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甘肃省张掖市高二数学上学期期末联考试卷文(含解析)

张掖市 2018—2019 学年第一学期期末高二年级学业水平质量检测数

学(文科)试卷

一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.抛物线

的焦点坐标为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】 将抛物线的方程化为标准形式后可得焦点坐标.

【详解】由题意得抛物线的标准方程为



∴焦点在 轴的负半轴上,且 ,

∴,

∴抛物线

的焦点坐标为



故选 B. 【点睛】本题考查抛物线的基本性质,解题的关键是把曲线方程化为标准形式,然后得到相 关参数,进而得到所求,属于基础题.∷∷∷∵∵∵

2.若 ,则 是方程

表示椭圆的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】

求出方程

表示椭圆时 k 的范围,然后根据充分必要条件的定义进行判断.

【详解】若方程

表示椭圆,则

解得 k>3,

故 是方程 故选:C.

表示椭圆的充要条件,

1

【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查充分必要条件的判断,属于基础题. 3.下列说法正确的是( ) A. 命题“若 ,则 ”的否命题是“若 ,则 ”

B. “

”是“

”的必要不充分条件

C. 命题“若 ,则

”的逆否命题是真命题

D. “

”是“ ”的充分不必要条件

【答案】C 【解析】

试题分析:对 A,若 ,则 ”的否命题是“若

,则

”;对 B,当

时,

成立,但

时,



,所以应为充分不必要条件;

对 D,

,则

,反之,若 则

所以选 C.∷∷∷∵∵∵ 考点:1.充分必要条件的判定;2.四种命题.

,所以为必要不充分条件,

4.已知 , 满足约束条件

,则

的最小值为( )

A.

B. 1 C.

D. 2

【答案】A 【解析】 分析:由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得 答案.

详解:由变量 x,y 满足约束条件

,作出可行域如图,

2

化目标函数 z=2x+y 为 y=﹣2x+z, 由图可知,当直线 y=﹣2x+z 过 A( ,﹣ )时直线在 y 轴上的截距最小,z 最小,为 2× ﹣

= .∷∷∷∵∵∵

故选:A.

点睛:本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形

结合思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要

注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数

的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.∷∷∷∵∵∵

5.在 上定义运算 :

,则满足

的实数 的取值范围( )

A.

B.

C.

D.

∷∷∷∵∵ ∵

【答案】B

【解析】

试题分析:由定义运算⊙可知不等式 x⊙(x-2)<0 为

,解不等式得

解集为(-2,1)∷∷∷∵∵∵

考点:一元二次不等式解法

【此处有视频,请去附件查看】

6.已知函数

,则

的值为(

)∷∷∷∵∵∵

A. 10 B. -10 【答案】C 【解析】

C. -20

D. 20

3

【分析】 根据导数的定义,计算函数 f(x)在 x=1 处的导数即可. 【详解】函数 f(x)=2lnx+8x+1,所以 f′(x)= +8;

所以

∷∷∷∵ ∵∵

=-2

=-2f′(1)

=-2×(2+8)

=-20.

故选:C.

【点睛】本题考查导数的定义及其应用,是基础题.

7.在

中,角 , , 所对应的边分别是, ,,若

,则三角形一定是( )

A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据正弦定理化为角的关系,再根据诱导公式以及两角和与差关系化简得角的关系,进而

确定三角形的形状.

【详解】因为

所以

,

即三角形一定是等腰三角形,选 C.∷∷∷∵∵∵

【点睛】判断三角形形状的方法

①化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.

②化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用

这个结论.∷∷∷∵∵∵

8.已知等比数列 中,

,数列 是等差数列,且

,则



)∷∷∷∵∵∵

A. 2 B. 4 【答案】D 【解析】 【分析】

C. 16

D. 8

4

利用等比数列性质求出 a7,然后利用等差数列的性质求解即可. 【详解】等比数列{an}中,a3a11=4a7,
可得 a72=4a7,解得 a7=4,且 b7=a7, ∴b7=4, 数列{bn}是等差数列,则 b5+b9=2b7=8. 故选:D. 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用,考查计算能 力.

9.曲线

在 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】 【分析】 先对函数求导,求在 x=1 处的导数值即为切线斜率,从而写出切线方程,然后求出切线方 程与两坐标轴的交点可得三角形面积.∷∷∷∵∵∵ 【详解】∵y=ex+1,∴y'=ex,∴f'(1)=e,f(1)=1+e,
在点(1,1+e)处的切线方程为:y﹣1﹣e=e(x﹣1),即 y=ex+1,

与坐标轴的交点为:(0,1),(﹣ ,0),

S=



故选:A. 【点睛】本题考查导数的几何意义,即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率, 考查函数在某点处的切线方程的求法,属基础题.∷∷∷∵∵∵

10.已知 , 是椭圆 :

的左、右焦点,点 在椭圆 上, 与 轴垂直,

,则椭圆 的离心率为( )∷∷∷∵∵∵

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】

5

【分析】

在直角

中,由

率.∷∷∷∵∵∵

【详解】由已知

又在椭圆中

,

得到 a,b,c 的等量关系,结合

计算即可得到离心

,得

,则

,

,



,



,

解得 e= , 故选:A

【点睛】本题考查椭圆简单的几何性质,考查椭圆离心率的求法,属于基础

题.

11.已知双曲线 :

的顶点到其一条渐近线的距离为 1,焦点到其一条渐

近线的距离为 ,则其一条渐近线的倾斜角为( )∷∷∷∵∵∵

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

画出图形,由图形找到 a,b,c 的等量关系,然后得到渐近线的斜率,从而得到倾斜角.

【详解】由已知可设双曲线的顶点 A 到渐近线 x 的距离|AB|=1,

焦点 到渐近线的距离|



由 AB// 得

,



设渐近线倾斜角为,则 tan 所以

6

故选:B

【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,关键是构造 a,b,c 的等量关

系,属于基础题.

12.设 , 分别是定义在 上的奇函数和偶函数, , 为其导函数,当 时,



,则不等式

的解集是(

)∷∷∷∵∵∵

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据 f’(x)g(x)+f(x)g’(x)>0 可确定[f(x)g(x)]'>0,进而可得到 f(x)

g(x)在 x<0 时递增,结合函数 f(x)与 g(x)的奇偶性可确定 f(x)g(x)在 x>0 时

也是增函数,最后根据 g(﹣3)=0 可求得答案.∷∷∷∵∵∵

【详解】设 F(x)=f (x)g(x),当 x<0 时,

∵F′(x)=f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0.

∴F(x)在当 x<0 时为增函数.

∵F(﹣x)=f (﹣x)g (﹣x)=﹣f (x)?g (x)=﹣F(x).

故 F(x)为(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.

∴F(x)在(0,+∞)上亦为增函数.

已知 g(﹣3)=0,必有 F(﹣3)=F(3)=0.

构造如图的 F(x)的图象,可知

F(x)<0 的解集为 x∈(﹣∞,﹣3)∪(0,3).

故选:D.

【点睛】本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导

函数正负之间的关系.导数是一个新内容,也是高考的热点问题,要多注意复习.∷∷∷∵∵∵
7

二、填空题。

第Ⅱ卷(非选择题)

13.在

中,





的外接圆半径为 ,则 ___

【答案】3 【解析】 【分析】 利用已知条件和三角形面积公式求出 sinA,再利用正弦定理,即可求出 a 值. 【详解】∵△ABC 中,bc=20,S△ABC= ,
∴ bcsinA= ,即 sinA= ,

∵△ABC 的外接圆半径 R= ,

∴由正弦定理 =2R,得 a=2RsinA=2 × =3.

故答案为:3. 【点睛】本题考查正弦定理,以及三角形的面积公式的应用,熟练掌握正弦定理是解本 题的关键.

14.若数列{an}的前 n 项和为 Sn= an+ ,则数列{an}的通项公式是 an=______.

【答案】



【解析】

试题分析:解:当 n=1 时,a1=S1= a1+ ,解得 a1=1,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(

)-(



= - 整理可得 an=? an?1,即 =-2,故数列{an}是以 1 为首项,-2 为公比的等比数列,



an=1×(-2)n-1=(-2)n-1

故答案为:(-2) . n-1

∷∷∷∵∵∵

考点:等比数列的通项公式.

【此处有视频,请去附件查看】

15.已知 , ,且

,若

【答案】(-4,2) 【解析】

恒成立,则实数 的取值范围是____.∷∷∷∵∵∵

8

试题分析:因为

当且仅当 时取等号,

所以

∷∷∷∵ ∵∵

考点:基本不等式求最值

16.已知双曲线

与抛物线

有 一个公共的焦点 ,且两曲线的一个交

点为 ,若 【答案】 【解析】

,则双曲线方程为 .∷∷∷∵∵∵

设点 P(m,n),依题意得,点 F(2,0),由点 P 在抛物线 y2=8x 上,且 PF=5 得

由此解得 m=3,n2=24.于是有

由此解得 a2=1,b2=3,该双曲线的渐近线方程

为 y=± x=± x.∷∷∷∵∵∵

三、解答题

17.设 :实数 满足

, :实数 满足

.

(1)若 (2)若

,且 为真,求实数 的取值范围; ,且 是 的充分不必要条件,求实数的取值范围.

【答案】(1)2<x<3(2) ≤a≤2

【解析】

试题分析:(1)由

得(x-a)(x-(2a+1))<0,当 a=1 时,代入可

得.由|x-3|<1,得-1<x-3<1,即可得出.利用 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,即可得出; (2)若¬p 是¬q 的充分不必要条件,可得 q 是 p 的充分不必要条件,即可得出∷∷∷∵∵∵ 试题解析:(1)由 x2﹣(3a+1)x+2a2+a<0 得(x﹣a)(x﹣(2a+1))<0 当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3 由|x﹣3|<1,得﹣1<x﹣3<1,得 2<x<4 即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x<4, 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真, ∴实数 x 的取值范围是 2<x<3. (2)若¬p 是¬q 的充分不必要条件,

9

则¬p? ¬q,且¬q?¬p, 设 A={x|¬p},B={x|¬q},则 A?B, 又 A={x|¬p}={x|x≤a 或 x≥2a+1}, B={x|¬q}={x|x≥4 或 x≤2}, 则 0<a≤2,且 2a+1≥4

∴实数 a 的取值范围是 ≤a≤2.

考点:复合命题的真假

18.已知 为公差不为零的等差数列,其中 , , 成等比数列,

.

(1)求数列 的通项公式;

(2)记

,设数列 的前 项和 ,求最小的正整数 ,使得

.∷∷∷∵∵∵

【答案】(1)



(2)

【解析】 【分析】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质,解方程

可得首项和公差,进而得到所求通项公式;(2)

,运用裂项相消求

和法求和,解不等式可得 n 的最小值.∷∷∷∵∵∵

【详解】(1)设等差数列 的公差为 ,依题意有





因为 ,所以解得 , ,

从而 的通项公式为



.

(2)因为



所以



,解得

,故

【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质,以及数列的求和方法:裂项

10

相消求和,考查化简整理的运算能力,属于中档题.∷∷∷∵∵∵

19.在

中,角 , , 所对的边分别为, ,,已知

.

(1)求角 ;

(2)若点 在边 上,且



的面积为 ,求边的长.

【答案】(1) ;(2)

.

【解析】

【试题分析】(1)利用正弦定理,将边转化为角,利用三角形内角和定理可求得





.(2)利用三角形面积公式和余弦定理可求得的值.∷∷∷∵∵∵

【试题解析】 (1)由

及正弦定理可得

,故





,所以

,即

(2)由

及 可得

是正三角形.



的面积为 可得

,即





,在

中,由余弦定理可得





.

20.已知函数

,其中 ,且曲线

在点

处的切线垂直于

.∷∷∷∵∵∵

(1)求的值; (2)求函数 的极值.

【答案】(1) (2)函数 在 时取得极小值

.无极大值

【解析】 【分析】

(1)求导,利用导数几何意义可得 k= ,又切线与 垂直,即

即可得 a 值;

(2)根据导数判断函数的单调性,由单调性即可得到函数极值.∷∷∷∵∵∵

【详解】(1)对 求导得



由 在点

处切线垂直于直线

11





解得 ;

(2)由(1)问知









,解得

或.



不在 的定义域

内,故舍去.



时,

,故 在 内为减函数;



时,

,故 在

内为增函数

由此知函数 在 时取得极小值

.无极大值;

【点睛】本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性和极值问题,属于基础

题.

21.已知椭圆 的对称中心为原点,焦点在 轴上,左、右焦点分别为 和 ,且





在该椭圆上.∷∷∷∵∵∵

(1)求椭圆 的方程;

(2)过 的直线与椭圆 相交于 , 两点,若

的面积为 ,求以 为圆心且与直线

相切的圆的方程.∷∷∷∵∵∵

【答案】(1)

(2)

【解析】

(Ⅰ)设椭圆的方程为

,由题意可得:

椭圆 C 两焦点坐标分别为



. .……………1 分

. .……………3 分



, ……………4 分

故椭圆的方程为

. .……………5 分

(Ⅱ)当直线 轴,计算得到:



12

,不符合题意. .……………6 分

当直线与 轴不垂直时,设直线的方程为:





,消去 y 得

, .……………7 分∷∷∷∵∵∵

显然 成立,设 则

, .……………8 分



∷∷∷∵∵ ∵



, .……………9 分

又圆 的半径

.……………10 分

所以

∷∷∷∵ ∵∵

化简,得





,解得

所以,

, .……………12 分

故圆 的方程为:

. .……………13 分

(Ⅱ)另解:设直线的方程为





,消去 x 得

, 恒成立,



,则

……………8 分∷∷∷∵∵∵

所以

∷∷∷∵∵ ∵

.……………9 分 又圆 的半径为

, .……………10 分

所以

,解得

,∷∷∷∵∵∵

所以

, ……………12 分

13

故圆 的方程为:

. .……………13 分

22.已知函数

.

(1)当 时,求 在区间 上的最值;

(2)讨论函数 的单调性;

(3)当

时,有

恒成立,求的取值范围.

【答案】(Ⅰ) ;

(Ⅱ)见解析;

(Ⅲ)( ﹣1,0)

【解析】 【分析】

(1)求出函数在区间 上的极值和端点值,比较后可得最值;(2)根据的不同取值进行

分类讨论,得到导函数的符号后可得函数的单调性;(3)当

时,求出函数 的最

小值为

,故问题转化为当



恒成立,整理得到

关于的不等式,解不等式可得所求范围.∷∷∷∵∵∵

【详解】(1)当

时,







∴当

时,

单调递减;当

时,

单调递增.

∴当 时,函数取得极小值,也为最小值,且最小值为













所以函数在区间 上的最小值为 ,最大值为 .

(2)由题意得





①当 ∴在

,即

时,

上单调递减.

恒成立,

14

②当 时,

恒成立,

∴在

上单调递增.

③当

时,







,或

(舍去),

∴在

上单调递减,在

上单调递增.

综上可得,当 , 在

上单调递增;



时, 在

上单调递减,在

单调递增;



时, 在

上单调递减.

(3)由(2)可得,当

时,



若不等式

恒成立,则只需







整理得



解得















∴实数的取值范围为



【点睛】(1)涉及含参数的单调性或单调区间的问题,一定要弄清参数对导数在某一区间内 的符号是否有影响.若有影响,则必须分类讨论.∷∷∷∵∵∵ (2)解决关于恒成立问题时,一般转化为求函数最值的问题处理.对于含有多个变量的恒 成立问题,则可采取逐步消去变量的方法求解,此时需要分清谁是主变量谁是次变量,一般 情况下,知道谁的范围谁就是主变量,求谁的范围谁就是参数.∷∷∷∵∵∵

15



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