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2013年乌鲁木齐地区高三一模理科数学试题参考答案

2013 年乌鲁木齐地区高三一模理科数学试题参考答案
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一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 D C A A D A B B C B D B 1.选 D【. 解析】
x ?1? x ?1
或 x ? ?1,由 A B = R ,得 m ? 1.

2.选 C.【解析】 1? 2i ? 2 ? i ,其共轭复数为 2 ? i ,即 a ? bi ? 2 ? i ,所以 a ? 2,b ? 1. i
3.选 A.【解析】a ? 0 ? a2 ? a ? 0 ;反之 a2 ? a ? 0 ? a ? 0,或a ? ?1,不能推出 a ? 0 .

4.选 A.【解析】 f ? x? ? g(x) 的定义域为 ??1,1? 记 F (x) ?

f

?x?

?

g(x)

?

log2

1? 1?

x x

,则

F(?x) ?

l

o

g2

1 1

? ?

x x

?

l

o

g2

? ??

1 1

? ?

x x

??1 ??

?

?

l

o

g2

1 1

? ?

x x

? ?F (x) ,故

f

? x? ? g(x) 是奇函数.

5.选 D.【解析】函数 g(x) ? f (x) ? x ? m 的零点就是方程 f (x) ? x ? m 的根,作出

h(x) ?

f

?

x

?

?

x

?

?x,

? ?e

x

? x,

x?0 的图象,观察它与直线 y ? m的交点,得知当 m ? 0 时,
x?0

或 m ? 1时有交点,即函数 g(x) ? f (x) ? x ? m 有零点.

6.选 A.【解析】由 a1 ? 1, a3 ? 5 ,解得 d ? 2 ,再由: Sk?2 ? Sk ? ak?2 ? ak?1

? 2a1 ? ( 2k ? 1d) ? 4k ? 4? ,3解6 得 k ? 8 .

7.选 B.【解析】

AB

? 5,

yA ? yB

? 4 ,所以

xA ? xB

? 3,即 T 2

? 3,所以T

? 2? ?

?6,

??? 3



f

?x?

?

2 sin

? ??

? 3

x

?

?

? ??

过点

?2,

?2?

,即

2

sin

? ??

2? 3

?

?

? ??

?

?2 , 0 ? ?

??



解得 ?

?

5? 6

,函数为

f

?x?

?

2

sin

? ??

? 3

x

?

5? 6

? ??

,由

2k?

?? 2

?

? 3

x?

5? 6

?

2k?

?? 2



解得 6k ? 4 ? x ? 6k ?,1 故函数单调递增区间为?6k ? 4,6k ?1??k ?Z? .

8.选 B.【解析】依题意 S ? 1? 2 ? 22 ? ? 2n ? 2n?1 ?1,有 2n?1 ?1 ? 127 ,故 n ? 6 .
9.选 C.【解析】(略).
10.选 B.【解析】双曲线的渐近线为 y ? ? 1 x ,抛物线的准线为 x ? 2 ,设 z ? x ? y ,当直 2
线过点 O?0,0? 时, zmin ? 0 .

11.选 D.【解析】易知直线 B2 A2 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 ,直线 B1F2 的方程为

bx

?

cy

?

bc

?

0

,联立可得

P

? ? ?

2ac a?c

,

b

?a ? c
a?c

?

? ? ?

,又

A2

?

a,

0?

,

B1

?

0,

?b?





PB1

?

? ??

?2ac a?c

,

?2ab a?c

? ??



PA2

?

? ? ?

a?a ? c?
a?c

,

?b?a ?
a?c

c?

? ? ?



?2a2c ?a ? c? 2ab2 ?a ? c? ∵ ?B1PA2 为钝角∴ PA2 ? PB1 ? 0 ,即 ?a ? c?2 ? ?a ? c?2 ? 0 ,

化简得

b2

?

ac



a2

?

c2

?

ac

,故

? ??

c a

?2 ??

?

c a

?1

?

0

,即

e2

?

e

?1 ?

0



e

?

5 ?1 或 2

e ? ? 5 ?1 ,而 0 ? e ?1,所以 5 ?1 ? e ? 1.

2

2

12.选 B.【解析】设 ?ABC 中, a,b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 所对的边,由

? ? CA ? CB

? AB ? 3

AB 2 得 CA? AB ? CB ? AB ? 3

2
AB

5

5

即 bc cos ?? ? A? ? ac cos B ? 3 c2 ,∴ a cos B ? b cos A ? 3 c

5

5

∴ a? a2

? c2

? b2

b2 ?b?

? c2

? a2

?

3 c ,即 a2

? b2

?

3 c2 ,

2ac

2bc

5

5

∴ tan A tan B

? sin A ? cos B sin B cos A

?

a2 ? c2 ? b2

a b

?

b2

2ac ? c2 ?

a2

? a2 ? c2 ?b2 b2 ? c2 ? a2

?

3 c2 ? c2 5 ? 3 c2 ? c2

? 4.

2bc

5

二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.填 68.【解析】设遮住部分的数据为 m , x = 10 + 20 + 30 + 40 + 50 ? 30 , 5
由 y? = 0.67x + 54.9 过 ? x, y ? 得 y = 0.67?30 + 54.9 = 75

∴ 62 + m + 75 + 81+ 89 = 75 ,故 m ? 68. 5

14.填

1 6

.【解析】平面

A1BC1

∥平面

ACD1

,∴

P

到平面

ACD1

的距离等于平面

A1BC1

与平



ACD1

间的距离,等于

1 3

B1D

?

3 3

,而 S?ACD1

?

1 2

AD1 ? CD1 sin 60?

?

3, 2

∴三棱锥

P

?

ACD1

的体积为

1 3

?

3? 2

3 ?1. 36

15.填 y

?

sin

? ??

? 6

t?? 3

? ??

.【解析】?xOA0

? ? ,点 A 每秒旋转 2?

3

12

?? 6

,所以 t 秒旋转 ? t 6



?A0OA

?

? 6

t

, ?xOA

?

? 6

t

?

? 3

,则

y

?

sin ?xOA

?

sin

? ??

? 6

t

?

? 3

? ??

.

16.填

a2b2 b2 ? a2

.【解析】设直线 OA

的方程为

y

?

kx

,则直线 OB

的方程为

y

?

?

1 k

x



? ? 则点 A

x1, y1

? y ? kx

满足

? ?

x

2

?? a2

?

y2 b2

?1

故 x12

?

a2b2 b2 ? a2k2

, y12

?

a2b2k 2 b2 ? a2k2



? ? ? ? ∴ OA 2 ? x12 ? y12 ?

1? b2

k 2 a2b2 ? a2k2

,同理

OB

2

?

1? k 2 a2b2

k 2b2 ? a2

? ? ? ? ? ? ? ? 故 OA 2 ? OB 2 ?

1? k 2 a2b2 b2 ? a2k2 ?

1? k 2 a2b2 k 2b2 ? a2

? ?a2b2 ?

a4b4

a2 ? b2

2
?

k2 k2 ?1 2

? ? ∵

k2 k2 ?1

2

?

k2

?

1 1 k2

?2

?

1 (当且仅当 k 4

? ?1时,取等号)

? ? ∴ OA 2 ? OB 2 ?

4a4b4 b2 ? a2

2 ,又 b ? a ? 0 ,故 S?AOB

? 1 OA 2

?OB

的最小值为

a2b2 b2 ? a2

.

三、解答题:共 6 小题,共 70 分.

17.(Ⅰ)设

?an

?

的公比为

q



?bn

?

的公差为

d

,依题意

??2 ? d ?
????2 ? 2d

4? 2q
?? 2q ?

6

解得

??d ???q

? ?

2 1 2

,或

?d ? ???q

? ?

?5 ?3
8

(舍)

∴ an

?

? ??

1 2

?n?2 ??



bn

?

2n ;

…6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 abn

? a2n

?

? ??

1 2

2n?2
? ??



因为 abn

?

0.001

?

? ??

1 2

2n?2
? ??

?

0.001

?

22n?2

? 1000 ,

所以 2n ? 2 ?10 ,即 n ? 6 ,∴最小的 n 值为 6.

…12 分

18.(Ⅰ)依据条件,? 服从超几何分布:其中 N ? 15, M ? 5, n ? 3 ,? 的可能值为 0,1, 2,3,

其分布列为:

P ??

?

k?

?

C5k

?

C3?k 10

C135

?k

?

0,1, 2,3?

.

?0 1 2 3

24 45 20 2 P
91 91 91 91

…6 分

(Ⅱ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为 P ? 5 ? 1 , 15 3

一年中空气质量达到一级的天数为? ,则? ~ B ???360,

1 3

? ??

,∴

E?

?

360

?

1 3

?

120(天)

所以一年中平均有120 天的空气质量达到一级.

…12 分

19.设正方形 ABCD 的中心为 O ,N 为 AB 的中点,R 为 BC 的中点,分别以 ON ,OR , OV 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,如图建立空间直角坐标系,

在 Rt?VOB 中,可得 OV ? 30 ,
? ? ? ? ? ? 则V 0,0, 30 , A 3, ? 3,0 , B 3, 3,0 ,

? ? ? ? C

?

3,

3,0 , D ?

3, ?

? 3, 0 , M ???

3, 3

? 3, 0???,

? P ???

3, 2

3, 2

30 2

? ??? ,

Q

? ???

?

3 ,? 2

3, 2

30 ? 2 ??? .

? ? ?
于是 AP ? ??? ?

3,3 3, 22

30 2

? ???

,

AB

?

0, 2

3,0 ,

AM

?

? ???

?

2

3 3

,

2

?

?

3, 0???, CQ ? ???

3,?3 3, 22

30 ? 2 ??? .

? (Ⅰ)∵ AP ?CQ ? ??? ?

3,3 3, 22

30 2

? ???

? ? ???

3,?3 3, 22

30 2

? ???

?

0



∴ CQ ? AP ,即 CQ ⊥ AP ;

…6 分

(Ⅱ)设平面

BAP

的法向量为

n1

?

?a,

b,

c?

,由

??n1 ? ??n1

? ?

AP AB

? ?

0 0



??a ? ?? b

? ?

3b 0

?

10c ? 0

? ? 故 n1 ? 10, 0,1 ,同理可得平面 APM 的法向量为 n2 ? ?3,1,0? ,

设二面角 B ? AP ? M 的平面角为? ,则 cos? ?

n1 ? n2 n1 n2

? 3 11 . 11

…12 分

20.(Ⅰ)⊙ F 的半径为 4 ?1 ? 1,⊙ F 的方程为 ? x ?1?2 ? y2 ? 1,
42 ? 32

作 MH ⊥ y 轴于 H ,则 MF ?1 ? MH ,即 MF ? MH ?1,则 MF ? MN ( N

是过 M 作直线 x ? ?1的垂线的垂足),则点 M 的轨迹是以 F 为焦点, x ? ?1为准线
的抛物线.

∴点 M 的轨迹 C 的方程为 y2 ? 4x ? x ? 0? ;

…6 分

(Ⅱ)当

l

不与

x

轴垂直时,直线

l

的方程为

y

?

k

?

x

?1?

,由

?? ? ??

y ? k?x
y2 ? 4x

?

1?



? ? k2x2 ?

2k2 ? 4

x

? k2

?

0 ,设

A? x1,

y1?, B?x2,

y2 ?

,则

x1

?

x2

?

2k 2 ? k2

4

,

x1x2

?1

∴ sin? ? sin ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? 2 ? 1 , AF BF x1 ?1 x2 ?1 x1x2 ? x1 ? x2 ? 1 1 ? x1 ? x2 ? 1

当 l 与 x 轴垂直时,也可得 sin? ? sin ? ? 1,

综上,有 sin? ? sin ? ? 1.

…12 分

21.(Ⅰ)∵ f ?? x? ? 1 ?1,
ax

∴曲线 y ? f ? x? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线斜率为 k ? f ??1? ? 1 ?1, a

依题意 1 ?1 ? 0 ,故 a ?1,∴ f ? x? ? ln x ? x , f ?? x? ? 1 ?1 ,

a

x

当 0 ? x ?1时, f ?? x? ? 0,函数 f ? x? 单调递增;当 x ?1时, f ?? x? ? 0 ,函数 f ? x?

单调递减;所以函数 f ? x? 的单调增区间为 ?0,1? ,减区间为 ?1, ???;

…6 分

(Ⅱ)若 a ? 0 ,因为此时对一切 x ??0,1?,都有 ln x ? 0 , x ?1? 0 ,所以 ln x ? x ?1,

a

a

与题意矛盾,又 a ? 0 ,故 a ? 0 ,由

f ??x? ?

1

?1,令

f ?? x? ? 0,得 x ?

1
.

ax

a

当 0 ? x ? 1 时,f ?? x? ? 0,函数 f ? x? 单调递增;当 x ? 1 时,f ?? x? ? 0 ,函数 f ? x?

a

a

单调递减;所以 f ? x? 在 x ? 1 处取得最大值 1 ln 1 ? 1 ,故对 ?x ?R? , f ? x? ? ?1

a

a aa

恒成立,当且仅当对 ?a ? R? , 1 ln 1 ? 1 ? ?1恒成立. a aa

令 1 ? t , g ?t? ? t lnt ?t , t ? 0 .
a

则 g??t? ? ln t ,当 0 ? t ?1时,g??t? ? 0 ,函数 g ?t? 单调递减;当 t ?1时,g??t? ? 0 ,

函数 g ?t? 单调递增;所以 g ?t? 在 t ? 1处取得最小值 ?1,因此,当且仅当 1 ? 1 ,即
a a ?1时, 1 ln 1 ? 1 ? ?1成立.
a aa

故 a 的取值集合为?1? .

…12 分

22.(Ⅰ)连接 BC ,∵ AB 是 O 的直径,∴ ?ACB ? 90? .

∴ ?B ? ?CAB ? 90? ∵ AD ? CE ,∴ ?ACD ? ?DAC ? 90? ,

∵ AC 是弦,且直线 CE 和 O 切于点 C ,

∴ ?ACD ? ?B ∴ ?DAC ? ?CAB ,即 AC 平分 ?BAD;

…5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ?ABC ?ACD ,∴ AC ? AD ,由此得 AC2 ? AB ? AD . AB AC

∵ AB ? 4AD ,∴ AC2 ? 4AD ? AD = 4AD2 ? AC ? 2AD ,于是 ?DAC ? 60? ,

故 ?BAD的大小为120? .

…10 分

23.(Ⅰ)设曲线 C 上任一点为 ? x, y? ,则 ? x,2 y? 在圆 x2 ? y2 ? 4 上,

于是 x2 ? ?2 y?2 ? 4 即 x2 ? y2 ? 1 .
4 直线 3x ? 2 y ? 8 ? 0 的极坐标方程为 3? cos? ? 2? sin? ? 8 ? 0 ,将其记作 l0 ,
设直线 l 上任一点为 ??,? ? ,则点 ??,? ? 90?? 在 l0 上, 于是 3? cos?? ? 90?? ? 2? sin?? ? 90?? ?8 ? 0 ,即:3? sin? ? 2? cos? ? 8 ? 0

故直线 l 的方程为 2x ? 3y ? 8 ? 0

…5 分

(Ⅱ)设曲线 C 上任一点为 M ?2cos?,sin? ? ,

它到直线 l 的距离为 d ? 4cos? ? 3sin? ? 8 ? 5cos ?? ??0 ? ? 8 ,

22 ? 32

13

其中 ? 0

满足:

cos?0

?

4 5

, sin ?0

?

3 5

.

∴当? ? ?0 ? ? 时, dmax ? 13 .

24.(Ⅰ) f (x) ? x ?1 ? x ? 2 ? (x ?1) ? (x ? 2) ?1.

…10 分 …5 分

(Ⅱ)∵

a2 ? 2

a2 ?1?1

?

?

a2 ?1 ?

1

? 2,

a2 ?1 a2 ?1

a2 ?1

∴要使 a2 ? 2 成立,需且只需 x ?1 ? x ? 2 ? 2 , a2 ?1



?x ?1 ??1? x ?

2

?

x

?

2

,或

?1 ? x ? 2

? ?

x

?1

?

2

?

x

?

2

,或

?x ??x

?2 ?1?

x

?2

?2

,解得 x ? 1 ,或 x ? 5

2

2



x

的取值范围是

? ??

??,

1 2

? ??

? ??

5 2

,

??

? ??

.

…10 分

以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分. 蒅蚁 羈膁蒄螃膄 肇薄袆羇



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