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高一数学公开课等差数列的前N项和教案


公 开 课:2.2 等差数列的前 n 项和(1)
授课班级:高一(1)班 教师 ZNB 教学目的: 1.掌握等差数列前 n 项和公式的推导过程. 2.会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的实际问题. 教学重点:等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用. 教学难点:灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:无 教学过程: 一、复习引入: 首先回忆一下前几节课所学主要内容: 1.等差数列的定义: an - a n ?1 =d , (n≥2,n∈N 2.等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d 3.等差中项:a,A,b 成等差数列,则 A 叫 a 与 b 的等差中项( 2 A ? a ? b ) 5.等差数列的性质: m+n=p+q ? am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ∈N ) 二、讲解新课: [创设情景] 等差数列在现实生活中比较常见, 因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇 到的问题。在 200 多年前,历史上最伟大的数学家之一,被誉为“数学王子”的高斯就 曾经上演 了迅速求出等差数列这么一出好戏。 那时, 高斯的数学老师提出了下面的问题: 1+2+3+?? +100=?当时,当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时,10 岁的高斯却用 下面的方法迅速算出了正确 答案: (1+100)+(2+99)+??+(50+51)=101×50=5050 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1,2,3,?,n,?前 100 项的和的问题。 今天我们就来学习如何去求等差数列的前 n 项的和! [探索研究] 我们先来看看人们由高斯求前 100 个正整数的方法得到了哪些启发。人们从高斯那里 受 到启发,于是用下面的这个方法计算 1,2,3,?,n,?的前 n 项的和: 由 1 + 2 + ?+ n-1 + n n + n-1 + … + 2 + 1 (n+1)+(n+1)+ ? +(n+1)+(n+1) 可知
?

,d 为公差)

1? 2 ? 3 ??? n ?

(1 ? n)n 2

上面这种加法叫“倒序相加法”

1、数列的前 n 项和: 数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 称为数列 ?an ? 的前 n 项和,记为 S n . 2.等差数列的前 n 项和公式 1: S n ?

n(a1 ? a n ) 2


证明: S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an

S n ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1 ②
① +②: 2S n ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? (a3 ? an?2 ) ? ? ? (an ? an ) ∵ a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?? ∴ 2S n ? n(a1 ? an ) 下面我们来做几道练习题 在已知等差数列 (1) 由此得: S n ?

n(a1 ? a n ) 2

?an ?

中,求数列的前 n 项和

Sn

a1 ? ?4, a8 ? ?18, n ? 8, (2) a1 ? 5, d ? 3, n ? 10 .

分析: (1)直接用公式即可, (2)需要通过利用等差数列的性质来求出 式,从而引出等差数列前 n 项和的另一公式。 等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ?

an 然后再用公

n(n ? 1)d 2
王新敞
奎屯 新疆

总之:两个公式都表明要求 S n 必须已知 n, a1 , d , an 中的三个 如果我们知道等差数列的

a1 , an , n ,我们就用公式 1;如果我们知道等差数列的 a1 , d , n ,我们就用公式 2.
三、例题讲解 例 1、2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某 市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从 2001 年起用 10 年时间,在全市中小学 建成不同标准的校园网.据测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元.为 了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 年 起的未来 10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? ⑴、先阅读题目; ⑵、引导学生提取有用的信息,构件等差数列模型; ⑶、写这个等差数列的首项和公差,并根据首项和公差选择前 n 项和公式进行求解。 解: 根据题意, 从 2001-2010 年, 该市每年投入 “校校通” 工程的经费都比上一年增加 50 万元 . 所以,可以建立一个等差数列

?an ? ,表示从

2001 年起各年投入的资金,其中

a1 ? 500, d ? 50
那么,到 2010 年(n=10) ,投入的资金总额为

S n ? 10 ? 500 ?

10 ? (10 ? 1) ? 50 ? 7250 (万元 ) 2

答:从 2001~2010 年,该市在“校校通”工程中的总投入是 7250 万元. 例 2.已知一个等差数列

?an ?前

10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220.由这些条件能

确定这个等差数列的前 n 项和的公式吗? 引导学生分析得到:等差数列前 n 项和公式就是一个关于

a1 ,a n , n 或者 a1 , n, d 的方

程。若要确定其前 n 项求和公式,则要确定 a1和d 的关系式,从而求得。 分析: 将已知条件代入等差数列前 n 项和的公式后, 可得到两个关于 a1和d 的二元一次 方程,由此可以求得 a1和d ,从而得到所求前 n 项和的公式. 解:由题意知

S10 ? 310 ,S20 ? 1220 ,
S n ? na1 ?
1

将它们代入公式

n ? (n ? 1) ?d 2 得

a ? 45 d ?3 1 0 ? 10 20 a ?190 d ?1220
1

解得: a1 ? 4, d ? 6

所以

S n ? 4n ?

n ? (n ? 1) ? 6 ? 3n 2 ? n 2

同学们想一想还有其他解法么?动手做做! 例题评述:此例题目的是建立等差数列前 n 项和与解方程之间的联系.已知几个量,通过 解方程,得出其余的未知量 四、 课堂练习(课本习题) 五、小结 本节课学习了以下内容: 1、数列的前 n 项和

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an

2、 等差数列的前 n 项和: 公式 1:

Sn ?

n(a1 ? a n ) 2
n(n ? 1)d 2

公式 2: 六、课后作业: 七、板书设计(略) 八、课后记:

S n ? na1 ?


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