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数学物理方法总结(改)


数学物理方法总结
第一章 复变函数

复数的代数式 代数式:z=x+iy 代数式
i? 复数的三角式 指数式 z = ρ (cos ? + sin ? ) 和 z = ρ e 三角式和指数式 三角式 指数式:

1 iz ? iz (e ? e ) 2i 欧拉公式:{ 欧拉公式 1 cos z = (eiz + e? iz ) 2 sin z =
?u ?u = ?x ?y 柯西-黎曼方程 黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{ (其中 f(z)=u+iv) 柯西 黎曼方程 ?v ?v =? ?x ?y
及其领域上处处可导,则称 函数 f(z)=u+iv 在点 z0 及其领域上处处可导 则称 f(z)在 z0 点解析 在区域 B 上每一点 在 点解析.在区域 都解析,则称 都解析 则称 f(z)是在区域 B 上的解析函数 是在区域 上的解析函数. 解析函数的性质:1.若函数 f(z)=u+iv 在区域 B 上解析 则 u ( x, y ) = C1 , v ( x, y ) = C2 若函数 上解析,则 ( C1 , C2 为常数 是 B 上的两组正交曲线族 为常数)是 上的两组正交曲线族. 2.若函数在区域 B 上解析 则 u,v 均为 B 上的调和函数 即 若函数在区域 上解析,则 上的调和函数,即

? 2u ? 2 v + =0 ?x 2 ?y 2
例题: 已知某解析函数 f(z)的实部 u ( x, y ) = x 2 ? y 2 ,求虚部和这个解析函数.

解答: 由于

? 2u ? 2v ? 2u ? 2 v =2; 2 =-2;则 2 + 2 = 0 ?x 2 ?y ?x ?y
?u ?u ?v ?v =2x; =-2y.根据 C-R 条件有: =2y; =2x. ?x ?y ?x ?y

曲线积分法

于是 dv = 2 ydx + 2 xdy ;

v= =∫


( x, y ) ( x, y )

(2 ydx + 2 xdy ) + C = ∫ 2 xdy + C = 2 xy + C

( x ,0)

(0,0)

(2 ydx + 2 xdy ) + ∫

( x, y )

( x ,0)

(2 ydx + 2 xdy ) + C

( x ,0)

凑全微分显式法 由上式可知 dv = 2 ydx + 2 xdy 则易得 dv = d (2 xy ) 则显然 v = 2 xy + C

不定积分法 上面已有

?v ?v =2y; =2x ?x ?y

则第一式对 y 积分,x 视为参数,有 v = 2 xy + ? ( x ) = 2 xy + ? ( x ) .



上式对 x 求导有

?v = 2 y + ? '( x) ,而由 C-R 条件可知 ? '( x) = 0 , ?x

从而 ? ( x) = C .故 v=2xy+C.

f ( z ) = x 2 ? y 2 + i (2 xy + C ) = z 2 + iC

第二章 复变函数的积分

单连通区域柯西定理 如果函数 f(z)在闭单连通区域 B 上解析,则沿 B 上任意一分段 光滑闭合闭合曲线 l(也可以是 B 的边界),有



l

f ( z )dz = 0 .

复连通区域柯西定理 如果 f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则

∫ ∫
柯西公式 f (α ) =

l

f ( z )dz + ∑ ∫ f ( z )dz = 0 .式中 l 为区域外边界线,诸 li 为
i =1 li

n

区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即

l

f ( z )dz = ∑ ∫ f ( z )dz .
i =1 li

n

1 2π i



f ( z) dz l z ?α n! 2π i

n 次求导后的柯西公式 f ( n ) ( z ) =

∫ (ζ ? z )
l

f (ζ )
n +1



第三章 幂级数展开

幂级数

∑ a (z ? z )
k =0 k



k

0

= a0 + a1 ( z ? z0 ) + a2 ( z ? z0 ) 2 + ...... + ak ( z ? z0 ) k + ......

其中 a0 , a1 , a2 , a3 ,……都是复常数. 比值判别法(达朗贝尔判别法 比值判别法 达朗贝尔判别法) 达朗贝尔判别法 1.若有

lim

ak +1 z ? z0 ak z ? z 0

k +1 k

k →∞

= lim

k →∞

ak +1 z ? z0 < 1 ak
2 k

则 a0 + a1 z ? z0 + a2 z ? z0 + ...... + ak z ? z0 + ...... 收敛,

∑ a (z ? z )
k =0 k 0



k

= a0 + a1 ( z ? z0 ) + a2 ( z ? z0 ) 2 + ......ak ( z ? z0 ) k + ...... 绝对收敛.

若极限 lim ak / ak +1 存在,则可引入记号 R, R = lim
k →∞


k →∞

ak ,于是,若 z ? z0 < R ,则 ak +1

∑ a (z ? z )
k =0 k

k

0

= a0 + a1 ( z ? z0 ) + a2 ( z ? z0 ) 2 + ......ak ( z ? z0 ) k + ...... 绝对收敛.

2.若 z ? z0 > R ,则后项与前项的模之比的极限

lim


ak +1 z ? z0 ak z ? z 0
k k

k +1 k

k →∞

> lim

ak +1 ak

k →∞

R = 1 ,即说明

∑ a (z ? z )
k =0

0

= a0 + a1 ( z ? z0 ) + a2 ( z ? z0 ) 2 + ......ak ( z ? z0 ) k + ...... 发散.
2 4 6

例题: 求幂级数 1 ? z + z ? z + ..... 的收敛圆,z 为复变数. 解答: 由题意可得

R = lim

k →∞

ak =1 ak +1
4 6

故 1 ? z + z ? z + ...... =
2

1 ( z < 1 ). 1+ z2

泰勒级数展开 设 f(z)在以 z0 为圆心的圆 CR 内解析,则对圆内的任意 z 点,f(z)可展为 幂级数, f ( z ) =

∑ a (z ? z )
k =0 k
0



k

,其中

ak =

1 2π i

f ( n ) ( z0 ) f (ζ ) dζ = , ∫ CR1 (ζ ? z0 )k +1 k!

CR1 为圆 CR 内包含 z 且与 CR 同心的圆.

例题: 在 z0 = 0 的领域上将 f ( z ) = e 展开
z z (n) z 解答: 函数 f ( z ) = e 的各阶导数 f ( z ) = e ,而 f
(k )

( z0 ) = f ( k ) (0) = 1 .

则 e 在 z0 = 0 的领域上的泰勒展开
z

∞ z z 2 z3 z 4 zk zk e = 1 + + + + + ...... + ...... = ∑ . 1! 2! 3! 4! k! k =0 k ! z

...... + a?2 ( z ? z0 ) ?2 + a?1 ( z ? z0 ) ?1 + a0 + a1 ( z ? z0 ) +
双边幂级数

a2 ( z ? z0 ) 2 + ......

洛朗级数展开 设 f(z)在环形区域 R2 < z ? z0 < R1 的内部单值解析,则对环域上的任 一点 z,f(z)可展为幂级数 f ( z ) =

k =?∞

∑ a (z ? z )
k 0



k

.其中

ak =

1 2π i



f (ζ ) dζ , C (ζ ? z ) k +1 0

积分路径 C 为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.
2 例题 1: 在 1 < z < ∞ 的环域上将 f ( z ) = 1 / ( z ? 1) 展为洛朗级数.

解答:

1 1 1 1 = 2 = 2 2 1 z ?1 z 1 ? z 2 z

1 1 1 ?1 ? ∑ ? z 2 ? = z 2 + z 4 + z 6 + ...... ? k =0 ?



k

例题 2: 在 z0 = 1 的领域上将 f ( z ) = 1 / ( z 2 ? 1) 展为洛朗级数. 解答: 由题意得 f ( z ) =

1 1 1 1 = ( ? ) z ?1 2 z ?1 z + 1
2

则有 z-1 的-1 次项,而

1 1 1 1 1 ∞ z ?1 = = = ∑ (?1) k ( ) ( z ?1 < 2 ) z ? 1 2 k =0 z +1 z ?1 + 2 2 1 + 2 2
k

故 f ( z) =

1 1 1 ∞ z ?1 k ? ∑ (?1)k ( ) . 2 z ? 1 4 k =0 2

第四章 留数定理

留数定理 设函数 f(z)在回路 l 所围区域 B 上除有限个孤立奇点 b1 , b2 ,……, bn 解析,

在闭区域 B 上除 b1 , b2 ,……, bn 外连续,则



l

f ( z )dz = 2π i ∑ Re sf (b j ) = 2π ia?1 .
j =1

n

1 d m ?1 其中, a?1 = Re sf (b j ) = lim { [( z ? b j )m f ( z )]} . z →b j (m ? 1)! dz m ?1
推论 1: 单极点的留数为 Re sf ( z0 ) = lim[( z ? z0 ) f ( z )] .
z → z0

推论 2: 若 f(z)可以表示为 P(z)/Q(z)的特殊形式,其中 P(z)和 Q(z)都在 z0 点解析, z0 是 Q(z)的一阶零点( Q ( z0 ) = 0 ). P ( z0 ) ≠ 0 ,则

Re sf ( z0 ) = lim( z ? z0 )
z → z0

P ( z ) + ( z ? z0 ) P '( z ) P ( z0 ) P( z ) = lim = . z → z0 Q( z ) Q '( z ) Q '( z0 )

上式最后一步应用了罗毕达法则. 留数定理的应用 类型一





0

R(cos x,sin x)dx .作自变量代换 z = eix .则式子变为

I=



z =1

R(

z + z ?1 z ? z ?1 dz , ) . 2 2 iz

例题: 计算 I = 解答: I =





0

dx . 2 + cos x





0

dx = ?i ∫ z =1 2 + cos x

dz dz = ?2i ∫ , ?1 z =1 z 2 + 4 z + 1 z+z z (2 + ) 2

Z 的单极点为 z1,2 =

?4 + 16 ? 4 = ?2 ± 3 . 2 1 πi = , z + 4z +1 3
2

则 Re s ( ?2 + 3) = 2π i lim ( z + 2 ? 3)
z →?2 + 3

由于 ?2 ? 3 不在圆 z = 1 内.故 I =

2π . 3

类型二





?∞

f ( x)dx .积分区间是 (?∞, ∞) ;复变函数 f(z)在实轴上没有奇点 上半平 实轴上没有奇点,在上半平 实轴上没有奇点

有限个奇点外是解析的;当 面除了有限个奇点外是解析的 当 z 在上半平面及实轴上 → ∞ 时,zf(z)一致 有限个奇点外是解析的 一致 地 → 0 .则式子可以变为

I =∫
例题: 计算



?∞


f ( x)dx = 2π i {f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}.

dx . ?∞ 1 + x 2 ∞ dz 解答: I = ∫ 的单极点为 z1,2 = ±i . ?∞ 1 + z 2 ∞ 1 dx Re sf (i ) = 2π i lim( z ? i ) 2 = π ,故 ∫ =π . ?∞ 1 + x 2 z →i z +1



类型三

∫ ∫ ∫



0

F ( x) cos mxdx , ∫ G ( x) sin mxdx ,积分区间是 [0, +∞] ;偶函数 F(x)和奇
0



函数 G(x)在实轴上没有奇点 上半平面除了有限个奇点外是解析的 当 z 在 实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的 是解析的;当 实轴上没有奇点 上半平面或实轴上 → ∞ ,F(z)及 G(z)一致地 → 0 .则式子可以变为 及 一致地


0


F ( x) cos mxdx = π i{F ( x)eimx 在上半平面所有奇点的留数之和} ; G ( x) sin mxdx = π {G ( x)eimx 在上半平面所有奇点的留数之和} .

0

若类型二,类型三的实轴上有有限个奇点,则有





?∞

f ( x)dx = 2π i


在上平面

Re sf ( z ) + π i


实轴上

Re sf ( z ) .

其中,在类型三中 f(x)应理解为 F ( x)eimz 或 G ( x)eimx .

第五章 Fourier 变换 傅里叶级数 周期为 2l 的函数 f(x)可以展开为级数

f ( x) = a0 + ∑ (ak cos
k =1



kπ x kπ x + bk sin ). l l kπξ dξ l 2(k = 0) 1(k ≠ 0)

ak =
其中,{

δ l∫
k

1

l

?l

f (ξ ) cos

1 l kπξ bk = ∫ f (ξ ) sin dξ ?l l l
∞ kπ x l

,

δ k ={

.

积分上下限只要满足 即可. 注: 积分上下限只要满足 上-下=2l 即可 下 复数形式的傅里叶级数 复数形式的傅里叶级数 f ( x) =

k =?∞

∑ce
k

i

kπ x i 1 l * 其中 ck = ∫?l f (ξ )[e l ] dξ . 2l

傅里叶积分 f ( x) =





0

A(ω ) cos ω xdω + ∫ B(ω ) sin ω xdω
0



A(ω ) =
傅里叶变换式 {

π∫ π∫
1

1



?∞ ∞

f (ξ ) cos ωξ d ξ f (ξ )sin ωξ d ξ

B(ω ) =

?∞

1 ∞ iω x ∫?∞ F (ω )e dω 2π 复数形式的傅里叶积分 { 1 ∞ iω x * F (ω ) = ∫?∞ f ( x)[e ] dx 2π f ( x) =
傅里叶变换的性质 (1) 导数定理 F[f’(x)]=iwF(w)

1 F ( w) iw 1 w (3) 相似性定理 F[f(ax)]= F ( ) a a
(2) 积分定理 F[



( x)

f (ξ )dξ ]=

(4) 延迟定理 F[ f ( x ? x0 ) ]= e (5) 位移定理 F[ e
iw0 x

? iwx0

F ( w)

f ( x) ]= f ( w ? w0 )

(6) 卷积定理 若 F[ f1 ( x) ]= F1 ( w) ,F[ f 2 ( x) ]= F2 ( w) ,则 F[ f1 ( x) * f 2 ( x) ]= 2π F1 ( w) F2 ( w) . 其中 f1 ( x) * f 2 ( x) = 积.





?∞

f1 (ξ ) f 2 ( x ? ξ )dξ 称为 f1 ( x) 和 f 2 ( x) 的卷

δ 函数

δ ( x) = {

0( x ≠ 0) ∞( x = 0)

.



b

a

δ ( x)dx = {

0(a, b都 < 0, 或都 > 0) 1(a<0<b)

.

函数的一些性质 δ 函数的一些性质 1. δ ( x ) 是偶函数.

δ (? x) = δ ( x) δ '(? x) = ?δ '( x)
0( x < 0) 1( x > 0)
.

2. H ( x) =



x

?∞

δ (t )dt = {

3.





?∞

f (τ )δ (τ ? t0 )dτ = f (t0 ) .

第六章 Laplace 变换 拉普拉斯变换 f ( p ) =





0

f (t )e ? pt dt

拉普拉斯变换的一些性质 (1) 线性定理 若 f1 (t )

f1 ( p) , f 2 (t )

f 2 ( p) ,则

c1 f1 (t ) + c2 f (t )
(2) 导数定理 f '(t )

c1 f1 ( p) + c2 f 2 ( p) .

p f ( p ) ? f (0) .

(3) 积分定理

∫ ? (τ )dτ
0

t

1 L[ ? ( p ) ]. p
1 p f ( ). p a f ( p + λ) .

(4) 相似性定理 f ( at )
? λt (5) 位移定理 e f (t )

(6) 延迟定理 f (t ? t0 ) (7) 卷积定理 若 f1 (t )

e ? pt0 f ( p) . f1 ( p) , f 2 (t ) f1 ( p) f 2 ( p) , f 2 ( p) ,则

f1 (t ) * f 2 (t )

其中 f1 (t ) * f 2 (t ) =



t

0

f1 (τ ) f 2 (t ? τ )dτ 称为 f1 (t ) 和 f 2 (t ) 的卷积 卷积. 卷积

第七章 数学物理定解问题 (1) 均匀弦的微小振动 均匀杆的纵振动,传输线方程 均匀薄膜的微小横振动 流体力 均匀弦的微小振动,均匀杆的纵振动 传输线方程 均匀薄膜的微小横振动,流体力 均匀杆的纵振动 传输线方程,均匀薄膜的微小横振动 学 与 声 学 方 程 , 电 磁 波 方 程 的 形 式 为 utt ? a u xx = 0 或 utt ? a ? 2u = 0 或
2 2

utt ? a 2 ? 3u = 0 .
(2) 扩散方程 热传导方程的形式为 ut ? a u xx = 0 或 ut ? a ?u = 0 . 扩散方程,热传导方程的形式为
2 2

(3) 稳定浓度分布 稳定温度分布 静电场 稳定电流场方程的形式为 拉普拉斯方 稳定浓度分布,稳定温度分布 静电场,稳定电流场方程的形式为 稳定温度分布,静电场 稳定电流场方程的形式为(拉普拉斯方 程 ) ?u = 0 .

?u ? 2u (4) 以上方程中 u x 意为 , u xx 意为 2 .若以上各方程均为有源 则方程为 各方程 若以上各方程均为有源,则方程为 若以上各方程均为有源 ?x ?x
=f(x,y,z,t). 定解条件

初始条件 初始”位移” u ( x, y, z , t ) t =0 = ? ( x, y, z ) , 初始”速度” ut ( x, y, z , t ) t =0 = ψ ( x, y, z ) .

r
边界条件 第一类边界条件 u ( r , t )


= f (M , t )

第二类边界条件

?u = f (M , t ) ?n ∑ ?u ) = f (M , t ) ?n ∑

第三类边界条件 (u + H 衔接条件 u ( x0 ? 0, t ) = u ( x0 + 0, t )

Tu x ( x0 + 0, t ) ? Tu x ( x0 ? 0, t ) = ? F (t ) .(T 为张力 为张力)
达朗贝尔公式 定界问题 达朗贝尔公式 u ( x, t ) =

1 1 x + at [? ( x + at ) + ? ( x ? at )] + ψ (ξ )dξ . 2 2a ∫x ? at
t =0

其中 u t =0 = ? ( x) , ut

= ψ ( x) . (?∞ < x < ∞)

第八章 分离变数法

泛定方程

utt ? a 2u xx = 0 ( 若 该 方 程 可 以 使 用 分 离 变 量 法 , 则 可 以 化 成 T ''(t ) X ''( x) = = ?λ ). 2 a T (t ) X ( x)

X ''( x) + λ X ( x) = 0 在不同的边界条件 边界条件 边界条件下解不同.
边界条件

(1) {

X (0) = 0 X (l ) = 0

λ =(
, X(x)的解为 {

nπ X n ( x) = Cn sin x l

nπ 2 ) l

其中 n=1,2,3……

(2) {

X '(0) = 0 X (l ) = 0

, X(x)的解为 {

1 (k + )π 2 ]2 λ =[ l 1 (k + )π 2 x X n ( x) = Cn cos l

其中 k=0,1,2……

(3) {

X (0) = 0 X '(l ) = 0

, X(x)的解为 {

1 (k + )π 2 ]2 λ =[ l 1 (k + )π 2 x X n ( x) = Cn sin l

其中 k=0,1,2……

X '(0) = 0 (4) { , X(x)的解为 { X '(l ) = 0

λ =(

nπ X n ( x) = Cn cos x l

nπ 2 ) l

其中 n=0,1,2……

T(t)的方程在有 n 且 n=0 时的解为 T (t ) = At + B ; 在 n ≠ 0 时的解为

T (t ) = A sin

nπ a nπ a t + B cos t; l l

在有 k 的情况下为

T (t ) = A sin

(2k + 1)π a (2k + 1)π a t + B cos t. 2l 2l

初始条件 将 u(x,t)=T(t)X(x)带入初始条件,确定 u(x,t)中的常数项. 欧拉型常微分方程

ρ2

d 2R dR +ρ ? m 2 R = 0 . 解法为做代换 ρ = et . 2 dρ dρ

第九章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题 拉普拉斯方程 ?u = 0

1 ? 2 ?u 1 ? ?u 1 ? 2u (1) 球坐标系下 2 (r )+ 2 (sin θ )+ 2 2 = 0. r ?r ?r r sin θ ?θ ?θ r sin θ ?? 2
r2 ?2 R ?R 1 + 2r ? l (l + 1) R = 0 其解为 R (r ) = Cr l + D l +1 . 2 ?r ?r r

分解为



1 ? ?Y 1 ? 2Y (sin θ )+ 2 + l (l + 1) = 0 (球方程, Y (θ , ? ) = Θ(θ )Φ (? ) ) sin θ ?θ ?θ sin θ ?? 2

球方程又可以分离为 Φ ''(? ) + λΦ (? ) = 0 其中有 Φ (? ) = Φ (? + 2π ) ,其方程解

为 {

λ = m2 其中 m=0,1,2…… Φ(? ) = A cos m? + B sin m?
2

和 (1 ? x )

d 2Θ dΘ m2 ? 2x + [l (l + 1) ? ]Θ = 0 (连带勒让德方程). dx 2 dx 1 ? x2

(2) 柱坐标系下

1 ? ?u 1 ? 2 u ? 2u (ρ ) + 2 + = 0 .分解为 ρ ?ρ ?ρ ρ ?? 2 ?z 2

Φ ''(? ) + λΦ (? ) = 0 其中有 Φ(? ) = Φ(? + 2π ) ,其方程解为

λ = m2 { 其中 m=0,1,2…… Φ(? ) = A cos m? + B sin m?
和 Z ''? ? Z = 0 和

d 2 R 1 dR m2 + + (? ? 2 ) R = 0 . ρ dρ2 ρ dρ
E + F ln ρ (m = 0) E ρ m + F / ρ m (m = 1, 2, 3......)
?z

当 ? = 0 时,Z=C+Dz, R ( ρ ) = { 当 ? > 0 时, Z ( z ) = Ce
?z

;

+ De?

,方程 R 转换为

x2

d 2R dR +x + ( x 2 ? m 2 ) R = 0 ( x = ? ρ ,m 阶贝塞尔方程). 2 dx dx

当 ? < 0 时, Z ( z ) = C cos ? ? z + D sin ? ? z ,方程 R 转换为

x2

d 2R dR +x ? ( x 2 + m 2 ) R = 0 ( x = ? ? ρ ,m 阶虚宗量贝塞尔方程). 2 dx dx
2

亥姆霍兹方程 ?v + k v = 0 . 在 x0 = 0 的领域上 l 阶勒让德方程的解为 y ( x) = a0 y0 + a1 y1 其中

(?l )(l + 1) 2 (2 ? l )(?l )(l + 1)(l + 3) 4 x + x + ... 2! 4! (2k ? 2 ? l )(2k ? 4 ? l )...(?l )(l + 1)(l + 3)...(l + 2k ? 1) 2 k + x + ...... (2k )!
y0 = 1 +

(1 ? l )(l + 2) 3 (3 ? l )(1 ? l )(l + 2)(l + 4) 5 x + x + ... 3! 5! (2k ? 1 ? l )(2k ? 3 ? l )...(1 ? l )(l + 2)(l + 4)...(l + 2k ) 2 k +1 + x + ...... (2k + 1)!
y1 = x +

第十章 球函数

高次项 x 的系数 al =
l

(2l )! (在乘以适当的常数之后),用递推公式改写后为 2l (l !) 2

ak =

(k + 2)(k + 1) (2l ? 2n)! ak + 2 ,则 al ? 2 n = (?1) 2 .则勒让德多项式 l (k ? l )(k + l + 1) n !2 (l ? n)!(l ? 2n)!
[ l / 2] k =0

为 Pl ( x ) =

∑ (?1)

k

l / 2(l为偶数) (2l ? 2k )! . xl ? 2 k . [l / 2] ={ k !2 (l ? k )!(l ? 2k )! (l ? 1) / 2(l为奇数)
l

Po ( x) = 1 P ( x) = x = cos θ 1

1 1 (3 x 2 ? 1) = (3cos 2θ + 1) 2 4 1 1 P3 ( x) = (5 x3 ? 3 x) = (5cos 3θ + 3cos θ ) 2 8 1 1 P4 ( x) = (35 x 4 ? 30 x 2 + 3) = (35 cos 4θ + 20 cos 2θ + 9) …… 8 64 P2 ( x) =
勒让德多项式是正交的 例题 1: 以勒让德多项式为基,在区间[-1,1]上把 f(x)= 2 x + 3 x + 4 展开为广义傅里叶
3

级数. 解答: 2 x + 3 x + 4 = f 0 P0 ( x ) + f1 P ( x ) + f 2 P2 ( x ) + f 3 P ( x ) 1 3
3

1 1 (3 x 2 ? 1) + f 3 (5 x3 ? 3 x) 2 2 1 3 3 5 则有 f 0 ? f 2 = 4 , f1 ? f 3 = 3 , f2 = 0 , f3 = 2 . 2 2 2 2 21 4 3 故有 2 x + 3 x + 4 = 4 P0 ( x ) + P ( x) + P3 ( x) . 1 5 5
= f 0 + f1 x + f 2 例题 2: 在半径 r = r0 的球的内部求解拉普拉斯方程使满足边界条件 u r = r = cos θ .
2
0

解答: 边界条件与 ? 无关,故选择球坐标,则有

u (r , θ ) = ∑ ( Al r l +
l =0



Bl )Pl (cos θ ) . r l +1

又有自然边界条件 u r =0 有限 故 Bl = 0 .则有

u (r , θ ) = ∑ Al r l Pl (cos θ ) .
l =0



而 u r = r = cos 2 θ =
0

∑ A r P (cos θ ) = x
l l =0 l l



2

1 2 = P0 ( x) + P2 ( x) ,则 3 3

∞ 1 2 1 2 u (r , θ ) = ∑ Al r l Pl (cos θ ) = + r P2 (cos θ ) . 3 3 r02 l =0



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