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2014年全国高中数学青年教师展评课:直线的倾斜角和斜率教学设计(江西萍乡中学黄贤锋)


直线的倾斜角和斜率教案
江西省萍乡中学 黄贤锋 1 教学内容分析 1.1 教学内容 本节课讲的是北师大版必修二第二章的第一节第一课时的内容,主要学习直线的倾斜角 和斜率的概念以及过两点的斜率公式. 1.2 教材所处地位及前后的联系 本节内容是高中解析几何内容的重点,涉及的直线倾斜角,斜率是解析几何中的重要概 念。这些概念的学习初步渗透了解析几何的基本思想和基本研究方法。本节内容的学习,为 进一步学习圆锥曲线方程、导数等知识做好了铺垫;为最终通过解决代数问题来解决几何问 题打下基础。 2 教学目标 2.1 知识目标 理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式。 2.2 能力目标 通过学习直线的倾斜角和斜率有关的概念,培养学生的数学理解能力;通过对斜率公式的推 导,增强学生运用坐标法解决几何问题的能力;通过练习增强学生分类讨论的意识。 2.3 情感、态度与价值观 学生通过主动探究,合作学习,相互交流,增强学生的数学应用意识,提高学生数学思维的 情趣,给学生成功的体验,强化学生参与意识与主体作用. 3 学情分析 3.1 认识结构 经过半年多时间的学习,学生对数学概念及思维方法的认识水平有了较大提高.但不同层 次的学生之间仍存在着较大的差距,尤其表现在对知识的探究、联想、迁移能力上.在新课中, 运用了生活中的实例,多媒体动画效果,引导学生思维的“上路” ,让学生主动参与探究过程. 3.2 情感结构 随着年龄的增大,阅历的丰富,高中学生自主意识的增强,有独立思考问题、发现问题 的能力.在学生的探索活动中,主动通过设疑、质疑、提示等启发示手段,帮助他们分析问题, 激发学生的学习的兴趣. 4 教学重点、难点分析 4.1 教学重点 直线的倾斜角和斜率的概念。 4.2 教学难点 斜率概念的理解和过两点的直线斜率计算公式的推导。 5 教学方法 本节课主要是教给学生“动手、动眼、动脑、动口”的研究式学习方法,增加学生自主参 与,合作交流的机会,教给学生获取知识的途径,思考问题的方法,使学生真正成为教学的 主体。 6 教学手段 多媒体教学 7 教学过程 7.1 创设情境 引入新课

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带领学生欣赏李白《蜀道难》中的诗句“蜀道之难难于上青天” , “ 黄鹤之飞尚不得,猿 猱欲度愁攀援。 ”并通过图片欣赏蜀道风光。 设计意图:通过耳熟能详的李白诗句,以及蜀道风光凸显蜀道的险峻,陡峭。为顺利引 出道路(直线)的倾斜程度埋下伏笔。顺势引出本节内容“直线的倾斜角和斜率。 ” 7.2 创设问题 引入新知 思考 1 平面内一条直线由哪些条件确定呢? 学生解答 老师追问:在数学中还有没有其他方式确定一条直线? 设计意图:激发学生的求知欲,为顺利引出问题 2 作铺垫。 问题 1 在如图所示的平面直角坐标系中,画出满足下列条件的直线,并探究这样的直线有多 少条。 (1).经过定点 A, (2)直线的向上方向与 x 轴正方向成 30° (3)经过定点 A 的直线,且直线的向上方向与 x 轴正方向成 30°。 学生解答 设计意图:通过几个问题的比较得知两点确定一条直线,以及“一点一方向”确定一直线。 接下来出现刻画直线“方向”的量倾斜角也就顺理成章了。 7.3 新课讲解 7.3.1 直线的倾斜角 在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线 l ,把 x 轴(正方向)按逆时针方向绕 着交点旋转到和直线 l 重合所成的角,叫做直线 l 的倾斜角。常用字母 ? 表示

规定:当直线和 x 轴平行或重合时,倾斜角 ? ? 0

o

注:概念中的“重合”是指第一次重合。 倾斜角的取值范围: 0 ? ? ? 180 平面直角坐标系中,每一条直线都有确定倾斜角。倾斜角刻画直线的倾斜程度。 7.3.2 直线的斜率 思考 2:回忆一下,在初中,我们用什么量,去衡量坡面、屋顶、楼梯的陡峭程度? 学生解答 老师追问:坡度的计算公式 设计意图:转化得出“坡度即水平方向移动一个单位时铅直方向上升(下降)的数值 ”为引出直线斜率定义做准备。 (1) 过原点直线的斜率。 (2) 不过原点直线的斜率。 注:倾斜角为 90 时,直线的斜率不存在。

思考 3

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(1) 当 0 ? ? ? 90 时,斜率是非负的,直线的倾斜角变化时,斜率如何变化? (2) 当 90 ? ? ? 180 时,斜率是负的,直线的倾斜角变化时,斜率如何变化? 设计意图:搞清斜率的取值范围及随倾斜角的变化而变化的规律。 思考 4 结合下图,当 ? ? 90 时,计算 tan ? 的值,并探究直线的斜率 k 与倾斜角 ? 的正
o

切值 tan ? 是否相等。

学生解答 注意 ? ? 0 与钝角的情形的讲解,引导学生发现这两种情形,培养学生全面思考问题的 意识。

(? ? 90 ) 设计意图:得出公式 k ? tan ? ,即实现了倾斜角与斜率的沟通。
问题 2

已知p1 ( x1 , y1 ), p2 ( x2 , y2 )是直线l上任意两个不同的点(其中x1 ? x2 ), 则直线l的斜率k如何表示呢?

引导学生探究过两点的斜率公式,引发学生思考交换 p1 , p2 的位置结论是否仍成立? 公式对 ? ? 0 与钝角的情形是否仍成立? 设计意图:探究式学习,培养学生良好的思维习惯,培养其发现问题,解决问题的能力。 使得学生主动思考问题。做课堂的主人。 7.4 课堂练习 例 1,下图中直线的倾斜角表示正确的图形序号为:

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学生解答 老师追问: (2) (3)错在何处? 设计意图:让学生进一步巩固倾斜角的概念,更加明确倾斜角的范围 0 ? ? ? 180 。 例 2 判断下列命题的正误 (1)每一条直线都有唯一确定的倾斜角( ) (2)每一条直线都有斜率( ) (3)直线的倾斜角为 ? ,则直线的斜率为 tan ? ( ) (4)直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大( ) 学生解答 设计意图:进一步理解倾斜角,斜率的概念,理清直线斜率随倾斜角变化的规律。 例 3 已知直线 PQ 过点 P(2,3), Q(6,5) ,求它的斜率. 变式:已知 m 为任意实数,直线 PQ 过点 P(-1, 2), Q(m, 4) ,直线 PQ 的斜率存在吗?如 果存在,求出它的斜率(用含 m 的式子表达) 设计意图:巩固过两点的直线斜率公式,培养学生分类讨论的意识。进一步强化倾斜角 为直角时斜率不存在这一知识点。 7.5 课堂小结 (1)、直线倾斜角定义与取值范围. (2)、直线斜率的定义. (3)、直线的倾斜角与斜率之间的关系.倾斜角变化时斜率的变化规律。 (4)、两个求直线斜率的公式 学生回答,老师归纳。师生共同完成 设计意图:进一步巩固课堂知识。 7.6 作业布置 (1)完成倾斜角为零度角及钝角时过两点的斜率公式的推导 (2)课本 P64 习题 4,5. 8 教学反思 按照上述的教学过程进行教学,学生的探究氛围浓厚,学习欲望高涨,教学效果良好, 目标达成度高。反思本节课的教学,成功之处主要是在于以下几个方面: (1)由李白的《蜀道难》作为新课引入,成功吸引了学生的注意力,为后续环节提供了保 障。 (2)知识点之间的过渡斜街自然合理,为了使本课的概念能够顺利落实到位,我们做了大 量的前期准备工作力求做到过渡自然。让学生感觉到概念的形成是一种必然,使得学生更加 乐于去接受概念的教学。能够始终抓住学生的学习热情。 (3)练习难度设置合理,能够做到由易到难,由特殊到一般。培养学生分类讨论的思想。 符合学生的认知习惯。 不足之处:本节课是概念课,信息量较大。要防止学生学了后面忘了前面。在课件处理
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上,如果能够能够添加更多一点的动画效果,可以更好的帮助学生理解概念,更能节省一些 时间,使整个课堂显得更加从容有序。

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