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2016-2017学年湘教版高中数学必修一:1.2.8、二次函数的图象和性质—对称性课件3_图文

高中数学· 必修1· 湘教版 1.2.8 二次函数的图象和性质—— 对称性 预习导学 ? ? ? ? ? [学习目标] 1.能说出奇函数和偶函数的定义; 2.会判断具体函数的奇偶性; 3.会分析二次函数图象的对称性; 4.能求一个二次函数在闭区间上的最值. 预习导学 ? [知识链接] 2 的图象关于 ? 函数y=x的图象关于 对称, y = x 原点 y轴 对称. ? [预习导引] ? 1.函数的奇偶性 ? (1)如果对一切使F(x)有定义的 x, 也有定义, F(- x) 并且 成立,则称 F(x) 为偶函数; F(-x)=F(x) ? (2)如果对一切使F(x)有定义的x, 也有定义, 并且 成立,则称 F F(- x()x)为奇函数. F(-x)=-F(x) 预习导学 2.二次函数图象的对称性 (1)二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴是直线 x= b -2a; (2)如果函数 f(x)对任意的 h 都有 f(s+h)=f(s-h) 的图象关于直线 x=s 对称. ,那么 f(x) 课堂讲义 要点一 例1 函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+x; (2)f(x)=|x+2|+|x-2|; (3)f(x)=x2+ x; 2x2+2x (4)f(x)= ; x+1 (5)f(x)= x2-4+ 4-x2. 课堂讲义 ? 解 (1)函数定义域为R,且f(-x)=(-x)3+(-x) =- x3 - x =- (x3 + x) =- f(x) ,所以该函数是奇 函数; ? (2)函数定义域为R,且f(-x)=|-x+2|+|-x-2| =|x-2|+|x+2|=f(x),所以该函数是偶函数; ? (3) 函数定义域是 {x|x≥0} ,不关于原点对称,因 此它是非奇非偶函数; ? (4) 函数定义域是 {x|x≠ - 1} ,不关于原点对称, 因此它是非奇非偶函数; 课堂讲义 2 ? ?x -4≥0, (5)要使函数有意义,需满足? 2 ? ?4-x ≥0, 解得 x=± 2,即函数 的定义域是{2,-2},这时 f(x)=0. 所以 f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),因此该函数既是奇函数又是 偶函数. 课堂讲义 ? 规律方法 1.判断函数的奇偶性,一般有以下 几种方法: ? (1) 定义法:若函数定义域不关于原点对称, 则函数为非奇非偶函数;若函数定义域关于 原点对称,则应进一步判断 f( - x) 是否等于 ±f(x),或判断f(-x)±f(x)是否等于0,从而确 定奇偶性.注意当解析式中含有参数时,要 对参数进行分类讨论后再进行奇偶性的判 定. ? (2) 图象法:若函数图象关于原点对称,则函 课堂讲义 ? (3)还有如下性质可判定函数奇偶性: ? 偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶 函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数 个奇函数的积、商(分母不为零 )为奇(偶)函数; 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. ( 注: 利用以上结论时要注意各函数的定义域) ? 2.判断函数奇偶性前,不宜盲目化简函数解 析式,若必须化简,要在定义域的限制之下 进行,否则很容易影响判断,得到错误结 果. 课堂讲义 跟踪演练 1 判断下列函数的奇偶性: 2x (1)f(x)= 2 ; x +3 x4 (2)f(x)= 2 ; x -1 (3)f(x)=(x2-1) x+1. 课堂讲义 解 (1)函数定义域为 R, -2x - 2x 且 f ( -x) = = =-f(x). ?-x?2+3 x2+3 故该函数是奇函数; ? -x? 4 (2)函数定义域为{x|x≠± 1}, 关于原点对称, 且 f(-x)= ?-x?2-1 x4 = 2 =f(x).故 f(x)是偶函数. x -1 (3)函数定义域是{x|x≥-1},不关于原点对称,所以是非奇非 偶函数. 课堂讲义 ? 要点二 函数奇偶性的简单应用 ? 例2 (1)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0 时,f(x)=2x2-x,则f(1)=( ) ? A.-3 B.-1 C.1 D.3 ? (2) 若函数 f(x) = x3 + 3x + a 是奇函数,则实 数a=________. ? 答案 (1)A (2)0 课堂讲义 ? ? ? ? ? ? ? 解析 (1)因为当x≤0时,f(x)=2x2-x, 所以f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3. 又f(x)是奇函数, 所以f(1)=-f(-1)=-3,选A. (2)法一 因为f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x)对任意x∈R都成立, 即-x3-3x+a=-x3-3x-a对任意x∈R都成 立. ? 所以a=0. 课堂讲义 ? 法二 因为f(x)是奇函数且在x=0处有定义. ? 必有f(0)=0,即03+3×0+a=0,解得a=0. ? 规律方法 1.利用奇偶性求值时,主要根据f(x) 与 f(- x)的关系将未知转化为已知求解,若需 要借助解析式求值,代入自变量值时,该自 变量值必须在该解析式对应的区间上,否则 不能代入求值,而应转化. ? 2.已知函数是奇函数或偶函数,求解析式中 参数值时,通常有两种方法:一是利用奇、 偶函数的定义建立关于参数的方程求解,二 是采用特殊值法,尤其是在x=0处有定义的奇 函数,还可根据f(0)=0求解. 课堂讲义 ? 跟踪演练2 (1)已知f(x)是偶函数,且f(4)=5, 那么f(4)+f(-4)的值为( ) ? A .5 B.10 C.8 D.不确定 ? (2) 若函数 y = (x + 1)(x - a) 为偶函数,则 a = ( ) ? A.-2 B.-1 C.1 D.2 ? 答案 (1)B (2)C 课堂讲义 ? ? ? ? ? ? ? 解析 (1)∵f(x)是偶函数, ∴f(4)+f(-4)=f(4)


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