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2016-2017学年高中数学苏教版选修2-1学业分层测评3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 Word版含解析


学业分层测评
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 1.已知 a=(1,4,3),b=(3,x,y)分别是直线 l1,l2 的方向向量,若 l1∥l2, 则 x=________,y=________. 【解析】 【答案】 1 4 3 由 l1∥l2,得3=x =y ,解得 x=12,y=9. 12 9

2.设直线 l1 的方向向量为 a=(2,-1,2),直线 l2 的方向向量为 b=(1,1, m),若 l1⊥l2,则 m=________. 【解析】 【答案】 1 ∵l1⊥l2,∴2-1+2m=0,∴m=-2. 1 -2

3.若平面 α,β 的法向量分别为(-1,2,4),(x,-1,-2),并且 α⊥β,则 x 的值为________. 【解析】 因为 α⊥β,那么它们的法向量也互相垂直,则有-x-2-8=0, 所以 x=-10. 【答案】 -10

→ 4.设 A 是空间任意一点,n 为空间任一非零向量,则适合条件AM· n=0 的 点 M 的轨迹是________. 【解析】 【答案】 → AM· n=0 称为一个平面的向量表示式,这里考查的是基本概念. 过点 A 且与向量 n 垂直的平面

5.已知直线 l1 的方向向量为 a=(2,4,x),直线 l2 的方向向量为 b=(2,y,2), 若|a|=6,且 a⊥b,则 x+y 的值是________. 【解析】 因为|a|=6, 所以 4+16+x2=36, 即 x=± 4, 当 x=4 时, a=(2,4,4), 由 a· b=0,得 4+4y+8=0,解得 y=-3,此时 x+y=4-3=1;当 x=-4 时, a=(2,4,-4),由 a· b=0,得 4+4y-8=0,解得 y=1,此时 x+y=-4+1=- 3.

综上,得 x+y=-3 或 x+y=1. 【答案】 -3 或 1

6 .已知 A(1,0,0) , B(0,1,0) , C(0,0,1) ,则平面 ABC 的单位法向量坐标为 ________. 【导学号:09390081】 【解析】 → → 设单位法向量 n0=(x,y,z),AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1).

? → → 由 n0· AB = 0 ,且 n0· AC = 0 得 ?y-x=0, ?z-x=0,

x2+y2+z2=1,

?x= 3 , ? 3 解得 ?y= , 3 ?z= 3, ? 3
3



?x=- 3 , ? ?y=- 33, ?z=- 3. ? 3
3 【答案】 ? 3 3 3? ? 3 3 3? ? , , ?或?- ,- ,- ? 3 3? ? 3 3 3? ?3 7.已知平面 α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),则平面 α 的 一个法向量是________. 【解析】 ∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),

→ → ∴AB=(1,-2,-4),AC=(2,-4,-3). 设平面 α 的法向量为 n=(x,y,z), → → 依题意,应有 n· AB=0,n· AC=0, ?x-2y-4z=0, ?x=2y, 即? 解得? ?2x-4y-3z=0, ?z=0. 令 y=1,则 x=2. ∴平面 α 的一个法向量为 n=(2,1,0). 【答案】 (2,1,0)

8.已知点 A,B,C 的坐标分别是(0,1,0),(-1,0,1),(2,1,1),点 P 的坐标为

→ → → → (x,0,z),若PA⊥AB,PA⊥AC,则点 P 的坐标为________. 【解析】 ∵A(0,1,0),B(-1,0,1),C(2,1,1),P(x,0,z),

→ → → ∴AB=(-1,-1,1),AC=(2,0,1),PA=(-x,1,-z). → → → → ∵PA⊥AB,PA⊥AC, → → ∴PA· AB=(-x,1,-z)· (-1,-1,1)=0, → → PA· AC=(-x,1,-z)· (2,0,1)=0, ?x-1-z=0, ∴? ?-2x-z=0, 1 ? ?x=3, ∴? 2 ? ?z=-3, 2? ?1 ∴点 P 的坐标为?3,0,-3?. ? ? 【答案】 二、解答题 → 9.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,证明:DB1是平面 A1BC1 的法向量. 【证明】 建立空间直角坐标系,如图,不妨设正方体的棱长为 1, 2? ?1 ?3,0,-3? ? ?

→ 则 D(0,0,0), B1(1,1,1), A1(1,0,1), B(1,1,0), C1(0,1,1), 于是DB1 → → → → =(1,1,1),BA1=(0,-1,1),BC1=(-1,0,1),由于DB1· BA1=-1 → → +1=0,DB1· BC1=-1+1=0. → → → → → ∴DB1⊥BA1,DB1⊥BC1,∵BA1∩BC1=B,∴DB1⊥平面 A1BC1,即DB1是 平面 A1BC1 的法向量. 10. 已知 ABCDA1B1C1D1 是长方体, 建立空间直角坐标系如图 325.AB=3, BC=4,AA1 =2,

图 325 (1)求平面 B1CD1 的一个法向量; (2)设 M(x,y,z)是平面 B1CD1 内的任意一点,求 x,y,z 满足的关系式. 【解】 (1)在题图所示的空间直角坐标系 Axyz 中各点坐标为 B1(3,0,2),

C(3,4,0),D1(0,4,2), → → 由此得B1C=(0,4,-2),CD1=(-3,0,2), 设平面 B1CD1 的一个法向量为 a=(x,y,z), → → → → 则 a⊥B1C,a⊥CD1,从而 a· B1C=0,a· CD1=0, 所以 0· x+4· y-2· z=0,-3· x+0· y+2· z=0, ?2y-z=0, 解方程组? ?3x-2z=0, z y = ? ? 2, 得? 2z x = ? ? 3. 不妨取 z=6,则 y=3,x=4. 所以 a=(4,3,6)就是平面 B1CD1 的一个法向量. → (2)由题意可得,B1M=(x-3,y,z-2), 因为 a=(4,3,6)是平面 B1CD1 的一个法向量, → → 所以 a⊥B1M,从而 a· B1M=0, 即 4(x-3)+3y+6(z-2)=0,4x+3y+6z=24, 所以满足题意的关系式是 4x+3y+6z=24. [能力提升] 1.若不重合的两个平面的法向量分别是 a=(3,-3,-3),b=(-1,1,1), 则这两个平面的位置关系是________. 【解析】 ∵a=(3,-3,-3),b=(-1,1,1),

∴a=-3b,a∥b. ∴这两个平面平行. 【答案】 平行

2.已知平面 α 内有一个点 A(-1,1,0),α 的一个法向量为 n=(-1,1,1),则 下列各点中,在平面 α 内的是________(填序号). 1 2? ? ①(1,3,2);②(0,0,2);③(1,2,1);④?5,3,3?. ? ? → → 【解析】 设平面 α 内任意点 P(x,y,z),则AP=(x+1,y-1,z),故 n· AP =-x-1+y-1+z=0,即 x-y-z+2=0,把各点坐标代入检验,可知②③符 合. 【答案】 ②③

→ 3.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,若AB=(2,-1,-4), → → AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),则给出下列结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③ → → → AP是平面 ABCD 的一个法向量;④AP∥BD.其中正确的结论是________. 【导学 号:09390082】 【解析】 → → AB· AP=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=-2-2+4=0,则

→ → AB⊥AP,即 AP⊥AB; → → → → AP· AD=(-1)×4+2×2+0=0,则AP⊥AD,即 AP⊥AD,又 AB∩AD=A, → → → → ∴AP⊥平面 ABCD,故AP是平面 ABCD 的一个法向量.由于BD= AD-AB= → (2,3,4),AP=(-1,2,-1), ∴ 2 3 4 → → ≠ ≠ ,所以AP与BD不平行. -1 2 -1 ①②③

【答案】

4.如图 326,四棱锥 PABCD 中,PD=AD=DC,底面 ABCD 为正方形, → E 为 PC 的中点,F 在 PB 上,问 F 在何位置时,PB为平面 DEF 的一个法向量?

图 326 【解】 建系如图,设 DA=2,

则 D(0,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0). ∴E(0,1,1),∵B(2,2,0), → ∴PB=(2,2,-2). → → 设 F(x,y,z),PF=λPB, ∴(x,y,z-2)=λ(2,2,-2),

?x=2λ, ∴?y=2λ, ?z-2=-2λ,
∴F(2λ,2λ,2-2λ), → ∴DF=(2λ,2λ,2-2λ). 1 → → ∵PB· DF=0,∴4λ+4λ-2(2-2λ)=0,∴λ=3, ∴F 为 PB 的一个三等分点(靠近 P 点).


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