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高中数学新人教A版必修5教案 2.5 等比数列的前n项和1


2.5 等比数列的前 讲授新课 课本“国王对国际象棋的发明者的奖励” n 项和 如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列,我们可以得到一个等比数列,它的首项是 1,公 比是 2, 求第一个格子到第 64 个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前 64 项的 和。下面我们先来推导等比数列的前 n 项和公式。 1、 等比数列的前 n 项和公式: 当 q ? 1 时, S n ? a1 (1 ? q n ) ① 1? q 或 Sn ? a1 ? a n q 1? q ② 当 q=1 时, S n ? na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q, an 时,用公式②. 公式的推导方法一: 一般地,设等比数列 a1 , a2 ? a3 ,?an ?它的前 n 项和是 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an 由? ?S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? a n n ?1 ?a n ? a1 q 2 n?2 n ?1 ? ?S n ? a1 ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q 2 3 n ?1 n ? ?qSn ? a1 q ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q 得? ? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n ∴当 q ? 1 时, S n ? a1 (1 ? q n ) ① 1? q 或 Sn ? a1 ? a n q 1? q ② 当 q=1 时, S n ? na1 公式的推导方法二: 有等比数列的定义, a a 2 a3 ? ??? n ? q a1 a2 an?1 a 2 ? a3 ? ? ? a n S ? a1 ? n ?q a1 ? a2 ? ? ? an?1 S n ? an 根据等比的性质,有 -1- 即 S n ? a1 ? q ? (1 ? q)S n ? a1 ? an q (结论同上) S n ? an 围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式. 公式的推导方法三: S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an = a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ?an?1 ) = a1 ? qSn?1 = a1 ? q(S n ? an ) ? (1 ? q)S n ? a1 ? an q (结论同上) 有了等比数列的前 n 项和公式,就可以解决刚才的问题。 由 a1 ? 1, q ? 2, n ? 64 可得 a1 (1 ? q n ) 1? (1 ? 264 ) 64 = = 2 ?1。 Sn ? 1? 2 1? q 264 ? 1 这个数很大,超过了 1.84 ?1019 。国王不能实现他的诺言。 等比数列的前 n 项和公式: 当 q ? 1 时, S n ? a1 (1 ? q n ) ① 1? q 或 Sn ? a1 ? a n q 1? q ② 当 q=1 时, S n ? na1 思考:什么时候 用公式(1) 、什么时候用公式(2)? (当已知 a1, q, n 时用公式①;当已知 a1, q, an 时,用公式②.) 例 1:求下列等比数列前 8 项的和. (1) 1 1 1 , , ,… 2 4 8 (2) a1 ? 27, a9 ? 1 ,q ? 0 243 解:由 a1= 1 1 1 1 , q ? ? ? , n ? 8, 得 4 2 2 2 8 1 ? ?1? ? ?1 ? ? ? ? 2? ? ?2?


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