陕西省西安五大名校2011届高三一模(数学理)

长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学

高 2011 届第一次模拟考试

数学（理）试题
命题学校：师大附中 审题学校：交大附中 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.
1．已知集合 A ? {x | x | ? 2, x ? R } , B ? {x | (A) (0,2) 2．已知复数 z ? (B) [0,2]

x ? 2, x ?Z }

,则 A ? B ?

(C){ 0,2}

(D) {0,1,2}

1 ? 3i ， z 是 z 的共轭复数，则 z 的模等于 3 ?i
4
(B) 2 (C)1 (D)

(A)

1 4

3． a ? ?2 ”是“函数 f ( x) ? ax ? 3 在区间 [?1, 2] 上存在零点 x0 ”的 “ (A)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要非充分条件 (D)既非充分也非必要条件

4．设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a3 ? a7 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时,

n 等于
(A) 8 (B)7 (C) 6 (D) 9

5．如果执行右面的框图，输入 N=6，则输出的数等于 (A)

6 5

5 6 7 (C) 6
(B) (D)

6 7

x 6 ． 设 偶 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x ) ? 2 ? 4 (x ? 0 ） 则 ，

?x f ? x ? 2? ? 0? =
(A)

?x x ? ?2或x ? 4? ? ?

(B) x x ? 0或x ? 4

(C) x x ? 0或x ? 6 (D)

?

?
? ?
2 ? 2

? x x ? ?2或x ? 2?
4 ， ? 是第三象限的角，则 5
1 2
(C)

7．若 cos ? ? ?

1 ? tan 1 ? tan
1 2

(A) 2

(B)

?2

(D) ?

8． 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶 点都在一个球面上，则该球的表面积为

16 ? 3 19 ? (C) 12
(A)

9．已知“整数对”按如下规律排成一列：?1 , 1? ，?1 , 2 ? ， ? 2 , 1? ，?1 , 3? ，? 2 , 2? ，? 3 , 1? ，

19 ? 3 4 ? (D) 3
(B)

?1 , 4 ? ， ? 2 , 3? ， ?3 , 2? ， ? 4 , 1? ，??，则第 60 个数对是 (A) ? 7 , 5? (B) ? 5 , 7 ? (C) ? 2 , 10 ?

(D) ?10 , 1?
l

10．已知双曲线 E 的中心为原点， P(3, 0) 是 E 的焦点，过 F 的直线 两点，且 AB 的中点为 N (?12, ?15) ,则 E 的方程式为

与 E 相交于 A，B

(A)

x2 y 2 ? ?1 3 6

(B)

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 6 3 4 5 5 4

二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11．已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 7 ? 0 相切，则 p 的值 为 ．

? x 2 x ? [0,1] e ? 12． 设 f ( x) ? ? 1 （ e 为自然对数的底数） ，则 ? f ( x)dx 的值为_____ ____. 0 ? x x ? (1, e] ?
13．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问 题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8 ，且每个问题 的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 . 14．若 (2x ? 3) _____ ____.
5

? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? a5 x5 ，则 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ? 5a5 等于

15． （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A． （不等式选讲选做题）如果存在实数 x 使不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? k 成立，则实数 k 的取值 范围是_________． B． （几何证明选讲选做题）如图，圆 O 是 ?ABC 的外接 圆 ， 过 点 C 的 切 线 交 AB 的 延 长 线 于 点 D ，
CD ? 2 7, AB ? BC ? 3 ，则 AC 的长为
C D O B A

．

C． （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ） （ 0 ? ? ＜2? ）中，曲线 ? ? 2sin ? 与 ? cos ? ? ?1 的交点的极坐标为______________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，满分 75 分）.
16.（本小题满分 12 分） 已知数列 {an } 满足： S n ? 1 ? an (n ? N * ) ，其中 S n 为数列 {an } 的前 n 项和. （Ⅰ）试求 {an } 的通项公式； （Ⅱ）若数列 {bn } 满足： bn ?

n (n ? N * ) ，试求 {bn } 的前 n 项和公式 Tn . an

17． (本小题满分 12 分) 已知向量 a =( cos ? x,sin ? x )， b =( cos?x , 3 cos?x )，其中 ( 0 ? ? ? 2 ).函数，

?

?

f ( x) ? a ? b ?

1 ? 其图象的一条对称轴为 x ? ． 2 6

(I)求函数 f ( x ) 的表达式及单调递增区间； (Ⅱ)在△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，S 为其面积，若 f ( ) =1，b=l， S△ABC= 3 ，求 a 的值． 18.（本小题满分 12 分） 某食品厂为了检查一条自动包装 流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作为 样本称出它们的重量（单位：克） ，重量的分组区间为 （490,495]， （495,500]，……， （510,515]，由此得到样本的 频率分布直方图，如图 4 所示. （Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过 500 克的产品数 量; （Ⅱ）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量 超过 505 克的产品数量， 求 Y 的分布列及数学期望.

A 2

19.(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA ? 底面 ABCD, ? DAB 为直角，AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F 分别为 PC、 CD 的中点． （Ⅰ）试证：AB ? 平面 BEF； （Ⅱ）设 PA＝k· AB，若平面 EBD 与平面 BDC 的夹角大于 45 ? ，求 k 的取值范围．

20． （本小题满分 13 分）已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ，以原点为圆心， 2 2 a b

椭圆的短半轴为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 P (4 , 0) ， A ，B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E ，证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ．

21． （本小题满分 14 分）已知函数 f ( x) ? x ，函数 g ( x) ? ?f ( x) ? sin x 是区间[-1，1]上的 减函数. （I）求 ? 的最大值； （II）若 g ( x) ? t ? ?t ? 1在x ? [?1,1]上恒成立，求 t 的取值范围；
2

（Ⅲ）讨论关于 x 的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数． f ( x)

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高 2011 届第一次模拟考试

数学（理）答案
A．选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分,满分 50 分，在每小题给出的四个选项 中只有一项是正确的． ） 题号 答案 1 2 C 3 A 4 C 5 D 6 B 7 C 8 B 9 B 10 C

D

二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 4 11． 2 12． 13．0．128 3 3? 3 7 15．.A. k ? ?3 B. C. ( 2, ) 2 4
三、解答题： （本大题共 6 小题，共 75 分） 16.（本小题满分 12 分）解： （Ⅰ）? S n ? 1 ? an ①

14． 10

? S n?1 ? 1 ? an?1
②-①得 an?1 ? ?an?1 ? an

②

? a n ?1 ?
1 2

1 a n , (n ? N * ) 2

又 n ? 1 时， a1 ? 1 ? a1 ? a1 ?

? an ?

1 1 n ?1 1 ? ( ) ? ( ) n , (n ? N * ) ????????6 分 2 2 2

（Ⅱ） bn ?

n ? n ? 2 n , (n ? N * ) an
③

?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n

? 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? n ? 2n?1 ④
? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n ?1
③-④得

?

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 1? 2
n?1

整理得： Tn ? (n ? 1)2

? 2, n ? N * ????12 分-

由余弦定理得 a ? 4 ? 1 ? 2 ? 4 ?1cos 60? ? 13 ，??11 分
2 2 2

故 a ? 13 ???????????????????12 分 18.（本小题满分 12 分）解： （I）重量超过 505 克的产品数量是

40 ? (0.07 ? 5 ? 0.05 ? 5 ? 0.01? 5) ? 26 件；????4 分
（Ⅱ）Y 的所有可能取值为 0，1，2；重量超过 505 克的产品数量是

40 ? (0.05 ? 5 ? 0.01? 5) ? 12 件, 重量未超过 505 克的产品数量是 28 件.
2 C28 63 C1 C1 C2 56 11 ， P(Y ? 1) ? 12 2 28 ? ， P(Y ? 1) ? 12 ? ，??8 分 P(Y ? 0) ? 2 ? 2 C40 130 C40 130 C40 130

Y 的分布列为

Y

0
63 130

1

2

P
????10 分 Y 的期望为 EY ? 0 ?

56 130

11 130

63 56 11 39 ? 1? ? 2? ? 130 130 130 65

????12 分

19.(本小题满分 12 分) （Ⅰ ）证：由已知 DF∥ 且 ? DAB 为直角，故 ABFD 是矩形， AB 从而 AB ? BF． 又 PA ? 底面 ABCD, 所以平面 PAD ? 平面 ABCD ， 因为 AB ? AD，故 AB ? 平面 PAD ,所以 AB ? PD ， 在 ?PDC 内，E、F 分别是 PC、CD 的中点， EF // PD ，所以 AB ? EF ． 由此得 AB ? 平面 BEF ． ????6 分 （Ⅱ ）以 A 为原点，以 AB、AD、AP 为 OX 、OY 、OZ 正向建立空间直角坐标系， 设 AB 的长为 1，则 BD ? (?1,2,0), BE ? (0,1, ), 设平面 CDB 的法向量为 n1 ? (0,0,1) ，平面 EDB 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) ， 则?

k 2

? ?n2 ? BD ? 0 ? ?n2 ? BE ? 0

?? x ? 2 y ? 0 2 ? ，取 y ? 1 ，可得 n 2 ? ( 2,1,? ) kz ?? k ? y? 2 ?0 ? 设二面角 E?BD?C 的大小为 ? ，
则 cos? ?| cos ? n1 , n2 ?|?

| n1 ? n 2 | | n1 | ? | n2 |

?

2 k 22 ? 1 ? 4 k2

?

2 2

化简得 k ?
2

4 2 5 ，则 k ? .????12 分 5 5

20． （本小题满分 13 分） 解（Ⅰ）由题意知 e ?

c 1 4 c 2 a 2 ? b2 1 ? ，所以 e2 ? 2 ? ? ．即 a2 ? b2 ． 2 a 2 3 a a 4 6 ? 3 ，所以 a 2 ? 4 ， b 2 ? 3 ． 又因为 b ? 1?1 x2 y 2 故椭圆 C 的方程为 ? ? 1 ．????4 分 4 3 （Ⅱ）由题意知直线 PB 的斜率存在，设直线 PB 的方程为 y ? k ( x ? 4) ．?5 分
? y ? k ( x ? 4), ? 由 ? x2 y 2 得 (4k 2 ? 3) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 ． ? ? 1. ? 3 ?4

①????6 分

设点 B( x1 , y1 ) ， E( x2 , y2 ) ，则 A( x1 , ? y1 ) ． 直线 AE 的方程为 y ? y2 ? 令 y ? 0 ，得 x ? x2 ?
y2 ? y1 ( x ? x2 ) ． x2 ? x1

y2 ( x2 ? x1 ) ． y2 ? y1 2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ．② x1 ? x2 ? 8

将 y1 ? k ( x1 ? 4) ， y2 ? k ( x2 ? 4) 代入整理，得 x ? ????10 分

32k 2 64k 2 ? 12 ， x1 x2 ? 代入②整理，得 x ? 1 ． 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q (1, 0) ????13 分
由①得 x1 ? x2 ? 21． （本小题满分 14 分）解： （I） f ( x) ? x,? g ( x) ? ?x ? sin x ，

? g ( x)在[?1,1] 上单调递减，
? g ' ( x) ? ? ? cos x ? 0
? ? ? ? cos x 在[-1，1]上恒成立，? ? ? ?1 ，故 ? 的最大值为 ? 1 . ??4 分
（II）由题意 [ g ( x)]max ? g (?1) ? ?? ? sin 1,

?只需 ? ? ? sin 1 ? t 2 ? ?t ? 1,
，恒成立， ? (t ? 1)? ? t 2 ? sin ? 1 ? 0 （其中 ? ? ?1 ） 令 h(? ) ? (t ? 1)? ? t 2 ? sin 1 ? 1 ? 0(? ? ?1) ， 则?

?t ? 1 ? 0
2 ??t ? 1 ? t ? sin1 ? 1 ? 0

，

?t ? ?1 ?? 2 , 而t 2 ? t ? sin 1 ? 0 恒成立， ?t ? t ? sin 1 ? 0
?t ? ?1
（Ⅲ）由 ????9 分

ln x ln x ? ? x 2 ? 2ex ? m. f ( x) x

ln x , f 2 ( x) ? x 2 ? 2ex ? m, x 1 ? ln x ? f1' ( x) ? , x2
令 f1 ( x) ? 当 x ? (0, e)时, f1' ( x) ? 0,

? f1 ( x)在?0, e? 上为增函数；
当 x ? ?e,??? 时， f1 ( x) ? 0,
'

? f1 ( x)在?e,??? 为减函数；
当 x ? e时, [ f 1 ( x)] max ? f 1 (e) ? 而 f 2 ( x) ? ( x ? e) ? m ? e ,
2 2

1 , e

1 1 ?当m ? e 2 ? ,即m ? e 2 ? 时, 方程无解； e e 1 1 2 2 当 m ? e ? , 即m ? e ? 时，方程有一个根； e e 1 1 2 2 当 m ? e ? 时, m ? e ? 时，方程有两个根. e e

????14 分