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湖北省教学合作2015届高三10月联考数学(理)试题Word版含答案


教学合作 2015 届高三年级十月联考试题 数学(理科)
本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试用时 120 分钟 第Ⅰ卷 (选择题,50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 1、已知集合 A ? {x | y ? A. ??1,1? B. ? ?1, 2?

x 2 ? 2 x ? 3}, B ? {x |
C. ?1, 2 ?

x?2 ? 0} ,则 A B ? x?2

D. ??2, ?1?

2、下列命题中真命题的个数是 (1)若命题 p, q 中有一个是假命题,则 ?( p ? q ) 是真命题. (2)在 ?ABC 中, “ cos A ? sin A ? cos B ? sin B ”是“ C ? 90 ”的必要不充分条件. (3) C 表示复数集,则有 ?x ? C, x2 ? 1 ? 1 . A.0 B.1 C.2 D.3

3、已知四个函数:① y ? x sin x ;② y ? x cos x ;③ y ? x cos x ;④ y ? x ? 2 x 的图象如下,但顺 序打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数正确的一组是

A.①④②③

B.①④③②

C.④①②③

D.③④②①

1 1 1 1 4、已知 a ? ( ) 2 , b ? log5 , c ? log 1 ,则 a, b, c 的大小关系是 5 3 5 3
A. a ? b ? c B. c ? a ? b C. a ? c ? b D. c ? b ? a

5、将函数 y ? 3sin 2x ? cos 2x 的图象向右平移 A.由最大值,最大值为 3 ? 1 C.是周期函数,周期 T ?

?
2

D.在区间 [

? 个单位长度,所得图象对应的函数 g ? x ? 4 7? ? k? , k ? Z B.对称轴方程是 x ? 12 ? 7?
, ] 上单调递增 12 12

6、已知函数 f ? x ? ? loga x(0 ? a ? 1) 的导函数 f ? ? x ? , A ? f ? ? a ? , b ? f (a ? 1) ? f (a)

C ? f ?(a ? 1), D ? f (a ? 2) ? f (a ? 1) ,则 A, B, C , D 中最大的数是
A. A B. B C. C D. D

7、已知 a ? b ,若函数 f ? x ? , g ? x ? 满足

? f ? x ? dx ?? g ? x ? dx ,则称 f ? x? , g ? x? 为区间 ? a, b? 上
b b a a

的一组“等积分”函数,给出四组函数: ① f ? x ? ? 2 x , g ? x ? ? x ? 1; ③ f ? x? ? 1? x , g ? x? ?
2

② f ? x ? ? sin x, g ? x ? ? cos x ;

3 2 ?x ; 4

④函数 f ? x ? , g ? x ? 分别是定义在 ??1,1? 上的奇函数且积分值存在. 其中为区间 ??1,1? 上的“等积分”函数的组数是 A.1
2

B.2
2 2

C.3

D.4 对任意实数 a, b, c, x 恒成立, 则实数 m

8、 已知 a ? b ? c ? 1 , 若 2a ? 3b ?2c ? x ? 1? x? m 的取值范围是 A . ?8, ?? ? B. ? ??, ?4?

?2, ???

C. ? ??, ?1?

?8, ???

D. ? 2, ???

?x ? 0 ?y ? 0 ? 9、已知由不等式组 ? ,确定的平面区域 ? 的面积为 7,定点 M 的坐标为 ?1, ?2? ,若 ? y ? kx ? 2 ? ?y ? x ? 4 ? 0
N ? ? ,O 为坐标原点,则 OM ? ON 的最小值是
A. ?8 B. ?7 C. ?6 D. ?4

10、 已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? 2ax, g ? x ? ? 3a 2 ln x ? b 设两曲线 y ? f ? x ? , y ? g ? x ? 有公共点, 且在 2

该点处的切线相同,则 a ? (0, ??) 时,实数 b 的最大值是

13 6 A. e 6

1 6 B. e 6

7 2 C. e 3 2

3 2 D. e 3 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上

11、已知向量 a 与向量 b 的夹角为 120 ,若 (a ? b) ? (a ? 2b) 且 a ? 2 ,则 b 在 a 上的投影为 12、已知偶函数 f ? x ? 在 ? ??,0? 上满足:当 x1, x2 ? ? ??,0? 且 x1 ? x2 时,总有 则不等式 f ? x ?1? ? f ? x ? 的解集为

x1 ? x2 ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 )

[来源:Zxxk.Com]

13、点 O 是锐角 ?ABC 的外心, AB ? 8 AC ? 12, A ? 则 2x ? 3 y ?

?
3

,若 AO ? xAB ? yAC ,

14、 定义在正整数集上的函数 f ( n) 满足 (1)f ( f (n)) ? 4n ? 3(n ? N? ) ; (2)f (125) ? m(m ? N? ) , 则有 f ? m? ?

f (2015) ?

15、 (选修 4-4:坐标系与参数方程) 曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? 2 ? 2cos ? ( ? 为参数,且 ? ? (? , 2? ) ) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴 y ? 2sin ? ?

正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 D 的方程为 ? sin(? ? 交点 P 且与曲线 C 相切的极坐标方程是

?
4

) ? 0 ,取线 C 与曲线 D 的交点为 P,则过

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 16、 (本小题满分 12 分)

x ? (a 2 ? 2) 已知集合 U ? R ,集合 A ? {x | ( x ? 2)( x ? 3) ? 0} ,函数 y ? lg 的定义域为集合 B. a?x
(1) 若 a ?

1 ,求集合 A (CU B) ; 2

(2) 命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

17、 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 向量 m ? (cos A,sin A) , 向量 n ? ( 2 ? sin A,cos A) 若 m ? n ? 2. (1)求角 A 的大小; (2 )若 ?ABC 外接圆的半径为 2, b ? 2 ,求边 c 的长.

18、 (本小题满分 12 分) 据气象中心观察和预测:发生于沿海 M 地的台风已知向正南方向移动, 其移动速度 v(km / h) 与时间 t (h) 的函数图象如图所示,过线段 OC 上一 点 T (t , 0) 作横轴的垂线 l , 梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t (h) 内 台风所经过的路程 s(km) . (1)当 t ? 4 时,求 s 的值,并将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (2)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 N 地 650 km ,试判断这场台风师父会侵袭到 N 城,如果会, 在台风发生后多出时间它将侵 袭到 N 城?如果不会,请说明理由.

19、 (本小题满分 12 分) 某地一天的温度(单位: C )随时间 t (单位:小时)的变化近似满足函数关系:

? f ? t ? ? 24 ? 4sin ?t ? 4 3 cos ?t , t ? ?0, 24? ,且早上 8 时的温度为 24 C , ? ? (0, ) . 8
(1)求函数的解析式,并判断这一天的最高温度是多少?出现在何时? (2)当地有一通宵营业的超市,我节省开支,跪在在环境温度超过 28 C 时,开启中央空调降温, 否则关闭中央空调,问中央空调应在何时开启?何时关闭?

20、 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? x( x ? a) , g ? x ? ? ?x ? (a ?1) x (其中 a 为常数)
2 2

(1)如果函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 有相同的极值点,求 a 的值,并写出函数 y ? f ? x ? 的单调区 间; (2)求方程 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 在区间 ? ?1,3? 上实数解的个数.

21、 (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:当 x ? 1 时, 2 ln x ? x ?

1 ; x

(Ⅱ)若不等式 (1 ? ) ln(1 ? t ) ? a 对任意的正实数 t 恒成立,求正实数 a 的取值范围;

a t

(Ⅲ)求证: (

9 19 1 ) ? 2 10 e

教学合作 2015 届高三年级十月联考试题 数学(理科)答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.解析:D 依题意;化简集合 A ? {x | x ? ?1或x ? 3} , B ? {x | ?2 ? x ? 2} , 利用集合的运算可得: A

B ? {x | ?2 ? x ? ?1} .故选 D.

2.解析:C 命题(1) (2)是真命题, (3)是假命题,故选 C 3.解析:A ① y ? x sin x 是偶函数,其图象关于 y 轴对称;② y ? x cos x 是奇函数,其图象

关于原点对称; ③ y ? x | cos x | 是奇函数, 其图象关于原点对称. 且当 x ? 0 时,y ? 0 ; ④ y ? x ? 2x 为非奇非偶函数,且当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, y ? 0 ;故选 A. 4.解析:B 由指数函数和对数函数的性质可知 0 ? a ? 1, b ? 0,0 ? c ? 1 ,而

1 1 1 1 a ? ( )2 ? ? , 5 5 2
c ? log 1 1 1 ? log5 3 ? log5 5 ? ,所以有 c ? a ? b ,故选 B. 2 5 3

5.解析:D 化简函数得 y ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?

?

6 2? ? ? ? k? ( k ? Z ), 得 对 称 轴 方 程 是 易 求 最 大 值 是 2 , 周 期 是 ? , 由 2x ? 3 2

) ,所以 g ( x) ? 2sin(2 x ?

2? ) 3

x?

7? k? ? (k ? Z ) 12 2
由?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

2? ? ? 7? ? ? 2 k? ? ? k? ? x ? ? k? (k ? Z ) ,故选 D. 3 2 12 12

6.解析:A 由于函数 f ( x) ? loga x (0 ? a ? 1) 是可导函数且为单调递减函数, A, C 分别表

示函数在点 a, a ? 1 处切线的斜率,因为 B ? f (a ? 1) ? f (a) , D ? f (a ? 2) ? f (a ? 1) ,故 B, D 分别表 (a ? 1) ? a (a ? 2) ? (a ? 1) 示函数图象上两点 (a, f (a)), (a ? 1, f (a ? 1)) 和两点 (a ? 1, f (a ? 1)), (a ? 2, f (a ? 2)) 连线的斜率, 由函数图象可知一定有 A ? B ? C ? D ,四个数中最大的是 D ,故选 D . 7.解析:C 对于①,

?

1

?1 1

f ( x)dx ?? 2 | x | dx ?? 2(? x)dx ? ? 2 xdx ? 2 ,或者利用积分的几
?1 ?1 0
1 1

1

0

1

何意义(面积)直接可求得

1 1 2 g ( x ) dx ? ( x +1) dx ? ( x ? x ) | ? 2 ,所以① ,而 f ( x ) dx ? 2 ??1 ??1 ??1 2 ?1

是 一 组 “ 等 积 分 ” 函 数 ; 对 于 ② ,

?
?
1

1

?1

f ( x)dx ?? sin xdx ?0 , 而
?1

1

?
?

1

?1

g ( x)dx ?? cos xdx ?2sin1 ? 0 ,所以②不是一组“等积分”函数;对于③,由于函数 f ( x) 的
?1
?1

1

图 象 是 以 原 点 为 圆 心 , 1 为 半 径 的 半 圆 , 故
1

f ( x)dx ? ?

1

?1

1 ? x 2 dx ?

?
2

, 而

?1

g ( x)dx ? ?

1 3 2 1 ? ? x dx ? ? x3 | ? , 所 以 ③ 是 一 组 “ 等 积 分 ” 函 数 ; 对 于 ④ , 由 于 函 数 ?1 4 4 ?1 2 1

f ( x), g ( x) 分别是定义在 [?1,1] 上的奇函数且积分值存在,利用奇函数的图象关于原点对称和定积
分的几何意义,可以求得函数的定积分 故选 C 8.解析:B 由柯西不等式得, ( 2a ? 3b ? 2c) 2 ? (2 ? 3 ? 4)(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 9 ,

?

1

?1

f ( x)dx ?? g ( x)dx ?0 ,所以④是一组“等积分”函数,
?1

1

b c ? a ? ? ? 即 2a ? 3b ? 2c ? 3 ,即 2a ? 3b ? 2c 的最大值为 3,当且仅当 ? 2 3 2 时等号 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 ?
成立; 所以 2a ? 3b ? 2c ? x ? 1 ? | x ? m | 对任意实数 a, b, c, x 恒成立等价于 x ?1 ? | x ? m |? 3 对 任意实数 x 恒成立,又因为 x ?1 ? | x ? m |?| ( x ?1) ? ( x ? m) |?| m ?1| 对任意 x 恒成立,因此有即

m ?1 ? 3 ,解得 m ? 2或m ? ?4 ,故选 B.

?x ? 0 ? 9.解析: B 依题意:画出不等式组 ? y ? 0 所表示的 ?y ? x ? 4 ? 0 ?
面区域(如右图所示)可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为



8 ,由直线 y ? kx ? 2 恒过点 B(0, 2) ,且原点的坐标恒满足 y ? kx ? 2 ,
当 k ? 0 时, y ? 2 ,此时平面区域 ? 的面积为 6 ,由于 6 ? 7 ,由此可得 k ? 0 .

由? 舍去)

? y ? kx ? 2 2 4k ? 2 1 2 , ) ,依题意应有 ? 2? | |? 1 ,因此 k ? ?1 ( k ? 3 , 可得 D( k ?1 k ?1 2 k ?1 ?y ? x ? 4 ? 0
1 1 x? z , 2 2
1 ?1所 2

故有 D(?1, 3) ,设 N ( x, y) ,故由 z ? OM ? ON ? x ? 2 y ,可化为 y ? 以当直线 y ?

1 1 1 x ? z 过点 D 时,截距 ? z 最大,即 z 取得最小值 ?7 ,故选 B. 2 2 2

10.解析:D 依题意: f ?( x) ? x ? 2 a , g ?( x) ?

3a 2 ,因为两曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,设为 x

1 2 ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? x0 ? 2ax0 ? 3a 2 ln x0 ? b ? 2 , 因为 x0 ? 0 , a ? 0 P( x0 , y0 ) ,所以 ? ? 2 3 a ? f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) ? x0 ? 2a ? ? x0 ? a或x0 ? ?3a ? x0 ?

所以 x0 ? a ,因此 b ? 构造函数 h(t ) ?
1 3

1 2 5 x0 ? 2ax0 ? 3a 2 ln x0 ? a 2 ? 3a 2 ln a (a ? 0) 2 2

5 2 t ? 3t 2 ln t (t ? 0) , () ? 2( 1 t 3 n l )? t 由 h?t 2

h?(t ) ? 0 即 h(t ) , 当 0 ? t ? e 3 时,
1

1

单调递增;当 t ? e 时, h?(t ) ? 0 即 h(t ) 单调递减,所以 h(t ) max ? h(e 3 ) ? 值.

3 2 e 3 即为实数 b 的最大 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上. 11 . 解 析 : ?
0 |b | cos 12 0 ??

? ? 3 3? 1 ? ? 因 为 向 量 a 与 向 量 b 的 夹 角 为 120 ? , 所 以 b 在 a 上 的 投 影 为 8

1 b | ,问题转化为求 | | b |, 2

因为 (a ? b) ? (a ? 2b) ? (a ? b) ? (a ? 2b) ? 0 ? 2 | b |2 ? | b | ?4 ? 0 故 | b |?

33 ? 1 4
?

所以 b 在 a 上的投影为 ?

?

33 ? 1 . 8

{x ? R | x ? } 12. 解析:

1 2

依题意: 偶函数 f ( x ) 在 ( ??, 0] 上单调递减, 所以 f ( x ) 在 [0, ??)

上单调递增,直接构造函数 f ( x) ? x2 ,问题转化为解不等式 ( x ? 1)2 ? x2 ,解之得: x ? 所以不等式 f ( x ? 1) ? f ( x) 的解集为 { x ? R | x ? } .

1 , 2

1 2

另解:依题意:偶函数 f ( x ) 在 ( ??, 0] 上单调递减,所以 f ( x ) 在 [0, ??) 上单调递增, 由于 f ( x ? 1) ? f ( x) ,即 f (| x ? 1|) ? f (| x |) ?| x ? 1|?| x |? x ? 所以不等式 f ( x ? 1) ? f ( x) 的解集为 { x ? R | x ? } . 13.解析:

1 2

1 2

5 3

如图,O 点在 AB, AC 上的射影是点 D, E , 它们分别为 AB, AC 的中点, 由数量积的几何意义, 可 得

A ?

B |

?A

| O ?|

, A

|? B
D

3

B

A2

D

AC ? AO ?| AC | ? | AE |? 72

O

依题意有

A

C E

AB ? AO ? x AB ? y AC ? AB ? 64 x ? 48 y ? 32 ,即 4 x ? 3 y ? 2 ,
同理 AC ? AO ? x AB ? AC ? y AC ? 48 x ? 144 y ? 72 ,即 2 x ? 6 y ? 3 综上,将两式相加可得: 6 x ? 9 y ? 5 ,即 2 x ? 3 y ? 14.解析: 503 (2 分) 16m ? 15 (3 分) 易求得 f (m) ? f ( f (125)) ? 4 ?125 ? 3 ? 503 ; 因为 f ( f (n)) ? 4n ? 3 ,所以 f ( f ( f (n))) ? f (4n ? 3) ? 4 f (n) ? 3 故有
2

2

5 3

注意到 f ( f (n)) ? 4n ? 3 和 f (125) ? m ,

f (2015) ? f (4 ? 503 ? 3) ? 4 f (503) ? 3 ? 4 f (4 ?125 ? 3) ? 3 ? 42 f (125) ? 4 ? 3 ? 3 ? 16m ? 15
15.解析: ? sin ? ? ?2

曲线 ? 即直线的普通方程为 x ? y ? 0 ,又曲线 C 即圆心为 C ? 2,0? ,半径为 2 的半圆,其

?x ? y ? 0 ? 2 2 方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,注意到 ? ? (? , 2? ) ,所以 y ? 0 ,联立方程组得 ?( x ? 2) ? y ? 4 ,解 ?y ? 0 ?
之得 ?

?x ? 2 ,故交点 P 的坐标为 (2, ?2) .过交点 P 且与曲线 C 相切的直线的普通方程是 y ? ?2 , y ? ? 2 ?

对应的极坐标方程为 ? sin ? ? ?2 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解析: (1)因为集合 A ? {x | 2 ? x ? 3} ,因为 a ?

1 2 9 9 x? x? x ? (a 2 ? 2) 4 ,由 4 > 0, 函数 y ? lg = lg 1 1 a?x ?x ?x 2 2 1 9 可得集合 B ={x | ? x ? } ????2 分 2 4 1 9 ?U B ? {x | x ? 或x ? } , ????????????????4 分 2 4 9 ? x ? 3} . 故 A (? ???????????6 分 U B ) ? {x | 4
(2)因为 q 是 p 的必要条件等价于 p 是 q 的充分条件,即 A ? B 由 A ? {x | 2 ? x ? 3} ,而集合 B 应满足 因为 a ? 2 ? a ? (a ? ) ?
2 2

x ? (a 2 ? 2) ?0, a?x

1 2

7 ?0 4
????????8 分

故 B ? {x | a ? x ? a ? 2} ,
2

依题意就有:

?a ? 2 , ? 2 ?a ? 2 ? 3
即 a ? ?1 或 1 ? a ? 2

???????????????10 分

- ?, - 1] [ 1, 2]. 所以实数 a 的取值范围是 (

???????12 分

17. (本小题满分 12 分)

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

解析: (Ⅰ)依题意: m ? n ? (cos A ? sin A ? 2,cos A ? sin A) ,因为 | m ? n |? 2 所以 (cos A ? sin A ? 2)2 ? (cos A ? sin A)2 ? 4 ,化简得:

sin A ? cos A ? tan A ? 1 ,
故有 A ?

?
4

.

???????6 分

(Ⅱ)依题意,在 ?ABC 中,由正弦定理
2 2 2

a ? 2 R ? 4 ,所以 a ? 2 2 , sin A

由余弦定理可得: a ? b ? c ? 2b ? c ? cos A , 化简得: c ? 2 2c ? 4 ? 0 ,解得: c ?
2

2 ? 6 (负值舍去).????12 分

18. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)由图象可知: 直线 OA 的方程是: v ? 3t ,直线 BC 的方程是: v ? ?2t ? 70 当 t ? 4 时, v ? 12 ,所以

s?

1 ? 4 ? 12 ? 24 . 2

?????????????2 分

当 0 ? t ? 10 时, s ?

1 3 ? t ? 3t ? t 2 ; 2 2

?????????3 分

当 10 ? t ? 20 时, s ? 当 20 ? t ? 35 时,

1 ? 10 ? 30 ? (t ? 10) ? 30 ? 30t ? 150 ???????4 分 2

1 s ? 150 ? 300 ? ? (t ? 20) ? (?2t ? 70 ? 30) ? ?t 2 ? 70t ? 550 ????5 分 2
综上可知 s 随 t 变化的规律是

?3 2 t ? [0,10] ?2 t ? ? s ? ?30t ? 150 t ? (10, 20] ? ? ?t 2 ? 70t ? 550 t ? (20,35] ? ?
(Ⅱ)

?????????????? ?7 分

t ?[0,10] ,

3 smax ? ?102 ? 150 ? 650 , 2

????????????????8 分 ??????????9 分

t ? (10, 20] , smax ? 30 ? 20 ?150 ? 450 ? 650

? 当 t ? (20,35] 时 , 令 ?t ? 7 t0
2

5 ? 5 0 , 6解5 得 0 t ? 30 , ( t ? 40 舍

去)??????????11 分 即在台风发生后 30 小时后将侵袭到 N 城. ????????12 分

19. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)依题意

f (t ) ? 24 ? 4sin ?t ? 4 3 cos ?t ? 24 ? 8sin(?t ? ) ????????2 分 3
因为早上 8 时的温度为 24 C ,即 f (8) ? 24 ,

?

? ? 1 1 sin(8? ? ) ? 0 ? 8? ? ? k? ? ? ? (k ? )? (k ? Z ) ????????3 分 3 3 8 3
? ? ? ? (0, ) ,故取 k ? 1 , ? ? ,
8
12

所求函数解析式为

f (t ) ? 24 ? 8sin( t ? ), t ? (0, 24] . ?????????????5 分 12 3 ? ? ? ? ? 7? ? ? 3? ) ,可知 t ? ? ? t ? 14 , 由 sin( t ? ) ? ?1 , t ? ? ( , 12 3 12 3 3 3 12 3 2
即这一天在 14 时也就是下午 2 时出现最高温度,最高温度是 32 C .????7 分 (Ⅱ)依题意:令 24 ? 8sin(

?

?

? ? 1 sin( t ? ) ? ? ???????????9 分 12 3 2 ? ? ? 7? ? ? 7? ? ? 11? t ? ? ( , ) ,? t ? ? 或 t? ? , 12 3 3 3 12 3 6 12 3 6
即 t ? 10 或 t ? 18 ,??????11 分 故中央空调应在上午 10 时开启,下午 18 时(即下午 6 时)关闭????12 分

t ? ) ? 28 ,可得 12 3

?

?

20. (本小题满分 13 分) 解析: (Ⅰ) f ( x) ? x( x ? a ) ? x ? 2ax ? a x ,
2 3 2 2

则 f ?( x) ? 3 x ? 4ax ? a ? (3x ? a )( x ? a ) , ????????1 分
2 2

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a 或 ∴

a ?1 a ,而二次函数 g ( x) 在 x ? 处有极大值 , 2 3

a ?1 a a ?1 ? ? a ? 3; ? a ? a ? ?1 或 2 3 2 综上: a ? 3 或 a ? ?1 . ?????????4 分
当 a ? 3 时, y ? f ( x) 的单调增区间是 (??,1], [3, ??) ,减区间是 (1,3) ??5 分 当 a ? ?1 时 , y ? f ( x) 的 单 调 增 区 间 是 ( ? ?, ?1 ] , ? [

1 3

? , ?减 ) 区 间 是 ,

1 ( ? 1?, ; ) 3
2

??????6 分
2

2 (Ⅱ) f ( x) ? g ( x) ? x( x ? a ) ? [? x ? (a ? 1) x ? a ] ? x( x ? a ) ? ( x ? a )( x ? 1)

? ( x ? a )[ x 2 ? (1 ? a ) x ? 1] , h( x) ? x 2 ? (1 ? a ) x ? 1 ,
? ? (a ? 1)(a ? 3)

????8 分

1 当 ?1 ? a ? 3 时, ? ? 0 , h( x) ? 0 无解,故原方程的解为 x ? a ?[?1,3] ,满足题意,即原
方程有一解, x ? a ? [?1,3] ; ???????9 分
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

2 当 a ? 3 时, ? ? 0 , h( x) ? 0 的解为 x ? 1 ,故原方程有两解, x ? 1,3 ;
3 当 a ? ?1 时, ? ? 0 , h( x) ? 0 的解为 x ? ?1 ,故原方程有一解, x ? ?1 ;

4 当 a ? 3 时, ? ? 0 ,由于 h(?1) ? a ? 1 ? 4, h(0) ? 1, h(3) ? 13 ? 3a
若 13 ? 3a ? 0 ? a ?

13 时, h( x) ? 0 在 [?1,3] 上有一解,故原方程有一解; 3

[来源:学科网]

若 13 ? 3a ? 0 ? 3 ? a ?

13 时, h( x) ? 0 在 [?1,3] 上无解,故原方程有无解; 3

5 当 a ? ?1 时, ? ? 0 ,由于 h(?1) ? a ? 1 ? 0, h(0) ? 1, h(3) ? 13 ? 3a ? 0
h( x) ? 0 在 [?1,3] 上有一解,故原方程有一解;
综上可得:当 3 ? a ? ???????11 分

13 13 时,原方程在 [?1,3] 上无解;当 a ? 3 或 a ? 时,原方程在 [?1,3] 上 3 3

有一解;当 a ? 3 时,原方程在 [?1,3] 上有两解.?????13 分

21. (本小题满分 14 分)

解析: (Ⅰ)令函数 f ( x) ? 2 ln x ? x ? 由 f ?( x) ?

1 ,定义域是 {x ? R | x ? 1} x

2 1 ?( x ? 1)2 ?1 ? 2 ? ? 0 ,可知函数 f ( x) 在 (1, ??) 上单调递减 x x x2
1 1 ? f (1) ? 0 ,即 2 ln x ? x ? . ???????????3 x x

故当 x ? 1 时, f ( x) ? 2 ln x ? x ? 分

(Ⅱ)因为 t ? 0, a ? 0 ,故不等式 (1 ? ) ln(1 ? t ) ? a 可化为 ln(1 ? t ) ? 问题转化为 (?) 式对任意的正实数 t 恒成立, 构造函数 g (t ) ? ln(1 ? t ) ?

a t

at ?? (?) t?a

at (t ? 0) , t?a

则 g ?(t ) ?

1 a2 t[t ? a(a ? 2)] ,?????6 分 ? ? 2 1 ? t (t ? a) (1 ? t )(t ? a) 2
t ? 0, a(a ? 2) ? 0 ,? g ?(t ) ? 0 即 g (t ) 在 (0, ??) 上单调递增,
at 对任意的正 实数 t 恒成立. t?a

(1)当 0 ? a ? 2 时,

所以 g (t ) ? g (0) ? 0 ,即不等式 ln(1 ? t ) ? (2)当 a ? 2 时, a(a ? 2) ? 0

因此 t ? (0, a(a ? 2)),g ?(t ) ? 0 ,函数 g (t ) 单调递减;

t ? (a(a ? 2), +?),g ?(t ) ? 0 ,函数 g (t ) 单调递增,
所以 g (t ) min ? g (a(a ? 2)) ? 2 ln(a ? 1) ?

[来源:Z#xx#k.Com]

a(a ? 2) a ?1

a ? 2,? a ? 1 ? 1 ,令 x ? a ? 1 ? 1 ,
由(Ⅰ)可知 g (t ) min ? 2ln(a ? 1) ?

a(a ? 2) x2 ?1 1 ? 2ln x ? ? 2ln x ? ( x ? ) ? 0 ,不合题意. a ?1 x x
??????10 分

综上可得,正实数 a 的取值范围是 (0, 2] . (Ⅲ)要证 (

9 19 1 9 10 1 ) ? 2 ,即证 19 ln ? ?2 ln e ? 19 ln ? 2 ? 19 ln(1 ? ) ? 2 , 10 e 10 9 9 2 由(Ⅱ)的结论令 a ? 2 ,有 (1 ? ) ln(1 ? t ) ? 2 对 t ? 0 恒成立, t

1 1 可得不等式 19 ln(1 ? ) ? 2 成立, 9 9 9 19 1 综上,不等式 ( ) ? 2 成立. ????????????14 分 10 e
取t ?


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