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关於三角形内角平分线长的几何性质


關於三角形內角平分線長的幾何性質
丁遵標

摘要: 本文獲得了三角形內角平分線長的幾個有趣幾何性質。 關鍵詞: 三角形、 內角平分線長、 半周長、 外接圓半徑、 內切圓半徑。 本文約定: △ABC 的三邊長、 半周長、 面積、 外接圓半徑、 內切圓半徑及 ∠A、 ∠B、 ∠C 定理 1:
bc t2 a

的角平分線長分別為 a、 b、 c、 S、 △、 R、 r、 ta 、 tb 、 tc +
ca t2 b

+

ab t2 c

=

R r

+ 2 為證明此定理, 請先看下面的引理:
4bcS(Sa) (b+c)2

引理: 在 △ABC 中, AD 是 ∠BAC 的平分線, 則有: t2 = a
... . ... .... . ... . . . ... . . ... .. . ... . .. . ... .. .. ... . . ... . . . . . . . ... . ... . .. . . .. . . . . ... ... . . . . ... . ... . . . . . . . . ... . ... . . . . . . . ... . ... . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . ... . ... . . . . . . . ... . ... . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . ... . ... . . . . . . . ... . ... . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . ... . ............................ ....................................................................... .. . .. .. ..... ........................................ .

A

c

b

B

y

D

x

C

證明: 設 CD = x, BD = y, 由三角形角平分線性質知: b:c=x:y 又 ∵x+y =a ∴x=
ab , b+c

y=

ac b+c

由 Stewart’s Theorem 知 AB 2 DC + AC 2 BD AD 2 BC = BC BD DC 讀者可通過網站: http://www.icl.pku.cn/yujs/Mathworld/math/s/s741.htm 了解 Stewart’s Theorem 的證明過程。
60

關於三角形內角平分線長的幾何性質

61

即 c2 x + b2 y at2 = axy a


t2 = a = = = = =



t2 = a

a abc[c(b + c) + b(b + c) a2 ] a(b + c)2 bc[(b + c)2 a2 ] (b + c)2 bc(b + c + a)(b + c a) (b + c)2 4bcs(s a) (b + c)2 4bcs(s a) (b + c)2

c2 x + b2 y axy a ac ab 2 c b+c + b2 b+c a

a2 bc (b+c)2

下面, 我們進一步來證明定理 1。 證明: 由引理知 4bcs(s a) = (b + c)2 bc (2s a)2 1 = = 2 ta 4s(s a) 4 t2 = a
s sb s sc



4bcs(s a) (2s a)2 s 1 sa + + sa 2 4s

同理:

ca t2 b ab t2 c

= =

1 4 1 4

+ +

1 2 1 2

+ +

sb 4s sc 4s





1 △ = 2 (a + b + c)r = rs

bc ca ab s 3 3s a b c 1 1 1 + 2 + 2 = + + + + 2 ta tb tc 4 sa sb sc 2 4s 7 1 1 1 s + + + = 4 sa sb sc 4

(1)

再由海倫公式 △ = 又 ∵ abc = 4Rrs,


s(s a)(s b)(s c) 便可得到 (s a)(s b)(s c) = r 2 s, abc + (s a)(s b)(s c) = 4Rrs + r 2 s = s3 2s3 + (ab + bc + ca)s



abc + (s a)(s b)(s c) = abc + [s3 (a + b + c)s2 + (ab + bc + ca)s abc] = (ab + bc + ca)s s3 = 4Rrs + r 2 s

62 數學傳播 29 卷 3 期 民 94 年 9 月 ∴

ab + bc + ca = s2 + 4Rr + r 2


1 1 1 ab + bc + ca s2 + + = s a s b s c (s a)(s b)(s c) 4R + r s2 + 4Rr + r 2 s2 = = r2s rs R bc ca ab + 2 + 2 = +2 2 ta tb tc r

(2)

由 (1)、 (2) 得

下面, 我們對此性質作進一步的探討。 由 Euler 不等式 R ≥ 2r, 便可得到: 推論1:
bc t2 a

+

ca t2 b

+

ab t2 c

≥4

又∵

若且為若 △ABC 是正三角形時, 取等號。 abc = 4R△ = 4Rrs



bc ca ab 3 + 2 + 2 ≥3 t2 tb tc a

abc ta tb tc

2

再由定理 1 知

(算術平均 ≥ 幾何平均) R 3 +2≥3 r abc ta tb tc
2



R + 2r 3r


3 2



abc ta tb tc
3

2 3r ta tb tc ≥ abc R + 2r 3r = 4Rrs R + 2r 3 3r 2 ≥ 4Rrs √ 2R 2 3r s 6Rr = R

3 2

於是, 我們又可得到: 推論2: ta tb tc ≥
√ 3r 2 s 6Rr R

關於三角形內角平分線長的幾何性質

63

定理2: 證明: ∵

1 t2 a

+

1 t2 b 1 4

+

1 t2 c s sa

= +

2R+r 8Rr 2 1 2

+

4R+r 8Rs2

bc t2 a

=

+

sa 4s



同理

1 1 s sa = +2+ 2 ta 4bc s a s 3 a2 s + = 4bc(s a) 4bc 4abcs 1 s 3 b2 = + t2 4ca(s b) 4ca 4abcs b s 3 c2 1 = + t2 4ab(s c) 4ab 4abcs c


a2 + b2 + c2 = 2(s2 4Rr r 2 ) 1 1 1 1 + + = ab bc ca 2Rr 1 1 1 4R + r + + = sa sb sc rs 又


= = = = 故:

1 1 1 + 2+ 2 t2 tb tc a s 3 a b c + + + 4abc s a s b s c 4 1 1 1 s s 3 + + 4abc sa sb sc s 4R + r 3 1 s 3 + 4 4Rrs rs 4 2Rr 2R + r 4R + r + 8Rr 2 8Rs2
1 t2 a

a2 + b2 + c2 1 1 1 + + ab bc ca 4abcs 3 1 a2 + b2 + c2 1 1 + + + 4 ab bc ca 4abcs 2 2 2(s 4Rr r ) 4 4Rrs s

+

1 t2 b

+

1 t2 c

=

2R+r 8Rr 2

+

4R+r 8Rs2

下面, 我們對此性質再作進一步的探討。 由 Gerretsen 不等式知, s2 ≥ 16Rr 5r 2 2R + r 4R + r 2R + r 4R + r + ≤ + 2 2 2 8Rr 8Rs 8Rr 8R(16Rr 5r 2 ) 4R + R 2R + R 2 2 + ≤ 8Rr 2 8R(16r 2r 5r 2 )



64 數學傳播 29 卷 3 期 民 94 年 9 月

=

5 1 + 2 16r 48r 2 1 = 2 3r

這時, 便可得到 推論3:
1 t2 a

+

1 t2 b

+

1 t2 c



1 3r 2

若且為若 △ABC 是正三角形時, 取等號。 1 1 1 + 2 + 2) 2 ta tb tc 1 1 1 ≥ 3 3 t2 t2 t2 3 3 2 2 2 (算術平均 ≥ 幾何平均) a b c ta tb tc =9 1 1 1 所以 (t2 + t2 + t2 )( 2 + 2 + 2 ) ≥ 9 a b c ta tb tc 由於 (t2 + t2 + t2 )( a b c t2 + t2 + t2 ≥ a b c 9
1 t2 a



+

1 t2 b

+

1 t2 c



9
1 3r 2

= 27r 2

這時, 我們又得到: 推論4: t2 + t2 + t2 ≥ 27r 2 a b c 若且為若 △ABC 是正三角形時, 取等號。

參考文獻
1. O. Bottema 等著, 單墫譯。 幾何不等式, 北京大學出版社, 1991。 2. 丁遵標, 與三角形高有關的幾何性質, 本刊待發。 —本文作者任教於中國安徽省舒城縣杭埠中學—



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