关于 x 的方程 f (x) ? tf (2a) 有三个不相等的实数根;

即 4a ? t ? 4a ? (a ?1)2 ,
∵ a ?1∴1 ? t ? 1 (a ? 1 ? 2) . 4a
设 h(a) ? 1 (a ? 1 ? 2) , 4a
∵存在 a ???2, 2?, 使得关于 x 的方程 f (x) ? tf (2a) 有三个不相等的实数根,

∴1 ? t ? h(a)max ,

又可证 h(a) ? 1 (a ? 1 ? 2) 在 (1, 2] 上单调增 4a



h(a)max

?

9 8

∴1 ?

t

?

9 8



③当 a ? ?1 时,即 2a ? a ?1? a ?1,∴ y ? f (x) 在 (??, 2a) 上单调增,在 (2a, a ?1) 上

单调减,在 (a ?1, ??) 上单调增,

∴当 f (a ?1) ? tf (2a) ? f (2a) 时,关于 x 的方程 f (x) ? tf (2a) 有三个不相等的实数根;

即 ?(a ?1)2 ? t ? 4a ? 4a ,∵ a ? ?1 ∴1 ? t ? ? 1 (a ? 1 ? 2) ,设 g(a) ? ? 1 (a ? 1 ? 2)

4a

4a

10

∵存在 a ???2, 2?, 使得关于 x 的方程 f (x) ? tf (2a) 有三个不相等的实数根,

∴1 ?

t

?

g (a)max

,又可证

g(a)

?

?

1 4

(a

?

1 a

?

2)

在[?2, ?1)

上单调减∴

g (a)max

?

9 8

∴1? t ? 9 ; 8

综上:1 ? t ? 9 . 8

11



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