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专题——不等式及线性规划


专题——不等式及线性规划 1.不等式的基本概念 (1)不等号的定义: a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b. (2)不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3)同向不等式与异向不等式. (4)同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1) a ? b ? b ? a (对称性) (2) a ? b , b ? c ? a ? c (传递性) (3) a ? b ? a ? c ? b ? c (加法单调性) (4) a ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式相加) (5) a ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d (异向不等式相减) (6) a. ? b , c ? 0 ? ac ? bc (7) a ? b , c ? 0 ? ac ? bc (乘法单调性) (8) a ? b ? 0, c ? d
(9) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a c

? 0 ? ac ? bd
? b d

(同向不等式相乘)

(异向不等式相除)

(10) a ? b , ab ? 0 ?

1 a

?

1 b

(倒数关系)
? b ( n ? Z , 且 n ? 1)
n
n

(11) a ? b ? 0 ? a n (12) a ? b ? 0 ?
n

(平方法则)

a ?

b ( n ? Z , 且 n ? 1)

(开方法则)

3.几个重要不等式 (1) 若 a ? R , 则 | a |? 0, a 2
?0

(2)若 a 、 b ? R ? , 则 a 2 ? b 2

? 2 ab (或 a ? b ? 2 | ab |? 2 ab )(当仅当
2 2

a=b 时取等

第 -1- 页

号) (3)如果 a,b 都是正数,那么 极值定理:若 x , y ? R 1 ○如果 P 是定值, 2 ○如果 S 是定值,
?

ab ?

a?b 2

.

(当仅当 a=b 时取等号)

, x ? y ? S , xy ? P , 则:

那么当 x=y 时,S 的值最小; 那么当 x=y 时,P 的值最大.

利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.
(4)若 a、 b、 c ? R , 则
?

a?b?c 3

?

3

abc

(当仅当 a=b=c 时取等号)

(5) 若 ab ? 0, 则

b a

?

a b

?2
2

(当仅当 a=b 时取等号)
2

(6) a ? 0时 ,x |? a ? x ? a ? x ? ? a 或 x ? a ; |

| x |? a ? x ? a ? ? a ? x ? a
2 2

(7) 若 a 、 b ? R , 则 || a | ? | b || ?| a ? b |?| a | ? | b | 4.几个著名不等式 (1) 平均不等式: 如果 a,b 都是正数, 那么
1 a 2 ? 1 b ? ab ? a?b 2 ? a ?b
2 2

(当
.

2

仅当 a=b 时取等号) 即: 平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均 a、 (

b 为正数) :
特别地, ab ? ( a ? b )
2
a ?b ?c
2 2 2

2

?

a ?b
2

2

2

(当 a = b 时, ( a ? b )
2

2

?

a ?b
2

2

2

? ab )

3

? a ? ?b ? c ? ?? ? ( a , b , c ? R , a ? b ? c 时取等 ) 3 ? ?
2 2 2

2

? 幂平均不等式: a 1 ? a 2 ? ... ? a n ?

1 n
2

( a 1 ? a 2 ? ... ? a n )

2

注:例如: ( ac ? bd )

2

? ( a ? b )( c ? d ) .
2 2 2

常用不等式的放缩法:① 1 ?
n

1 n ?1

?

1 n ( n ? 1)

?

1 n
2

?

1 n ( n ? 1)

?

1 n ?1

?

1 n

( n ? 2)



n ?1 ?

n ?

1 n? n ?1

?

1 2 n

?

1 n? n ?1

?

n?

n ? 1( n ? 1)

第 -2- 页

(2)柯西不等式:

若 a1 , a 2 , a 3 , ? , a n ? R , b1 , b 2 , b3 ? , b n ? R ; 则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( a1b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b3 ? ? ? a n b n ) ? ( a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n )( b1 ? b 2 ? b3 ? ? b n ) a a a a 当且仅当 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 时取等号 b1 b 2 b3 bn

(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点 x , x
1 2

( x1 ? x 2 ),



f(

x1 ? x 2 2

)?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2



f(

x1 ? x 2 2

)?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

.

则称 f(x)为凸(或凹)函数. 5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法 (1)整式不等式的解法(根轴法). 步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结) ,定解. 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; ②一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论. (2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
f ( x) g ( x) ? 0 ? f ( x ) g ( x ) ? 0; ? f ( x) g ( x) ? 0 ?0? ? g ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x)

(3)无理不等式:转化为有理不等式求解 1 ○
f ( x) ? ? f ( x) ? 0? ? ? ? 定义域 g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? ? ? f ( x) ? g ( x)

第 -3- 页

2 ○

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? g ( x) ? 0 ? f ( x ) ? [ g ( x )] 2 ? ?

3 ○

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x ) ? [ g ( x )] 2 ?

(4).指数不等式:转化为代数不等式
a a
f (x) f (x)

?a

g (x)

( a ? 1) ? f ( x ) ? g ( x );

a

f (x)

?a

g (x)

(0 ? a ? 1) ? f ( x ) ? g ( x )

? b ( a ? 0, b ? 0) ? f ( x ) ? lg a ? lg b

(5)对数不等式:转化为代数不等式
? f ( x) ? 0 ? log a f ( x ) ? log a g ( x )( a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ; ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? l og a f ( x ) ? log a g ( x )(0 ? a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

(6)含绝对值不等式 1 ○应用分类讨论思想去绝对值; 3 ○应用化归思想等价转化
g ( x) ? 0 | f ( x ) |? g ( x ) ? ? ?? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

2 ○应用数形思想;

g ( x) ? 0 | f ( x ) |? g ( x ) ? g ( x ) ? 0 ( f ( x ), g ( x )不同时为 0 )或 ? ? f ( x ) ? ? g ( x )或 f ( x ) ? g ( x ) ?

注:常用不等式的解法举例(x 为正数) : ① x (1 ? x )
2

?

1 2
2

? 2 x (1 ? x )(1 ? x ) ?
2 2

1 2 3 4 ( ) ? 2 3 27
2

② y ? x (1 ? x

)? y ?
2

2 x (1 ? x )(1 ? x ) 2

?

1 2 3 4 2 3 ( ) ? ? y? 2 3 27 9

类似于 y ? sin x cos 2 x ? sin x (1 ? sin 2 x ) ,③ | x ? 1 |?| x | ? | 1 | ( x与 1 同 号 , 故 取 等 ) ? 2
x x x

线性规划 1 二元一次不等式表示平面区域:
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在平面直角坐标系中, 已知直线 Ax+By+C=0, 坐标平面内的点 P x0, (

y 0)

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B>0 时, Ax0+By0+C>0, ① 则点 P x0,0) ( y 在直线的上方; Ax0+By0+C ②
<0,则点 P(x0,y0)在直线的下方
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对于任意的二元一次不等式 Ax+By+C>0(或<0) ,无论 B 为正 值还是负值,我们都可以把 y 项的系数变形为正数
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当 B>0 时,①Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 上方的区域; ②Ax+By+C<0 表示直线 Ax+By+C=0 下方的区域 2 线性规划:
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求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统 称为线性规划问题
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满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成 的集合叫做可行域(类似函数的定义域) ;使目标函数取得最大值或最 小值的可行解叫做最优解 生产实际中有许多问题都可以归结为线性规
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划问题

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线性规划问题一般用图解法,其步骤如下: (1)根据题意,设出变量 x、y; (2)找出线性约束条件; (3)确定线性目标函数 z=f(x,y) ; (4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域) ; (5)利用线性目标函数作平行直线系 f(x,y)=t(t 为参数) ; (6)观察图形,找到直线 f(x,y)=t 在可行域上使 t 取得欲求 最值的位置,以确定最优解,给出答案 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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