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江苏省盐城市射阳县第二中学2013-2014学年高二下学期数学(理)活动单学案:第10课时——特征值与特征向量[

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【学习目标】掌握矩阵特征值与特征向量的定义;能从几何变换的角度说明特征向量的意

义;会求二阶矩阵的特征值与特征向量;利用矩阵 A 的特征值、特征向量给出 An? 简单表

示 【学习重点】求二阶矩阵的特征值与特征向量 【活动过程】 活动一、情景引入。

考察点(1,0),(0,1)对应的向量

?1? ??0??

,

?0? ??1??

,



?1 ? ?0 ?

0 1 2

?
?
? ?

?1? ??0??

?

?1? ??0??



?1 ? ?0 ?

0 1 2

?
?
? ?

?0? ??1??

?

?
?
? ?

0 1 2

?
?
? ?

发现变换后,向量

?1 ??0

? ? ?

没有改变,向量

?0 ??1

? ? ?

方向没有改变,而长度变为原来的一半,因此,

向量

?1? ??0??

,

?0? ??1??

变换后与各自的原象共线;

活动二、构建数学。 1、特征值:

2、特征向量:



3、特征向量的几何意义



活动三、数学运用。

1、求出矩阵

?1 ??0

0? ?1??

的特征值和特征向量

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2、

已知

M

?

?1 ??2

2? 1??

,

?

?

?1? ??7??

,

试计算

M

50 ?

7、若矩阵

A

有特征向量 i

?

?1 ? ??0??



j

?

?0? ??1 ??

,且它们所对应的特征值分别为

?1 ? 2, ?2 ? ?1 。 (1)求矩阵 A 及其逆矩阵 A?1 ;

(2)求逆矩阵 A?1 的特征值及特征向量;

(3)对任意向量 ?

?

?x?

? ?

y??

,求

A100?



A ?1?



【课后作业】

1、设

A

?

?1 ??2

2?

1

? ?

,矩阵

A

的特征值为(



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A、3 和 1

B、3 和—1

C、—3 和 1

D、—3 和—1

?1

3?

2、设 M

?

? ?

2

2

? ? ,矩阵 M 的特征向量可以是(



?3 ?? 2

?

1 2

? ??

? A、 ?

3? ?

?1 ?

B、

?? ?

3? ?

?1 ?

?1 ? C、 ? ?
? 3?

D、

?1 ? ??3??

3、(1)求矩阵 M

?

?8 ??6

? ?

5? 3??

的特征值与特征向量;

(2)向量 ?

?

?7? ??8??

,求 M

4? , M

? 100



4、已知矩阵

A

?

?1 ?? ?1

(1)求矩阵 A ;

a?

b

? ?

,A

的一个特征值 ?

?

2 ,其对应的特征向是是?1

?

?2?

??1

? ?

.

(2)若向量

?

?

?7? ??4??

,计算

A5 ?

的值.

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5、已知矩阵 M

?

?3 ??5

6? 2??

有属于特征值 ?1

?

8 的特征向量?1

?

?6? ??5??

,及属于特征值

?2

?

?3 的特征向量? 2

?

?1 ? ??? 1??



(1)对向量 ?

?

?3? ??8??

,记作 ?

?

?1

?

3? 2

,利用这一表达式计算

M

3?

及M

50?



(2)对向量 ?

?

?8? ??3??



M

5?

及M

? 100



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