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数学物理方法第一章解析函数1.4初等函数


§1.4 初等解析函数
一、初等单值函数
1. 幂函数
(1)定义

w ? z (n ? 0, ? 1, ? 2,?)
n

(2)解析区域

除了z=0的复平面。

(3)与实函数相同的性质

z ?z ? z
m n

m? n

;?

(4)新性质 P( z ) a0 ? a1 z ? a2 z 2 ? ? ? an z n w? ? (an , bm ? 0) 2 m Q( z ) b0 ? b1 z ? b2 z ? ? ? bm z

?Q( z) ? 0?

1.4 初等解析函数

一、初等单值函数
1. 幂函数(图)

w? z

3

一、初等单值函数
2.指数函数 (1)定义

1.4 初等解析函数

w ? e z ? e x ?iy ? e x (cos y ? i sin y)
复平面
z1 z2 z1 ? z 2

(2)解析区域
z

(3)与实函数相同的性质

e ? 0; e ? e ? e
(4)新性质

; ?

e

z ?i 2 kπ

? e (k ? 0, ? 1, ? 2,? )
z

e

z

的实部不一定大于0
#

一、初等单值函数
2.指数函数(图)

1.4 初等解析函数

w?e

z

一、初等单值函数
3. 三角函数

1.4 初等解析函数

eiz ? e ?iz eiz ? e ?iz , cos z ? (1)定义 sin z ? 2i 2 sin z cos z 1 1 tan z ? , cot z ? , sec ? , csc ? cos z sin z cos z sin z
(2)解析区域 复平面 (除分母为0外) (3)与实函数相同性质

(4)新性质

(sin z )' ? cos z, (cos z )' ? ? sin z sin( z1 ? z2 ) ? sin z1 cos z2 ? cos z1 sin z2 ?

sin z 和 cos z 可大于任何正数

#

一、初等单值函数
3. 三角函数(图)

1.4 初等解析函数

w ? sin z

w ? cos z

一、初等单值函数
4. 双曲函数
(1)定义

1.4 初等解析函数

e z ? e? z e z ? e? z sinh z ? , cosh z ? 2 2 sinh z cosh z tanh z ? , coth z ? , cosh z sinh z 1 1 sec hz ? , csc h z ? cosh z sinh z

(2)解析区域

复平面

(3)与实函数相同的性质 cosh 2 z ? sinh 2 z ? 1; ?

一、初等单值函数

1.4 初等解析函数

? 初等单值函数与相应实函数的定义 在形式上相同;
? 在其定义域内均解析; ? 除具有某些新性质外具有与相应实 函数所具有的性质。

二、初等多值函数
1.根式函数 n 若 (1)定义 w

1.4 初等解析函数

w ? z : 支点为 z ? 0, ?;一阶。
则记 w ? n z 称根式函数
#

(n ? 2,3,?) (2)多值性的体现 体现在z 的 幅角与w 的幅角的对应关系上

?z

(3)支点

当变量绕其一周时函数值会改变的点

绕其 n 周后函数值还原的支点为n-1阶支点
(4)单值分支 限制z的变化范围得到的若干单值函数 c2 (5)支割线 连接支点割开z平面的线 (6)黎曼面 互相交叠的若干叶z平面 (7)解析性 每一单值支均解析
多值函数的支点一定是函数的奇点。
?z

r
?

c1

二、初等多值函数

1.4 初等解析函数

z(二) 3?

z(一)

?

? ??

W2

W1

二、初等多值函数

1.4 初等解析函数

z(二)
4?

z(一) 2? 0
W1 W2 W1

2?

二、初等多值函数
根式函数(图)

1.4 初等解析函数

w?3 z :

二、初等多值函数
黎曼面

1.4 初等解析函数

二、初等多值函数
例1 讨论
w ? ( z ? a)( z ? b) 的支点
y
z?a
?1

1.4 初等解析函数

答:支点为a,b
a o

?

z z ?b
?2

b

x

思考: 函数 w ? 3 z 2 ? 4 ? z 2 ? 1 是几值函数? 有何支点?
答:6值,支点

? 1,?2, ?

二、初等多值函数
2.对数函数
(1)定义
若z

1.4 初等解析函数

主值支: ln z ? ln z ? i arg z , 0 ? arg z ? 2?

? ew



w ? Lnz

(2)多值性的体现 z的幅角和w的虚部的对应关系 (3)支点 0 , ? (4)单值分枝 Lnz ? ln z ? i(arg z ? 2k? ) , k ? 0,?1,?2,? ? ?
(5)支割线 (6)黎曼面 (7)解析性 (8)性质 连接 0 , ? 割开z平面的线 无穷多叶 每一单值支均解析
Ln( z1 ? z2 ) ? Lnz1 ? Lnz2 Ln( z1 z2 ) ? Lnz1 ? Lnz2

二、初等多值函数
2.对数函数(图) 问:

1.4 初等解析函数

Lnz ? Lnz ? ? 2Lnz N Ln( z z )? ? Lnz ? Lnz ? ?0 N

小结
一、初等单值函数
n

1.4 初等解析函数

w ? z (n ? 0, ? 1, ? 2,?) z x ?iy x w ? e ? e ? e (cos y ? i sin y)

e z ? e? z e z ? e? z sinh z ? , cosh z ? 2 2 sinh z coth z tanh z ? , coth z ? , cosh z sinh z 1 1 sec hz ? , csc h z ? cosh z sinh z

eiz ? e ?iz eiz ? e ?iz sin z ? , cos z ? 2i 2 sin z cos z 1 1 tan z ? , cot z ? , sec ? , csc ? cos z sin z cos z sin z

二、初等多值函数
1.根式函数 若 w
n

小结

1.4 初等解析函数

?z

则记 w ? n z 称根式函数


2.对数函数 若 z ? e w 概念:
(1)支点 (2)单值分枝 (3)支割线 (4)里曼面 (5)解析性

w ? Lnz

主值支: ln z ? ln z ? i arg z , 0 ? arg z ? 2?
当变量绕其一周时函数值会改变的点

绕其 n 周后函数值还原的支点为n-1阶支点
限制z的变化范围得到的若干单值函数
连接支点割开z平面的线 互相交叠的若干叶z平面 每一单值支均解析

z=cplxgrid(30); cplxmap(z,z.^2); colorbar('vert'); title('z^2')

本节作业

1.4 初等解析函数

习题1.4
6(2);7(3)



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