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2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第6讲 双曲线课件 理


第6讲
考试要求

双曲线

双曲线的定义,几何图形和标准方程,简单的几

何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线),A级要求.

知识梳理 1.双曲线的定义 (1) 第一定义:平面内与两个定点 F1 , F2(F1F2 = 2c > 0) 的距离 差的绝对值等于常数(小于F1F2且大于零),则点的轨迹叫双曲 线.这两个 定点 叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距 .集 合P={M||MF1-MF2|=2a},F1F2=2c,其中a,c为常数且a>0,

c>0:

①若 a<c 时,则集合P为双曲线; ②若a=c时,则集合P为 两条射线 ; ③若

a>c

时,则集合P为空集.

(2)第二定义:平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上)

的距离的比是常数e(e>1)的动点C的轨迹叫做双曲线.

2.双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程 x2 y2 y2 x2 a2-b2=1(a>0,b>0) a2-b2=1(a>0,b>0)





范围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率

x≥a 或 x≤-a, y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称轴: 坐标轴 ;对称中心: 原点

A1(-a,0),A2(a,0) A (0,-a),A (0,a) 1 2
b y=± ax e=

a y=± bx
c a
,e∈(1,+∞)

线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2| =2a;线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长 实虚轴 |B1B2|=2b;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫 做双曲线的虚半轴长 a, b, c 的关系 c2= a2+b2

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线.( × ) x2 y2 (2)方程m- n =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × ) x2 y2 (3)双曲线方程m2-n2=λ(m>0,n>0,λ ≠0)的渐近线方程是 x2 y2 x y - =0,即m±n=0.( √ ) m2 n2 (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( √ )

x2 y2 2.(2015· 湖南卷改编)若双曲线 2- 2=1 的一条渐近线经过点 a b (3,-4),则此双曲线的离心率为________.

x2 y2 b 解析 双曲线a2-b2=1 的两条渐近线方程为 y=±ax,则点 3b b (3,-4)在直线 y=-ax 上,即-4=- a ,所以 4a=3b,即 b 4 a=3,所以 e=
答案 5 3

b2 5 1+a2=3.

3.( 苏教版选修 2 - 1P48T7 改编 ) 经过点 A(3 ,- 1) ,且对称轴都 在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.

解析

x2 y2 设双曲线的方程为:a2-a2=± 1(a>0)把点 A(3,-1)

2 2 x y 代入,得 a2=8,故所求方程为 - =1. 8 8 x2 y2 答案 8 - 8 =1

x2 y2 4.设 a>1,则双曲线a2- 2=1 的离心率 e 的取值范 (a+1) 围是________.

c 解析 e=a= =

b2+a2 a2 =

?a+1?2 ? ? 1+? ? ? a ?

? 1?2 1 1+?1+a? ,∵a>1,∴0<a<1, ? ?

1 ∴1<1+a<2,∴ 2<e< 5.
答案 ( 2, 5)

x2 y2 5.已知 F 是双曲线 4 -12=1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线 右支上的动点,则 PF+PA 的最小值为________.

解析 如图所示,设双曲线的右焦点为 E,则 E(4,0).由双曲 线的定义及标准方程得 PF-PE=4,则 PF+PA=4+PE+PA. 由图可得,当 A,P,E 三点共线时,(PE+PA)min=AE=5,从 而 PF+PA 的最小值为 9.

答案 9

考点一 双曲线的定义及应用 【例1】 (1)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9, 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 ________.
x2 y 2 (2)若双曲线 4 -12=1 上的一点 P 到它的右焦点的距离为 8, 则点 P 到它的左焦点的距离是________.

解析

(1) 如图所示, 设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A

和 B.根据两圆外切的条件, 得 MC1-AC1=MA, MC2-BC2=MB, 因为 MA=MB, 所以 MC1-AC1=MC2-BC2, 即 MC2-MC1=BC2-AC1=2,

所以点 M 到两定点 C1,C2 的距离的差是常数且小于 C1C2. 根据双曲线的定义, 得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大,与 C1 的距离小), 其中 a=1,c=3,则 b2=8.
2 y 故点 M 的轨迹方程为 x2- =1(x≤-1). 8

(2)由题意知 c= 4+12=4, 设双曲线的左焦点为 F1(-4, 0), 右焦点为 F2(4,0),且 PF2=8.当 P 点在双曲线右支上时,PF1 -PF2=4,解得 PF1=12;当 P 点在双曲线左支上时,PF2- PF1=4,解得 PF1=4,所以 PF1=4 或 12,即 P 到它的左焦 点的距离为 4 或 12.
2 y 答案 (1)x2- 8 =1(x≤-1)

(2)4 或 12

规律方法

双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定

平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求 可求出曲线方程;二是在 “ 焦点三角形 ” 中,常利用正弦

定理、余弦定理,经常结合|PF1-PF2|=2a,运用平方的方
法,建立与PF1,PF2的联系.

【训练 1】 (1)已知 F1、F2 为双曲线 C:x2-y2=2 的左、右焦 点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos ∠F1PF2= .

5 (2)设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26, 13 若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对 值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为 .

解析

(1)由 x2-y2=2,知 a=b= 2,c=2.

由双曲线定义, PF1-PF2=2a=2 2,又 PF1=2PF2, ∴PF1=4 2, PF2=2 2,在△PF1F2 中, F1F2=2c=4, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 3 由余弦定理,得 cos ∠F1PF2= =4. 2|PF1|·|PF2| (2)由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0), 设曲线 C2 上的一点 P,则||PF1|-|PF2||=8<10=|F1F2|. 由双曲线的定义知曲线 C2 为双曲线且 a=4,b=3. x2 y2 故曲线 C2 的标准方程为 2- 2=1. 4 3

答案

3 (1)4

x2 y2 (2)16- 9 =1

考点二 双曲线的标准方程的求法

x2 y2 【例 2】 (1)过双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点 为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则 双曲线 C 的方程为________.
x2 y2 (2)(2016· 连云港调研)设双曲线与椭圆27+36=1 有共同的焦 点,且与椭圆相交,一个交点的坐标为( 15,4),则此双曲 线的标准方程是________.

解析

(1)由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近

b 线方程为 y=ax,因此可得点 A 的坐标为(a,b). 设右焦点为 F(c,0),由已知可知 c=4,且 AF=4,即(c-a)2+ b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,又 c2=a2+b2,则 c=2a,即 a
2 2 x y c = =2,所以 b2=c2-a2=42-22=12.故双曲线的方程为 - 2 4 12

=1.

x2 y2 (2)法一 椭圆 + =1 的焦点坐标是(0,±3), 27 36 y2 x2 设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0), 根据定义知 2a=| ( 15-0)2+(4-3)2- ( 15-0)2+(4+3)2|=4, 故 a=2.又 b2=32-a2=5, y2 x2 故所求双曲线的方程为 4 - 5 =1.

法二

x2 y2 y2 椭圆 + =1 的焦点坐标是(0,±3).设双曲线方程为 2 27 36 a

x2 -b2=1(a>0,b>0),则 a2+b2=9,又点( 15,4)在双曲线上,
2 2 16 15 y x 所以 a2 - b2 =1,解得 a2=4,b2=5.故所求双曲线的方程为 4 - 5

=1.

法三

x2 y2 设双曲线的方程为 + =1(27<λ<36), 27-λ 36-λ

15 16 由于双曲线过点( 15,4),故 + =1, 27-λ 36-λ 解得 λ1=32,λ2=0(舍去). y2 x2 故所求双曲线方程为 4 - 5 =1.

x2 y 2 y2 x2 答案 (1) - =1 (2) - =1 4 12 4 5

规律方法

求双曲线标准方程的一般方法:

(1)待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列 x2 y2 出参数 a、b、c 的方程并求出 a、b、c 的值与双曲线a2-b2=1 有 x2 y2 相同渐近线时可设所求双曲线方程为 2- 2=λ(λ≠0). a b (2)定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出 a 的值,由 定点位置确定 c 的值.

x2 y2 【训练 2】 (1)(2015· 天津卷改编)已知双曲线a2-b2=1(a>0, b >0)的一个焦点为 F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2 +y2=3 相切,则双曲线的方程为 .

(2)(2016· 郑州质量预测)已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2= 24y 的焦点重合, 其一条渐近线的倾斜角为 30°, 则该双曲线 的标准方程为 .

解析

b (1)由题意知,双曲线的渐近线方程为 y=± ax,即

bx± ay=0, 因为双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3 相切, |2b| 所以 2 2= 3,由双曲线的一个焦点为 F(2,0)可得 a +b a2+b2=4,所以|b|= 3,即 b2=3,所以 a2=1,故双曲
2 y 线的方程为 x2- =1. 3

(2)∵x2=24y,∴焦点为(0,6), y2 x2 ∴可设双曲线的方程为a2-b2=1(a>0,b>0). a ∵渐近线方程为 y=± bx,其中一条渐近线的倾斜角为 30°,
2 2 3 y x a ∴b= 3 ,c=6,∴a2=9,b2=27.其方程为 9 -27=1.

答案

2 y (1)x2- =1 3

y2 x 2 (2) - =1 9 27

考点三 双曲线的几何性质
x2 y2 【例 3】 (1)设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0) a b 的左、右焦点 . 若在双曲线右支上存在点 P ,满足 |PF2| = |F1F2|, 且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长, 则该 双曲线的渐近线方程为 . x2 y2 (2)(2015· 山东卷)过双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦 点作一条与其渐近线平行的直线, 交 C 于点 P.若点 P 的横 坐标为 2a,则 C 的离心率为________.

解析

(1)设 PF1 的中点为 M, 由|PF2|=|F1F2|, 故 F2M⊥PF1,

即|F2M|=2a,在 Rt△F1F2M 中,|F1M|= (2c)2-(2a)2 =2b,故|PF1|=4b,根据双曲线的定义 4b-2c=2a,即 2b -a=c,即(2b-a)2=a2+b2,即 3b2-4ab=0,即 3b=4a, b 故双曲线的渐近线方程是 y=±ax,即 4x± 3y=0.

(2)如图, F1, F2 为双曲线 C 的左, 右焦点, x2 y2 将点 P 的横坐标 2a 代入 2- 2=1 中,得 a b y2=3b2, 不妨令点 P 的坐标为(2a, - 3b),

3b b 此时 kPF2= =a,得到 c=(2+ 3)a, c-2a c 即双曲线 C 的离心率 e=a=2+ 3.

答案 (1)4x± 3y=0 (2)2+ 3

规律方法

(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,

x2 y 2 在双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)中,离心率 e 与双曲线的渐近线 a b b 2 2 的斜率 k=± 满足关系式 e = 1 + k .(2)求双曲线的离心率时,将 a 提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a,b,c 的方 c 程或不等式,利用 b =c -a 和 e=a转化为关于 e 的方程或不等
2 2 2

式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.

x 2 y2 【训练 3】 (1)(2015· 湖南卷)设 F 是双曲线 C: a2-b2=1(a>0, b>0)的一个焦点,若 C 上存在点 P,使线段 PF 的中点恰为 其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为________.
x2 y2 (2)设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线a2-b2=1(a>0,b> 0)的两条渐近线分别交于点 A, B.若点 P(m, 0)满足 PA=PB, 则该双曲线的离心率是________.

解析 (1)不妨设 F(c,0),则由条件知 P(-c,±2b), x 2 y2 c2 代入a2-b2=1 得a2=5,∴e= 5. ? ? am ?x-3y+m=0, bm ? ? (2)由? b 得点 A 的坐标为?3b-a,3b-a? ?, ? ? y=ax, ? ? ? ? -am ?x-3y+m=0, bm ? ? ? , 由? 得点 B 的坐标为 b ?3b+a 3b+a?, y=-ax, ? ? ? ?

则 AB 的中点 C

2 ? a2m 3 b m ? ? 的坐标为?9b2-a2,9b2-a2? ?, ? ?

3b2m 2 2 ?b?2 1 9 b - a 1 ∵kAB= ,∴kCP= 2 =-3,化简得?a? = , 3 am 4 ? ? -m 9b2-a2 所以双曲线的离心率 e=
答案 (1) 5 5 (2) 2
?b?2 1+?a? = ? ?

1 5 1+4= 2 .

[思想方法]
x2 y2 1.与双曲线a2-b2=1 (a>0,b>0)有公共渐近线的双曲线的方程 x2 y 2 可设为a2-b2=t (t≠0). 2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双 x2 曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程, 即方程a2- y2 x2 y2 =0 就是双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的两条渐近线方程. b2 a b

3. 研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代 入双曲线方程,消元,得关于x或y的一元二次方程 .当二

次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上一点,这
时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于 0时,用 判别式Δ来判定.

[易错防范] 1.双曲线方程中c2=a2+b2,说明双曲线方程中c最大,解决双曲 线问题时不要忽视了这个结论,不要与椭圆中的知识相混淆. 2.求双曲线离心率及其范围时,不要忽略了双曲线的离心率的取 值范围是(1,+∞)这个前提条件,否则很容易产生增解或扩大

所求离心率的取值范围致错.
x2 y 2 b y2 x2 3.双曲线a2-b2=1 (a>0, b>0)的渐近线方程是 y=±ax, a2-b2 a =1 (a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± bx.



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