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几何画板教程


第一讲
第一节

用工具作图

几何画板的启动和绘图工具的介绍

1、启动几何画板:单击桌面左下角的【开始】按钮,选择【所有程序】|【GSP4.05】应用程序后,启 动几何画板。 如图 1 所示,是打开一个几何画板文件的截图。

菜单栏 工具框

工作区

状态栏

图1 几何画板的窗口是不是和其他 Windows 应用程序窗口十分类似?有控制菜单、最大/最小化以及标题 栏,画板窗口的左侧是画板工具栏,画板的右边和下边可以有滚动条可以使小画板处理更大的图形。 画板的左侧是画板工具箱,把光标移动到工具的上面,一会儿就会显示工具的名称,看看它们分别是 什么?它们分别是【选择箭头工具】 、 【点工具】 、 【圆规工具】 、 【直尺工具】 、 【文本

工具】 、 【自定义画图工具】 。 和一般的绘图软件相比,你会不会感觉它的工具是不是少了点?几何画板的主要用途之一是用来绘制 几何图形。 而几何图形的绘制, 我们通常是用直尺和圆规, 它们的配合几乎可以画出所有的欧氏几何图形。 因为任何欧氏几何图形最后都可归结为“点”“线”“圆” 、 、 。这种公里化作图思想因为“三大作图难题” 曾经吸引无数数学爱好者的极大兴趣从而在数学历史上影响重大,源远流长。从某种意义上讲几何画板绘 图是欧氏几何“尺规作图”的一种现代延伸。因为这种把所有绘图建立在基本元素上的做法和数学作图思 维中公里化思想是一脉相承的。 按住工具框的边缘,可随意拖动到画板窗口的任何位置,不同位置形状不同。试一试,能否拖到某一 个地方,工具框变成图 2 所示的形状?

图2 顾名思义,猜测一下它们都有何功能? :选择对象 这是它的主要功能,当然还有其他
1

:画点 迹、函数图像

可以在画板绘图区任何空白的地方或“线”上画点。 “线”可以是线段、射线、圆、轨

:画圆 只能画正圆不能画椭圆,是不是有点遗憾?(几何画板也能画椭圆,请看第二章) :画线 直尺工具当然用于画线段,还不仅仅如此! :加标注(即说明性的文字)或给对象标标签 :自定义工具 如果你觉得上述工具不够(如:不能直接画正方形) ,你可以定义新的工具 选择某项绘图工具时,用鼠标单击一下该工具即可。 试一试 能否画出如图 3 所示的图形

图3 画点:单击【点工具】 ,然后将鼠标移动到画板窗口中单击一下,就会出现一个点。

画线:单击【直尺工具】 ,然后拖动鼠标,将光标移动到画板窗口中单击一下,再拖动鼠标到另 一位置松开鼠标,就会出现一条线段。 画圆:单击【圆规工具】 ,然后拖动鼠标,将光标移动到画板窗口中单击一下(确定圆心) ,并 按住鼠标拖动到另一位置(起点和终点间的距离就是半径)松开鼠标,就回出现一个圆。 画交点:单击【选择箭头工具】 横向 ,然后拖动鼠标将光标移动到线段和圆相交处(光标由 变成

,状态栏显示的是“点击构造交点” )单击一下,就会出现交点。如图 4 所示:

图4 交点只能由线段(包括直线、射线)间、圆间、线段( (包括直线、射线) )与圆之间点击构造。 绘图工具的使用是不是比操作直尺和圆规更容易? 如果你细心的话,你会发现【选择箭头工具】 用鼠标按住它约一秒,看看会发生什么? ,和【直尺工具】 的右下角都有一个小三角,

【选择箭头工具】展开如图 5 所示,有三个工具,分别是: “移动”“旋转”“缩放” , , ,其用途键下一 节。

2

图5 【直尺工具】展开,也有三个工具,如图 6 所示,分别是: “线段” “射线” “和直线” 。线段的画法, 我们知道了,如何用它来画射线直线呢?

图6 画射线:移动光标到【直尺工具】上,按住鼠标不放,待【直尺工具】展开后,不要松开鼠标,继续 移动光标到射线工具上 ,松开鼠标,直尺工具变为 并按住鼠标拖动,到适当位置松开,就画出一条射线,如图 7 所示 图7 (在几何画板里是看不见射线上的箭头,它向一端是无限延伸的) 画直线:依样画葫芦,请你画如图 8 所示的一条直线。 图8 (在几何画板里同样也是看不见直线上的箭头,它向两端是无限延伸的) 你还会发现,用几何画板画出的线段、直线、射线和画圆,分别多了两点。一方面构造它们只要两点 就够了,另一方面,它们可以被拖动。如,单击【选择箭头工具】 按钮,移动光标到线段的端点处(注 意光标会变水平)拖动鼠标,线段的长短和方向就会改变;正因为多出了“点” ,才使它们有被改变的可 能。 移动光标到线段的端点之间任何地方(光标成水平状)拖动鼠标,就可以移动线段。分别拖动一下直 线、射线的点和线,尝试改变它们一下。 试一试 画一个圆,看能否改变圆的大小和位置。 (提示:圆是由两个点来决定的,鼠标按下去的点即为圆心,松开鼠标的点即为圆上的一点。改变这 两个点中的任意一点都可以改变圆。 分别拖动圆心和圆周上的点, 可改变圆的大小, 拖动圆周, 可移动圆。 ) 所以说,你不觉得几何画板所画图形是动态的图形? 几何画板绘制的图形也非常容易加上标签。 (你不妨和 word 的绘图比较一下) 单击文本工具, 光标由前头变为手形 然后分别移动鼠标, 当光标移到对象处, 变为 单击鼠标, 对象显示出标签。 请将图 3 中的所有对象添上标签。去掉标签也容易,只需对上图的每一个对象,单击,标签就没有了。
3

。然后在画板绘图区单击鼠标

在几何画板中的每个几何对象都对应一个“标签” 。当您在画板中构造几何对象时,系统会自动给您画的 对象配标签。文本工具就是一个标签的开关,可以让几何画板中每个几何对象的标签显示和隐藏。

在 这 里 输 入 A[1]

图 33 1、 同样在点 F、G、H 的属性对话框中分别改标签为 B[1]、C[1]、D[1],最后效果如图 34 所示。
D1 C1 B1 D C

A1

图 34
A B

2、 改变标签的颜色 单击点 A 属性框的“样式(T)” 按钮,打开标签样式的对话框,如图 35 所示。

图 35 3、 单击【颜色】下拉框,选中红色,如图 36 所示,单击【确定】按钮,再按属性对话框的【确定】 按钮。A 点的标签就变为红色,如图 37 所示。

D1

C1 B1

A1 D

C

A

B

图 36

图 37
4

例 2:批量改变对象的标签(与有关等边三角形的课件为例)

k o

l

p n

m j

a

图 38

b

1、快速隐藏线段的标签 (如图 38a 所示): 1)选择所有线段 单击【直尺工具】 按钮,按快捷键“Ctrl+A”可选择工作区中所有的线段(这 种选取同类对象的方式,希望引起你的注意)。 2) 隐藏线段的标签 按快捷键“Ctrl+K”隐藏所选线段的标签,如图 38b 所示。 2、快速显示点的标签

B' C' A B
图 39 1) 选择所有点 单击【点工具】 按钮,按快捷键“Ctrl+A”可选中工作区中所有的点。 2) 显示点的标签 按快捷键“Ctrl+K”显示所有点的标签,如图 39 所示。按住标签,把标签移动到 适当的位置(注意:在文本工具或选择工具被选的情况下)。 3)改变标签的字号和颜色 选中所有的点,在文本栏(如图 40 所示)里改变字号和颜色。如仅是改 变标签的大小,选中标签所附的对象后,按快捷键“Alt+>”或“Alt+<”。

C

图 40 说明:标签不能直接被选取,只能选取他所附的对象,对象隐藏,标签也隐藏。显示或隐藏文本栏的 方法是:按快捷键“Shfit+Ctrl+T”。或单击菜单 显示→显示(或隐藏)文本工具栏,文本工具栏 可以被拖动。 例 3:让系统自动为所画的点标上标签 步骤: 选择【编辑(E)】|【参数选项(F)?】命令,就会出现【参数选择】的对话框,单击文 本按钮后,在【所有新建的点】的前面打“√”,如图 41 所示,然后按【确定】按钮。

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图 41 不管你是是新手还是老手,在用几何画板进行绘画时,都会出现错误。在几何画板中,有几 种修改错误的方法。一般来说,用户都比较熟悉的方法就是“删除”。但在几何画板中删除必须十分小心。 因为,如果删除一个对象,那么这个对象的子女对象就同时被删除。建议你使用“撤消”功能。你可以用 【编辑】菜单中的【撤消】功能取消刚刚画的内容,复原到前次工作状态;并可以一步一步复原到初始状 态(空白画板,或者本次打开画板的状态)。这个功能的快捷键是“Ctrl+Z”。如果这时又不想“撤消” 了,可以使用“重复”功能。快捷键为“Ctrl+R” 如果按下拉菜单之前, 按下 Shift 键, “撤消” 则 命令就变成了 “全部撤消” 快捷键是 。 “Shift+Ctrl+Z” 。 这是获得一个空白画板文件的快速方法,俗称“擦黑板”。 如果有一个对象希望删除而又影响其他对象,那么就应当采用隐藏的方法。隐藏的方法是:先选中要隐 藏的对象,然后选择【显示】|【 隐藏对象(H)】命令,如图 42 所示。或按快捷键“Ctrl+H”(这是一 个使用频率比较高一个快捷键)。

图 42 【本讲小节】在这一讲中我们主要学习了几何画板工具箱中的几种工具使用方法,您应该熟练的运用 【点工具】 、 【圆规工具】 、 【直尺工具】 画出一些几何图形,并能用工具构造相关对象的交

点,掌握等圆,直角的构造技巧。能熟练的运用【文本工具】 进行文本输入,学会几何对象标签的显 示和隐藏的技巧并掌握标签的修改方法。理解几何画板绘图应首先考虑对象间的几何关系。在本讲中我们 一起用工具构造了等腰三角形、等边三角形、线段的中垂线、直角三角形等几何图形,但用工具按尺规作 图的方法去构造图形是很麻烦的,更简捷的方法是直接使用构造菜单进行图形构造,关于构造菜单的运用 我们将在下一讲中一起学习。

第二节

用绘图工具绘制简单的组合图形

下面我们用绘图工具来画一些组合图形,希望通过一下范例的学习,你能够熟悉绘图工具的使用,和 一些相关技巧。
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例1、 三角形(一) 一、制作结果 如图所示,拖动三角形的顶点,可改变三角形的形状、大小 这个三角形是动态的三角形,它可以被拖成下列三角形之一,如图 9 所示。

图9 二、要点思路 熟悉“直尺工具”的使用,拖动图中的点改变其形状。 三、操作步骤 观察图 10,你能明白三角形就是用【直尺工具】画三条首尾相接的线段所组成的图形。

图 10 1、 打开几何画板,建立新绘图 2、 单击【直尺工具】 ,将光标移到在绘图区,单击并按住鼠标拖动,画一条线段,松开鼠标。 3、 在原处单击鼠标并按住拖动,画出另一条线段,松开鼠标。 (注意光标移动的方向) 4、 在原处单击鼠标并按住拖动,画出第三条线段,光标移到起点处松开鼠标。 (注意起点会变色) 5、将该文件保存为“三角形.gsp” 拓展:你也可以将光标移到在绘图区,单击并松开鼠标拖动,画一条线段,单击鼠标。在原处再单击 鼠标并松开拖动,画出另一条线段,单击鼠标。在原处单击鼠标并松开拖动,画出第三条线段,光标移到 起点处单击鼠标。 例 2 三角形(二) 一、制作结果 三角形三边所在的线分别是直线、射线和线段,拖动三角形的顶点可以改变三角形的大小 和形状,如图 11 所示。在讲解三角形的外角时,就可构造此图形。

图 11 二、知识要点 学会使用【线段工具】【直线工具】【射线工具】以及它们相互之间的切换。 、 、 三、操作步骤 1、 打开几何画板,建立新绘图。 2、 选择画直线工具 将光标移动到【直尺工具】上按住鼠标键不放,移动光标到【直线工具】 上,松开鼠标,如图 12 所示。

图 12 3、 4、 画直线 将鼠标移动到画板中,按下鼠标键,向右拖曳鼠标后松鼠标键。 选择画射线工具 用鼠标对准【直线工具】 ,按下鼠标键并拖曳到【射线工具】处松鼠标, 如图 13 所示。

5、

图 13 画射线 将鼠标对准定义直线的左边一点 (在按下鼠标左键之前请注意窗口左下角的提示) , 按下鼠标键,向右上拖曳鼠标后松鼠标键。
7

6、

选择画线段工具 所示。

用鼠标对准画线工具,按下鼠标键并拖曳到线段工具处松鼠标。如图 14

7、 8、

图 14 画线段 将鼠标对准定义射线的右上一点 C(注意窗口左下角的提示信息) ,按下鼠标键, 向定义直线的右边一点 B 拖动(注意提示) ,匹配上这一点后松鼠标。 将该文件保存为“三线三角形.gsp”

例 3、圆内接三角形 一、制作结果 如图 15 所示所示,拖动三角形的任一个顶点,三角形的形状会发生改变,但始终与圆内 接。

图 15 二、要点思路 学会使用画线工具在几何对象上画线段 三、操作步骤 如图 16 所示

图 16 1、 2、 打开几何画板,建立新绘图。 画圆 单击【圆规工具】 按钮,然后拖动鼠标,将光标移动到画板窗口中单击一下按住并拖 动鼠标到另一位置,松开鼠标,就会出现一个圆。

3、 画三角形 单击【直尺工具】 按钮,移动光标到圆周上(圆会变淡蓝色)单击并按住鼠标向 右移到圆周上松开鼠标;在原处单击并按住鼠标向左上方移动到圆周上松开鼠标;在原处单击并按住鼠标 向左下方移动到圆周上线段起点处松开鼠标。 4、 将该文件保存为“圆内接三角形.gsp” 注意:画线段时,起点不要与圆周上的点重合;光标移动到圆上时,圆会变淡蓝色,注意状态栏的提示。 试一试:画一个过同一点的三个圆,并保存文件为“共点的三圆.gsp” (希望你能试一试,后面要用到) 例 4、等腰三角形(画法一) 一、制作结果 拖动三角形的顶点,三角形形状和大小会发生改变,但始终是等腰三角形,如图 17 所示, 这就是几何的不变规律。

图 17 二、要点思路 利用“同圆半径相等”来构造等腰,如图 18 所示。

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图 18 三、操作步骤 1、打开几何画板,建立新绘图。 2、画圆 3、画三角形 单击【直尺工具】 按钮,移动光标到圆周上的点处(即画圆时的终点,此时点会 变淡蓝色) ,单击并按住鼠标向右移动到圆周上松开鼠标;在原处单击并按住鼠标向左上方移动到圆 圆心处松开鼠标;在原处单击并按住鼠标向左下方移动到起点处松开鼠标。 4、隐藏圆 按“Esc”键(取消画线段状态)单击圆周后,按“Ctrl+H”快捷键隐藏圆。 5、将该文件保存为“等腰三角形 1.gsp” 例5 线段的垂直平分线 一、制作结果 如图 19 所示,无论你怎样拖动线段,竖直的线为水平线段的垂直平分线。

图 19 三、要点思路 学会使用【直尺工具】 ,画线段和直线,学会等圆的构造技巧,如图 20 所示。

图 20 四、 操作步骤 1、打开几何画板,建立新绘图,画线段 。 2、画等圆 单击【圆规工具】 ,然后拖动鼠标,将光标移动到画板线段的左端点单击一下按住并拖动 鼠标到线段的右端点,松开鼠标;在原处单击并按住鼠标向左拖动到起点(即开始构造圆的起点)松 开鼠标。 3、画直线 选择【直线工具】 ,移动光标到两圆相交处单击并按住鼠标拖动到另一个两圆相交处单击 后松开鼠标。 (光标到两圆相交处,两圆会同时变为淡蓝色) 4、隐藏两圆及交点 按“Esc”键,取消画线段状态,单击圆周和交点后,按“Ctrl+H” 5、保存文件 将该文件保存为“垂直平分线.gsp” 你能否由上述作法联想到等边三角形的作法? 拓展:等边三角形的画法(一) 一、要点思路 学会等圆的构造方法,使用“同圆半径相等”构造等边,如图 21 所示。

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图 21 二、操作步骤 1、打开几何画板,建立新绘图。 2、画等圆 单击【圆规工具】 ,然后拖动鼠标,将光标移动到画板窗口中单击一下按住并拖动鼠标到 另一位置,松开鼠标;在原处单击并按住鼠标向左拖动到起点(即开始构造圆的起点)松开鼠标。 3、画三角形 在画线段时,光标移到两圆相交处,两圆同时变淡蓝色才可单击鼠标。 4、隐藏两圆 按“Esc”键,取消画线段状态,单击圆周后,按“Ctrl+H”快捷键隐藏圆。 5、 将该文件保存为“等边三角形 1.gsp” 例 6、直角三角形(画法一) 一、制作结果 拖动左边和上边的点可改变三角形的大小和形状,但始终是直角三角形。拖动右边的 点和三边可改变直角三角形的位置,如图 22 所示。

图 22 二、要点思路 学会使用【画射线工具】 ;使用【选择工具】画交点;在圆上画线段;搞清楚画直角 的原理是:直径所对的圆周角是直角 三、操作步骤 1、打开几何画板,建立新绘图 2、画射线:移动光标到【直尺工具】 上,按住鼠标不放,待【直尺工具】展开后,不要松开鼠 。然后在画板绘图区单击鼠标并按住鼠标

标,继续移动光标到射线工具上,松开鼠标,直尺工具变为 拖动,到适当位置松开,就画出一条射线,如图 23 所示。

图 23 3、画圆及射线的交点:移动光标到射线和圆的交点处,单击,如图 24 所示。

图 24 注意:光标到射线和圆的交点处,射线和圆都会变为淡蓝色,状态提示栏的提示是: “单击构造交点” 。 4、画直角边 单击【直尺工具】 按钮,移动光标到射线的端点处(端点会变淡蓝色)单击并按 住鼠标向右上移动到圆周上松开鼠标;在原处单击并按住鼠标向右下方移动到圆与射线的交点处松开鼠 标,如图 25 所示。

图 25 5、隐藏射线和圆及圆心 连续单击圆、圆心、射线后按快捷键“Ctrl+H” ,如图 26 所示。
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图 26 6、画斜边 单击【直尺工具】 ,移动光标到左边点处单击并按住鼠标向右移动到右边点处松开鼠标。 可能你会说,怎么这么繁,为什么不直接用【直尺工具】画一个直角三角形,但这样画出的直角三角 形,由于没有定义几何关系,拖动任一顶点和边,不能保证它始终是直角三角形。 7、将该文件保存为“直角三角形.gsp” 从以上几个实例不知你是否意识到: 1)用几何画板绘制几何图形,首先得考虑对象间的几何关系,不是基本元素(点、线、圆)的简单 堆积。 2)点不仅可作在画板的空白处,也可以作在几何对象(除“内部”外)上。线段和圆的起点和终点 也如此,即不仅可作在画板的空白处,也可以作在几何对象上,即构造“点”与“线”的几何关系。 3) 【选择箭头工具】 不仅用于选择,还可用来构造交点。 4)在画点(或画圆、 、直线、线段、射线)时,光标移到几何对象(点和线)处,几何对象会变为淡 蓝色,此时单击鼠标才能保证“点”“点”重合, 、 “点”在“线”上。 5)对于绘制图形的辅助线,一般情况下不能删除,要不然相关对象都被删除了。只能选定按快捷键 “Ctrl+H”隐藏。

第三节 对象的选取、删除、拖动
前面的叙述已涉及到对象的选取、拖动。几何画板虽然是 windows 软件,但它的有些选择对象的选择 方式,又与一般的 windows 绘图软件又不同,希望你在学习过程中能意识和注意到这一点。也希望通过本 节的讲解,你对此有比较系统全面的了解 一、选择 在进行所有选择(或不选择)之前,需要先单击【选择箭头工具】 按钮,使鼠标处于选择箭头状态。 1、选择一个:用鼠标对准画板中的一个点、一条线、一个圆或其它图形对象,单击鼠标就可以选中 这个对象。图形对象被选中时,会加重表示出来。如下图所示: 选 择对 象 一 个点 过 程 描 述 选前状态 选后状态

用鼠标对准要选中的点,待光标 键。

变成横向时

,单击鼠标左

用鼠标对准线段的端点之间部分(而不是线段的端点) ,待鼠标变成 一 条线 横向的黑箭头 时,单击鼠标左键。 用鼠标对准圆周(而不是圆心或圆上的点) ,待鼠标变成横向的黑箭 一 个圆 头 时,单击鼠标左键。

2、再选另一个:当一个对象被选中后,再用鼠标单击另一个对象,新的对象被选中而原来被选中的 对象仍被选中(选择另一对象的同时,并不需按住“Shift”键,与一般的 windows 软件的选择习惯不同) 。 3、 选择多个: 连续单击所要选择的对象 (注意: 在单击过程中, 不得在画板的空白处单击 (或按 “Esc” 键) 。 4、取消某一个:当选中多个对象后,想要取消某一个,只需单击这个对象,就取消了对这个对象的 选择。
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5、 都不选中:如果在画板的空白处单击一下(或按“Esc”键),那么所有选中的标记就都没有了, 没有对象被选中了。 6、 选择所有:如果你选择了画板工具箱中的选择工具,这时在编辑菜单中就会有一个“选择所有” 的项;如果当前工具是画点工具,这一项就变成选择“所有点”;如果是画线工具或画图工具,这一项就 变成“选择所有线段(射线、直线)或“选择所有圆”。它的快捷键是“Ctrl+A”(请注意和反复练习这 种选择同类对象的方式) 7、 选择对象的父母和子女:选中一些对象后,选择【编辑】|【选择父对象】命令,如图 27 所示, 就可以把已选中对象的父母选中。类似地,也可以选择子对象。如果一个对象没有父母,那么几何画板认 为它自己是自己的父母;同样,如果一个对象没有子女,那么它自己是自己的子女。 所谓“父母”和“子 女”,是指对象之间的派生关系。如:线段是由两点派生出来的,因此这两点的“子女”就是线段,而线 段的“父母”就是两个点。

图 27
注意:画板最后构造对象,是处于选择状态。在选择对象之前最好在在画板的空白处单击一下(或 按“Esc”键) 小技巧:选择多个对象还可以用拖框的方式,(和一般的 windows 软件相同)如图 28 所示:

图 28 你想要画图快捷,最好熟悉这种选择方式。 选择对象的目的是为了对这个对象进行操作。这是因为在 windows 中,所有的操作都只能作用于选中 的对象上,也就是说:必须先选择对象,然后才能进行有关的操作。在几何画板中,对选中的对象可以进 行的操作有:删除、拖动、构造、测量、变换等。 在这里,我们先介绍删除和拖动操作。 二、删除 删除就是把对象(点、线或圆)从屏幕中清除出去。方法是:先选中要删除的对象,然后再选择“编 辑”菜单中的“清除”项,或按键盘上的“Delete”键。请注意,这时与该对象有关的所有对象均会被删除, 和一般的 windows 软件又不同,和数学思想倒很相近, “皮之不存,毛将附焉” 。 三、拖动

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用鼠标可以选择一个或多个对象,当你用鼠标拖动已经选中的对象在画板中移动时,这些对象也会跟着 移动。由于几何面板中的几何对象都是通过几何定义构造出来的,而且几何画板的精髓就在于 “在运动

中保持几何关系不变”,所以,一些相关的几何对象也会相应地移动。
当你拖动画板中的图形时,可以感受到几何画板的动态功能。请注意:在拖动之前,请按“Esc”键, 或点击【选择箭头工具】 后,选定要移动的对象。 试一试 按下面的步骤进行拖动操作,注意观察图形变化的情况。 拖动前的图形 1 拖动操作 向下拖动 点B 拖动后的图形 解 释

线段受点 B 控制,所以要 随着运动。 线段的方向不变,位置发 生改变,由于点 A、B 是 线段的父母,必须保持相应 关系, 所以两点也随之运动。 点 B 是圆的父母,所以圆 的大小随着点 B 的移动而 变化。由于点 A 是自由的, 不受点 B 控制,所以点 A 位 置保持不变。 点 A 是圆的父母,所以圆 的大小和圆心的位置随着 点 A 的移动而变化。由于点 B 是自由的, 不受点 A 控制, 所以圆总保持过点 B。 由于点 C 是圆的子女,受 圆的控制,所以,这个点只 能在圆上运动。

2

拖动线段 AB

3

拖动点 B

4

拖动点 A

5

圆由 AB 两 点定义, 点 C 为圆上 另一点, 拖动点 C。 画两条相 交线段, 用选 择工具画出 它们的交点 (请注意状 态条的提示 ) ,之后拖动 线段 CD。

6

当两线段不相交后,交点 就不显示了(此时交点无数 学意义) 。

在前面学习中,你是不是用画圆工具画了三个过同一点的圆,并把它保存为“共点的三圆。gsp” 的文件。现在请大家把这个文件调出来(选择【文件】|【打开】命令,选中文件名后,按【确定】按钮)。 请大家任意选中一个圆随意拉动,看这三个圆是否还能“过同一点”? 拖动结果可能如图 29 所示:

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图 29 为什么图形会“散架”,可能作图过程是这样的(下面列出最典型的初学者“画三个过一点的圆”的 方法,可能受传统作图方式如黑板上的绘图或一般绘图软件的影响),如图 30 所示。

图 30 在拖动过程中,几何画板能够保持所有给定的几何关系,因为它就是根据几何关系来设计的!那么, 你思考一下,上述方法在画圆时,到底给定了什么样的几何关系? 我们知道,圆是由两个点来决定的,鼠标按下去的点即为圆心,松开鼠标的点即为圆上的一点。改变 这两个点中的任意一点都可以改变圆。 而在我们刚才的操作中,我们所给的几何关系是:每个圆都是由两个完全自由的点来决定的(请大家 观察一下,图中共一个圆,六个自由点) 。根据这样的几何关系,每个圆都可以随意地改变。这就表明: 在几何画板中,不能再象在黑板上那样,随手画出图来,而每时每刻都得考虑几何关系。 那么怎么能保证它们过同一个点呢?你按下面的步骤做做看? 步 骤 1 2 过 程 描 述 选择画圆工具。 画第一个圆:圆心为 A,圆上一点为 B。 作图结果 (无)

画第二个圆;在任意一点处按下鼠标键即规定了圆 心 3 C,拖动鼠标,对准点 B(注意状态栏的提示) ,并 在 B 点松开鼠标,即圆上的点为 B。

画第三个圆:在任意一点处按下鼠标键即规定了圆 心 4 D,拖动鼠标,对准点 B(注意状态栏的提示) ,并 在 B 点松开鼠标,即圆上的点为 B。

现在来试试随便拖动其中的任意一个圆。 很显然,在这种做法中,由于在作图过程中已经规定了三个圆圆上的点都为点 B,因此不管如何拖动 这三个圆,它们都会经过点 B。 这就是几何关系!这就是保持几何关系!这就是在动态中保持几何关系!

第四节

对象的标签

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在几何画板中的每个几何对象都对应一个“标签”。当您在画板中构造几何对象时,系统会自动给您 画的对象配标签。一般情况下,点的标签为从 A 开始的大写字母;线的标签是从 j 开始的小写字母;圆的 标签是从 c1 开始的,小写字母 c 带数字。 如何为对象显示标签呢?前面我们已介绍过用【文本工具】对象的标签,即用鼠标单击画板工具箱中 的文本工具后,用鼠标(空心小手形状 )对准某个对象变成黑色小手形状 后单击,如果该对象没有 显示标签就会把标签显示出来,如果该对象的标签已经显示就会把这个标签隐藏起来。 还有其他方式显 示标签吗?有,那就是用菜单命令。 用鼠标选中一些没有显示标签的对象,选择【显示】|【显示标签(L)】命令,如图 31 所示,就可 以显示这些对象的标签。如果所选中一些对象的标签都已经显示,那么单击这个菜单项后,这些对象的标 签就会隐藏起来。 (注意其快捷键“Ctrl+K”这是一个使用频率较高的键)

图 31
标签的位置还可以适当移动:用鼠标选中【文本工具】(或【选择工具】)后,当如果用鼠标对准某个 对象的标签,鼠标变成带字母 A 的小手形状后,按下鼠标键拖曳鼠标,可以改变标签的位置。 标签可以根据我们的需要改变 ,如果用带字母 A 的小手形状鼠标双击某一个标签,就会出现了这个 标签附着对象的属性框。用这个属性框可以根据需要,随意改变标签的字体,字号,粗体,斜体,下划线, 颜色等。标签可以是英文、汉字、数字等,还可以有下标。 例 1、逐个对象的标签。
G H E D A F C

H

G

E D

F C

B

A

B

a

b 图 32

c

4、 显示顶点标签 单击【文本工具】

,单击正方体的的每一个顶点。标签显示如图 32b 所示。

第二章 用构造菜单作图
通过第一章的学习,您是否明白用【工具框】中的工具作图,几乎可以作出所有欧几里德图形,实质 上和传统的尺规作图没什么两样(只不过电脑作出的图形是动态的,拖动点和线,能保持几何关系不变, 黑板上的图形是静态的,不能拖动) ,但仅靠【工具框】中的工具作图实在太慢了,例如,我们想要作一 条线段的中点,仅用工具作图,您想一想,通常要几步? 例:如图 2-1 所示,用作图工具作一条线段 AB 的中点 C,通常需要以下几步。

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D

A

C

B

E

图 2-1 用作图工具作线段的中点,几乎和传统的尺规作图一样,至少要经过 3 步: 第一步 作两圆及交点: 分别以点 A 点 B 为圆心,AB 为半径画圆;用【选择箭头工具】 点 D、E。 第二步 作线段 DE: 过两圆的交点作一条线段 DE。 第三步 作中点 C: 用【选择箭头工具】 如下: 作法: 1、选择【直尺工具】

,单击两圆相交处,作出两圆的交

,单击线段 AB 和 DE 相交处,得线段中点 C

有没有更简单的方法呢?有,只要您选中了线段,按快捷键 Ctrl+M,电脑就构造好了中点。具体步骤

,在工作区中画出线段 AB,如图 2-2-1 所示。
图 2-2-1

2、选择【选择箭头工具】

,单击线段 AB,线段 AB 被选中,如图 2-2-2 所示

图 2-2-2
3、选择【构造】|【中点】命令, (或直接按快捷键 Ctrl+M) ,得到线段 AB 的中点。如图 2-2-3 所示。

图 2-2-3
由上面的作法,您是否想到,用【工具箱】中工具画出基本元素(即“点” 和“线”,选取它们, ) 用菜单命令或快捷键,就能让电脑自动快速作出一些我们想要的基本图形,减少很多仅凭工具作图的重复 劳动。 您不妨先思考一下,中学数学教材里有关尺规作图的基本问题都有哪些?是不是有“作一条线段的中 点”“作一个角的平分线”“过一点作已知直线的垂线(或平行线),几何画板也考虑到了这些,其实还 ; ; ” 不仅仅这些。 用鼠标单击一下【构造】菜单,让我们具体看一下【构造】 菜单里都有哪些基本构造。如图 2-3 所示: 四条菜单分隔线,把构造菜单分为五组:点型、直线型(线段、直线、射线) 、圆型(圆、圆弧) 、内部、 轨迹。

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图 2-3 它们是不是包括了我们常见的基本作图?但它们全都是灰色的,也就是说,此时还不能对电脑下达命 令(即菜单命令此时无效) ,因为您没有选取适当的点和线,具体操作看下面的叙述。

第一节 点的作法
如图 2-4 所示:几何画板的点作法分为三类:对象上的点、中点、交点。

图 2-4 1、对象上的点的作法:选定任何一个“对象”或多个“对象” ,选择【构造】|【对象上的点】命令,电脑 根据您选取的对象,构造出相应的点,点可以在对象上自由拖动。这里的对象是可以是【线(线段、射线、 直线、圆、弧)、 】【内部】【函数图像】等,但不能是“点” 、 ,点上当然不能再构造点。这是一个动态的菜 单,选取的对象是“线段” ,这时菜单显示的是【线段上的点】 ,选取的对象是“轨迹” ,这时菜单显示的 是【轨迹上的点】??。 小技巧:一般情况下,除【内部外】 ,用【点工具】 标对准对象单击) ,这样更快。 2、中点:选取一条线段,选择【构造】|【线段的中点】命令,电脑就构造出所选线段的中点 例 1 作三角形的中线 1) 画△GHF:选择【直尺工具】 直接在对象上画出点(在画点状态下,用鼠

,在工作区中画一个三角形,选择【文本工具】

,单击
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三角形的顶点给顶点标上字母,如图 2-5 所示。

图 2-5 2) 选定边 GH:选择【选择箭头工具】

,单击线段 GH,线段 GH 被选中,如图 2-6 所示。

图 2-6 3)作线段 GH 的中点:选择【构造】|【中点】命令(或按快捷键 Ctrl+M) ,做出线段 GH 的中点 I, 如图 2-7 所示。

图 2-7 4) 连接 FI:用画线工具对准 F 点,拖动鼠标到 I 点后松开鼠标,得到中线 FI,如图 2-8 所示。

图 2-8 小技巧:为了方便快捷,允许您选取一条以上的线段,可同时画它们的中点,您不妨作下面的练习。 练习:画三角形的中位线和中点三角形(连续单击线段后,按快捷键 Ctrl+M) ,如图 2-9 所示。

图 2-9 3、交点:选取两条(当且仅当选取两条)呈相交状态的线(线段、射线、直线、圆、弧)后,选择【构
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造】|【交点】命令,得两线的交点。 小技巧:一般情况,在选择状态下,用【选择箭头工具】单击两线相交处,即得交点。您不妨练习一 下: 画三角形的重心(1、画出一个三角形;2、画出三角形的中线;3、用鼠标直接点击中线相交处,得重心, 即如图 2-10 所示,这样作是不是更快捷?)

图 2-10

第二节 直线型的构造
如图 2-11 所示:直线型的构造包括:线段、射线、直线、平行线、垂线、角平分线。

图 2-11 线段、直线、射线的构造: 想一想 线段、射线、直线的确定需要几点?您不会忘记“两点确定一条线段(射线、直线) ”吧! 作法:选取两点,选择【构造】|【线段】 (或“射线” “直线” )命令,电脑就构造一条线段(或一条射线 或直线) 。 注意 1)如选取的点是画射线,第一个点为射线的端点 2)使用快捷键 Ctrl+L 能快速画线段,但也只能画线段。射线、直线没有快捷键。 3)如果是过两点画直线(或射线或线段)的话,在选取相应工具的状态下,用鼠标对准一个点, 按下鼠标移动到另一点,松开就得直线(或射线或线段) 。 4)选取两点以上也能画线段(射线、直线) 例、快速画中点四边形 作法: 1) 画出四点并选定:按住 Shift 键,用点工具画出四点(或,用点工具画出四点后,在选择状态下,用鼠 标拉出一个矩形框,框住这四点) ,如图 2-12 所示。

图 2-12 2)顺次连接四点:按 Ctrl+L,效果如图 2-13 所示。
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图 2-13 3)中点四边形:按“Ctrl+M” 后,作出四边中点,如图 2-14 所示。

图 2-14 4)再按快捷键 Ctrl+L 连接中点,得中点四边形,如图 2-15 所示。

图 2-15 1、 平行线或垂线的作法:即过一点作已知直线(或线段或射线)的垂线或平行线,您想一想, 作垂线或平行线,需要选定什么?选定点和直线:1)选定一点和一直线;或选定几点和一直线;或选定一 点和几条直线,菜单变成如下状态:单击菜单命令“平行线” “垂线”就能画出过已知点且平行或垂直已 知直线的平行线或垂线。 例1、 作法: 1、 用画线工具画出平行四边形的邻边,并用标签工具标上字母,如图 2-16 所示。 画平行四边形

图 2-16 2、 仅选取点 A 和线段 BC,选择【构造】|【平行线(E) 】命令,画出过 A 点且与线段 BC 平行的直线; 同样画出另一条过点 C 且与线段 AB 平行的直线;在两条直线的相交处单击一下(注意:在选择状态 下)得交点,如图 2-17 所示。

图 2-17
3、 隐藏直线:选取两条直线,选择【显示】|【隐藏 平行线】命令,如图 2-18 所示。 (提示:可以使用 快捷键:Ctrl+H)
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图 2-18
4、 连接 AD 和 CD(可以用画线工具或菜单命令) ,如图 2-19 所示。

图 2-19
例2、 三角形的高 作法: 1、 画出△ABC,如图 2-20 所示。

图 2-20
2、 作垂线:仅选定点 A 和线段 BC,选择【构造】|【垂线(D) 】命令,就画出了过 A 点且垂直 BC 的直 线;单击垂线和线段 BC 的交点处,得垂足点 D,如图 2-21 所示。

图 2-21
3、 隐藏垂线:选定垂线后,按快捷键 Ctrl+H,如图 2-22 所示。

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图 2-22
4、 连接 AD,如图 2-23 所示。

图 2-23 例3、 作法: 1、 画线段 AB 并在选择状态下,拖出一个框,选中点 A 和线段 AB,如图 2-24 所示。 直角三角形的画法

图 2-24 2、 选择【构造】|【垂线(D) 】命令,得到过点 A 垂直于线段 AB 的直线,如图 2-25 所示。

图 2-25 3、 所示。 作斜边:在画线段的状态下,对准 B 点单击,松开左键,移动光标到垂线单击,如图 2-26

图 2-26 4、 隐藏垂线:选中垂线,按快捷键 Ctrl+H,隐藏垂线,如图 2-27 所示。

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图 2-27 5、连接 AC,得到直角三角形,如图 2-28 所示。

图 2-28 例 4、三角形的角平分线 作法: 1、 画出三角形 ABC:用画线工具画出△ABC,并用标签工具标上字母,如图 2-29 所示。

图 2-29 2、 画出∠BAC 的平分线与线段 BC 的交点 D:选定点 A、点 B、点 C(注意,角的顶点一定要第 二个选取),选择【构造】|【角平分线】命令,在“选择状态”下用鼠标对准角平分线与线段 BC 的相交处 单击,如图 2-30 所示。

图 2-30 3、 隐藏角平分线:在选择状态下,先用鼠标在空白处单击一下后,单击角平分线,再按快捷键 Ctrl+H(等效菜单命令: 【显示】|【隐藏】,如图 2-31 所示。 )

图 2-31 4、 连接 A 点和 D 点:选定 A 点和 D 点后,按快捷键 Ctrl+L(等效菜单命令: 【构造】|【线段】, ) 得到三角形的角平分线,如图 2-32 所示。

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图 2-32 练习:作出三角形的内心

第三节
一、圆的绘制

圆型线的构造(圆、圆弧)

1、 选定两点(有顺序) :选定两点后,选择【构造】|【以圆心和圆周上的点绘圆】命令,如图 2-33 所示, 就可以构造一个圆,圆心为第一个选定的点,半径为选定两点的距离。和【圆规工具】等效。

图 2-33 2、 选定一点和一条线段(没有顺序) :选定点和线段后, 【构造】|【以圆心和半径绘圆】命令,如图 2-34 所示,就可以构造一个圆,圆心为选定点,半径为选定的线段的长度。

图 2-34 3、 等圆的画法:选定多点和一条线段(没有顺序) :选定多点和线段后,选择【构造】|【以圆心和半径 绘圆】命令,就可以构造多个等圆,圆心分别为选定点,半径为选定的线段的长度。 例、 正三角形的快速画法(试一试,能否仅看图就能知道作图思路?)

画一条线段 1) 用【直尺工具】 画出一条线段,按 Esc 键,取消画线状态。用鼠标拖出一个框,使线段和端点全

在框里,如图 2-35 所示。

图 2-35 2) 选择【构造】|【以圆心和半径绘圆】命令,画出两个等圆,如图 2-36 所示。

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图 2-36 3) 画三角形的另两条边 选择【直尺工具】 ,光标对准线段左端点单击,松开左键,移动光标到两

圆相交处单击(注意状态栏) ,松开左键,移动光标到线段右端点单击,如图 2-37 所示。

图 2-37 4) 隐藏两圆 按 Esc 键,取消画线状态,选中两圆,按快捷键 Ctrl+H.,隐藏两圆,得到等边三角形,如 图 2-38 所示。

图 2-38 4、 同心圆的画法: 选定一点和多条线段(没有顺序) :选定一点和多条线段后,选择【构造】|【以圆心和半径绘圆】命令, 就可以构造多个同心圆,圆心为选定点,半径分别为选定的线段的长度。如图 2-39 所示。

结果如下:

图 2-39 注意:上述选定作为半径的线段可以用【带有长度单位的数值】代替,即半径可以是线段,也可以是带有 长度单位的数值,如图 2-40 所示。
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结果如下:

图 2-40 二、弧的绘制: 1、 选定一个圆和圆上的两点(点有顺序) :选定一个圆和圆上的两点后,选择【构造】|【圆上的弧】命 令,就可以绘出按逆时针方向从选定的第一点和第二点之间的弧,如图 2-41 所示。

结果如下:

图 2-41 2、 选定特殊的三点(第一点为,另两点为端点的线段的中垂线上的点) :选定三点后,选择【构造】|【圆 上的弧】命令,就可以绘出按逆时针方向从选定的第二点和第三点之间的弧,第一个点为弧所在圆的 圆心,如图 2-42 所示。

结果如下:

图 2-42 3、 选定不在同一直线上的三点:选定三点后,选择【构造】|【过三点的弧】命令,就可以绘出按逆时针
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方向从选定的第一点过第二点到第三点之间的弧,如图 2-43 所示。

结果如下:

图 2-43

第四节 图形内部的构造
1、 多边形内部的构造:选定三点或三点以上后,就可构造多边形内部了,如三角形内部的构造:选定三 点后,选择【构造】|【三角形的内部】命令,就可以绘出由这三点决定的三角形的内部,如图 2-44 所 示。

图 2-44 2、 选定一个圆(或几个圆) :选定一个圆(或几个圆)后,选择【构造】|【圆内部】命令,就可以绘出 这个圆的内部,如图 2-45 所示。

图 2-45 3、 扇形(弓形)内部的构造:选定一段弧(或几段弧) :选定一段弧(或几段弧)后,选择【构造】|【弧 内部】|【扇形内部】命令,或选择【构造】|【弧内部】|【弓形内部】命令,就可以绘出这段弧所对扇 形或弓形的内部如图 2-46 所示。

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图 2-46 说明:这是一个动态的菜单,如选定的是四点,则此菜单显示的是“四边形的内部” ;如选定的是五点, 则此菜单显示的是“五边形的内部” ;如果选定的是圆,则此菜单显示的是“圆内部” ;如果选定的是弧, 则此菜单显示的是“弧内部” 。 注意: “内部”的快捷键是 Ctrl+P,但“弓形内部”没有快捷键。

第五节 点的轨迹的构造
让我们先看一道常见的数学题:如图 2-47 所示,P 为圆上任意一点,则线段 OP 中点 M 的轨迹是什么?

图 2-47 选定 P 点,选择【显示】|【生成点的动画(A) 】命令,如图 2-48 所示。

图 2-48 结果如下:可以观察到点 P 在圆上运动,M 也跟着运动,如图 2-49 所示。

图 2-49 要知道 M 的轨迹,先单击【运动控制台】的停止按钮,停止动画,然后选定 M 点后,按快捷键 Ctrl+T, 跟踪点 P。仅选定 P 点后,再按【运动控制台】的播放按钮,就可观察到点 M 的轨迹是什么,如图 2-50 所示。

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图 2-50 但这样的轨迹按 Esc 键就能清除掉,还不能保存。如何才能真真构造出点 M 的轨迹呢? 作法:选定点 P 和点 M(没有先后) ,选择【构造】|【轨迹(U) 】命令,如图 2-51 所示。 (注意:在作轨 迹以前最好按 Esc 键清除掉 M 的暂时轨迹)

结果如下:

图 2-51 您再按 Esc 键试试,看能否清除点 M 的轨迹?M 还可以是 OP 上任意一点,您试试?看它的轨迹是什么? 构造轨迹的前提条件是:选定两点,一点是在一条路径上的自由点和能够跟随此点运动的点即被动点。路 径可以是任何线(线段、直线、射线)轨迹、函数图像。 例1、 椭圆的画法(一) 先观察,如图 2-52 所示,您能分析出作图步骤吗?能知道 E 点的轨迹是椭圆的原因吗?

图 2-52 作法: 1、 画一个圆和一条线段 线段的画法是:在画线段的状态下,把光标移到圆内,单击一下,松开左键, 把光标移到圆周上,单击一下,则得线段 CD,如图 2-53 所示。
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图 2-53 2、 作线段 CD 的垂直平分线和直线 AD 直线 AD 的作法是:在直线状态下,对准 A 点单击,松开左键, 移动到点 D 单击,如图 2-54 所示。

图 2-54 3、 交点 在选择状态下,单击两直线的交点处,得交点 E,如图 2-55 所示。

图 2-55 4、 构造轨迹 选定 E 点和 D 点,选择【构造】|【轨迹(U) 】命令,得到轨迹,如图 2-56 所示。

图 2-56 5、 隐藏不必要对象 选定圆、两直线、点 E、D、B 后按快捷键 Ctrl+H 隐藏所选对象,保留椭圆的轨迹, 如图 2-57 所示。

图 2-57

试一试:把 C 点拖到圆外,看轨迹有什么变化?

第三章

用变换菜单作图

在前两章我们一起学习了用【工具箱】中的工具和【构造】中的作图命令构造一些基本图形,让我们再一次对上海的 甘志高(laoshi-g)老师所作的工作(前两章是甘老师原创)表示感谢! 在本章我们一起来学习如何用【变换】菜单作图, 本章内容是广东的朱宇刚(天涯过客)老师原创,在此我们对朱老师的工作表示感谢! 30

观察下图,不难看出,这个图形都是由一些基本图形经过旋转变换得到的。

求下面图形中阴影部分的面积,会涉及到轴对称变换。

数学中所谓“变换” ,是指从一个图形(或表达式)到另一个图形(或表达式)的演变,在几何画板中, 研究的是图形的演变。我们能对图形进行平移、旋转、缩放、反射、迭代等变换。 几何画板中实现图形的变换,有两种方法,一种是前面学习过的变换工具,另一种方法就是我们现在 要学习的下图中的变换菜单。

一、学习目标 1、会按“固定的角度”并或按“标记的角度”旋转对象; 2、会在极坐标系或直角坐标系中平移对象,会按“标记”平移对象; 3、会基于标记的中心按“固定比例”或按“标记比例”缩放对象; 4、会基于“标记的镜面” (对称轴)作轴对称; 5、会用“迭代”或“深度迭代”画图。 说明: 【变换】菜单中的命令项是否可用,取决于工作区中选中的对象是否符合使用该菜单项的前提条
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件。另外,对于【旋转】【缩放】 、 ,要基于一个标记中心,对于【反射】 ,要先【标记镜面】 。如果要按可 变的量进行变换,还要标记相关的量。 不过,在 4.0x 版中,还有一些比较另类的用法,即使你事先没有标记中心,仍然可以选中对象,在弹 出【旋转】或【缩放】对话框后,再在工作区中单击一点,此点可以被标记为中心,这种方法也可以用于 改变事先标记好的中心;同样,标记角可以在弹出旋转对话框后通过单击工作区中的一个角度值来实现; 标记距离就比较特殊,如果事先没有标记,在弹出平移对话框后也可以单击工作区中的一个或两个距离值 来标记;标记比可以在出现“缩放”对话框后能过单击工作区中的一个比值、无单位的参数、两条线段(单 击的顺序会影响比值)等方法来立即标记一个比。 每个菜单项的详细使用方法见附录,在这里我们将以一些简单的实例来说明各菜单项的使用方法

(一)旋转对象
例 1 画一个正方形 运行结果: 画一个正方形,拖动任一顶点改变边长或改变位置,都能动态地保持图形是一个正方形。 基本思路: 本例将学习按固定的角度来旋转对象, 1、画一条线段,用来做正方形的一边; 2、双击左端点,标记为中心,选中线段和右端点,绕标记的中心旋转 900(逆时针方向) ,得第二条 边; 3、双击第一条线段的右端点,标记为中心,选择第一条线段和它的左端点,绕标记的中心旋转-900 (顺时针方向) ,得第三条边; 4、连结出第四条边。 操作步骤: 1、画线段 AB。 2、双击点 A,点 A 被标记为中心。 3、依次单击点 B 和线段 AB,选择【变换】|【旋转】命令,在弹出的【旋转对话框】中作如图 3-1 所 示的设置。

图 3-1 4、双击点 B,标记新的中心。 5、依次单击点 A 和线段 AB,选择【变换】|【旋转】命令,在弹出的【旋转对话框】中作如图 3-2 的
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设置。

图 3-2 6、连结上方两个顶点得第四边。 拓展应用: 1、 本例的方法可以用来作任意的正多边形, 只要计算出正多边形的内角, 旋转时按内角度数进行即可, 但这并不是最方便的方法,具体请参阅深度迭代画正多边形。 2、并不是每次用正方形都要从头来画,事实上可以把这个画图的过程创建成一个自定义工具,请参考 相关的章节。 3、画正方形的方法比较多,本例介绍的是较为简便的一种,其余方法请自行尝试。 例 2 中心对称

运行结果:如图 3-3 所示

图 3-3 拖动点 F,使∠DEF 从 0°到 180°变化,如图 3-4 所示。

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图 3-4 最后结果,如图 3-5 所示。

图 3-5 基本思路: 本例将在前面学习的基础上,学习【按标记的角】旋转对象,同时能通过改变角的大小来动态演示对 象的旋转过程。 1、为了方便观察,连结对称中心和各关键点间的虚线段,让研究对象和虚线段绕对称中心旋转 1800, 形成中心对称, ; 2、画一个角并标记这个角; 3、再次选择原来的对象及虚线段,按标记的角旋转; 4、 拖动标记的角为 0°, 观察到的图形为中心对称, 拖动标记的角从 0°到 180°, 可以看到旋转 180° 后重合的过程。 操作步骤: 1、准备工作,完成到如图 3-6 所示。

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图 3-6 2、用选择工具双击点 O,标记为中心。 3、同时选择点 A、B、C,线段 AB、AC、BC、OA、OB、OC,绕点 O 旋转 180°,如图 3-7 所示。

图 3-7 4、用选择工具确保按顺序点 D、E、F 选中这三点,并注意不要多选其它对象,选择【变换】|【标记 角】命令,可以看到所标记的角闪烁。 5、同时选择点 A、B、C,线段 AB、AC、BC、OA、OB、OC,选择【变换】|【旋转】命令,在弹出 的对话框中作如图 3-8 所示的设置。

图 3-8 6、为便于观察,改按角度旋转所得的所有对象为红色,如图 3-9 所示。

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图 3-9 7、拖动点 F,使线段 EF 与 ED 重合,可以看到红色三角形与△ABC 重合。 说明:本例中标记的角度是图形,这种情况要注意选取三个点的顺序,按“边上的点、顶点、边上的 点”来选,如果选择时按逆时针方向,标记的是正角;按顺时针方向,标记的是负角,这将影响对象的旋 转方向。 标记的角也可以是度量角所得的度数(这时只能是正角) ,还可以是由计算器计算出来的度数(可正可 负) 。 练习: 1、用旋转交换的方法画一个正三角形,并与前面用工具画正三角形的方法比较,你觉得哪种方法简便 些?

(二)平移对象
平移是指:对于两个几何图形,如果在它们的所有点与点之间可以建立起一一对应关系,并且以一个 图形上任一点为起点,另一个图形上的对应点为终点作向量,所得的一切向量都彼此相等,那么 其中一 个图形到另一个图形的变换叫做平移。平移是一个保距变换,又是一个保角变换。 几何画板中,平移可以按三大类九种方法来进行,其中的有些方法事先要标记角、标记距离或标记向 量。 在极坐标系中最多可以组合出四种方法,如图 3-10 所示。

图 3-10 在直角坐标系中可以组合出四种方法,如图 3-11 所示。

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图 3-11 按标记的向量平移有一种方法,如图 3-12 所示。

图 3-12 例3 画一个半径为 2 cm 的圆 运行结果: 得到一个半径为 2 cm 的圆,无论如何移动位置,半径保持不变。 基本思路: 根据勾股定理,让一个点在直角坐标系中按水平方向、垂直方向都平移 1cm,得到的点与原来的点总 是相距 2 cm,然后以圆心和圆周上的点画圆即可。 操作步骤: 1、画一个点 A。 2、单击点 A,选择【变换】|【平移】命令, 在弹出的对话框中作如图 3-13 的设置,平移后效果如图 3-14 所示。

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A' A
图 3-13 图 3-14 3、顺次单击点 A 和点 A’,选择【构造】|【以圆心和圆周上的点绘圆】命令。 4、最后效果如图 3-15 所示,无论如何移动,圆的半径固定为 2 cm。

图 3-15 例 4 全等三角形 运行结果:如图 3-16 所示。

图 3-16 拖动点 F 在线段 DE 上移动,可演示两个三角形重合和分开,可用来说明全等形。 基本思路: 本例学习根据标记的向量平移对象, 1、画好一个三角形。 2、另画一条线段(为方便观察,画成水平线) 。 3、在线段上画一点。 4、标记线段左端点到线段上一点的向量。 5、将三角形按标记的向量平移。
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操作步骤: 1、画△ABC。 2、画线段 DE,在 DE 上画一点 F; 3、顺次单击点 D 和点 F,选择【变换】|【标记向量】命令,标记从点 D 到 F 的向量。 4、选取△ABC 的三边和三个顶点,选择【变换】|【平移】命令,在弹出的对话框中作如图 3-17 的设 置(如果标记好向量,会自动设置为按标记的向量平移) 。

图 3-17 5、用文本工具标记新三角形的三个顶点,最后如图 13 所示。 例 平行四边形的画法 前面在学习构造菜单时,我们学习过根据平行四边形的定义,用构造平行线的方法来画一个平行四边 形,这种画法对于一般情况下是没有问题的,但如果你想用来说明向量加法的平行四边形法则,你会发现 当两个向量共线时,无法构造平行线的交点,因而就无法正确表示两个向量的和。 本例介绍根据标记的向量平移的方法来画平行四边形,这样的平行四边形可以正确演示向量加法的平 行四边形法则。 操作步骤: 1、新建一个几何画板文件。 2、用【直尺工具】画出线段 AB 和 AD,如图 3-18 所示。

图 3-18 3、用【选择箭头工具】按顺序选取点 A、B,选择【变换】|【标记向量】命令,标记一个从点 A 指向 点 B 的向量。 4、确保只选中线段 AD 和点 D,选择【变换】|【平移】命令,设置线段 AD 和点 D 按向量 AB 平移, 如图 3-19 所示。

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图 3-19 5、作出第四条边,改第四顶点标签为 C,如图 3-20 所示。

图 3-20 (三)缩放对象 缩放是指对象关于【标记的中心】按【标记的比】进行位似变换。 其中标记比的方法有: (1)选中两条线段,选择【变换】|【标记线段比例】命令(此命令会根据选中的对象而改变) ,标记 以第一条线段长为分子,第二条线段长为分母的一个比,这种方法也可以事先不标记,在弹出【缩放对话 框】后依次单击两条线段来标记。 (2)选中度量得的比或选中一个参数(无单位) ,选择【变换】|【标记比例系数】命令,可以标记一 个比。在弹出【缩放对话框】后单击工作区中的相应数值也可以“现场”标记一个比。 (3)选中同一直线上的三点,选择【变换】|【标记比例】命令,可以标记以一、三点距离为分子, 一、二点距离为分母的一个比。这种方法控制比最为方便,根据方向的变化,比值可以是正、零、负等。 例 5 相似三角形 运行结果: 通过拖动点 F,让图形动态发生变化,以下三图是 F 点所在三个不同位置对相似三角形位置的影响:

基本思路: 1、由在同一直线上的三个点标记一个比。 2、让三角形以其中一个顶点为中心,按标记的比缩放。 3、拖动比值控制点让图形在“A”形和“X”型中转变。 操作步骤: 1、画△ABC。 2、画一条直线,隐藏直线上的两个控制点,如图 3-21 所示。

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图 3-21 3、在直线上画三个点 D、E、F,用【选择箭头工具】依次选取点 D、E、F,选择【变换】|【标记比 例】命令,标记一个比。 4、选取三角形的三边和三个顶点,选择【变换】|【缩放】命令,弹出缩放对话框后如图 3-22 所示进 行设置。 单击点 A,确保对话框中的旋转中心为 A,

图 3-22 5、拖动点 F 在直线上移动,可以看到相似三角形的变化,还可以通过度量相关的值来帮助理解。

(四)反射对象 反射是指将选中的对象按标记的镜面(即对称轴,可以是直线、射线或线段)构造轴对称关系。但并 不是所有的对象都可以反射,例如轨迹就不能反射。反射命令不会弹出对话框,反射前必须标记镜面,否 则即使能够进行反射,得到的结果一般不会是你想要的。 例 6 轴对称 运行结果: 从左到右演示了拖动三角形顶点改变其位置和形状,可以观察到动态保持的对称关系和相关性质。

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基本思路: 1、画一条直线并标记它为镜面; 2、在直线的一旁画一个三角形; 3、选取这个三角形的全部,进行反射; 4、拖动其中一个三角形的顶点改变它的形状和位置,可以观察到轴对称的相关性质。 操作步骤: 1、用画直线工具画一条直线。 2、选中这条直线,选择【变换】|【标记镜面】命令,标记这条直线为对称轴。 3、在直线的一旁画一个△ABC,结果如图 3-23 所示。

图 3-23 4、选取△ABC 的全部,选择【变换】|【反射】命令,并用文本工具标记反射所得的三角形的顶点, 得如图 3-24 所示。

图 3-24 例 用对称变换画一个等腰三角形。 本例将介绍用变换的方法来画一个动态的等腰三角形。 操作步骤: 1、新建一个几何画板文件。
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2、先用工具完成到如图 3-25 所示。

图 3-25 3、双击线段 AD,标记为镜面。 4、确保只选取了点 B 和线段 AB,选择【变换】|【反射】 ,效果得如图 3-26 所示。

图 3-26 5、隐藏点 D 和线段 AD,按 Ctrl+H,隐藏这两个对象。 6、画出第三条边,并改第三个顶点的标签为 C,如图 3-27 所示。

图 3-27 任意拖动三个顶点之一,可以看到,无论形状如何改变,△ABC 始终是等腰形。 五)迭代与深度迭代 问题:我们用旋转变换不难画出正多边形,但边数太多,如要画正十七边型,你不嫌繁的话,得用旋 转变换 16 次,那么有没有简单的方法呢,有,那就是【迭代】 。 例 1、正十七边形的画法 操作步骤:

360? 1、 画两个点,让 B 点围绕点 A 旋转 17 得 B? ,连接 BB? 如图 3-28 所示。

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图 3-28
2、选定 B 点,单击菜单“变换”→“迭代” ,出现【迭代】对话框,如图 3-29 所示。

图 3-29 3、 单击 B? ,工作区中的变化如图 3-30 所示,注意到“迭代规则数:3” ,图形在原有的基础上,增加 了 3 条线段。 (想一想,应让计算机重复画几条线段?)

图 3-30 4、 重复按小键盘上的“+”键,直到迭代规则数变为 16(也就是要让计算机重复画 16 条) ,注意工 作区中图形的变化,如图 3-31 所示。

图 3-31 5、 单击【迭代】按钮,正十七边形构造完毕,如图 3-32 所示。

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图 3-32 迭代变换使用的前提条件:1)选定一个(或几个)自由的点,即平面上任一点,或线(直线、线段、 射线、圆、轨迹)上的任一点,如上例的 B 点。2)由选定的点产生的目标点(不要选定,出现迭代对话框 后,再选) ,如线段的中点,或由选定点经过变换产生的点。 迭代的深度(即重复的次数) ,可用参数控制,即深度迭代,请看例 2 例 2、正 n 边形的画法

运行结果: 如图 3-33 所示,选定参数 n,按小键盘上的“+”或“-”键,可改变 n 的值,从而改变多边形的边 数,即得到正 n 边形(这在黑板上是画不出的) 。

图 3-33
基本思路: 1、画两个点,标记其中一个点作为正 n 边形的中心。另一个点为最基本的第一顶点; 2、 “新建参数”n,用 3600 除以 n,得正 n 边形的圆心角; 3、选取圆心角后【标记角度】 ,让第一顶点绕中心按【标记的角度】旋转,得第二顶点; 4、选取参数 n、进行第一顶点到第二顶点的【深度迭代】 ; 5、选取参数 n,按小键盘上的“+、-”键可以改变参数,得到动态的正 n 边形。 操作步骤: 一、准备工作(确定旋转角的度数和迭代的深度) 1、 按“Alt+=”键,调出计算器,输入“360°÷”“°”由单位按钮输入) ( ,如图 3-34 所示。
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图 3-34 2、 单击计算器的【数值】按钮,选择【新建参数】命令,弹出【新建参数对话框】 ,如图 3-35 所示。

图 3-35 3、 将新建参数的对话框进行如图 3-36 所示的设置。

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图 3-36 4、单击新建参数的对话框的【确定按钮】后,单击计算器上的【确定按钮】 ,再调出计算器,计算 n -1。画出点 A 和点 B,如图 3-37 所示。

图 3-37

360? ? 60? 5、让 B 点绕点 A 旋转“ n ” ,得 B? ,连接 BB? 。如图 3-38 所示:

图 3-38 二、深度迭代 1、同时选取点 B、 “n-1=5” ; 2、按住 Shift 键不放,选择【变换】|【深度迭代】命令,弹出如图 3-39 所示的迭代对话框;
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图 3-39 说明:此步如不按住 Shift 键,菜单中的命令项是“迭代” ,几何画板中部分菜单项会根据按键、工具 按钮的选取状态而改变。本例中为了能动态地构造正 n 边形,必须用深度迭代。 3、单击工作区中的点 B? ,使图 3-39 中“初象”下面框中的问号变成 B? ,单对话框中的“迭代”按 钮。 4、本例至此基本完成,选取工作区中的参数 n,用小键盘上的“+、-”键可以改变 n 的大小。 说明:参数可以减少到 2 以下甚至负数,这时已不能构成多边形,在进阶实例中,大家会学习到控制 参数大于或等于 3 的技巧。 如图 3-40 所示,为当 n=6 时的图形。

图 3-40 【本章小结】 通过本章学习,大家可以看到,利用变换菜单作图比前面的运用工具箱和构造菜单有如下一些特点。 前面章节的方法中,主要是根据图形本身的定义来作图,作图过程需要用的辅助对象较多,步骤较繁。运 用变换菜单作图,大多是根据图形的几何性质来作,这样做的优势在于,作图速度快,可以精确作图。

第四讲 动作按钮的制作
我们在制作课件时总是希望自己能够控制对象的运行,例如对象的显示和隐藏,图形的移动和动态效 果的实现,页面的跳转和链接的控制等等。这些在几何画板中都可以通过按钮实现的。在几何画板 4。x 版本中的【操作类按钮】有【隐藏/显示】【动画】【移动】【系列】【链接】【滚动】共六个能生成可操 、 、 、 、 、 作按钮的命令,如图 1 所示。通过这些命令制作出具有相应功能的按钮,再通过这些按钮对相关对象进行 操作。下面就让我们通过一些实例来学习这些按钮的制作。

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(图 1)

第一节 【隐藏/显示】按钮的制作
例 1 隐藏与显示的切换 (1)在工作区中画出一个三角形,画矩形框选中三角形,如图 2 所示。 (2)选择【编辑】|【操作类按钮】|【隐藏/显示】命令,生成【隐藏对象】按钮,如图 3 所示。 单击该按钮,△ABC 在工作区中隐藏起来,按钮变成【显示对象】 ,如图 4 所示。单击【显示对象】按 钮,隐藏的三角形又显示出来,按钮又变成【隐藏对象】 。在这里通过一个【隐藏/显示】切换按钮控制对 象的显示或隐藏。

例2

熟悉“隐藏/显示”按钮的属性 如果我们想实现这样一个效果, 在隐藏一个三角形的同时, 显示一个正方形;而当隐藏显示的正方形时, 隐藏的三角形又显示出来。要制作出这样的效果,就要熟悉【隐藏/显示】按钮的属性。 (1)选中工作区中 △ABC,按上面的操作再制作生成一个【隐藏对象】按钮。 (2)右键单击【隐藏对象】按钮,打开【隐藏对象的属性】对话框,用鼠标单击选择【动作】中的【总 是显示对象】命令,如图 5 所示。

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图5 (3)紧接上面的操作,先不要按【确定】按钮。右键单击另一个【隐藏对象】按钮,打开属性对话框后, 属性选择【动作】中的【总是隐藏对象】命令,单击【确定】按钮。 这时三角形的显示和隐藏通过两个按钮来控制, 如图 6 所示。 每次单击 【显示对象】 按钮只显示△ABC, 单击【隐藏对象】按钮,只隐藏△ABC。注意和例 1 中的区别,例 1 中是通过一个按钮来控制对象的显示 和隐藏,按钮的动作属性是【切换显示/隐藏】 。

图6 例 3 【系列】按钮的制作 (1)接上例,单击【隐藏对象】按钮,隐藏△ABC。在工作区中画出正方形 ABCD,用上面的方法制作 两个【隐藏/显示】按钮,控制正方形的隐藏和显示。属性分别设置成【总是显示对象】和【总是 隐藏对象】 ,如图 7 所示。

图7 (2)依次单击工作区中控制三角形的【隐藏对象】按钮和控制正方形的【显示对象】按钮,选则【编 辑】|【操作类按钮】|【系列】命令,打开【系列对象属性】对话框,如图 8 所示。

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图8 (3)单击【标签】按钮,在【标签】输入栏中输入正方形,如图 9 所示。单击【确定】按钮,在工作 区中生成【正方形】按钮。

图9 (4)依次选中控制正方形的【隐藏对象】按钮和控制三角形的【显示对象】按钮,向上面一样生成一 个系列按钮,名称改为三角形。 (5)保留【正方形】和【三角形】两个按钮,选中其它按钮,按 Ctrl+H 快捷键隐藏选中的按钮,最后 效果如图 10 所示。单击【三角形】按钮隐藏正方形的同时显示三角形,单击【正方形】按钮隐藏三角形 的同时,显示正方形。

图 10

第二节 【移动】按钮的制作
在上一节介绍了【隐藏/显示】按钮的制作,通过该按钮可以控制对象的隐藏和显示。本节我们来学习 如何通过【移动】按钮来控制对象的移动。在【编辑】|【操作类按钮】菜单中可找到【移动】名令,如图 1 所示。 工作区中依次选中点 A 和点 B 后,选择【编辑】|【操作类按钮】|【移动】命令可以打开【移动的属 性】对话框,如图 11 所示。根据需要选择适当的速度,单击【确定】后在工作区中生成一个【移动按钮】 。 单击该按钮时点 A 向点 B 移动。和点 B 重合时停止。
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图 11 说明:如果想实现文本的移动,可以使用【编辑】菜单下的【分离/合并】命令把文本合并到点,然后 按上面的步骤生成点的移动按钮,再隐藏点。便可以通过按钮控制文本的移动了。 例 4 三角形的平移的制作。 (1)在工作区中画出△ABC,并选中整个三角形,如图 12 所示。

图 12 (2)选择【变换】/【平移】命令,打开平移对话框,在【固定距离】输入栏输入 5,在【固定角度】输 入兰输入 0。如图 13 所示。

图 13 单击【平移】按钮关闭对话框,同时在工作区中得到△A'B'C',如图 14 所示。

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。 图 14 说明:这样得到的△A’B’C’,会随着△ABC 的形状改变而改变,两个图形总是全等。 (3)在工作区中画出任意三角形 DEF, 依次选择点 D、B、F、C、E、A,如图 15 所示。

图 15 选择【编辑】|【操作类按钮】|【移动】命令,打开属性对话框,速度设置为【高速】 ,按钮名称改为高速 移动,单击确定,在工作区中生成一个【高速移动】按钮。 (4)依次选择 D、B'、F、C'、E、A',选择【编辑】|【操作类按钮】|【移动】命令,在属性对话框中速 度设置为【中速】 按钮名称改为中速速移动,单击确定,在工作区中生成一个【中速移动】按钮,如图 , 16 所示。

图 16 (5) 单击文本工具后,依次单击△DEF 的三个顶点,隐藏点的标签。 (6)选中△DEF,制作两个“显示/隐藏”按钮,属性分别设置为【总是显示对象】和【总是隐藏对象】 。 (7)顺次选中【高速】【显示对象】【中速】【隐藏对象】四个按钮,选择【编辑】|【操作类按钮】|【系 、 、 、 列】命令,打开属性对话框,属性设置为【依序执行】 ,时间间隔设置为 0 秒,如图 17 所示。

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图 17 在上面的属性对话框中把按钮的标签改为【平移】 ,单击【确定】按钮,在工作区中生成【平移】按钮, 如图 18 所示。

图 18 单击【平移】按钮后,从△ABC 处有一个和它全等的三角形平移到△A’B’C’,和△A’B’C’重合。托动三角 形的顶点,任意改变三角形的形状后,再次单击【平移】按钮,移动的三角形仍然保持和工作区中的两个 三角形全等。

第三节 【动画按钮】的制作
几何画板真正激动人心的是动画效果的实现,利用动画功能可以制作出很多赏心悦目的作品。下面让 我们通过实例学习“动画”按钮的制作。 例 1 点在线段上的动画 (1)在工作区中画线段 AB 和 CD,且点 C 在线段 AB 上,单击选中点 C,如图 19 所示。

图 19 (2)选择【编辑】|【操作类按钮】|【动画】命令,打开【运动点的属性】对话框,如图 20 所示。

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在这里选择方向

在这里选择速度

图 20 单击【确定】按钮,在工作区中生成一个【运动点】按钮,如图 21 所示。

如 21 说明:单击【运动点】按钮,点 C 在线段 AB 上的运动,再次单击运动停止。 例 2 点在圆上的动画 (1)在工作区中画圆 O 和线段 AB,依次单击点 A 和圆周,选择【编辑】|【合并点到圆】命令,点 A 移 动合并到圆周上,如图 21。

图 21 (2)选择【编辑】|【操作类按钮】|【动画】命令,打开【运动点的属性】对话框,如图 22 所示。

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图 22 单击【确定】按钮,在工作区中生成一个【运动点】按钮。如图 23 所示。这样可以通过按钮来控制 点在圆上的动画。

图 23 说明:可以在【运动点的属性】对话框中修改按钮的名称,也可以选择运动的方向。

例 3 同时控制几个点的动画 前面的例子是用一个按钮控制一个点的动画,还可以用一个按钮同时控制几个点的动画。 (1)在工作区中画出下面的图形(如图 24) ,点 C 在 AB 上,点 F 在圆周上。

图 24 (2)分别单击选点 C 和点 F,选择【编辑】|【操作类按钮】|【动画】命令,打开【运动点的属性】对话 框,如图 25 所示。

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单击选择要设置的对象

图 25 单击【确定】按钮,生成一个【运动点】按钮,通过此按钮可以同时控制点 C 和点 F 的运动。 例 4 参数的动画 除了设置图形对象的动画外,还可以设置参数的动画。几何画板中的参数是不同于度量值和计算值的 能够独立存在的一种数值, 它的建立不依靠具体的对象。 使用参数可以进行计算、 构造可控制的动态图形、 建立动态的函数解析式、控制图形的变换、控制对象的颜色变化等等。参数具体的应用我们在后面有专题 介绍,这里只说明如何通过按钮控制参数的动画。 (1)建立参数。 选择【图表】|【新建参数】命令,打开【新建参数】对话框,如图 26 所示。

可在这里输入数值

在这里修改名称 单击可选择单位 图 26 参数默认无单位,也可以建立带单位的参数。单击确定后,在画板工作区便出现了参数,如图 27 所 示。 含单位的参数 不含单位的参数 图 27 说明:还可以通过选择【度量】|【计算】命令新建参数。 (2)参数的动画 选择【编辑】|【操作类按钮】|【动画】命令,打开【运动参数的属性】动画属性对话框,如图 28 所 示。

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选择变化的方向

修改变化速度

修改变化范围

图 28 根据需要进行相关设置。单击【确定】按钮后,在工作区中生成一个【运动参数】按钮,单击此按钮参数 按设置进行变化。

第四节 【链接】按钮的制作
【操作类按钮】菜单中还有一个【链接】命令,使用此命令可以链接到因特网上的资源、进行本机文 件的超级链接,还可以实现几何画板文件中页面的跳转。 1. 链接网站 选择【编辑】|【操作类按钮】|【动画】命令,打开【链接的属性】对话框,如图 29 所示。

图 29 此时可以在超级链接的信息栏中输入网址,单击【确定】按钮,在工作区中生成一个【链接】按钮, 如图 30 所示。 图 30 2.链接 email:在图 29 中的【超级链接】栏中输入 mailto:yuqiang1971@126.com,单击【确定】按钮 后生成一个按钮,单击该按钮可以打开相关程序,进行邮件书写。 3. 实现本地文件的超级链接 如果想在几何画板工作区中设置一个按钮,单击该按钮来打开 D 盘下 My Music 文件夹中一首 flash 制作的歌曲 notenough,可以在图 29 的信息栏中输入 D:\My Music\notenough.swf,然后单击确定完成。要
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注意文件名后必须要加扩展名,否则链接不成功。 4. 链接到几何画板文件中不同的页面 在多页面的几何画板文件中要实现页面的跳转也可以通过【链接】按钮来实现。打开一个多页的几何画板 文件后,选择【编辑】|【操作类按钮】|【滚动】命令,打开滚动的属性对话框,选择链接到页面,如图 31 所示。

图 31 单击链接到页面的下拉箭头,显示本文件中所有的页面如图 32。

图 32 单击所要跳转的页面名称,在工作区中生成一个按钮,单击该按钮可跳转到所链接的页面。

第五节 滚动按钮的制作
【操作类按钮】的最后一个是【滚动】按钮。当页面内容很多,无法全部显示时,可以通过该按钮控 制整个屏幕的滚动。具体操作如下: 在工作区中画一个点并选中该点,选择【编辑】|【操作类按钮】|【滚动】命令,打开滚动的属性对话 框,如图 33 所示。

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图 33
选择滚动方向后单击“确定”后生成一个“滚动”按钮,单击该按钮整个屏幕(随着点)进行滚动。

5.1

用好几何画板的参数

1996 年教育部全国中小学计算机教育研究中心推广“几何画板”软件,以几何画板软件为教学平台, 开始组织“CAI 在数学课堂中的应用”研究课题。几年来,几何画板软件越来越多的在教学中得到应用。 它简单易学,功能强大。几何画板动态探究数学问题的功能,使学生原本感到枯燥的数学变得形象生动, 极大地调动了学生学习的积极性。本文主要介绍如何在教学实践中运用几何画板参数的功能。 几何画板 4.04 版本中的参数是不同于度量值和计算值的能够独立存在的一种数值, 它的建立不依靠具 体的对象。使用参数可以进行计算、构造可控制的动态图形、建立动态的函数解析式、控制图形的变换、 控制对象的颜色变化等等。 一、新建参数 先让我们建立一个参数,运行几何画板后,单击【图表】菜单,选择【新建参数】命令后出现如图 1 的对话框,参数默认无单位,也可以建立带单位的参数。单击确定后,在画板工作区便出现了参数,如图 2。 (说明:还可以通过【度量】/【计算】命令新建参数。 )

(图 1) 二、控制参数值的改变

(图 2) 参数建立后, 如何对参数进行控制呢?常用的有 以下三种方法。 方法 1:选中工作区中的参数,通过按键盘上的“+” 或“-”键可以使参数值增加或减小。 方法 2:双击工作区中的参数,打开【编辑参数】对 话框(如图 3) ,可以直接输入需要的参数值。 方法 3:选中参数后,选择【编辑】菜单下的【操作 类按钮】下拉菜单中的【动画】命令,打开参数的动 画属性对话框(如图 4),根据需要进行相关设置。单 击确定后,在工作区中出现一个运动参数按钮,单击 此 按 钮 参 数 按 设 置 进 行 变 化 。
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(图 3)

(图 4)

三、教学实例
1、用参数构造动态图形 我们以构造一个用参数控制圆的缩放为例,说明如何用参数构造动态的图形。在工作区中建立一个以 cm 为单位的参数 R,然后(用画点工具)画出点 O,选中参数 R 和点 O,如(图 5-1) 。选择【构造】菜 单下的【以圆心和半径画圆】命令,画出⊙O,如(图 5-2) 。这样构造的圆可以通过改变参数值控制圆的 缩放。用上面的方法 1 可以使圆的半径递增(减) ;方法 2 可以直接输入想要的半径的值;如果用方法 3 制作一个运动参数的按钮后(可隐藏参数) ,单击按钮后,⊙O 自动进行缩放,再次单击按钮,圆停止运 动。该课件可用于直线与圆、圆与圆位置关系的教学。

2、用参数控制对象颜色 我们以上面的图形为例,看看如何用参数控制对象的颜色变化。选中⊙O,选择【构造】菜单下的【圆 内部】命令,填充圆内部,如(图 6-1) 。依次选中参数 R 和圆内部,如图(6-2) 。选择【显示】菜单下 的【颜色】下拉菜单中的【参数】命令,打开如(图 7)的对话框。单击确定。经过这样的设置后,圆内 部的颜色会随着参数的改变而改变。当用运动参数按钮控制圆的缩放时,圆内部的颜色会进行五颜六色的 变化。怎么样,参数是不是很奇妙!

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3、用参数构造动态解析式 用参数构造的函数解析式,可以通过参数的改变来控制解析式的改变,进而控制函数图象的改变。动 态解析式的实现生动直观的揭示了函数的性质以及函数图象的变化规律,在教学实践中取得了非常好的效 果。下面我们以用参数构造动态解析式 y=a(x-h)2+k 为例,来看看动态解析式是如何通过参数来实现的。 (1)新建三个参数 a、h、k。 (2)画函数的图象。 ①选择【图表】菜单的【绘制新函数】命令,弹出【新建函数】计算器; ②依次点击“工作区中的 a=??”“计算器上的*”“ 、 、 、 、 、(”“x”“-”“工作区中的 h=??” ,移动光 标到括号外,再点“^”“2”“+”“k” 、 、 、 。 ③这时你的计算器中的显示如图 8-1, 单击确定。 这时工作区中会出现函数的图象和坐标系, 如图 8-2。

(图 8-1)
这时改变参数 a、h、k 的值,抛物线的形状进行相应的改变。

(图 8-2)
(3)动态解析式的建立 ①用“文本”工具,在工作区中依次输入, “y=” 、 “ [x-(” “ )]2+” 、 ,共三个文本,注意:每一部分 是独立的一块, ; ②用“选择”工具依次选取“y=” 、 “a=??“、 “ [x-(” 、 “h=??” 、 “ )]2+” 、 “k=??” ; ③选择【编辑】菜单下的【文本合并】命令,该
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命令可以把几个文本合并成一个解析式,有些地方加上小括号,是为了当参数变成负数时符合运算规则。 ④右键单击合并的文本,在弹出的快捷菜单中选【属性】 ;在弹出的属性对话框中选【父对象】按钮, 在弹出的选项中选【参数 a】 ;这时属性对话框变为【参数 a 的属性】 ,改动如图 8-3,这样可以让参数 a 在 工作区中显示出来; ⑤用同样的方法让参数 h、k 也显示出来。 这样便得到了动态的解析式 y ? a? x ? h ? ? k ,通过改变参数可以同时控制解析式及其图象的变化。
2

(图 8-3)
4、参数在计算与变换中的应用 参数可以作为数值进行计算,还可以控制图形的变换。下面以构造圆的内接正多边形(可通过参数控 制边数的改变)为例说明参数是如何控制图形变换的。 (1)新建参数 n,选择【度量】菜单下的【计算器】命令,弹出【新建计算】计算器,用鼠标依次点击 3、 6、0,单位选择度,再单击“÷” ,结果如(图 9-1) 。鼠标移到工作区,单击参数 n,计算器显示如(图 9-2) 。单击确定,工作区中出现(含参数 n 的)计算结果,如(图 9-3) 。

用画圆工具画出⊙O,并在⊙O 上画点 A 如(图 9-4) 。双击点 O 标记它为中心。选择【变换】菜单下的 【旋转】命令,打开旋转对话框,单击工作区中参数的计算值,对话框显示如(图 9-5) 然后单击【确 , 定】按钮,得到点 A’,如(图 9-6) 。

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构造线段 AA’,依次选中点 A 和参数 n,按住 Shift 键的同时,选择【构造】菜单下的【带参数的迭代】命 令,出现如图 9-7 的对话框,单击工作区中的点 A’,对话框变为如图 9-8,

单击对话框中的【迭代】按钮后,构造出圆的内接正多边形,效果如图 9-9。这时改变参数 n 的值,圆内 接正多边形的边数进行相应改变。

笔者把上面的例子应用于教学时,学生对所学知识产生了浓厚的兴趣,极大的调动了学生学习的积极 性,使本来抽象难懂的数学知识变得形象生动。毋庸置疑,几何画板软件在教学中的普及应用,必将对我 们的教学产生深远而积极的影响。

5.2

几何画板在表格的功能

几何画板版本 4 在表格的功能上比版本 3 有了很大的加强。下面通过例子进行简单介绍。 例 1:在(图 1)中单击动画按钮,点 B 在 CD 上运动。点 E 是 AB 的中点。测算出 AE、AB D
运动点B AB = 3.22厘米 AE = 1.61厘米 AB AE = 2.00

B E AD
AB

AB 及 AE 的值,用鼠标连续选中这三个标签。选择【绘图】菜单下
的【制表】命令,结果如(图 1) 。 这时可以双击表格或按“Shift”+“+”键添加一行。也可以通 过【绘图】菜单下的【添加表格中的数据项】添加新行,如(图 2) 。但这样添加的数据总是和上一行一样。当点 B 运动时,改变 的总是表格中最后一行的数据。要想连续显示数值的变化,可以 打开(图 2)的对话框。选择当数 (图 1) 值改变时添加命令,一次最多添加 25 行。还可以设置每添加一 行所用的时间。设置好单击 OK。 (图 2) 再次单击动画按钮时,画板会自动生成表格,在运动的 过程中, 每过一秒会添加一行。 直到添加到第 10 行为止。 然后最后一行数值随着动画不停的改变数值。 效果如 (图 3) 。
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C
AE

运动点B
AB AB = 3.88厘米 3.22厘 AE = 1.94厘米米 AE 1.61厘 米 2.00

AB AE = 2.00

A
AB AB 3.22厘 米 3.64厘 米 4.14厘 米 3.19厘 米 3.71厘 米 3.17厘 米 3.84厘 米 3.91厘 米 3.16厘 米 3.68厘 米 3.88厘 米 AE AE 1.61厘 米 1.82厘 米 2.07厘 米 1.59厘 米 1.86厘 米 1.58厘 米 1.92厘 米 1.95厘 米 1.58厘 米 1.84厘 米 1.94厘 米 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00

E

B C

如果想把刚添加的行移除。可用菜单中的命令。还可以按住 Shfit 键双击表格或者直接按减号键。 (图 3)

5.3

符号函数在几何画板中的应用

符号函数(一般用 sgn(x)表示)是很有用的一类函数,能够帮助我们在几何画板中实现一些直接实现 有困难的构造。 符号函数的定义如下:

?1, x ? 0 ? sgn(x) ? ?0, x ? 0 ?? 1, x ? 0 ?
能够把函数的符号析离出来,应用他来定义我们熟悉的绝对值函数就可以改写成

| x |? sgn(x) ? x
在几何画板中(或者一般的程序设计软件中)有绝对值的运算,所以不必如此,但是,比较大小在几何 画板中没有,在一般的程序中都可以很轻松的处理,这里恐怕就得借助于符号函数了。 给定两个数值 A 和 B,sgn(A-B)就代表了两者的大小。但是我们需要的是返回一个那个大 (或小) 的值, 就得费些周折了。先给出另一个函数 h(x)=sgn(1+sgn(x)),不难看出如下结论:

?0, x ? 0 h( x ) ? ? ?1, x? 0 h( B ? A) ? A ? (1 ? h( B ? A)) ? B 就可以表示两者之间的较小的。
h( A ? B) ? A ? (1 ? h( A ? B)) ? B 就可以表示两者之间的较大的。
这个符号函数的应用是很巧妙的,还有更巧之处,若把 A,B 看成是两个变量,那么我们用符号函数表 出了 max{ x, y} , min{ x, y} ,这是一个二元函数,在中学的范围内没有太多的研究的必要,但若把 x,y 分 别看成一个关于第三个变量的函数,就是 x(t)以及 y(t),问题就会转化回来,就变成了函数 max?x(t ), y (t )?, 这个函数还是比较让我们感兴趣的,就是函数:

? x(t ), x(t ) ? y (t ) max( t ) ? ? ? y (t ), x(t ) ? y (t ) = h( x(t ) ? y(t )) ? x(t ) ? (1 ? h( x(t ) ? y(t ))) ? y(t )
于是, 按照几何画板中的方式进行定义函数, 并且画出函数图象。 下图以 sinx 和 cosx 为例画出了图象。
6

h?x? = sgn ?1+sgn ?x?? f?x? = sin ?x? g?x? = cos ?x? q?x? = f ?x?-g?x? r?x? = h ?q?x???f?x?+ ?1-h?q?x????g?x?

4

2

-10

-5

5

蓝色的 为正弦曲 线,红色的 为余弦曲 线, 黑色为 max? sinx,cosx?
-4

-2

其实,原来的常数 A,B 看成常函数,比较两个数的大小自然就可以看成是一种特殊情况了。 这里符号函数的应用显得很恰当,让我们再回顾一下,先是把 sgn(x)加工成 h(x),h(x)起到的作用是平 衡两者之间那一个为 0 的,那么我们不妨尝试一下用另一种方法来定义 h(x)。

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?1, x ? 0 sgn(x ) ? 1 ? 1 ? h( x ) ? ? ? ,x ? 0 2 ?2 ?0, x ? 0 ?
几乎就可以象前面一样应用了,但是存在一个 x=0 的问题,可以把 x=0 点带入。

h( B ? A) ? A ? (1 ? h( B ? A)) ? B ? h(0) ? A ? (1 ? h(0)) ? B 1 1 ? A ? (1 ? ) ? B 2 2 ? A?B ?

对于 A=B 这个数值就象是加权平均一样,只要是 0 ? ? ? 1 ,那么 ?A ? (1 ? ? ) B ? A ? B 。 于是,我们得到了新的形式的 max{x(t),y(t)} max{x(t),y(t)}= h( x(t ) ? y(t )) ? x(t ) ? (1 ? h( x(t ) ? y(t ))) ? y(t ) 从表面上没有差别, “内核” 但 的构造已经有了变化。 更有趣的是, 如果你把这个新的式子还原成 sgn(x) 表述,那么,认识就会更深入一步。

h( x(t ) ? y (t )) ? x(t ) ? (1 ? h( x(t ) ? y (t ))) ? y (t ) sgn(x(t ) ? y (t )) ? 1 sgn(x(t ) ? y (t )) ? 1 ? x(t ) ? (1 ? ) ? y (t ) 2 2 1 ? ?sgn(x(t ) ? y (t ))( x(t ) ? y (t )) ? x(t ) ? y (t )? 2 1 1 ? | x(t ) ? y (t ) | ? [ x(t ) ? y (t )] 2 2 ?

这个公式的可接受程度比前两者都好,应该很熟悉,无论怎么讲,比较两个量的大小已经很丰富了。 我们还可以就势讨论下去,一方面,可以把问题的从两个量到多个量,另一方面,可以考虑这个符号 函数在指导其他函数的性质上的应用。 如何实现从两个量到多个量的拓展呢?当然可以使用复合。 用 h(x)进行复合,在数学式子上太麻烦,但我们可以使用几何画板 4 中的定制工具,一旦以两个函数 为基础定制了工具 max{x(t),y(t)},就可以再次的使用进行定义,得到三个,四个以致多个的函数最值工具。
f?x? = sin ?x? g?x? = cos ?x? 1 h?x? = 3 sgn?x?+1 q?x? = 2 r?x? = q ?f?x?-g?x???f?x?+?1-q?f?x?-g?x????g?x?
6

4

2

-10

-5

5

本图是先定义了 f(x),g(x)和 q(x)的基础上,定义了工具 max{f(x),g(x)},之后用这个工具比较 h(x)和前面产 生的 r(x),画出图象,之后就可以在这个基础上创建 max{f(x),g(x),h(x)}工具。 我们再谈论一下其他方面的拓展,其实,我们可以看得出,在整个的图象的绘制中,f(x)-g(x)的作 用,他是描述出了定义域的类别,在不同的定义域上,我们选择不同的解析式来作图,而使其他的解析式 无效,这种方式很容易让人联想到分段函数,不过分段函数的定义域的决定是取决于一个外部的因素,是 人为的划分的区域,那么,我们就可以引如一个外部的量(比如 x 轴上的一个点来划分)来划分定义域, 在划分好的区域上面选择解析式作图。比如,以平面上的任意一点 D 的横坐标划分两个区域,在其左面画 出 y=sinx,右面画出 y=x,并且定制了工具,如下图:
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分段函数
这个工具可以在当前的坐标系统下,给定两个函数f和g以及一个 分点"D"在平面上,画出分段函数 h(x)=f(x)(在D点的 左 边) =g(x)(在D点的 右 边) 的图象。 f?x? = sin ?x? g?x? = x

D

这里是工作原理 xD = 2.28 q?x? = sgn ?1+sgn ?x-xD?? h?x? = g ?x??q?x?+f ?x???1-q?x?? 这是我们分点 x?xD,q(x)=1,x<0,q(x)=0 用符号函数来写分段函数
回到菜单

译者注:在作图的过程中,最好在preferrence中调整角度的弧度制。

三个函数的复合,如同前面,这里不再赘述。 符号函数从本身的分段特性出发,很好处理了函数的区域的划分,解决了函数的特殊复合,更多的应 用还要逐渐实践中发现。 参考文献:几何画板 4.03 的 samples/custom tools/advanced tools.gsp 文件 数学分析讲义,刘玉琏、傅沛仁,高等教育出版社。

5.4 几何画板 4.0 版图象功能简介
陶维林 (南京师大附中 210003) 几何画板 4.0 版于 2001 年 6 月 30 日发布。可以由网站“http://51maths.yeah.net”下载得到。这里简单 介绍 4.0 版在函数图象方面功能的改进,供热心计算机辅助数学教学的老师参考。

1.直接给出函数表达式就可以画出函数的图象 如图 1,单击【Graph】菜单的【Plot New Function】选项,弹出计算器。利用计算器上给出的键盘或 者计算机键盘键入函数表达式(其中“f(x)=”是自动加上的) ,单击【OK】按钮,即刻出现该函数的图 象。 图1 图2 2.画带有参数的函数图象更加简便

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单击 【Measure】 菜单的 【Calculate】 打开计算器。 分别给出三个参数值, t1=1.00, 2=-2.00, 3=0.50; 如 t t 用 【文本编辑】 工具把它们分别改成 a=1.00, b=-2.00, c=0.50; 单击 【Graph】 菜单的 【Plot New Function】 , 2 2 计算 ax +bx+c,单击【OK】按钮后即出现函数 f(x)= ax +bx+c 在 a=1.00,b=-2.00,c=0.50 时的图

象(如图 3) 。 图3 图4

3.改变参数的值更加容易 如图 4, 【Display】 单击 菜单的 【Show Motion Controller】 再选择 , “a=1.00” 出现如图 5 所示的 , “Motion Controller”人机对话框,单击【开始】按钮,数值 a 将不断变化,函数图象也跟着参数变化而变动起来。 在参数 a 变动的过程中,你可以控制变动速度,如图 图5 图6 6,可以直接编辑“Speed”编辑框中的数字或者单击右边的大小变动按钮来改变 a 的大小,数值 a 的变动 速度即改变。数值是逐渐增大还是逐渐减小也可以单击右边的按钮来改变。有趣的是 a,b,c 三个参数可 以同时变动,并且可以设置各自的变动速度。

4.用数字控制对象颜色 对象的颜色可以与数字关联。这样一来函数图象在变动(如平移)的过程中,不仅位置改变,颜色也 在变化, 这对增强教学效果是有好处的。 x 轴上任意取一点 C, 在 单击 【Measure】 菜单中的 【Abscissa (x) 】 度量点 C 它的横坐标 xC,打开计算器,键入-3 产生数值 t1=-3(任意给出的初始值) ,用计算器计算(xC -t1)2,先后选择 xC 与(xC-t1)2,单击【Graph】菜单的【Plot as (x,y) 】绘制出点 D,同时选择点 C、 点 D, 【Construct】 单击 菜单的 【Lucus】 作出函数图象。 选择点 D 与数值 t1, 【Display】 单击 菜单的 【Color】 、 【Parametric】 ,弹出如图 7 所示的“Parametric Color”对话框,单击【OK】 (接受系统的默认设置) 。如 图 8,打开“Motion Controller”人机对话框,单击【开始】按钮,函数图象移动,颜色不断变化。 图7 图8 5.根据表格数据描点

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如图 9,利用【Transform】菜单【Iterate】功能,可以列出函数 f(x)=2 在 x 取-2 到 2.5 之间每间 隔 0.5 时的自变量的值与函数值,同时画出这些数据描出的点。不论给出通项公式还是递推公式,都可以 画出数列的图象,因此也可以画出 y=

x

f ( f ( f ? f ( x ))) ???????
n个f

的图象。

图9 6.表达式中的数据可以是动态的 在【编辑】菜单新增加了选项【Split/Merge】 (切分或合并) 。利用这一功能可以把文本、数值合并起 来,当数值变动时合并在文本中的数值也跟着变动。如图 10,当拖动点 A 时,数值 a 变动,函数表达式 f (x)=-1.01x2+(0.85)x+1.75 中的-1.01 也跟着变化。利用这一功能还可以把文本与点“捆绑”在一 起,比如把函数表达式与函数图象上的点“捆绑”在一起,函数图象移动,表达式也跟着移动。

这些功能的运用对于观察数值变化会引起图形、图象发生何种变化是直观形象的,真是“数形结合” 。 图 10 7.计算一个函数的导函数 选择函数表达式,单击【Graph】菜单的【Derivative】 ,立即出现该函数的导函数,在图象上取一点 M, 分别度量其横坐标 xM、纵坐标 yM,计算 yM+f ?(xM) (x-xM) ,就可以画出函数图象上该点处的切线。 拖动该点,切线位置也随着变动。

8.文本编辑支持数学格式排版 如图 11,在利用【文本编辑】工具进行文本编辑时,可以打开数学排版编辑工具进行数学格式排版, 并可以设置文本的颜色、字体、字型等。 图 11 另外,还可以直接画出直角坐标系下 x=f(y)的曲线,极坐标系下的ρ =f(θ ) =f(ρ )表示的曲 、θ 线。同一页上可以定义几个坐标系,不同的页可以有不同的坐标系。在同一页上的一个点可以有几个不同 的坐标,点的位置变动几个坐标都在变动。 4.0 版增加了分页功能,一个文件可以由若干页组成。 总之,几何画板 4.0 版比 3.05 版在功能上有了很大的改进,尤其在函数图象上功能的改进较为突出。 这些功能给代数教学带来很大方便,相信会引起同行的兴趣。

5. 5 几 何 画板 4.0 的 一些 发 现
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以下是我在别的论坛上发表的帖子内容的整理。 点运动的一个特点: 做了如下尝试: 1、先画一个圆,然后在圆上画一个点; 2、做一个按钮驱动点在圆上运动; 3、把点从圆上分离出来; 4、发现驱动按钮仍在,仍然能让点运动; 5、查看此时按钮的属性,为让“点在平面上自由移动”; 6、将这个点合并到一个函数图象上,按钮仍能驱动点在曲线上运动; 以上事实说明,驱动点的按钮受点本身控制,同时根据点所属的父对象自动调整运动方式。 切换工具箱按钮的另一方法: 在我的机上,转动 3D 鼠标中间的滚轮,可以在工具箱中的按钮作上下切换,请大家验证一下。 对于还有二级按钮的,比如画线工具,选取该工具后,点中间的滚轮,可以在线段、直线和射线三者之间切换,我办公室用 的是联想 3D 鼠标,在家里可能就不行了,因为家里的罗技 4D 网鼠,点滚轮会呼出一个设置鼠标功能的工具条。 如果你没有脚本工具,不能切换到脚本工具按钮上 ,这种方法的优点在于,不用把鼠标从工作区中移开,(鼠标不用移到按钮上),一只手就可以完成工具按钮的切换。 动态显示度量值的一个改进: 主要是让文本和线段有一定距离,不会影响观察线段 点击浏览该文件 写字效果 结合艺术字做的一个写字效果,练习一下系列按钮 点击浏览该文件

5.6 揭开迭代命令的神秘面纱
李玉强 天津市葛沽第三中学
内容摘要:本文通过实例介绍几何画板 4.04 版本中【迭代】命令的功能,初步探讨【迭代】在教学中 的具体运用。 关键词: 【迭代】在代数学中的运用; 【迭代】在几何学上的运用;深度迭代

用过几何画板 4.0 版的朋友们都知道【变换】菜单下有个【迭代】命令。但大部分读者 觉得该命令有些高深莫测,不知它有什么作用。其实迭代就是指一个初始对象(可以是数值、 几何图形等)按一定的规则反复映射的过程。本文通过实例对【迭代】命令进行说明。通过 阅读本文您可以对【迭代】命令有所了解,并能在教学中初步运用。让我们一起进入【迭代】 世界,感受它的强大功能吧! 例 1: 【迭代】在代数学中的运用 (1)在【图表】菜单中,选择【新建参数】命令,在工作区建立一个参数 a(关于参数 的相关内容,请读者参阅《中国电脑教育报》第 46 期《用好几何画板的参数》一文) 。然后 2 利用【度量】菜单下的【计算】命令,得到 a 的值; (2)单击选中参数 a 后,在【变换】菜单下选择【迭代】命令,打开【迭代对话框】 , 2 2 如(图 1) 。单击工作区的计算值 a =4,来映射 a a ,工作区显示如(图 2) ;

(图

(3)单击【迭代】按钮后,最后效果如 3) ,迭代完成。改变原象参数 a 的值,初象
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a2 的值相应改变,如(图 4) ;选中迭代产生的表格,按小键盘上的“+”号键可以增加迭代 的次数,如(图 5) ,按“-”键则减少迭代的次数。

通过本例,您应该了解在代数学中,一个迭代就是一个计算结果 的循环(用一个输入值计算一个输出值) 。迭代反复地应用前面的计算结果 作为下一步迭代的输入。当然,若要开始迭代过程,首先必需有个初始值,如上例中的参数 a。请您以 a 为原象,以 a 的不同计算值为初象,来试试【迭代】吧! 例 2、 【迭代】在几何学上的运用 (1)用画圆工具在工作区中画出⊙O,以⊙O 的半径 OA 为直径构造⊙P 如(图 6) 。这样 点 P 和点 O 发生关联,它 P 既是大圆半径的中点同时也是绿色的小圆的圆心; (2)单击选中点 O,从【变换】菜单选择【迭代】命令,打开【迭代对话框】 ,如(图 7) ;

(3)单击工作区中的点 P,来建立原象 O 到初象 P 的映射,效果如 (图 8) ; (4)单击迭代按钮,完成迭代,效果如(图 9) 。您可以选中任何迭代象,按小键盘上的 “+”键或“-”键来增加或减少迭代的次数。 在几何学中,一个迭代就是用一个操作处理一组对象产生一组新的对象。原象作为输入, 初象作为输出。若要开始操作过程,必需有一组对象作为原象。象本例中的点 O 就是原象。 上面我们用两个例子分别介绍了数值和几何图形的迭代,接下来让我们看看二者综合的 迭代效果。 例 3、 “图形+数值”的迭代 (1)分别度量出(图 6)中⊙O 的半径、周长和面积,如图(10) ;

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(2)单击选中点 O,从【变换】菜单选择【迭代】命令,打开迭代对话框,如(图 11) ; (3)单击工作区中的点 P,来建立原象 O 到初象 P 的映射,效果如(图 12) ; (4) 单击迭代按钮, 完成迭代, 效果如 (图 13) 。 本例中在进行图形迭代的同时,与图形相 关的度量值也会进行迭代, 并以表格的形式输出。 在本例输出的表格中,您会看到每一个迭代成 功的圆的半径和周长都依次减半,圆的面积依 次变为上一个圆的四分之一。 例 4、 “数值+图形”的迭代 (1)在工作区中新建参数 a 和 b,并计算 a +1 和 b+2 的值,如(图 14) ; (2)依次单击 a+1 和 b+2 两个计算值,选择【图 表】菜单下的【绘制(x,y) 】命令,如(图 15) ;

(3)单击该命令后系统自动调出坐标系,并绘制出以所选计算 值为坐标的点,如(图 16) ; (4)用同样方法绘制出以参数 a、b 为坐标的点, 选中绘制的两个点构造线段,如(图 17)

(5) 依次选中参数 a 和 b, 从【变换】菜单选择【迭代】命令,打开迭代对话框,如(图 18) ; (6) 在对话框中,a 映射的初象反白显示时,单击工作区中的 a+1 的计算值;b 映射的初象 反白时,单击工作区中 b+2 的计算值。工作区如(图 19) ; (7)单击迭代完成,最后效果如(图 20) 。

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在本例中,我们不仅迭代了数值,同时还迭代了由该数值绘制的几何图形。 在上面两例中您可以选中任何迭代象,按小键盘上的“+”键或“-”键来增加或减少 迭代的次数。我们还可以利用参数来控制迭代的深度(次数) ,让我们来看看深度迭代(带参 数的迭代吧)吧! 例 5、深度迭代(带参数的迭代) 本例我们通过任意 n 等分线段来看看如何进行深度迭代。 (1) 在画板工作区中画线段 AB, 建立参数 n,并计算 n-1 和 n 分之一的值,如(图 21) ;

(2)双击点 A 标记其为中心,单击选中点 B,选择【变换】菜单下的【缩放】命令,打 开【缩放对话框】后,鼠标移向 n 分之一的计算值,如(图 22) ;

(3)鼠标单击该计算值,计算值闪烁后,线段上出现点 B 的缩放对象 B’,效果如(图 23) 。单击【缩放】按钮完成缩放; (4)依次单击点 A 和参数 n 和计算值 n-1。按住 Shift 键后, 【变换】菜单的【迭代】变 成了【带参数的迭代】命令,如(图 24) ,单击该命令;

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(5)在打开的对话框中进行如(图 25)的设置。单击【迭代】按钮完成制作。效果如(图 26) 。

双击参数 n 后,可以打开编辑参数值的对话框,输入一个正整数可以等分线段 AB,也 可以按小键盘上的“+”号键增加等分的线段数。 (图 27)是 n 变为 6 时的效果。

通过以上几例,我们可以看出, 【迭代】命令是按照一 个预先定义的迭代规则来实现的,只有当选定了一些有关联的原象点或原象计算结果时, 【迭 代】命令才可以实现。原象点必需是独立的或路径上的点,而且必需在当前画板中定义了和 它有关联的其它点。原象计算结果必需是参数值或独立的计算结果,而且必需同时定义了计 算结果象。选中迭代生成的图象,可以用键盘的+/-来增加或减少迭代的次数;也可以通过参 数建立带参数的迭代,通过参数来控制迭代的次数。好了,迭代就说到这,您是不是有些跃 跃欲试了,那还等什么,动手操作,您一定会能熟练的运用迭代的。
5.7 使用自定义模板合并文本 当你选择合并文本命令时,几何画板会按水平方式把你所选定的文本对象进行合并为一个新的对象,而且 在新对象中每个部分都共享同一文本样式(颜色,大小,字体等) 。在这里我们可以用文本模板来改变这 种状态,即,控制部分文本对象的样式。下面分别以几个例子加以介绍,望对大家起到抛砖引玉的作用: 1、动态分数的实现。 (这是前面几个贴子里提到的,当然那两个有创意的作法很好)

{1} 用文本工具先创建此格式的文本(即模板) {2} ,再在画板上创建两个文本对象(当然可以是测量对 : ?
象值,函数,参数等等) ,然后按先后顺序选择:模板->对象 1->对象 2、最后打开编辑菜单选择合并 文本就实现了分数的创建。 解释: 〖Ⅰ〗模板必需以等号(=)开始, 〖Ⅱ〗后面的{1}{2}代表了选择的对象(有个先后顺序) 、 ,我们还可以出现{3}或是更多。比如:

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? {1}

{2} {3} 这不就成了带分数了吗?

〖Ⅲ〗其实也没什么了,就是模板当中可以有其它文本。 2.为合并后新对象中,各个部分样式的设置 这么来说吧如下的一个文本合并:由 A、B、C 三个文本对象进行合并为

A

B C 格式,由 1 我们知道了先创

? {1}

建一个模板, 红色,B 部分颜色为绿色,C 的字体为隶书这该怎么办啊!

{2} B A {3} 然后进行合并,但是现在我有这么一个想法:让合并后的 C 中的 A 部分颜色为 ? {1} {2} {3} 进行处理一下就可以了,把{1}选中设为红色,再把{2}选中设为

实现这一步我们只需对模板 绿色,最后把{3}选中设为隶书字体,再把刚才的文本对象全并一次看看一切 OK 了。 说明:其实这里要说的就是对模板中{1} {3}。。 {2} 。。。的格式设置,就代表了对合并后对应文本对象的 设置了。

5.8 例说几何画板 4.0x 版本的智能化菜单
几何画板软件以她的实用性、适用性、易用性,得到越来越多数学教师的青睐。我们知道,在几何画 板中所有的命令都可以在菜单栏找到。而在几何画板 4.0x 版本中菜单的智能性比以前的版本有了增强。下 面我们通过一些实例对几何画板 4.0x 版本的菜单命令进行介绍。 一、 【分离/合并】命令 在【编辑】菜单下您会找到该命令。运用它可以把一个对象合并到另一个对象,或者把合并的对象分 离开。随着选取对象的不同,此命令的名称会相应改变。通过该命令可以实现如下效果。 1、点与点的合并与分离 (1)如果你用画线工具画一个三角形,不小心画成了如图 1-1 所示:

图 1-1 (2)这时您可以依次单击点 D 和点 A,如图 1-2 所示:

图 1-2 (3)选择【编辑】|【合并点】命令,如图 1-3 所示:

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图 1-3 (4)合并后的效果如图 1-4 所示:

图 1-4 (5)打开【编辑】菜单,刚才的【合并点】命令变成了【分离点】命令,如图 1-5 所示:

这里命令发 生了改变

图 1-5 (6)选择分离点命令后,效果如图 1-6 所示:

图 1-6 2、点与线的合并与分离 如果我们想把一个一般的三角形变成直角三角形,用【分离/合并】命令也能实现。 (1)用【画线工具】 在工作区中画出△ABC,如图 2-1 所示:
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图 2-1 (2)依次选中点 B 和线段 BC,选择【构造】|【垂线】命令,得到 BC 的垂线 k,如图 2-2 所示:

图 2-2 (3)依次选中点 A 和垂线 k,选择【编辑】|【合并点到垂线】命令,如图 2-3 所示:

这里命令发 生了改变

图 2-3 (4)合并后的效果如图 2-4 所示:

图 2-4 (5)打开【编辑】菜单,刚才的【合并点到垂线】命令已经变成了【从垂线中分离点】命令,如图 2-5 所示:

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这里命令发 生了改变

图 2-5 (6)单击【从垂线中分离点】命令后点与垂线分离,如图 2-6 所示:

图 2-6 给您提示:运用上面的方法同样还可以实现点到线段、圆、圆弧、多边形内部、圆内部的合并与分离, 【合并/分离】命令会随对象的不同而进行相应的改变。这里不在赘述,请读者朋友自己试验。 3、 文本与文本的合并 在几何画板 4.0x 版本中,不仅可以很方便的实现点与其它图形的合并与分离,还可以实现文本和其它对象 的合并与分离。 (1)在工作区中用文本工具分两次输入“互相交流”“共同进步” 、 ,选中这两个文本,选择【编 辑】|【文本合并】命令,如图 3-1 所示:

图 3-1 (2)单击【合并文本】命令,两个文本合并成一个,如图 3-2 所示:

图 3-2 此时在工作区中只显示合并后的文本,合并前的两个文本看不到了,那有没有办法让它们显示出来呢?答 案是肯定的。右健单击合并的文本,出现如图 3-3 所示的快捷菜单。

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图 3-3 (3)单击【属性】命令,打开【属性对话框】 ,单击【父对象】的下拉箭头后显示如图 3-4 所示:

图 3-4 (4)单击父对象下的名称,如图 3-5 所示,把【隐藏】前的“√”取消,隐藏的对象便可以显示出来 了。

去 掉 这 个 “√” ,可显 示隐藏的对 象

图 3-5 【给您提示】这里介绍的只是把几个文本简单的合并成一个。如果希望合并后文本具有某些特殊的形 式,可以运用【模板】来实现。关于【模板】的运用请您参考专门介绍【模板】的文章。 4、 文本与度量值的合并 可以把对象的度量值看做是一个文本,和其它文本进行合并。 (1)在工作区中画出△ACD 和 CD 边上的高 AB,度量得到 AB 的长度,如图 4-1 所示:

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图 4-1 (2)用文本工具输入“△ACD 的高=” ,依次选中“△ACD 的高 AB=”和度量值 AB,选择【编辑】 |【合并文本】命令,效果如图 4-2 所示。

图 4-2 【给您提示】用上面的方法合并后,文本中的度量值可以保持动态性,也就是当改变 AB 的值时,合 并的文本中的值也相应改变。 5、 参数与文本的合并 几何画板 4.0x 的参数功能有很广泛的运用, (请参考笔者的另一篇文章《用好几何画板的参数》 )在这 里我们来学习如何把一个动态的参数与文本合并。 (1)选择【图表】|【新建参数】命令,打开【新建参数】对话框,如图 5-1 所示:

图 5-1 (2)把参数名称改为 a,如图 5-2 所示,单击【确定】按钮这时工作区中出现新建的参数 a=1。

图 5-2 (3)在工作区中用【数学符号面板】 用上面合并文本的方法把参数 a 和 x2 合并,如图 5-3 所示: 中的工具输入 x2,然后

图 5-3 合并后参数 a 处于隐藏的状态,可以用上面介绍的方法,把隐藏的参数显示出来。这里的参数 a 是动
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态的,可以选中参数 a=1.0 后用键盘上的“+” “-”键来控制参数的改变,也可以选中参数后选择【编辑】 |【操作类按钮】|【动画】命令来动态改变参数的值。令人兴奋的是在改变参数 a 的值时,合并到文本中 的参数值也进行相应的改变。这样我们就可以实现一些很直观的效果,例如动态解析式的实现,关于动态 解析式的实现有专题介绍,请大家参考。 6、 文本与点的合并 您如果看到几何画板中的动态字幕时,在佩服作者的同时一定自己也想尝试一下。想做出同样的效果 来。其实很简单,动态字幕实际上是通过点的运动实现的。只要把要实现动态的字幕合并到一个点上,然 后通过点的运动就可以控制字幕了。但这里关键的一步是当依次选中文本和点后,必须要按住【Shift】键, 【编辑】菜单中才会出现【合并文本到点】命令。

5.9 智能化【构造】菜单的命令
1、 线段的构造方法 (1)在工作区中用画点工具画出点 A 和点 B,依次选中点 A 和点 B,选择【构造】|【线段】命令, 得到线段 AB。 (2)按住 Shift 键不放,在工作区中画出点 A、B、C,如图 6-1 所示:

图 6-1 (3)选择【构造】|【线段】命令,得到△ABC,如图 6-2 所示:

图 6-2 (4)按住 Shift 键不放,在工作区中画出点 A、B、C、D、E,如图 6-3 所示:

图 6-3 (5)选择【构造】|【线段】命令,得到五边形 ABCDE,如图 6-4 所示:

图 6-4 (6)如果然后按 A、C、E、B、D 的顺序依次选中这五个点,选择【构造】|【线段】命令,得到五 角星 ABCDE,如图 6-5 所示:
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图 6-5 【给您提示】构造线段可以用快捷键“Ctrl+L” ,构造多边形时注意选点的顺序。 通过上面几例,我想您已经掌握【构造线段】的命令可以完成哪些工作了,尤其是五角星的构造方法, 是不是感到很方便啊。 2、圆的构造方法 方法一:在工作区中用画点工具画出点 A 和点 B,依次选中点 A 和点 B,选择【构造】|【以圆心和圆 周上的点绘圆】命令,得到⊙A。 【给您提示】这种方法通过两个点来构造圆,注意先选的点为圆心。 方法二:在工作区中用工具画出点 O 和线段 AB,依次选点 O 和线段 AB,选择【构造】|【以圆心和半 径绘圆】命令,得到⊙O。 【给您提示】这种方法是通过一个点和一条线段来构造圆,还可以度量出线段的长度,用点和度量值 (或计算值)来构造圆。这样可以通过改变线段来控制圆的半径的大小。 方法三:打开【图表】|【新建参数】对话框,单位选择厘米,如图 7 所示。单击【确定】后在工作区 中显示参数 t1,选则一个点和参数 t1,也能构造出圆。通过改变参数值可以控制圆的大小。

图7 【给您提示】用这种方法构造的圆,通过改变参数值可以控制圆的大小。 3、内部的构造方法 (1)构造多边形内部: ① 依次选中工作区的 A、B、C 三个点,如图 8-1 所示:

图 8-1 ① 选择【构造】|【三角形内部】命令, ,效果如图 8-2 所示:

图 8-2 【给您提示】用这种方法,依次选中多边形各顶点,可以构造出各种多边形内部。菜单中的命令会随
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着所选顶点数的不同进行相应的变化。 (2)构造圆内部 ① 用【圆规工具】 在工作区中画出⊙O,单击⊙O 选中,如图 8-3 所示:

图 8-3 ② 这时【构造】菜单下的【内部】命令变为【圆内部】 ,单击该命令,效果如图 8-4 所示:

图 8-4 (3)构造弧和弓形内部 ① 在⊙O 上用【点工具】

画出点 A、B、C 如图 8-5 所示:

图 8-5 ② 用【选择工具】 ,依次单击点 A、B、C,选中这三个点,如图 8-6 所示:

图 8-6 ③ 选择【构造】|【过三点的弧】命令,构造出弧 AC,隐藏点 B 和⊙O,效果如图 8-7 所示:

图 8-7 ④ 单击弧 AB,此时【内部】命令变为【弧内部】 ,如图 8-8 所示:

图 8-8 ⑤ 把鼠标移到【弧内部】命令上,下拉箭头显示命令,如图 8-9 所示:
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图 8-9 ⑥ 选择【扇形内部】命令,效果如图 8-10 所示:

图 8-10 ⑦ 选择【弓形内部】命令,效果图 8-11 所示:

图 8-11 三、用好你的 Shift 键 在几何画板 4.0x 版中,你如果按住 Shift 键不放,去查看菜单命令,会发现一些命令进行了改变。例 如【文件】菜单下的【另存为】变成了【另存为网页】命令; 【编辑】菜单下的【撤销】变为【撤销所有 动作】命令, 【重复】变为【重复所有动作】命令, 【参数设置】变为【高级参数设置】命令; 【变换】菜 单下的【迭代】变为【带参数的迭代】命令; 【图表】菜单下的【显示网格】变为【显示坐标系】命令。 熟悉一个软件的菜单命令是掌握这个软件的必由之路,希望本文对您熟悉几何画板的菜单命令有所帮 助,尤其是几个随着所选对象的不同进行相应改变的命令,还要注意 Shfit 键的作用。

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