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2.10导数的概念及其运算


2.10 导数的概念及其运算

复习目标
1、理解导数的几何意义;

2、能利用基本初等函数的导数公式和导数
的四则运算法则求函数的导数,会求复 合函数的导数。

梳理知识系统:
1.导数的概念 函数y=f(x)在x=x0处的导数 一般地,函数y=f(x) 在x=x0处的瞬时变化率是
?y ? lim ?x ? 0 ?x ?x ? 0 lim

, 称其为函数y=f(x)在x
x? x

=x0 处的导数,记作f′(x0)或y′|

0

.

2.导函数
当x变化时,f′(x)称为f(x)的导函数,则f′(x)= . = y′

f′(x)与f′(x0)相同吗? 提示:f′(x)与f′(x0)不相同;f′(x)是一个函数,f′(x0)是 常数,f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值.

3.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义,就是曲线y = f(x)在点P(x0,y0)处的切线的 斜率,过点P的切线

方程为: y-y0=f′(x0)(x-x0) .

4.基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c f(x)=xn(n∈Q) f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax 导函数 f′(x)= 0 f′(x)= nxn-1 f′(x)= cosx f′(x)= -sinx f′(x)= axlna (a>0且a≠1) f′(x)= ex f′(x)= (a>0,且 a≠1)

f(x)=lnx

f′(x)=

5.导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)+′= (2)*f(x)·g(x)+′= f(x)′±g′(x) ; ;

f(x)′g(x)+f(x)g′(x)

(3)*

+′=

(g(x)≠0).

考纲要求:
1、了解导数概念的实际背景; 2、理解导数的几何意义; 3、能根据导数的定义求函数y=c(c为常数) ,y=x,y=x2,y=x3,y=1/x的导数; 4、能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法

则求函数的导数,会求复合函数的导数。

基础题演练
1.f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值等于

D

2.函数y=xcosx-sinx的导数为 A.xsinx C.xcosx B.-xsinx D.-xcosx

B

3.设函数f(x)=tanx,若f′(

? )等于
3

4 _____

考点透析
考点一 利用公式求导数
例1: 求下列函数的导数:

(1)y=

1 2 3 ? 3? 4 x x x
ln x x

(2)y=

(3)y=

( x ? 1)( x ? 2)

考点二 导数的几何意义及应用
例2:已知曲线C:y=

x ? 2x ? 6x ? 3
3 2

(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程;

(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点?

变式训练: 已知曲线方程y=X2
(1)求在点A(1,0)的与曲线相切直线方程; (2)求过点B(1,0)且与曲线相切的直线方程.

例3.
3x 已知函数f ( x) ? ? 2 x 2 ? ln x, 其中a为常数. a (1)若a=1,求函数f ( x)的单调区间。 (2)若函数f ( x)在区间?1, 2 ? 上为单调增函数,求a的取值范围。

基础题演练
4.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3 上,且在第二象限内.已知曲线C在点P处的切线斜率为2, 则点P的坐标为

(-2,15).这条切线方程为 Y=2x+19 .

5、设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P 处切

?? ? 线倾斜角的取值范围为 ?0, ,则点P的横坐标的取值 ? 4? ? 1 ? ? ? 1 , ? 范围为 ? . ?
? 2?

典例分析
已知曲线y= (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程. (1)在点P处的切线以点P为切点; (2)过点P的切线,点P不一定是切点,需要设出切 点坐标.

作业
已知函数f(x)=x3+x-16. (1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 的 方程及切点坐标.



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