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2015--2016椭圆的离心率


2012-2013学年第一学期选修1-1

圆锥曲线——椭圆离心率的求法

2016年2月23日星期二

西安市第七十中

2012-2013学年第一学期选修1-1

圆锥曲线——椭圆离心率的求法

课前预热
x 2 y2 1. (2011· 全国文, 4)椭圆 + =1 的离心率为( 16 8 1 A. 3 1 B. 2 3 C. 3 2 D. 2 )

2 (文)(2010· 广东文)若一个椭圆长轴的长度、 短轴的长度和焦距 成等差数列,则该椭圆的离心率是( 4 A. 5 3 B. 5 2 C. 5 ) 1 D. 2 5

x y2 3 (2011· 扬州调研)已知 F1、F2 是椭圆 + =1 的 k+2 k+1 左、右焦点,弦 AB 过 F1,若△ABF2 的周长为 8,则椭 圆的离心率为________.

[答案] D
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故选B.

1\2 西安市第七十中

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圆锥曲线——椭圆离心率的求法

[例 1]

(2010· 广东茂名)已知 F1、F2 是椭圆的两个

焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两 点,若△ABF2 是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率 是( A. ) 3 2 B. 2 2

C. 2-1

D. 2

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圆锥曲线——椭圆离心率的求法

解析: ∵△ABF2 是等腰直角三角形, ∴|AF1|= |F1F2|, x 2 y2 b2 b2 将 x=-c 代入椭圆方程 2+ 2=1 得 A(-c, ± ), 从而 a b a a =2c,即 a2-c2=2ac,整理得 e2+2e-1=0, 解得 e=-1± 2,由 e∈(0,1)得 e= 2-1.

答案:C

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圆锥曲线——椭圆离心率的求法

例 2.已知 P 是椭圆上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点,且 PF1 ? PF2 ,求离心率的取值范围.
解:当点 P 在椭圆短轴端点时, ?F1 PF2 最大.
P o

y
?

??

≥ 45? ? sin ? ≥ 2 2

F1

F2

x

c ? sin ? ≥ 2 a 2

又0?e?1
? 2 ≤e ?1 2
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圆锥曲线——椭圆离心率的求法

例 2.已知 P 是椭圆上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点,且 PF1 ? PF2 ,求离心率的取值范围.

(Ⅱ)设 PF1 ? m , PF2 ? n ,

构造方程、不等式

( m ? n)2 ? ( m 2 ? n 2 ) ? mn ? ? 2(a 2 ? c 2 ). 2 2 2 2 m ? n ? 4c , y m , n 是方程 x 2 ? 2ax ? 2(a 2 ? c 2 ) ? 0 的两个根, P

则 m ? n ? 2a,

所以 ? ? (2a )2 ? 8(a 2 ? c 2 ) ≥ 0 . 2 c 1 2 2 ? ≥ ? 2c ≥ a a2 2

F1

o

F2

x

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例3 2.已知 P 是椭圆上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点,且 PF1 ? PF2 ,求离心率的取值范围.

基本不等式
(Ⅲ)设 PF1 ? m , PF2 ? n ,
2 2 则 m ? n ? 2a ? 4a 2 ? (m ? n)2 2 m ? n ?e ?

4c ? m ? n
2 2

2

( m ? n)2
y
P o F2 x

1 ( m ? n)2 1 ? e2 ? m ? n 2 ≥ 2 ? ( m ? n) 2 ( m ? n) 2
2 2

? e≥ 2 . 2
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F1

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例 2.已知 P 是椭圆上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点,且 PF1 ? PF2 ,求离心率的取值范围.

焦半径公式
(Ⅳ)设 P ( x0 , y0 ) , ? | PF1 |? a ? ex0 , | PF2 |? a ? ex0 .
y
P o F2 x

? (a ? ex0 )2 ? (a ? ex0 )2 ? 4c 2 ,
2a ? 2e x0
2 2 2
2 2 2 c ? a . ? 4c , ? x0 ? 2 e

F1

2

2

? ?a ≤ x0 ≤ a ,
2 2 2 2 c ? a ?0 ≤ ≤ a . 2 e

? e≥ 2 . 2
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例 2.已知 P 是椭圆上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点,且 PF1 ? PF2 ,求离心率的取值范围.

向量、方程组、不等式
P ( x , y0 ) , F1 ( ? c , 0), F2 (c , 0). (Ⅴ)设 ???? 0???? ???? ???? ?
PF1 ? PF2 ? FP1 ? F2 P ? 0
o

y
P F2 x

? ( x0 ? c, y0 ) ? ( x0 ? c, y0 ) ? 0
? x0 2 ? y0 2 ? c 2
x0 2 y0 2 又 2 ? 2 ?1 a b
2 2 4 2 a c ? a ? x0 ? . 2 c 2

F1

? ?a ≤ x0 ≤ a ,
2 2 4 2. 2 2 a c ? a ? e ≥ ?0 ≤ ≤a 2 2 c

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例 2.已知 P 是椭圆上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点,且 PF1 ? PF2 ,求离心率的取值范围.

向量、三角函数
(Ⅵ)设 P (a cos ? , b sin ? ) ,F1 ( ? c , 0), F2 (c , 0).
???? ???? ???? ???? ? PF1 ? PF2 ? FP1 ? F2 P ? 0

? (a cos ? ? c, b sin ? ) ? ( a cos ? ? c, b sin ? ) ? 0, ? a 2 cos 2 ? ? c 2 ? b2 sin 2 ? ? 0 ? a ? c ? c sin ?
2 2 2 2
2 2 a ? c ? sin ? ? ≤1 c2 2. ? a 2 ≤ 2c 2 ? e ≥ 2 2

y
P o F2 x

F1

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例 2.已知 P 是椭圆上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点,且 PF1 ? PF2 ,求离心率的取值范围.

正弦定理、三角函数
(Ⅶ)设 ?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,
| PF2 | | PF1 | | F1 F2 | ? ? sin ? sin ? sin 90? | PF2 | ? | PF1 | ? ? 2c sin ? ? sin ? 1 1 ? ? ?c? a sin ? ? sin ? sin ? ? cos ?
F1

y
P

? o

?
F2 x

? ? (0, ? ) ? ? ? ? ? ( ? , 3? )
2 4 2

1 2 sin(? ? ? ) 4

4 ? sin(? ? ? ) ? ( 2 ,1] ? 2 sin(? ? ? ) ? (1, 2] 4 2 4 2 c ? ?[ ,1). a 2
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课堂检测
x2 y2 4.(2011·金华十校)方程为 2+ 2=1(a>b>0)的椭圆的 1 a b 左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1、F2,D 是它短轴上的一个
→ → → 端点,若 3DF1=DA+2DF2,则该椭圆的离心率为( 1 1 A. B. 2 3 1 1 C. D. 4 5 )

→ → 解析 设点 D(0,b),则DF1=(-c,-b),DA=(-a, → =(c,-b),由 3DF → =→ → 得-3c=-a+2c, -b),DF DA+2DF
2 1 2

1 即 a=5c,故 e= . 5
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答案

D
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圆锥曲线——椭圆离心率的求法

x2 y2 2 (2)F1、F2 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆上 a b 存 在点 P ,使 ∠F1PF2 =90°, 则椭圆 的离心 率的取 值范 围是
________.

x2 y20 0 【解析】 设 P(x0,y0)为椭圆上一点,则 2+ 2=1. a b
→ =(-c-x ,-y ),PF → =(c-x ,-y ) PF 1 0 0 2 0 0 → ·PF → =x2+y2-c2=0 若∠F1PF2=90°,则PF 1 2 0 0 x2 a2(c2-b2) 0 2 2 2 2 ∴x0+b (1- 2)=c ,∴x0= 2

a

c

2 2 c - b 2 ∵0≤x2 ≤1 0 ≤a ,∴0≤ c2

2 ∴b ≤c ,∴a ≤2c ,∴ ≤e<1. 2
2 2 2 2

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31】已知 P 是椭圆上一点, F1 , F2 分别是椭圆 【

的左右焦点,且 PF1 ? PF2 ,则离心率的取值范围
2 [ , ? 1) 2 是__________ .

解:当点 P 在椭圆短轴端点时, ?F1 PF2 最大.
?? ≥ 45? ? sin ? ≥ 2
2
P o

y
?

c ? sin ? ≥ 2 a 2 又0?e?1 ? 2 ≤e ?1 2
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F1

F2

x

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2 y 4 2】椭圆 x ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 为 【 9 4 2

其上的动点,当 ?F1 PF2 为钝角时,则点 P 的横坐标
(? 3 5 , 3 5 ) 的取值范围是____________. 5 5

y
P
F1 o F2 x

? x 2 ? y 2 ? 5, ?4 x 2 ? 9 y 2 ? 36, ?
? x2 ? 9 5

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5

[ 2 ,1) 2

45?

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圆锥曲线——椭圆离心率的求法

【 ( 2010 全国卷 I 理科 16)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, 63】

??? ? ??? ? B 是短轴的一个端点, 线段 BF 的延长线交 C 于点 D, 且 BF ? 2FD ,
则 C 的离心率为

3 3

.

??? ? ??? ? BF ? 2FD

y B

? (c, ? b) ? 2( x ? c, y ) O F D 3 b ? x ? c, y ? ? . 2 2 2 2 3 b ( c) (? ) 2 3 c 1 2 2 . ? 2 ? ? 1, ? 2 ? , ? e ? 2 3 3 a a b
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x

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74】已知椭圆x2sinα-y2cosα=1 (0≤α<2π)的焦 【

点在y轴上,则α的取值范围是( ) D A.( 3 ? , ? ) B.( 1 ? , 3 ? ) C .( 1 ? , ? ) D.( 1 ? , 3 ? ) 4 4 4 2 2 4 2 2 y x ? ? 1. 椭圆方程化为 1 ? 1 sin ? cos ? ∵椭圆焦点在 y 轴上,

?? 1 ? 1 ? 0. cos ? sin? ? ? ? ? 3? . ? 又∵0≤α<2, 2 4
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圆锥曲线——椭圆离心率的求法

【 江苏)如图,在平面直角坐标系 8 5】(09· xOy中, A1, A2, B1, B2为椭圆
2 y x ? ? 1(a>b>0)的四 2 2 a b 2

个顶点, F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于 点T, 线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,

2 7 ?5 则该椭圆的离心率为__________.

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圆锥曲线——椭圆离心率的求法

一、椭圆中的定值问题 由于椭圆只研究中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆问题,故动 态椭圆过定点问题一般不会出现, 故椭圆中的定值问题主要包括以下 几个方面: 1.与椭圆有关的直线过定点 (1)y-y0=k(x-x0)表示过定点(x0,y0)的直线的方程; (2)(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0 表示过直线 A1x+B1y+ C1=0 和 A2x+B2y+C2=0 交点的直线的方程. 2.与椭圆有关的圆过定点 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(A1x+B1y+C1)=0 表示的是过直线 A1x +B1y+C1=0 和圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 交点的圆的方程. 3.与椭圆有关的参数的定值问题

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二、椭圆中的最值问题 1.参数的取值范围 由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如 k,a,b, c,(x,y)的值变化.此类问题主要是根据几何特征建立关于参数 的不等式或函数进行求解. 2.长度和面积的最值 由于直线或椭圆上的点运动, 引起的长度或面积的值变化. 此 类问题主要是建立关于参数(如 k 或(x,y))的函数,运用函数或基 本不等式求最值.

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?

探究点一

与椭圆有关的定值问题

x2 2 例 1 已知椭圆 +y =1 的左顶点为 A,过 A 作两条互相 4 垂直的弦 AM、AN 交椭圆于 M、N 两点. (1)当直线 AM 的斜率为 1 时,求点 M 的坐标; (2)当直线 AM 的斜率变化时,直线 MN 是否过 x 轴上的一 个定点?若过定点,请给出证明,并求出该定点,若不过定点, 请说明理由.

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圆锥曲线——椭圆离心率的求法

【解答】 (1)当直线 AM 的斜率为 1 时, 直线 AM 的方程为 y=x+2, 代入椭圆方程并化简得:5x2+16x+12=0, ? 6 4? 6 解得 x1=-2,x2=- ,所以 M?-5,5?. 5 ? ? (2)设直线 AM 的斜率为 k,则 AM:y=k(x+2), k?x+2?, ? ?y= 则 ?x 2 2 化简得:(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0. ? ? 4 + y = 1, 2- 8k2 因为此方程有一根为-2,所以 xM= , 1+ 4k2

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圆锥曲线——椭圆离心率的求法

2k2- 8 同理可得 xN= 2 . k +4 由(1)知若存在定点,则此点必为 yM
?2-8k2 ? ? ? k? 2+2? ?1+4k ? ? 6 ? P?-5,0?. ? ?

5k 因为 kMP= = = , 6 2 - 8k2 6 4- 4k 2 xM+ + 5 1 + 4k2 5 5k 同理可计算得 kPN= . 4- 4k2 所以 kMP=kPN,M、P、N 三点共线, ? 6 ? ? 所以直线 MN 过 x 轴上的一个定点 P -5,0?. ? ?
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圆锥曲线——椭圆离心率的求法

例 2 椭圆的两焦点坐标分别为 F1(- 3,0)和 F2( 3,0), ? 3? ? ? 且椭圆过点?1,- ?. 2? ? (1)求椭圆方程; ? 6 ? (2)过点?-5,0?作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆于 M、N ? ? 两点,A 为椭圆的左顶点,试判断∠MAN 的大小是否为定值, 并说明理由.

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x2 2 【解答】 (1)由题意,即可得到椭圆方程为 +y =1. 4 6 (2)设直线 MN 的方程为:x=ky- , 5 6 ? x = ky - , ? 5 12 64 联立直线 MN 和椭圆的方程? 2 得(k2+4)y2- ky- =0, 5 25 x 2 ? ? 4 +y =1, 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 12k 64 则 y1+y2= 2 ,y y =- , 5?k +4? 1 2 25?k2+4? 又 A(-2,0), 4 16 → → 则AM· AN=(x1+2,y1)· (x2+2,y2)=(k2+1)y1y2+ k(y1+y2)+ 5 25 64?k2+1? 4k 12k 16 =- + · + =0, 25?k2+4? 5 5?k2+4? 25 π 即可得∠MAN= . 2
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?

探究点二

与椭圆有关的最值问题

例 3 如图 26-1,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆的中 心在原点 O, 右焦点 F 在 x 轴上, 椭圆与 y 轴交于 A, B 两点, 其右准线 l 与 x 轴交于 T 点,直线 BF 交椭圆于 C 点,P 为椭 圆上弧 AC 上的一点. (1)求证:A,C,T 三点共线; 6+2 → → (2)如果BF=3FC,四边形 APCB 面积的最大值为 , 3 求此时椭圆的方程和点 P 的坐标.

图 26-1

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x2 y 2 【解答】 (1)证明:设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),① a b x y x y AT: 2+b=1,② BF:c+ =1,③ a -b c ? 2a2c b3 ? ? 解得 AT 与 BF 的交点?a2+c2,a2+c2? ?,代入①得: ? ? 2 3 ? 2a c ? ? ? ? ?2 ? b ?2 ?a2+c2? ?a2+c2? 4a2c2+?a2-c2?2 ? ? ? ? + = = 1, a2 b2 ?a2+c2?2 满足①式,则 AT 与 BF 的交点在椭圆上,即为点 C,则 A,C,T 三点共线. (2)过 C 作 CE⊥x 轴,垂足为 E,则△OBF∽△ECF. ?4c b? 1 1 ? → → ∵BF=3FC,∴CE= b,EF= c,则 C? ? , ?,代入①得: 3? 3 3 ?3 ?4 ? ? ? ? ?2 ?b?2 ? c? ?3? ?3 ? ? ? 2 2 2 2 2 + 2 =1,∴a =2c ,b =c . a b

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2 2 设 P(x0,y0),则 x2 0+2y0=2c , ?4c c? 2 1 4c 4 2 ? 此时 C? 3 ,3? 5c,S△ABC= · 2c· = c , ?,AC= 3 2 3 3 ? ? 直线 AC 的方程为:x+2y-2c=0, |x0+2y0-2c| x0+2y0-2c P 到直线 AC 的距离为 d= = , 5 5 1 1 x0+2y0-2c 2 S△APC= d· AC= · · 5c 2 2 3 5 x0+2y0-2c = · c. 3 所以只需求 x0+2y0 的最大值即可. 2 2 2 2 2 2 2 法一:∵(x0+2y0)2=x2 2x0y0≤x2 0+4y0+2· 0+4y0+2(x0+y0)=3(x0+2y0)=6c , ∴x0+2y0≤ 6c, 6 当且仅当 x0=y0= c 时,(x0+2y0)max= 6c. 3

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圆锥曲线——椭圆离心率的求法

2 2 法二:令 x0+2y0=t,代入 x2 0+2y0=2c 得: 2 (t-2y0)2+2y2 0-2c =0, 2 2 即 6y2 0-4ty0+t -2c =0. Δ=(-4t)2-24(t2-2c2)≥0, 得- 6c≤t≤ 6c, 6 当 t= 6c 时,代入原方程解得 x0=y0= c. 3

由法一、法二知四边形 APCB 的面积最大值为

6-2 2 4 2 6+2 2 6+2 c+ c= c= , 3 3 3 3

∴c2=1,a2=2,b2=1. ? x2 2 6? ? 6 此时椭圆方程为 +y =1,P 点坐标为? , ? . 2 3? ? 3 ?

【点评】 本题所建立的函数与点 P 坐标(x0,y0)有关.在计算最值时,方法一用 的是基本不等式;方法二用的是代入消元和方程有解来计算最值.本题还可以用三角 换元的方法或者构造 z=x0+2y0 的几何意义用线性规划的思想来解决问题.

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圆锥曲线——椭圆离心率的求法

?

探究点三

椭圆和圆的综合问题

x2 y2 例 4 如图 26-2,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别 a b 为 F1、F2,其右准线 l 与 x 轴的交点为 T,过椭圆的上顶点 A 作椭圆 的右准线 l 的垂线,垂足为 D,四边形 AF1F2D 为平行四边形. (1)求椭圆的离心率; → =λTM →? (2)设线段 F2D 与椭圆交于点 M, 是否存在实数 λ, 使TA 若存在,求出实数 λ 的值;若不存在,请说明理由; (3)若 B 是直线 l 上一动点, 且△AF2B 外接圆面积的最小值是 4π, 求椭圆方程.

图 26-2

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a2 2 【解答】 (1)依题意:AD=F1F2,即 c =2c,所以离心率 e= . 2 (2)由(1)知:a= 2c,b=c, → =(-2c,c), 故 A(0,c),D(2c,c),F (c,0),T(2c,0),TA x y 2 2 2 + 2 2=1,即 x +2y =2c , 2c c 直线 F2D 的方程是 x-y-c=0, 所以椭圆方程是 ?x +2y =2c , ?x=0, 由? 解得? ?x-y-c=0 ?y=-c 即
2 2 2 2 2 2

4 ? x = ? 3c, (舍去)或? 1 y = ? ? 3c,

?4 ? 2 1 ? 1 ? → → → ? ? ? M?3c,3c?,TM=?-3c,3c? ?,所以TA=3TM, ? ? ? ?

→ → 即存在 λ=3 使TA=3TM成立.

2016年2月23日星期二

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2012-2013学年第一学期选修1-1

圆锥曲线——椭圆离心率的求法

(3)解法一:由题可知圆心 N 在直线 y=x 上,设圆心 N 的坐 标为(n,n), 因圆过准线上一点 B,则圆与准线有公共点, 设圆心 N 到准线的距离为 d,则 NF2≥d, 即 ?n-c?2+n2≥|n-2c|,解得 n≤-3c 或 n≥c, 2 ? ? c c 又 r2=(n-c)2+n2=2?n-2?2+ ∈[c2,+∞), 2 ? ? 由题可知,(πr2)min=c2π=4π,则 c2=4, x2 y2 故椭圆的方程为 + =1. 8 4

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圆锥曲线——椭圆离心率的求法

解法二:设 B(2c,t),△AF2B 外接圆的方程是:x2+y2+Dx+Ey+F=0, 又 A(0,c),F2(c,0),

?2 则?c +cE+F=0, ? ?4c2+t2+2cD+tE+F=0,

2 c ? +cD+F=0,

3c2+t2 解得 D=E=- , c+ t

?3c2+t2 ? D 3c2+t2? E? ? ? ? ? , 所以圆心?- 2 ,- 2 ?,即? ?, 2 ? c + t ? 2 ? c + t ? ? ? ? ? ?3c2+t2 ? ?3c2+t2? ? ?2 2 - c? 则 r2=? ? ? +? ? , ?2?c+t? ? ?2?c+t?? 2 2 2

3c +t c+ t 2c 令 n= = + -c∈(-∞,-3c]∪[c,+∞), 2 2?c+t? c+t ? c? c2 ? ?2 2 2 2 r =(n-c) +n =2?n-2? + ∈[c2,+∞), 2 ? ? 由题可知,(πr2)min=c2π=4π, x2 y2 2 则 c =4,故椭圆的方程为 + =1. 8 4

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圆锥曲线——椭圆离心率的求法

解法三:设 B(2c,t),△AF2B 外接圆的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 又 A(0,c),F2(c,0), c +cD+F=0, ? ?2 则?c +cE+F=0, ? ?4c2+t2+2cD+tE+F=0, 1 2 F2 F 2 1 2 2 D=E=-c- c ,r = (D +E -4F)= c + 2. 4 2 2c 由 4c +t +2cD+tE+F=0,得 4c +t
2 2 2 2 2

?t+c?F tF 4c2+t2-2c2-ct-2F- c +F=0,2c2-ct+t2- c =0,
? ? 4c2 ? F=c??t+c?+t+c-3c? ?, ? ?
2 2

? F? ? +(2c+t)?-c- c ? ?+F=0, ? ?

F2? 1? ? 2 2 所以 F≥c 或 F≤-7c ,所以 r = ?c + c2 ? ?≥c , 2? ? 2 2 2 所以(πr )min=c π=4π,所以 c =4. x2 y2 所求椭圆方程是 + =1. 8 4
2

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圆锥曲线——椭圆离心率的求法

1.定值问题的求解策略 (1)可以从一般的情形进行论证,即用类似方程 ax+b=0 恒 有解的思路来解决问题; (2)也可以运用从特殊到一般的思想来解决问题,即先求出特 殊情形下的值,如直线的斜率不存在的情况,再论证该特殊值对 一般情形也成立. 2.最值问题的求解策略 (1)如果建立的函数是关于斜率 k 的函数,要增加考虑斜率不 存在的情况; (2)如果建立的函数是关于点 (x,y)的函数,可以考虑用代入 消元、基本不等式、三角换元或几何解法来解决问题.
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圆锥曲线——椭圆离心率的求法

例 [2011· 江苏卷] 如图 26-3,在平面直角坐标系 xOy 中,M, x2 y2 N 分别是椭圆 + =1 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P,A 两 4 2 点,其中点 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连结 AC, 并延长交椭圆于点 B.设直线 PA 的斜率为 k. (1)当直线 PA 平分线段 MN 时,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB.

图 26-3

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圆锥曲线——椭圆离心率的求法

【解答】 (1)由题设知 a=2,b= 2,故 M(-2,0),N(0,- 2),得线段 MN 中 ? 2? ? 点的坐标为?-1,- ? ,由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点, 2? ? ? - 2 2 2 又直线 PA 过坐标原点,所以 k= = . 2 -1 x2 4x2 (2)k=2 时,直线 PA 的方程为 y=2x,代入椭圆方程得 + =1, 4 2 ?2 ? 4? 2 4? 2 ? ? ? 解得 x=± ,因此 P?3,3?,A?-3,-3? ?. 3 ? ? ? ? 4 0 + ?2 ? 3 2 ? 于是 C?3,0? ,直线 AC 的斜率为 = 1 ,故直线 AB 的方程为 x - y - =0. ? 2 2 3 ? ? + 3 3 ?2 4 2? ? ? ? - - ? 3 3? 2 2 ?3 因此,d= = . 3 12+12

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圆锥曲线——椭圆离心率的求法

x2 y2 2 (3)解法一:将直线 PA 的方程 y=kx 代入 + =1,解得 x=± , 4 2 1+2k2 2 记 μ= . 1+2k2 0+μk k 则 P(μ,μk),A(-μ,-μk),于是 C(μ,0),故直线 AB 的斜率为 = , μ+μ 2 k 其方程为 y= (x-μ),代入椭圆方程得(2+k2)x2-2μk2x-μ2(3k2+2)=0, 2 μ?3k2+2? 解得 x= 或 x=-μ, 2+k2 ?μ?3k2+2? μk3 ? ? ? 因此 B? 2 , 2?. 2+k ? ? 2+k μk3 -μk 2+k2 k3-k?2+k2? 1 于是直线 PB 的斜率 kPB= = =- k. μ?3k2+2? 3k2+2-?2+k2? -μ 2+k2 因此 kPBk=-1,所以 PA⊥PB.

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圆锥曲线——椭圆离心率的求法

解法二:设 P(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1>0,x2>0,x1≠x2,A(-x1,-y1), 设直线 PB,AB 的斜率分别为 kPB,kAB, 0-?-y1? y1 k 因为 C 在直线 AB 上,所以 kAB= = = . x1-?-x1? 2x1 2 y2-y1 y2-?-y1? 从而 kPBk+1=2kPBkAB+1=2· · +1 x2-x1 x2-?-x1? 2 2 2 2 2 2y2 -2y1 ?x2 4-4 2+2y2?-?x1+2y1? = 2 = 2 =0. 2 +1= 2 2 x2-x1 x2-x1 x2-x2 1 因此 kPBk=-1,所以 PA⊥PB.

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