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2014年浙江省数学(理)高考真题含答案(超完美word版)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学(理科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1)设全集 U ? ?x ? N | x ? 2?,集合 A ? x ? N | x 2 ? 5 ,则 CU A ? ( A. ? B. {2} C. {5} D. {2,5} )

?

?



(2)已知 i 是虚数单位, a, b ? R ,则“ a ? b ? 1 ”是“ (a ? bi) 2 ? 2i ”的( A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

(3)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是 A. 90 cm
2

B. 129 cm

2

C. 132 cm

2

D. 138 cm

2

4.为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图像,可以将函数 y ? 2 sin 3x 的图像( A.向右平移



? 个单位 4
? 个单位 12

B.向左平移

? 个单位 4

C.向右平移

D.向左平移

? 个单位 12

m n ? f (0,3) ? 5.在 (1 ? x)6 (1 ? y) 4 的展开式中, 记 x y 项的系数为 f (m, n) , 则 f (3,0) ? f (2,1) ? f (1,2)

( A.45

) B.60
3 2

C.120

D. 210 )

6.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, 且0 ? f (?1) ? f (?2) ? f (?3) ? 3, 则( A. c ? 3 B. 3 ? c ? 6
a

C. 6 ? c ? 9

D. c ? 9 )

7.在同一直角坐标系中,函数 f ( x) ? x ( x ? 0), g ( x) ? loga x 的图像可能是(

A. 8.记 max{ x, y} ?

B.

C.

D. )

? x, x ? y ? y, x ? y , min{ x, y} ? ? ,设 a,b 为平面向量,则( ? ? y, x ? y ? x, x ? y

A. min{| a ? b |,| a ? b |} ? min{| a |,| b |} B. min{| a ? b |,| a ? b |} ? min{| a |,| b |} C. min{| a ? b |
2 2

,| a ? b |2 } ?| a |2 ? | b |2 ,| a ? b |2 } ?| a |2 ? | b |2

D. min{| a ? b |

9.已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个篮球 ? m ? 3, n ? 3? ,从乙盒中随机抽取

i ?i ? 1,2? 个球放入甲盒中.
(a)放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为 ?
i

?i ? 1,2? ;

(b)放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi ? i ? 1, 2? . 则 A. p1 ? p2 , E ??1 ? ? E ??2 ? C. p1 ? p2 , E ??1 ? ? E ??2 ? B. p1 ? p2 , E ??1 ? ? E ??2 ? D. p1 ? p2 , E ??1 ? ? E ??2 ?

2 2 10.设 函 数 f1 ( x) ? x , f 2 ( x) ? 2( x ? x ), f 3 ( x) ?

1 i | sin 2?x | , ai ? , i ? 0,1,2,? ,99 , 记 3 99
)

I k ?| f k (a1 ) ? f k (a0 ) | ? | f k (a2 ) ? f k (a1 ) | ??? | f k (a99 ) ? f k (a98 ) | , k ? 1,2,3. 则(
A. I1 ? I 2 ? I 3 B. I 2 ? I1 ? I 3 C. I1 ? I 3 ? I 2 D. I 3 ? I 2 ? I1

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.若某程序框图如图所示,当输入 50 时,则该程序运算后输出的结果是________.

12.随机变量 ? 的取值为 0,1,2,若 P ?? ? 0 ? ?

1 , E ?? ? ? 1,则 D ?? ? ? ________. 5

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 13.当实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 时, 1 ? ax ? y ? 4 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. ? x ? 1, ?
14.在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人,每人 2 张,不 同的获奖情况有_____种(用数字作答). 15.设函数 f ? x ? ? ?
2 ? ? x ? x, x ? 0 若 f ? f ?a ?? ? 2 ,则实数 a 的取值范围是______ 2 ? ? x , x ? 0 ?

x2 y2 15.设直线 x ? 3 y ? m ? 0(m ? 0) 与双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )两条渐近线分别交于点 A, B ,若 a b
点 P ( m,0) 满足 PA ? PB ,则该双曲线的离心率是__________ 17、如图,某人在垂直于水平地面 某目标点 沿墙面的射击线 大小.若 平面 ABC 所成角) 的墙面前的点 处进行射击训练.已知点 到墙面的距离为 ,

移动,此人为了准确瞄准目标点 ,需计算由点 观察点 的仰角 的 则 的最大值 。 (仰角 为直线 AP 与

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本题满分 14 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 a ? b, c ? 3 ,

cos2 A - cos2 B ? 3 sin A cos A - 3 sin B cos B.
(I)求角 C 的大小; (II)若 sin A ?

4 ,求 ?ABC 的面积. 5

19(本题满分14分)已知数列 ?an ?和 ?bn ?满足 a1a2 ? an ?

? 2 ? ?n ? N ? .若 ?a ?为等比数列,且
bn ?

n

a1 ? 2, b3 ? 6 ? b2 .
(1)求 an 与 bn ; (2)设 cn ? (i)求 Sn ; (ii)求正整数 k ,使得对任意 n ? N ,均有 S k ? S n .
?

1 1 ? n ? N ? 。记数列 ?cn ?的前 n 项和为 Sn . an bn

?

?

20.(本题满分 15 分)如图,在四棱锥 A ? BCDE 中,平面 ABC ? 平面

BCDE, ?CDE ? ?BED ? 900 , AB ? CD ? 2, DE ? BE ? 1, AC ? 2 .
(1)证明: DE ? 平面 ACD ; (2)求二面角 B ? AD ? E 的大小

x2 y2 21.(本题满分15分)如图,设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0?, 动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P , a b
且点 P 在第一象限. (1)已知直线 l 的斜率为 k ,用 a, b, k 表示点 P 的坐标; (2) 若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a ? b .

22.(本题满分 14 分)已知函数 f ?x? ? x ? 3 x ? a (a ? R).
3

(1) 若 f ?x ? 在 ?? 1,1? 上的最大值和最小值分别记为 M (a), m(a) ,求 M (a) ? m(a) ; (2) 设 b ? R, 若 ? f ?x ? ? b? ? 4 对 x ? ?? 1,1?恒成立,求 3a ? b 的取值范围.
2

参 考 答 案
一、 选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 1.B 6. C 2.A 7.D 3.D 8.D 4.C 9. A 5.C 10.B

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。 11. 6 12.

2 5

13. ?1, ? 2

? 3? ? ? 5 3 9

14. 60

15. ( ??, 2

16.

5 2

17.

三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等 基础知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分。 (I)由题意得,

1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B 3 3 ? ? sin 2 A ? sin 2 B , 2 2 2 2



3 1 3 1 sin 2 A ? cos 2 A ? sin 2 B ? cos 2 B , 2 2 2 2

sin(2 A ? ) ? sin(2 B ? ) ,由 a ? b 得, A ? B ,又 A ? B ? ? 0, ? ? ,得 2 A ? ? 2 B ? ? ? , 6 6 6 6
即 A? B ?

?

?

?

?

? 2? ,所以 C ? ; 3 3
4 8 a c ? , 得a ? , 5 sin A sin C 5

(II)由 c ? 3 , sin A ?

由 a ? c ,得 A ? C ,从而 cos A ?

3 ,故 5

sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C ?
所以 ?ABC 的面积为 S ?

4?3 3 , 10

1 8 3 ? 18 ac sin B ? . 2 25

19. 本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、求和公式、不等式性质等基础知识,同时 考查运算求解能力。满分 14 分。 (I)由题意, a1a2 ? an ?

? 2 ? ?n ? N ? , b ? b
bn ?

3

2

? 6 ,知 a3 ?

? 2?

b3 ?b2

? 8,

又由 a1 ? 2 ,得公比 q ? 2 ( q ? ?2 舍去) ,所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n (n ? N ? ) ,

所以 a1a2 a3 ? an ? 2

n? n ?1? 2

?

? 2?

n ? n ?1?

,故数列 ?bn ? 的通项公式为, bn ? n ? n ? 1? (n ? N ? ) ;

(II) (i)由(I)知, cn ?

1 1 1 1 1 ?1 1 ? ? ? ? ? n ?? ? ? (n ? N ) ,所以 Sn ? n ? 1 ? 2n (n ? N ) ; an bn 2 ? n n ? 1 ?

(ii)因为 c1 ? 0, c2 ? 0, c3 ? 0, c4 ? 0 ;当 n ? 5 时, cn ?

? n ? n ? 1? ? 1 ? 1? ,而 ? n ? n ? 1? ? 2n ?

n ? n ? 1? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? n ? 1?? n ? 2 ? n ? n ? 1? 5 5 1 ? ? ? ? ? 0, ? 得 n n ?1 n ?1 n 5 2 2 2 2 2
? 综上对任意 n ? N 恒有 S4 ? Sn ,故 k ? 4 .

? ? 1 ,所以当 n ? 5 时,

cn ? 0 ,

20.本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想 象能力、推理论证和运算求解能力。满分15分。 (I)在直角梯形 BCDE 中,由 DE ? BE ? 1 , CD ? 2 得, BD ? BC ?

2,

B 由 AC ? 2, AB ? 2 , 则A

2

? A C

2

B C?

2

C ? B C , 即A

, 又平面 ABC ? 平面 BCDE , 从而 AC ?

平面 BCDE ,所以 AC ? DE ,又 DE ? DC ,从而 DE ? 平面 ACD ; (II)方法一: 作 BF ? AD ,与 AD 交于点 F ,过点 F 作 FG ? DE ,与 AE 交于点 G ,连结 BG ,由(I)知,

DE ? AD ,则 FG ? AD , ,所以 ?BFG 是二面角 B ? AD ? E 的平面角,
2 2 2 在直角梯形 BCDE 中,由 CD ? BD ? BC ,得 BD ? BC ,又平面 ABC ? 平面 BCDE ,得

BD ? 平面 ABC ,从而, BD ? AB ,由于 AC ? 平面 BCDE ,得: AC ? CD ,在 Rt? ACD 中,
由 CD ? 2 , AC ? 2 ,得 AD ? 6 , 在 Rt ? AED 中, DE ? 1 , AD ? 6 ,得 AE ? 7 ,在 Rt ? ABD 中, BD ? 2 , AB ? 2 ,

AD ? 6 ,得 BF ?

2 2 2 3 , AF ? AD ,从而 GF ? , 3 3 3

在 ? ABE,? ABG 中,利用余弦定理分别可得 cos ?BAE ? 在 ? BFG 中,cos ?BFG ? 的大小是

5 7 2 , BG ? , 14 3

? GF 2 ? BF 2 ? BG 2 3 ? , 所以 ?BFG ? , 即二面角 B ? AD ? E 6 2 BF ? GF 2

? . 6

方法二:以 D 为原点,分别以射线 DE , DC 为 x , y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所 示, 由题意可知各点坐标如下:D ? 0, 0, 0 ? , E ?1, 0, 0 ? , C ? 0, 2, 0 ? , A 0, 2, 2 , B ?1,1, 0 ? , 设平面 ADE 的法向量为 m ? ? x1 , y1 , z1 ? ,平面 ABD 的法向量为 n ? ? x2 , y2 , z2 ? ,可算得 AD ? 0, ?2, ? 2 ,

?

?

??

?

????

?

?

?? ???? ??? ? ??? ? ?? ? ? ?m ? AD ? 0 ? 0 ? 2 y1 ? 2 z1 ? 0 DB ? ?1,1, 0 ? , AE ? 1, ?2, ? 2 ,由 ? ?? ??? 得, ? ,可取 m ? 0,1, ? 2 , ? ? ? ? m ? AE ? 0 ? x1 ? 2 y1 ? 2 z1 ? 0 ?? ? ? ???? m? n ? ?? ? ?n ? AD ? 0 ? 0 ? 2 y2 ? 2 z 2 ? 0 3 ? ? 由 ? ? ??? 得, ? ,可取 n ? 1,1, 2 ,于是 cos? m, n? ? ?? ? ? , ? 2 x ? y ? 0 ? m n n ? BD ? 0 ? ? 2 2 ?

?

?

?

?

?

?

由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角 B ? AD ? E 的大小是

? . 6

21. 本题主要考查椭圆的 几何性质、点到直线距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查 解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力。满分15分。

? y ? kx ? m ? (I)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ? k ? 0? ,由 ? x 2 y 2 ,消去 y 得, ? 2 ? 2 ?1 ?a b

?b

2

? a 2 k 2 ? x 2 ? 2a 2 kmx ? a 2 m 2 ? a 2b 2 ? 0 ,

2 2 2 2 由于直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P ,故 ? ? 0 ,即 b ? m ? a k ? 0 ,

解得点 P 的坐标为 ? ?

?

a 2 km b2m ? , , 2 2 2 2 2 2 ? ? b ?a k b ?a k ?

由点 P 在第一象限,故点 P 的坐标为 ? ?

? ?

a2k b2 ? a 2 k 2

,

? ?; b2 ? a 2 k 2 ? b2

(II)由于直线 l1 过原点 O ,且与 l 垂直,故直线 l1 的方程为 x ? ky ? 0 ,所以点 P 到直线 l1 的距离

? d?

a2k b2 ? a 2 k 2

?
2

b2 b2 ? a 2 k 2


1? k

整理得 d ?

a 2 ? b2 b2 b2 ? a 2 ? a 2 k 2 ? 2 k
b2 ? 2ab ,所以 k2
b 时等号成立, a



因为 a k ?
2 2

a 2 ? b2 b2 b2 ? a 2 ? a 2 k 2 ? 2 k

?

a 2 ? b2 b2 ? a 2 ? 2ab

? a ?b ,

当且仅当 k ?
2

所以点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a ? b . 22.本题主要考查函数最大(最小)值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识,同时考查推 理论证、分类讨论、分析问题和解决问题等综合解题能力。满分 14 分。 (I)因为 f ? x ? ? ? 由于 ?1 ? x ? 1 ,
3 (i)当 a ? ?1 时,有 x ? a ,故 f ? x ? ? x ? 3x ? 3a ,

? x3 ? 3x ? 3a,( x ? a)
3 ? x ? 3x ? 3a,( x ? a)

,所以 f ' ? x ? ? ?

?3x 2 ? 3, ( x ? a)
2 ?3x ? 3, ( x ? a)



此时 f ?x ? 在 ? ?1,1? 上是增函数,因此 M ? a ? ? f ?1? ? 4 ? 3a , m ? a ? ? f ? ?1? ? ?4 ? 3a ,

M ? a ? ? m ? a ? ? 4 ? 3a ? ? ?4 ? 3a ? ? 8
(ii)当 ?1 ? a ? 1 时, 若 x ? ? a,1? , f ? x ? ? x ? 3x ? 3a ,在 ? a,1? 上是增函数,
3

若 x ? ? ?1, a ? , f ? x ? ? x ? 3x ? 3a ,在 ? ?1, a ? 上是减函数,
3

所以 m ? a ? ? max f ? ?1? , f ?1? , m ? a ? ? f ? a ? ? a ,由于 f ?1? ? f ? ?1? ? ?6a ? 2 ,
3

?

?

因此,当 ?1 ? a ?

1 1 3 时, M ? a ? ? m ? a ? ? ?a ? 3a ? 4 ,当 ? a ? 1 时, 3 3

M ? a ? ? m ? a ? ? ?a3 ? 3a ? 2 ,
3 (iii)当 a ? 1 时,有 x ? a ,故 f ? x ? ? x ? 3x ? 3a ,此时 f ?x ? 在 ? ?1,1? 上是减函数,因此

M ? a ? ? f ? ?1? ? 2 ? 3a ,m ? a ? ? f ?1? ? ?2 ? 3a ,故 M ?a ? ?m a a? ? 2? 3 a ? ? ? ? 2? 3 ? 4 ,综上

8, ? a ? ?1? ? ? ??a 3 ? 3a ? 4, ? ?1 ? a ? 1 ? ? ? ? 3? ? ? M ?a? ? m?a? ? ? ; ? ?a 3 ? 3a ? 2, ? 1 ? a ? 1? ? ? ? ?3 ? ? 4, ? a ? 1? ? ?
(II)令 h ? x ? ? f ? x ? ? b ,则 h ? x ? ? ?
2

? x3 ? 3x ? 3a ? b, ( x ? a)
3 ? x ? 3x ? 3a ? b, ( x ? a)

, h '? x? ? ?

?3x 2 ? 3, ( x ? a)
2 ?3x ? 3, ( x ? a)



因为 ? ? f ? x ? ? b? ? ? 4 ,对 x ? ?? 1,1?恒成立,即 ?2 ? h ? x ? ? 2 对 x ? ?? 1,1?恒成立, 所以由(I)知, (i)当 a ? ?1 时, h ? x ? 在 ? ?1,1? 上是增函数, h ? x ? 在 ?? 1,1? 上的最大值是 h ?1? ? 4 ? 3a ? b ,最小 值是 h ? ?1? ? ?4 ? 3a ? b ,则 ?4 ? 3a ? b ? ?2 ,且 4 ? 3a ? b ? 2 ,矛盾; (ii)当 ?1 ? a ?
3

1 3 时, h ? x ? 在 ?? 1,1? 上的最大值是 h ?1? ? 4 ? 3a ? b ,最小值是 h ? a ? ? a ? b ,所 3
3

以 a ? b ? ?2 , 4 ? 3a ? b ? 2 ,从而 ?2 ? a ? 3a ? 3a ? b ? 6a ? 2 且 0 ? a ?

1 ,令 3

? 1? t ? a ? ? ?2 ? a3 ? 3a ,则 t ' ? a ? ? 3 ? 3a2 ? 0 , t ? a ? 在 ? 0, ? 上是增函数,故 t ? a ? ? t ? 0? ? ?2 ,因 ? 3?
此 ?2 ? 3a ? b ? 0 , (iii)当
3

1 ? a ? 1 时, h ? x ? 在 ?? 1,1? 上的最大值是 h ? ?1? ? 3a ? b ? 2 ,最小值是 h ? a ? ? a3 ? b , 3

所以 a ? b ? ?2 , 3a ? b ? 2 ? 2 ,解得 ?

28 ? 3a ? b ? 0 , 27

(iv)当 a ? 1 时, h ? x ? 在 ?? 1,1? 上的最大值是 h ? ?1? ? 3a ? b ? 2 ,最小值是 h ?1? ? ?2 ? 3a ? b , 所以 3a ? b ? 2 ? 2 , ?2 ? 3a ? b ? ?2 ,解得 3a ? b ? 0 ,综上 3a ? b 的取值范围 ?2 ? 3a ? b ? 0 .



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