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四川高三数学理大一轮复习练习13.4数学归纳法

13.4 数学归纳法 一、选择题 1.用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,在第二 步时,正确的证法是( ). A.假设 n=k(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 B.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+1 命题成立 C.假设 n=2k+1(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 D.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 命题成立 解析 A、B、C 中,k+1 不一定表示奇数,只有 D 中 k 为奇数,k+2 为奇数. 答案 D 2.用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成立”时,第一步 证明中的起始值 n0 应取( A.2 B.3 ) C.5 D.6 解析 分别令 n0=2,3,5, 依次验证即可. 答案 C 3.对于不等式 n2+n<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 12+1<1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*且 k≥1)时,不等式成立,即 k2+k<k+1,则当 n=k+1 时 , ?k+1?2+?k+1? = k2+3k+2 < ?k2+3k+2?+?k+2? = ?k+2?2=(k+1)+1, ∴当 n=k+1 时,不等式成立,则上述证法( A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 解析 在 n=k+1 时,没有应用 n=k 时的假设,不是数学归纳法. 答案 D 4.利用数学归纳法证明“1+a+a +?+a 2 n+1 ). 1-an+2 = (a≠1,n∈N*)”时,在验 1-a 证 n=1 成立时,左边应该是( A 1 C 1+a+a2 ) B 1+a D 1+a+a2+a3 解析当 n=1 时,左边=1+a+a2,故选 C. 答案 C 5.用数学归纳法证明 1+2+3+?+n = 的基础上加上( A.k2+1 B.(k+1)2 C. ?k+1?4+?k+1?2 2 ). 2 n4+n2 2 ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2 解析 ∵当 n=k 时,左侧=1+2+3+?+k2, 当 n=k+1 时, 左侧=1+2+3+?+k2+(k2+1)+?+(k+1)2, ∴当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上 (k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2. 答案 D 6.下列代数式(其中 k∈N*)能被 9 整除的是( A.6+6·7k C.2(2+7k+1) ) B.2+7k-1 D.3(2+7k) 解析 (1)当 k=1 时,显然只有 3(2+7k)能被 9 整除. (2)假设当 k=n(n∈N*)时,命题成立,即 3(2+7n)能被 9 整除, 那么 3(2+7n+1)=21(2+7n)-36. 这就是说,k=n+1 时命题也成立. 由(1)(2)可知,命题对任何 k∈N*都成立. 答案 D 1 1 1 1 1 1 1 1 7.用数学归纳法证明 1- + - +?+ - = + +?+ ,则 2 3 4 2n-1 2n n+1 n+2 2n 当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上( ). 1 A. 2k+2 1 1 C. - 2k+1 2k+2 B.- D. 1 2k+2 1 1 + 2k+1 2k+2 1 1 1 1 1 解析 ∵当 n=k 时,左侧=1- + - +?+ - ,当 n=k+1 时, 2 3 4 2k-1 2k 1 1 1 1 1 1 1 左侧=1- + - +?+ - + - . 2 3 4 2k-1 2k 2k+1 2k+2 答案 C 二、填空题 8.对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式: 22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7;23=3+5,33=7+9+11, 43=13+15+17+19. 根据上述分解规律, 若 n2=1+3+5+?+19, m3(m∈N*)的分解中最小的数是 21, 则 m+n 的值为________. 解析 依题意得 n2= 10×?1+19? =100, 2 ∴n=10. 易知 m3=21m+ m?m-1? 2 ×2, 整理得(m-5)(m+4)=0, 又 m∈N*, 所以 m=5, 所以 m+n=15. 答案 15 9.用数学归纳法证明: 12 22 n2 n(n+1) + +?+ = ;当推证当 n=k+1 等式也成立 1×3 3×5 (2n-1)(2n+1) 2(2n+1) 时,用上归纳假设后需要证明的等式是 解析 当 n=k+1 时, 12 22 k2 (k+1)2 + +?+ + 1×3 3×5 (2k-1)(2k+1) (2k+1)(2k+3) k(k+1) (k+1)2 = + 2(2k+1) (2k+1)(2k+3) . k(k+1) (k+1)2 故只需证明 + 2(2k+1) (2k+1)(2k+3) (k+1)(k+2) = 即可. 2(2k+3) k(k+1) (k+1)2 (k+1)(k+2) 答案 + = 2(2k+1) (2k+1)(2k+3) 2(2k+3) 10.如下图,在杨辉三角形中,从上往下数共有 n(n∈N*)行,在这些数中非 1 的 数字之和是________________. 1 1 1 1 1 4 3 6 ? 解析 所有数字之和 Sn=20+2+22+?+2n-1=2n-1, 除掉 1 的和 2n-1-(2n-1)=2n-2n. 答案 2n-2n 1 11.在数列{an}中,a1= 且 Sn=n(2n-1)an,通过计算 a2,a3,a4,猜想 an 的表 3 达式是________. 1 1 解析 当 n=2 时,a1+a2=6a2,即 a2= a1= ; 5 15 当 n=3 时,a


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