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1.导数的定义精品文档32页_图文

(一) 、 导数概念
? 1.导数的定义 ? 2.切线问题 ? 3.可导与连续的关系

1.导数的定义 引例1 求y?f(x)在x0的切线的 . 斜率 思路:用割线AB逼近切线AC
割线的极限位置——切线位置 AB
B
AC
A
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y
如图, 设 A (x 0,y 0)B ,(x ,y ). o

y?f(x)

B

CA

y?y0 D

?

?
x0

x?x0

x

x

割线AB的斜率为 tan?? y? y0 ? f(x)? f(x0),

B ? 沿 ? ? ? C 曲 ? A ,线 x? x 0 , x? x0

x?x0

切线AD的斜率为 k?ta?n ?lim f(x)?f(x0). x? x0 x?x0

引 2物 例体s移 ?f(求 动 t)t,? 在 t路 0 时程 的.运 t:t0? t0?? t ? s ? f( t 0 ? ? t )? f( t 0 )

? ?st?f(t0?? ? tt)?f(t0)为物[t体 0,t0?在 ?t]内的平,

lim
?t? 0

? ?

s t

为物体t0时 在的瞬时.速度

定义3.1 设函数y ? f(x)在点x0的某个邻域内有定, 义

给x0一个改变量 ?x, 相应地函数 y的改变量为

?y

?

f(x0

? ?x) ?f(x0);

如果lim?y存在, ?x?0 ?x

则称函数

y ? f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函y 数 ? f(x)

在点x0处的导数, 记

为y?

x?x0

,f

?(x0

),df(x) dx

|x?x0

即 y ?x ? x 0 ? l ? x ? 0 i? ? x y m ? l ? x ? 0 ifm (x 0? ? ? x x )? f(x 0 )

几何意义:

f?(x0)表y示 ?f(x)在 x0处切线 .

物理意义:

s?(x0)表示物 x0处 体的 在瞬. 时

从变化的观点看: f?(x0)表示函 x0处数 的在 变 . 化

def3.2 单侧导数
1.左导数:
f ? ?( x 0 )? ? x l ? 0 i? f m ( x 0 ? ? ? x x ) ? f ( x 0 )? x ? lx i 0 ? f ( m x x ) ? ? f x ( 0 x 0 ) ;
2.右导数:
f ? ?( x 0 )? ? x l ? 0 i? f m ( x 0 ? ? ? x x )? f ( x 0 )? x ? lx i 0 ? f m ( x x )? ? f x ( 0 x 0 ) ;
★ 函数f(x)在点x0处可导?f??(x0)=f??(x0).

★ f(x)在(a,b)可导: ? x 0? (a ,b )f,(x )在 x 0 可导

f(x)在[a,b]可导: (1) f(x 在 ()ab,可 ) ;导 (2f? ?)(a)f,? ?(b)存. 在
f(x)在集 D 内合 可 ,则 f?(x)导 为x的函数, 称为导函数,

记f为 ?(x)y ,?,dy ,d(fx) 即 y??lim f(x?? x)?f(x)

dxdx

? x? 0

? x

或 f?(x)?lifm (x?h )?f(x).

h ? 0

h

注意: 1.f?(x0)?f?(x)x?x0.表f示 ?(x)在 x?x0的函数 区 :f?( x 别 0 ) 与 [ f( x 0 ) ] ?

例1用定义求下列函数的导数

步骤: ( 1 ) 求? y 增 ? f ( x ? ? x 量 ) ? f ( x );

(2 )算比 ? y? f(x 值 ? ? x )? f(x );

? x

? x

(3)求极 y?? 限 lim ? y.

? x? 0? x

(1) y?f(x)?C (C 为常 ) 数

解 f?(x )? li? m y ? lif( m x ? ? x )? f(x )? limC?C?0.

? x ? 0 ? x? x ? 0 ? x

?x?0 ?x

即(C )??0.

(2)f(x)?six,n并求(sinx)? x??. 4

解 (sx i)?n ?lis m ix n ?h ()?sixn

h ? 0

h

h

?

limcos(x
h?0

?

h) ? 2

sin 2
h

? cx o . s

2 即(sx ) i?? n co x . s

?(sixn)? ? ?coxs ? ?

x?

x?

4

4

2. 2

同理 :(c 可 xo )??s ? 得 sixn

(3) y?lnx

解: (lnx)??lim?y? lim lnx(??x)?lnx)(

?x?o?x ?x? 0

?x

ln(1? ?x)

? lim

x

? lim

?x x

?

1

?x?0 ?x

?x? 0 ? x x

? (lnx)? ? 1 x

(4 )f(x )? a x (a ? 0 ,a ? 1 )

解 (ax)??lim ax?h?ax
h?0 h

?ax

ah lim

?1

h?0 h

?axlna.

即(ax)??axln a .

(ex)??ex.

(5)y?x?(??0)



(x?)??lim (x?h)??x?

[(1?h)? ?1]x? ?lim x

h? 0

h

h?0

h

?h ?lim xx? ??x??1
h?0 h

? (x ? ) ?? ? x ? ? 1 . (? ? R ) 特别 (x n )?地 ? nn ? 1 x .

例2 讨论f(函 x)?x数 在 x?0处的.可导



f(x)?x?? ? ?x ?x

x ?0 ,
x ?0

y y? x

lim f(x)?f(0)?lim x ? 1,

x? 0?

x

x x? 0?

o

x

lim f(x)?f(0)?lim ?x??1.

x? 0?

x

x x? 0?

即 f? ?(0 )?f? ?(0 ),? 函y数 ?f(x)在 x?0点不 . 可

例3 f(x?)???slnin(?1xx)xx??00,问在 x?0处可导 ? 否 并求 f?(x),f?(??)
2

2.切线问题

导数的几何意义:

f ?(x0 )表示曲线y ? f (x) y 在点M(x0 , f (x0 ))处的 切线的斜率,即
f ?(x0 ) ? tan?, (?为倾角)
o

y?f(x)

T

M

?

x0

x

切线方程为 y ? y 0 ? f?( x 0 )x ( ? x 0 ).

法线方程为 y?y0??f?(1 x0)(x?x0)f,?(x0)?0

例4 求y?sin在 xx??处的切线方程 程.和法

3.可导与连续的关系

性 3 .2y 质 ? f( 在 x x 0 可 ) ? f( x 导 ) 在 x 0 连 ,反 续 .之



函f数 (x)在x点 0可,导 xl? ix0 m f(xx)? ?fx(0x0)?f?(x0)存在

?x l? ix0m (x?x0)?0? x l? ix 0(m f(x )? f(x 0)? )0

? x l? ix0m f(x)?f(x0) ? 函f(数 x )在x 0 连 点 . 续
# 推论:不连续函数一定不可导

例 5确定 ab ,使 常 f(? 数 x? ? ?a x )2? xbx x? ?1 1处处可

?1

例6

讨论f(x)?

??2x? 1 ??x2 ? 2

??x

x?0 0?x?1
, 1? x ? 2 x?2

在x ? 0,1,2处的连续性,可导性.

性设 质 f( 在 x 0 可 ),f?(x 导 0 )? 0 (或 f?(x 0 )? 0 ) 则 x 0 的 在某 O ? (x 一 0 )有邻域
x ? x 0 时 , f ( x ) ? f ( x 0 ) 或 f ( ( x ) ? f ( x 0 ))
x ? x 0 时 , f ( x ) ? f ( x 0 ) 或 f ( ( x ) ? f ( x 0 ))
因此 ,当f?(x0)?0时,?x0的某一去心邻域 O?(x0)\{x0}是 , f(x)?f(x0)?0
例 7设 f(在 x[)ab,上 ] 连 ,f(续 a ?f)(b ?0), f? ?(a)?0,f? ?(b)?0,证 :f(x)在 (a,b)内必有一根

六、小结

1. 导数的实质: 增量比的极限;

2 . f ? ( x 0 ) ? a ? f ? ? ( x 0 ) ? f ? ? ( x 0 ) ? a ; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率;

4. 函数可导一定连续,但连续不一定可导;

5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.

6. 判断可导性

不连续,一定不可导.
直接用定义; 连续
看左右导数是否存在且相等.



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