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高中数学新人教A版必修5教案 2.5 等比数列的前n项和2


2.5 教学过程 推进新课 [合作探究] 等比数列的前 n 项和 师 在对一般形式推导之前,我们先思考一个特殊的简单情形:1+q+q +…+q =? 师 这个式子更突出表现了等比数列的特征,请同学们注意观察 生 观察、独立思考、合作交流、自主探究 师 若将上式左边的每一项乘以公比 q,就出现了什么样的结果呢? 生 q+q +…+q +q 2 2 n n n+1 生 每一项就成了它后面相邻的一项 师 对上面的问题的解决有什么帮助吗? 师 生共同探索: 如果记 Sn=1+q+q +…+q 那么 qSn=q+q +…+q +q 2 2 n n n+1 要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=1-q 师 提问学生如何处理,适时提醒学生注意 q 的取值 生 如果 q≠1,则有 S ? n 1? qn 1? q 师 当然,我们还要考虑一下如果 q=1 问题是什么样的结果 生 如果 q=1,那么 Sn=n 师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形,那么,对于等比数列的一般情形我们怎样思考? 课件展示: a1+a2+a3+…+an=? [教师精讲] 师 在上面的特殊简单情形解决过程中,蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法,那就是 “错位相减,消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法 师 在解决等比数列的一般情形时,我们还可以使用“错位相减法 如果记 Sn=a1+a2+a3+…+an 那么 qSn=a1q+a2q+a3q+…+an 要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-an -1- 师 再次提醒学生注意 q 的取值 如果 q≠1,则有 S n ? a1 ? an q 1? q 师 上述过程如果我们略加变化一下,还可以得到如下的过程: 如果记 Sn=a1+a1q+a1q +…+a1q 2 2 n-1 那么 qSn=a1q+a1q +…+a1q +a1q n-1 n 要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-a1q 如果 q≠1,则有 S n ? n a1 (1 ? q n ) 1? q 师 上述推导过程,只是形式上的不同,其本质没有什么差别,都是用的“错位相减法”. 形式上,前一个出现的是等比数列的五个基本量:a1,q,an,Sn,n 中 a1,q,an,Sn 四个;后者出现 的是 a1,q,Sn,n 四个,这将为我们今后运用公式求等比数列的前 n 项的和提供了选择的余地. 值得重视的是:上述结论都是在“如果 q≠1”的前提下得到的.言下之意,就是只有当等比数 列的公比 q≠1 时,我们才能用上述公式 师 现在请同学们想一想,对于等比数列的一般情形,如果 q=1 问题是什么样的结果呢? 生 独立思考、合作交流 生 如果 q=1,Sn=na1 师 完全正确 如果 q=1,那么 Sn=nan 正确吗?怎么解释? 生 正确.q=1 时,等比数列的各项相等,它的前 n 项的和等于它的任一项的 n 倍 师 对了,这就是认清了问题的本质 师 等比数列的前 n 项和公式的推导还有其他的方法,下面我们一起再来探讨一下: [合作探究] 思路一:根据等比数列的定义,我们有: a a2 a3 a4 ? ? ? ... ? n ? q a1 a2 a3 an?1 再由合比定理,则得 a2 ? a3 ? a4 ? ... ? an ?q a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an?1 即 S n ? a1 ?q S n ? an 从而就有(1-q)Sn=

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