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高三一轮复习文科数学导学案1.1集合的概念与运算


第一章

集合与常用逻辑用语

第一章
学案 1.1

集合与常用逻辑用语
集合的概念及其运算

【学习目标】 1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. 4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.5.能使用韦恩(Venn)图表达集合 的关系及运算.

自主预习案
【双基梳理】 1.集合与元素 (1)集合中元素的特征: (2)元素与集合的关系是 (3)集合的表示法: (4)常见数集的记法 集合 符号 2.集合间的基本关系 关系 自然语言 集合 A 中所有元素都在集合 B 中(即若 x∈A,则 x∈B) 集合 A 是集合 B 的子集, 且集合 B 中至 少有一个元素不在集合 A 中 集合 A, B 中元素相同或集合 A, B 互为 子集 符号语言 自然数集 N 正整数集 N+(或 N )
*

自主复习 夯实基础

、 或 、



. 表示.

两种,用符号 或 、 .

整数集 Z

有理数集 Q

实数集 R

维恩图

子集

真子集

集合相等

3.集合的运算 集合的并集 图形 符号 A∪B= A∩B= ?UA= 集合的交集 集合的补集

4.集合关系与运算的常用结论 (1)若有限集 A 中有 n 个元素,则 A 的子集个数为 (2)A?B?A∩B= ?A∪B= . 个,非空子集个数为 个,真子集有 个.

【课前热身】 1.设集合 A={x|-1<x<2},集合 B={x|1<x<3},则 A∪B 等于(

)

第一章

集合与常用逻辑用语

A.{x|-1<x<3} C.{x|1<x<2}

B.{x|-1<x<1} D.{x|2<x<3} )

2.已知集合 A={x|x2-x-2≤0},集合 B 为整数集,则 A∩B 等于( A.{-1,0,1,2} C.{0,1} B.{-2,-1,0,1}

D.{-1,0} )

3.设集合 M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则 M∪N 等于 ( A.[0,1] C.[0,1) B.(0,1] D.(-∞,1]

4.已知集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则?R(A∪B)=________. 5.设集合 A={x|x2+2x-3>0},集合 B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若 A∩B 中恰含有一个整数,则实 数 a 的取值范围是________.

考点探究案
考点一 集合的基本概念 【例 1】(1)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( A.1 B.3 C.5 D.9 (2)已知集合 A={m+2,2m2+m},若 3∈A,则 m 的值为________. )

典例剖析 考点突破

变式训练: (1)设集合 A={1,2,3}, B={4,5}, M={x|x=a+b, a∈A, b∈B}, 则 M 中的元素个数为( A.3 B.4 C.5 D.6 b ? ? (2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0,a,b?,则 b-a=________.
? ?

)

考点二 集合间的基本关系 【例 2】(1)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知集合 A={x|x2-2 017x+2 016<0},B={x|x<a},若 A?B,则实数 a 的取值范围是________.

变式训练:(1)已知集合 A={x|y=ln(x+3)},B={x|x≥2},则下列结论正确的是( A.A=B C.A?B B.A∩B=? D.B?A )

)

(2)已知集合 A={x| x= x2-x,x∈R},B={1,m},若 A?B,则 m 的值为( A.2 B.-1 D.2 或 2

C.-1 或 2

第一章

集合与常用逻辑用语

x=x -2, ? ? (2)由题意,若 x∈A,则?x≥0, ? ?x2-2≥0,

2

解得 x=2.由 A?B,得 x∈B,所以 m=2.故选 A.

考点三 集合的基本运算 【例 3】(1)设全集 U={x∈N+|x<6},集合 A={1,3},B={3,5},则?U(A∪B)等于( A.{1,4} C.{2,5} B.{1,5} D.{2,4} )

)

(2)已知集合 A={x|x-2≥0},B={x|0<log2x<2},则?R(A∩B)是( A.{x|2<x<4} B.{x|x≥2} D.{x|x<2 或 x≥4}

C.{x|x≤2 或 x≥4} 【例 4】 A.0 或 3 C.1 或 3

(1)已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m 等于( B .0 或 3 D.1 或 3

)

(2)设集合 A={0,1},集合 B={x|x>a},若 A∩B=?,则实数 a 的取值范围是( A.a≤1 C.a≥0 B.a≥1 D.a≤0

)

变式训练:(1)(2015· 天津)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={2,3,5,6},集合 B={1,3,4,6,7},则集 合 A∩(?UB)等于( A.{2,5} C.{2,5,6} )

B.{3,6} D.{2,3,5,6,8}

b (2)已知集合 A={x|x>2 或 x<-1},B={x|a≤x≤b},若 A∪B=R,A∩B={x|2<x≤4},则 =______. a

【感悟与反思】

巩固提高案
1.下列集合中表示同一集合的是( A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} )

日积月累 提高自我

2.设集合 A={1,2,4},集合 B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合 B 中的元素个数为( A.4 B.5 C.6 D.7 3.已知集合 A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合 A∩B 中元素的个数为(

)

)

第一章

集合与常用逻辑用语

A.5 B.4 C.3 D.2 4.已知集合 A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则 A∩B 等于( A.{-1,0} C.{-1,0,1} B.{0,1} D.{0,1,2} ) )

5.已知集合 A,B 均为全集 U={1,2,3,4}的子集,且?U(A∪B)={4},B={1,2},则 A∩(?UB)等于( A.{3} C.{3,4} B.{4} D.? )

6.设集合 A={3,x2},B={x,y},若 A∩B={2},则 y 的值为( A.1 C.4 B.2 D.3

7.已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子集共有( A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 8.已知集合 A={x|-1<x<0},B={x|x≤a},若 A?B,则 a 的取值范围为( A.(-∞,0] C.(-∞,0) B.[0,+∞) D.(0,+∞)

)

)

9.已知集合 A={x|x2-2x+a>0},且 1?A,则实数 a 的取值范围是________. 10.已知 U=R,集合 A={x|x2-x-2=0},B={x|mx+1=0},B∩(?UA)=?,则 m 的可能取值组成的 集合为________. 11.已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则 A∩B=________. 12. 已知集合 A={x∈R||x+2|<3}, 集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}, 且 A∩B=(-1, n), 则 m=________, n=________. 【体验高考】 1. .(2016 天津)已知集合 A ? {x || x |? 2} , B ? {?1,0,1, 2,3} ,则 A ? B ? () A. {0,1} B. {0,1, 2} C. {?1, 0,1} D. {?1, 0,1, 2}

2.(2016 山东)设集合 U ? {1, 2,3, 4,5,6}, A ? {1,3,5}, B ? {3, 4,5} ,则 ?U ( A ? B) = (A) {2,6} (B) {3,6} (C) {1,3, 4,5} (D) {1, 2, 4,6}

3.(2016 新课标Ⅰ)设集合 A ? x x ? 4 x ? 3 ? 0
2

?

? , ? x 2 x ? 3 ? 0? ,则 A ? B ?
(D) ?

(A) ? ?3, ? ?

? ?

3? 2?

(B) ? ?3, ?

? ?

3? 2?

(C) ?1, ?

? 3? ? 2?

?3 ? ,3 ? ?2 ?


4.(2016 新课标Ⅱ)已知集合 A ? {1, 2,3} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0, x ? Z} ,则 A ? B ? ( (A) {1}

, 2} (B) {1

1, 2, 3} (C) {0,

, 0, 1, 2, 3} (D) {?1

第一章

集合与常用逻辑用语

5.(2016 新课标Ⅲ)设集合 S ? ?x | ( x ? 2)( x ? 3) ? 0?, T ? ?x | x ? 0? ,则 S ? T ? ( (A) [2,3] (B)(- ? ,2] U [3,+ ? ) (C) [3,+ ? )



(D)(0, 2] U [3,+ ? )

参考答案: 【双基梳理】 确定性、互异性、无序性. 属于 不属于 ∈ ?. 列举法、描述法、图示法. A?B(或 B?A) A?B(或 B?A) A=B {x|x∈A 或 x∈B} {x|x∈A 且 x∈B} {x|x∈U,且 x?A} 2n, 2n-1 ,2n-1. A B.

【课前热身】 1.答案 A 解析 借助数轴知 A∪B={x|-1<x<3}. 2.答案 A 解析 因为 A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},又因为集合 B 为整数集,所以集合 A∩B ={-1,0,1,2},故选 A. 3.答案 A 解析 由题意得 M={0,1},N=(0,1],故 M∪N=[0,1],故选 A. 4.答案 {x|x≤2 或 x≥10}解析 ∵A∪B={x|2<x<10},∴?R(A∪B)={x|x≤2 或 x≥10}. 3 4? 5.答案 ? ?4,3? 解析 A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1 或 x<-3},因为函数 f(x)=x2-2ax-1 的对称轴为 x=a>0,f(0)= -1<0,根据对称性可知要使 A∩B 中恰含有一个整数,则这个整数为 2,所以有 f(2)≤0 且 f(3)>0,
?4-4a-1≤0, ? 即? 所以 ? ?9-6a-1>0,

?a≥4, ? 4 ?a<3.
3 2

3

3 4 即 ≤a< . 4 3

考点一 集合的基本概念 【例 1】答案 解析 (1)C (2)-

(1)当 x=0,y=0 时,x-y=0;

当 x=0,y=1 时,x-y=-1; 当 x=0,y=2 时,x-y=-2;当 x=1,y=0 时, x-y=1; 当 x=1,y=1 时,x-y=0;当 x=1,y=2 时, x-y=-1; 当 x=2,y=0 时,x-y=2;当 x=2,y=1 时, x-y=1;

第一章

集合与常用逻辑用语

当 x=2,y=2 时,x-y=0.根据集合中元素的互异性知,B 中元素有 0,-1,-2,1,2,共 5 个. 3 (2)由题意得 m+2=3 或 2m2+m=3,则 m=1 或 m=- ,当 m=1 时, m+2=3 且 2m2+m=3,根 2 3 1 3 据集合中元素的互异性可知不满足题意;当 m=- 时,m+2= ,而 2m2+m=3,故 m=- . 2 2 2 变式训练: 答案 解析 (1)B (2)2 (1)因为集合 M 中的元素 x=a+b,a∈A,b∈B,所以当 b=4 时,a=1,2,3,此时 x=5,6,7.

当 b=5 时,a=1,2,3,此时 x=6,7,8. 所以根据集合元素的互异性可知,x=5,6,7,8. 即 M={5,6,7,8},共有 4 个元素. b ? ? (2)因为{1,a+b,a}=?0,a,b?,a≠0,
? ?

b 所以 a+b=0,得 =-1,所以 a=-1,b=1,所以 b-a=2. a 考点二 集合间的基本关系 【例 2】 答案 解析 (1)D (2)[2 016,+∞) (1)由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,

∴A={1,2}. 由题意知 B={1,2,3,4}. ∴满足 A?C?B 的集合 C 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共 4 个. (2)由 x2-2 017x+2 016<0,解得 1<x<2 016, 故 A={x|1<x<2 016},又 B={x|x<a},A?B 如图所示,

得 a≥2 016. 变式训练: 答案 解析 (1)D (2)A (1)A={x|x>-3},B={x|x≥2},结合数轴可得:B?A.
2

x=x -2, ? ? (2)由题意,若 x∈A,则?x≥0, ? ?x2-2≥0,

解得 x=2.由 A?B,得 x∈B,所以 m=2.故选 A.

考点三 集合的基本运算 【例 3】 答案 解析 (1)D (2)D (1)由题意可知 U={1,2,3,4,5},A∪B={1,3,5},

第一章

集合与常用逻辑用语

所以?U(A∪B)={2,4}.故选 D. (2)∵A= {x|x≥2} , B= {x|1<x<4},∴A∩B = {x|x≥2}∩{x|1<x<4}= {x|2≤x<4}, ? R(A∩B)= {x|x<2 或 x≥4}.故选 D. 【例 4】 答案 (1)B (2)B

变式训练: 答案 解析 (1)A (2)-4 (1)由题意知,?UB={2,5,8},

则 A∩(?UB)={2,5},选 A. (2)由 A={x|x>2 或 x<-1},A∪B=R,A∩B={x|2<x≤4},可得 B={x|-1≤x≤4},则 a=-1,b=4, b 故 =-4. a

巩固提高案
1.答案 B 解析 选项 A 中的集合 M 表示由点(3,2)所组成的单点集,集合 N 表示由点(2,3)所组成的单点集,故集 合 M 与 N 不是同一个集合.选项 C 中的集合 M 表示由直线 x+y=1 上的所有点组成的集合,集合 N 表示由直线 x+y=1 上的所有点的纵坐标组成的集合,即 N={y|x+y=1}=R,故集合 M 与 N 不是同 一个集合.选项 D 中的集合 M 是数集,而集合 N 是点集,故集合 M 与 N 不是同一个集合.对选项 B, 由集合元素的无序性,可知 M,N 表示同一个集合. 2.答案 C 解析 ∵a∈A,b∈A,x=a+b,∴x=2,3,4,5,6,8. ∴B 中共有 6 个元素. 3.答案 D 解析 A={…,5,8,11,14,17,…},B={6,8,10,12,14},集合 A∩B 中有两个元素. 4.答案 A 解析 由 A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2<x<1},得 A∩B={-1,0},故选 A. 5.答案 A 解析 ∵U={1,2,3,4},?U(A∪B)={4}, ∴A∪B={1,2,3}. 又∵B={1,2},∴{3}?A?{1,2,3}, 又?UB={3,4},∴A∩(?UB)={3}. 6.答案 B 解析 由 A∩B={2}得 x2=2,∴x=± 2,故 y=2. 7.答案 B

第一章

集合与常用逻辑用语

解析 ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5}, ∴M∩N={1,3}. ∴M∩N 的子集共有 22=4 个. 8.答案 B 解析 用数轴表示集合 A,B(如图)

由 A?B 得 a≥0. 9.答案 (-∞,1] 解析 ∵1?{x|x2-2x+a>0},∴1∈{x|x2-2x+a≤0},即 1-2+a≤0,∴a≤1. 1 10.答案 {0,1,- } 2 1 解析 A={-1,2},B=?时,m=0;B={-1}时,m=1;B={2}时,m=- . 2 11.答案 {(0,1),(-1,2)} 解析 A、 B 都表示点集, A∩B 即是由 A 中在直线 x+y-1=0 上的所有点组成的集合, 代入验证即可. 12.答案 -1 1 解析 A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5<x<1}, 由 A∩B=(-1,n)可知 m<1, 则 B={x|m<x<2},画出数轴,可得 m=-1,n=1.

【体验高考】 1. 【答案】C

2.

考点:集合的运算

3.【答案】D

第一章

集合与常用逻辑用语

4.【答案】C【解析】试题分析:集合 B ? {x | ?1 ? x ? 2, x ? Z} ? {0,1} ,而 A ? {1, 2,3} ,所以

A ? B ? {0,1, 2,3} ,故选 C.
5.【答案】D


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