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2011年高中数学测试 3.2.2《对数函数》 新人教B版必修1


高一数学同步测试——对数函数 高一数学同步测试——对数函数 ——
一、选择题: 1.

log8 9 的值是 log 2 3
A.





3 D.2 2 2.若 log2 [log 1 (log 2 x )] = log 3 [log 1 (log 3 y )] = log 5 [log 1 (log 5 z )] =0,则 x、y、z 的大小关
B.1 C.
2 3 5

2 3

系是 A.z<x<y B.x<y<z
3

( C.y<z<x D.z<y<x ( C.0 D.



3.已知 x= 2 +1,则 log4(x -x-6)等于 A.



3 2

B.

5 4

1 2
( )

4.已知 lg2=a,lg3=b,则

lg 12 等于 lg 15
a + 2b 1+ a + b
C.

A.

2a + b 1+ a + b

B.

2a + b 1? a + b

D.

a + 2b 1? a + b
( )

5.已知 2 lg(x-2y)=lgx+lgy,则 x 的值为 y A.1
2

B.4

C.1 或 4

D.4 或 ( )

6.函数 y= log 1 ( 2 x ? 1) 的定义域为 A.(

1 ,+∞) 2
2

B. [1,+∞ )

C.(

1 ,1 ] 2

D.(-∞,1) ( )

7.已知函数 y=log 1 (ax +2x+1)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是
2

A.a > 1 B.0≤a< 1 x 8.已知 f(e )=x,则 f(5)等于 5 e A.e B.5

C.0<a<1 C.ln5

D.0≤a≤1 ( D.log5e ( y x x ) )

9.若 f ( x) = log a x(a > 0且a ≠ 1), 且f ?1 (2) < 1, 则f ( x) 的图像是 y x y x O y

O

O

O

A

B

C

D

用心

爱心

专心

-1-

10.若 y = ? log 2 ( x ? ax ? a ) 在区间 ( ?∞,1 ? 3) 上是增函数,则 a 的取值范围是(
2



A. [2 ? 2 3, 2]

B. ? 2 ? 2 3, 2

?

)

C. 2 ? 2 3, 2 ?

(

?

D. 2 ? 2 3, 2

(

)
( )

11.设集合 A = {x | x 2 ? 1 > 0}, B = {x | log 2 x > 0 |}, 则A ∩ B 等于 A. {x | x > 1} C. {x | x < ?1} 12.函数 y = ln A. y = B. {x | x > 0} D. {x | x < ?1或x > 1}

x +1 , x ∈ (1,+∞) 的反函数为 x ?1
B. y =





ex ?1 , x ∈ (0,+∞) ex +1 ex ?1 , x ∈ (?∞,0) ex +1

ex +1 , x ∈ (0,+∞) ex ?1 ex +1 , x ∈ (?∞,0) ex ?1

C. y =

D. y =

二、填空题: 13.计算:log2.56.25+lg
2

1 1+ log 2 3 +ln e + 2 = 100
0.9 0.8

. _______. . _ .

14.函数 y=log4(x-1) (x<1=的反函数为___ 15.已知 m>1,试比较(lgm) 与(lgm) 的大小 16.函数 y =(log 1 x) -log 1 x +5 在 2≤x≤4 时的值域为_____
4 4
2 2

三、解答题: 17.已知 y=loga(2-ax)在区间{0,1}上是 x 的减函数,求 a 的取值范围.

若 求实数 a 的取值范围. 18. 已知函数 f(x)=lg[(a -1)x +(a+1)x+1], f(x)的定义域为 R,

2

2

用心

爱心

专心

-2-

19.已知 f(x)=x +(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,当 x∈R 时 f(x)≥2x 恒成立,求实数 a 的 R 值,并求此时 f(x)的最小值?

2

20.设 0<x<1,a>0 且 a≠1,试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.

21.已知函数 f(x)=loga(a-a )且 a>1, (1)求函数的定义域和值域; (2)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (3)证明函数图象关于 y=x 对称.

x

用心

爱心

专心

-3-

22.在对数函数 y=log2x 的图象上(如图),有 A、B、C 三点,它们的横坐标依次为 a、a+1、

a+2,其中 a≥1,求△ABC 面积的最大值.

用心

爱心

专心

-4-

参考答案 一、选择题: ADBCB 、选择题: 二、填空题:13. 填空题: CDCBA AB

25 13 x 0.9 0.8 ≤ y ≤8 ,14.y=1-2 (x∈R), 15. (lgm) ≤(lgm) ,16. R 2 4

三、解答题: 解答题: 17.解析:先求函数定义域:由 2-ax>0,得 ax<2 又 a 是对数的底数, ∴a>0 且 a≠1,∴x<

2 a 2 >1,∴a<2 a

由递减区间[0,1]应在定义域内可得

又 2-ax 在 x∈[0,1]是减函数 ∴y=loga(2-ax)在区间[0,1]也是减函数,由复合函数单调性可知:a>1 ∴1<a<2 2 2 18、解:依题意(a -1)x +(a+1)x+1>0 对一切 x∈R 恒成立. R 2 当 a -1≠0 时,其充要条件是:

?a 2 ? 1 > 0 5 ? 解得 a<-1 或 a> ? 3 ?? = (a + 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) < 0 ?
又 a=-1,f(x)=0 满足题意,a=1,不合题意. 所以 a 的取值范围是:(-∞,-1]∪(

5 ,+∞) 3

19、解析:由 f(-1)=-2 ,得:f(-1)=1-(lga+2)+lgb=-2,解之 lga-lgb=1, ∴

a =10,a=10b. b
2 2

又由 x∈R,f(x)≥2x 恒成立.知:x +(lga+2)x+lgb≥2x,即 x +xlga+lgb≥0,对 R x∈R 恒成立, R 2 2 由 Δ=lg a-4lgb≤0,整理得(1+lgb) -4lgb≤0 2 即(lgb-1) ≤0,只有 lgb=1,不等式成立. 即 b=10,∴a=100. 2 2 ∴f(x)=x +4x+1=(2+x) -3 当 x=-2 时,f(x) min=-3. 20.解法一:作差法 |loga(1- x)|-|loga(1+ x)|=|

lg(1 ? x) lg(1 + x) 1 |-| |= (|lg(1- x)|-|lg(1 lg a lg a | lg a |

+x)|) ∵0<x<1,∴0<1-x<1<1+x ∴上式=-

1 1 2 [(lg(1-x)+lg(1+x)]=- ·lg(1-x ) | lg a | | lg a |
2

由 0<x<1,得,lg(1-x )<0,∴-

1 2 ·lg(1-x )>0, | lg a |
爱心 专心 -5-

用心

∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 解法二:作商法

| log a (1 + x) | =|log(1-x)(1+x)| | log a (1 ? x) |
∵0<x<1,∴0<1-x<1+x,∴|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x) 由 0<x<1,∴1+x>1,0<1-x <1 ∴0<(1-x)(1+x)<1,∴ ∴0<log(1-x)
2

1 1+ x

1 >1-x>0 1+ x

1 <log(1-x)(1-x)=1 1+ x

∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 解法三:平方后比较大小 2 2 ∵loga (1-x)-loga (1+x)=[loga(1-x)+loga(1+x)][loga(1-x)-loga(1+x)] =loga(1-x )·loga
2

1 1? x 1? x 2 = ·lg(1-x )·lg 2 1+ x 1 + x | lg a |
2

∵0<x<1,∴0<1-x <1,0< ∴lg(1-x )<0,lg
2 2

1? x <0 1+ x
2

1? x <1 1+ x

∴loga (1-x)>loga (1+x),即|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 解法四:分类讨论去掉绝对值 2 当 a>1 时,|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x ) 2 ∵0<1-x<1<1+x,∴0<1-x <1 2 2 ∴loga(1-x )<0,∴-loga(1-x )>0 当 0<a<1 时,由 0<x<1,则有 loga(1-x)>0,loga(1+x)<0 2 ∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=|loga(1-x)+loga(1+x)|=loga(1-x )>0 ∴当 a>0 且 a≠1 时,总有|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 21.解析:(1)定义域为(-∞,1),值域为(-∞,1) (2)设 1>x2>x1 ∵a>1,∴ a
x2

> a x1 ,于是 a- a x2 <a- a x1
x

则 loga(a-a a x2 )<loga(a- a 1 ) 即 f(x2)<f(x1) ∴f(x)在定义域(-∞,1)上是减函数 x x y y (3)证明:令 y=loga(a-a )(x<1),则 a-a =a ,x=loga(a-a ) -1 x ∴f (x)=loga(a-a )(x<1) x 故 f(x)的反函数是其自身,得函数 f(x)=loga(a-a )(x<1=图象关于 y=x 对称. 22. 解析:根据已知条件,A、B、C 三点坐标分别为(a,log2a),(a+1,log2(a+1)),(a+2, log2(a+2)),则△ABC 的面积
用心 爱心 专心

-6-

S=

[log 2 a + log 2 ( a + 1)] [log 2 (a + 1) + log 2 (a + 2)] + ? [log 2 a + log 2 ( a + 2)] 2 2

=

1 a(a + 2)(a + 1) 2 1 (a + 1) 2 log 2 = log 2 2 [a(a + 2)]2 2 a (a + 2)
1 a 2 + 2a + 1 1 1 log 2 2 = log 2 (1 + 2 ) 2 a + 2a 2 a + 2a
1 1 1 4 log 2 (1 + ) = log 2 2 3 2 3

=

因为 a ≥ 1 ,所以 S max =

用心

爱心

专心

-7-



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