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2011届高三数学一轮复习精品课件:定积分与微积分基本定理


第3课时

定积分与微积分 基本定理

基础知识梳理
1.定积分的概念 . (1)定积分的定义和相关概念 定积分的定义和相关概念 如果函数f(x)在区间 ,b]上连 在区间[a, 上连 ①如果函数 在区间 用分点a= 续,用分点 =x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn= - b将区间 ,b]等分成 个小区间,在每个 将区间[a, 等分成 个小区间, 等分成n个小区间 将区间 小区间[x - 上任取一点ξ 小区间 i-1,xi]上任取一点 i(i=1,2, 上任取一点 = , n n b-a - ∑f(ξi)x= ∑ n f(ξi) = i= 1 …,n),作和式 i=1 , , ,

基础知识梳理
当n→∞时,上述和式无限接近 某个常数 , 时 这个常数 叫做函数f(x)在区间 ,b]上的定 叫做函数 在区间[a, 上的定 在区间 积分, 积分,记作 n b- a - lim ∑ f(ξi) →∞ n i= 1 = n . ,即∫baf(x)dx

基础知识梳理
与 ② 在bf(x)dx 中, a与b 分别叫做积 , 分下限与积分上限, 分下限与积分上限,区间 [a,b] 叫做积 分区间,函数f(x) 叫做被积函数, x 叫 叫做被积函数, 分区间 ,函数
做积分变量, 叫做被积式. 做积分变量,f(x)dx 叫做被积式.
a

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(2)定积分的几何意义 定积分的几何意义 ①当函数 f(x)在区间 ,b]上恒为正时, 在区间[a, 上恒为正时, 在区间 上恒为正时 定积分bf(x)dx 的几何意义是由直线 x=a,x = ,
a

=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边 ≠ , = = 所围成的曲边 梯形的面积(图 中阴影部分). 梯形的面积 图 1 中阴影部分 .

基础知识梳理

基础知识梳理
一般情况下, ②一般情况下,定积分bf(x)dx 的几何
a

意义是介于 x 轴、曲线 f(x)以及直线 x=a、 以及直线 = 、 x=b 之间的曲边梯形面积的代数和 图 2 中 = 之间的曲边梯形面积的代数和(图 阴影所示), 其中在 x 轴上方的面积等于该区 阴影所示 , 间上的积分值,在 x 轴下方的面积等于该区 间上的积分值, 间上积分值的相反数. 间上积分值的相反数.

基础知识梳理
(3)定积分的基本性质 定积分的基本性质 kbf(x)dx(k 为常数 为常数) ①kf(x)dx= a = . bf (x)dx±bf (x)dx 1 2 a . ② [f1(x)±f2(x)]dx= a ± = c f(x)dx+bf(x)dx(其中 a<c<b) + 其中 c ③f(x)dx= a = .

基础知识梳理
你能从定积分的几何意义解释性 质③吗? 思考提示】 如图所示, 【思考提示】 如图所示,设在区 上恒有f(x)≥0,c是区间 ,b)内的 是区间(a, 内的 间[a,b]上恒有 , 上恒有 , 是区间 一点,那么从几何图形上看,直线x= 把 一点,那么从几何图形上看,直线 =c把 大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形, 大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形,因 大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形 此,大曲边梯形的面积 是两个小曲边梯形 之和, 的面积S = 的面积 1,S2之和,即S=S1+S2,用定积 分表示就是性质③ 分表示就是性质③.

基础知识梳理
2.微积分基本定理 . 是区间[a, 上的连续函数 上的连续函数, 如果 f(x)是区间 ,b]上的连续函数,并 是区间 - 且 F′(x)=f(x),那么bf(x)dx=F(b)-F(a) , ′ = , =
a

这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿 这个结论叫做微积分基本定理 , ——莱布尼兹公式. 莱布尼兹公式. 莱布尼兹公式 为了方便, 常把 F(b)-F(a)记成 为了方便, - 记成 即bf(x)dx= =
a



=F(b)-F(a). - .

三基能力强化
1 1.下列值等于 的积分是 的积分是( . 2 A.1xdx . 0 C.12dx . 0 1 2 dx B. . 02 D. 22dx . 0 )

答案: 答案:A

三基能力强化
2.(教材习题改编)曲线 y= 3 cosx(0≤x≤ π)与坐标轴所围成的面积 ≤ ≤ 与坐标轴所围成的面积 2 是( ) A.2 B.3 . . 5 C. D.4 . 2

答案: 答案:B

三基能力强化
x 2 3. f(x)= x . 设 = 2

(x≥0) ≥ , 1 f(x)dx 则 (x<0) -1

的值是( ) 的值是 A.1 x2dx .

-1 1 2xdx B. . -1 C.0 x2dx+12xdx . + -1 0 D.0 2xdx+1x2dx . + -1 0

答案: 答案:D

三基能力强化

4.2 . 1

1 (2x - )dx=________. = x
2

14 答案: 答案: -ln2 3

三基能力强化
5.已知a (2x+ 1)dx=2,则 . + = ,
-1

a=________. =

答案:1 答案:

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考点一 求已知函数的定积分

求函数f(x)的定积分,关键是求 的定积分, 求函数 的定积分 出函数f(x)的一个原函数 的一个原函数F(x),即满 出函数 的一个原函数 , 足F′(x)=f(x).正确运用求导运算与 = . 求原函数运算互为逆运算的关系. 求原函数运算互为逆运算的关系.

课堂互动讲练
例1 求下列函数的定积分: 求下列函数的定积分: (1) 2 (4x3+3x2-x)dx; ;
0 2 1

(2)

1 (e + )dx; ; x
2x

π 2x (3) 2sin dx. 2 0

课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)(2)先利用定积 思路点拨】 先利用定积 分的性质将被积函数化简再求. 先 分的性质将被积函数化简再求.(3)先 化简,再求定积分. 化简,再求定积分.
2 (4x3+ 3x2- x)dx 0 2 (4x3)dx+2 (3x2)dx-2xdx = + - 0 0 0

【解】

(1)

1 22 42 32 =x |0+x |0- x |0 2
3

1 2 =(2 -0)+(2 -0)- (2 -0) + - 2 =16+8-2=22. + - =
4

课堂互动讲练
1 1 2x (2)∵(lnx)′= ,( e )′=e2x, ∵ ′ ′ x 2 1 1 2 (e2x+ )dx=2e2xdx+2 dx ∴ = + x 1 1 1 x 1 2x 2 2 = e |1+lnx|1 2 1 4 1 2 = e - e +ln2-ln1 - 2 2 1 4 1 2 = e - e +ln2. 2 2

课堂互动讲练

课堂互动讲练
【规律总结】 计算简单定积分的步骤 规律总结】 (1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、 把被积函数变为幂函数、 把被积函数变为幂函数 正弦函数、 余弦函数、指数函数与常数的和或差; 余弦函数、指数函数与常数的和或差; (2)利用定积分的性质把所求的定积分化 利用定积分的性质把所求的定积分化 为若干个定积分的和或差; 为若干个定积分的和或差; (3)分别用求导公式找到 分别用求导公式找到F(x),使得 分别用求导公式找到 ,使得F′(x) =f(x); ; (4)利用牛顿 利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个 利用牛顿 莱布尼兹公式求出各个 定积分的值; 定积分的值; (5)计算所求定积分的值. 计算所求定积分的值. 计算所求定积分的值

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考点二 求分段函数的定积分

1.分段函数的定积分 . (1)分段函数在区间 ,b]上的定积 分段函数在区间[a, 上的定积 分段函数在区间 分可分成几段定积分的和的形式. 分可分成几段定积分的和的形式. (2)分段的标准是使每一段上的函数 分段的标准是使每一段上的函数 表达式是确定的, 表达式是确定的,一般按照原函数分段 的情况分,无需分得过细. 的情况分,无需分得过细.

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2.奇偶函数在对称区间上的定积分 . (1)若 f(x)为偶函数,且在关于原点对称的 为偶函数, 若 为偶函数 区间[- , 上连续 上连续, 区间 -a,a]上连续,则a f(x)dx=2af(x)dx. =
-a 0

(2)若 f(x)为奇函数,且在关于原点对称的 若 为奇函数, 为奇函数 区间[- , 上连续 上连续, 区间 -a,a]上连续,则a f(x)dx=0. =
-a

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例2
x 3 (0≤x≤1) ≤ ≤ ≤ (1)求函数 f(x)= x (1<x≤4) 求函数 = x ≤ 2 - 14 (4<x≤5)

在区间[0,5]上的定积分. 上的定积分. 在区间 上的定积分 (2)求2|3-2x|dx. 求 -
1

课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)f(x)在[0,5]上 思路点拨】 在 上 的定积分,可按照f(x)的分段标准, 的分段标准, 的定积分,可按照 的分段标准 分成[0,1],(1,4],(4,5]三段的定积分 分成 , , 三段的定积分 的和; 的和;
3- 2x - (2)由 |3- 2x|= 由 - = - 2x- 3

3 1≤x≤ ≤ ≤ 2 3 <x≤2 ≤ 2



可分为两段定积分,再求和. 可分为两段定积分,再求和.

课堂互动讲练
【解】 (1)由定积分性质知 由定积分性质知 5f(x)dx=1f(x)dx+4f(x)dx+5f(x)dx = + +
0 0 1 4 =1x3dx+4 xdx+5 (2x-14)dx + + 0 1 4 x4 1 2 3 4 2x 14x)|4 = |0+ x |1+( -14 )|5

4 3 2 ln2 1 16 2 32 16 = + - + -14×5-( -14×4) × - × 4 3 3 ln2 ln2 16 109 . = - ln2 12

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【名师点评】 分段函数在区间 名师点评】 [a,b]上的定积分可分成几段定积分 , 上的定积分可分成几段定积分 的和的形式. 的和的形式 分段的标准只需依据已 知函数的分段标准即可. 知函数的分段标准即可.

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考点三 定积分的几何意义

利用定积分求平面图形面积的 关键是画出几何图形, 关键是画出几何图形,结合图形位 确定积分区间以及被积函数, 置,确定积分区间以及被积函数, 从而得到面积的积分表达式, 从而得到面积的积分表达式,再利 用微积分基本定理求出积分值. 用微积分基本定理求出积分值.

课堂互动讲练
例3 利用定积分的性质和定义表示下 列曲线围成的平面区域的面积. 列曲线围成的平面区域的面积.
(1)y=0,y= x,x=2; = , = , = ; (2)y=x-2,x=y2. = - , =

【思路点拨】 先将区域面积表 思路点拨】 示成若干个定积分的和或差, 示成若干个定积分的和或差,再运用 牛顿—莱布尼兹公式计算 莱布尼兹公式计算. 牛顿 莱布尼兹公式计算.

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课堂互动讲练
(2)曲线所围成的平面区域如图 所示: 曲线所围成的平面区域如图(2)所示 曲线所围成的平面区域如图 所示: S=A1+A2. =
A1 由 y= x, y=- x, x=1 围成; = , =- , = 围成; A2 由 y= x, y=x-2,x= 1 和 x= 4 围成. = , = - , = = 围成. ∴A1=1 [ x- (- x)]dx, -- ,
0

A2=4 [

1 ∴S=12 xdx+4 ( x-x+2)dx = + - + 0 1 =21 xdx+4 xdx-4xdx+42dx + - + 0 1 1 1

x- (x-2)]dx, - - ,

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课堂互动讲练
名师点评】 【名师点评】 用定积分计算平面区域 的面积, 的面积 , 首先要确定已知曲线所围成的区 由区域的形状,选择积分函数, 域,由区域的形状,选择积分函数,再确定 积 分上 、 下 限 , 当 计算公式 S= b |f(x)- 分上、 限, = -
a

g(x)|dx 中的 f(x)或 g(x)是分段函数时,面积 是分段函数时, 或 是分段函数时 要分块计算. 要分块计算.

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考点四 定积分在物理中的应用

利用定积分解决变速运动问题 和变力做功问题时, 和变力做功问题时,关键是求出物 体作变速运动的速度函数和变力与 位移之间的函数关系, 位移之间的函数关系,确定好积分 区间,得到积分表达式, 区间,得到积分表达式, 再利用微 积分基本定理计算即得所求. 积分基本定理计算即得所求.

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例4 (解题示范 本题满分 10 分) 解题示范)(本题满分 解题示范 一物体做变速直线运动, 一物体做变速直线运动,其 v-t 曲线如 -
1 图所示, 图所示,求该物体在 s~6 s 间的运动路程. ~ 间的运动路程. 2

课堂互动讲练
【思路点拨】 从图上可以看出 思路点拨】 物体在0≤t≤1时做加速运动,1≤t≤3时 时做加速运动, 物体在 时做加速运动 时 做匀速运动, 时也做加速运动, 做匀速运动,3≤t≤6时也做加速运动, 时也做加速运动 但加速度不同,也就是说0≤t≤6时, 但加速度不同,也就是说 时 v(t)为一个分段函数,故应分三段求积 为一个分段函数, 为一个分段函数 分才能求出曲边梯形的面积. 分才能求出曲边梯形的面积.

课堂互动讲练
【 解】
2t (0≤t≤1) ≤≤ 2 (1<t≤3) ≤ v(t)= = 1 + ≤ 3t+ 1 (3<t≤6)

,…….. …..3 分

课堂互动讲练
名师点评】 【名师点评】 1 本题在求 s~ 6s 间 ~ 2

的运动路程时,第一段面积不需要都计 的运动路程时, 1 算进去,只要计算[ 上的就可以了, 算进去,只要计算 ,1]上的就可以了, 上的就可以了 2 这一点在计算时易弄错. 这一点在计算时易弄错.

课堂互动讲练
高考检阅 (本题满分 分)物体 以初速度为 速 本题满分10分 物体 以初速度为2(速 物体A以初速度为 本题满分 的单位: 度v的单位:m/s)、加速度为 =6t(t的单 的单位 、加速度为a(t)= 的单 在一直线上运动. 位:s)在一直线上运动.在此直线上与物 在一直线上运动 体A出发的同时,物体B在物体 的正前方 出发的同时,物体 在物体A的正前方 出发的同时 在物体 5 m处以 =10t+1(t的单位:s,v的单位: 处以v= + 的单位 , 的单位 的单位: 的单位: 处以 m/s)的速度运动. 的速度运动. 的速度运动 (1)求物体 的速度; 求物体A的速度 求物体 的速度; (2)两物体何时相遇?相遇地与物体 两物体何时相遇? 两物体何时相遇 相遇地与物体A 的出发地的距离是多少? 的出发地的距离是多少?

课堂互动讲练
设物体A在时刻 的速度为v(t), 解:(1)设物体 在时刻 的速度为 , 设物体 在时刻t的速度为 依题意有v(0)=2, 2分 依题意有 = , 分
v′(t)= a(t)= 6t,且 v(t)-v(0)=t a(t)dt ′ = = , - =
0

=t (6t)dt= 3t2|t0=3t2. (6t)dt=
0

∴v(t)= 3t2+2. =

5分

课堂互动讲练
(2)设 t 时刻两物体相遇,则有 设 时刻两物体相遇, t (3t2+ 2)dt=5+t (10t+ 1)dt, = + + ,
0 0 2

即 (t3+2t)|t0=5+ (5t + t)|t0, + , ∴t3- 5t2+ t-5= 0, - = , (t- 5)(t2+1)= 0, t=5(s). 8分 - = ,= 时相遇. ∴两物体运动 5 s 时相遇.相遇地与物 体 A 的出发地的距离为 s=5(3t2+ 2)dt= (t3 = =
0

+2t)|5=53+ 2×5=135(m). × = 0

10 分

规律方法总结
1.定积分的概念应注意的问题 . (1)积分值仅与被积函数及积分区间 积分值仅与被积函数及积分区间 有关, 而与积分变量的字母无关, 有关 , 而与积分变量的字母无关 , 即b
a

f(x)dx=bf(t)dt=bf()d. = =
a a

(2)定义中区间的分法和 ξi 的取法都 定义中区间的分法和 是任意的. 是任意的.

规律方法总结
(3)在定积分的定义中,b f(x)dx 限定 在定积分的定义中, 在定积分的定义中
a

下限小于上限, 下限小于上限,即 a<b,为了方便计算, < ,为了方便计算, 人们把定积分的概念扩大,使下限不一定 人们把定积分的概念扩大, 小于上限,并规定: 小于上限,并规定:bf(x)dx=-af(x)dx, =- ,
a b af(x)dx=0. = a

规律方法总结
2.求定积分的常用技巧 . (1)对被积函数,要先化简,再求 对被积函数, 对被积函数 要先化简, 积分. 积分. (2)求被积函数为分段函数的定积 求被积函数为分段函数的定积 依据定积分“对区间的可加性 对区间的可加性”, 分,依据定积分 对区间的可加性 , 分段积分再求和. 分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函 对于含有绝对值符号的被积函 要先去掉绝对值号才能积分. 数,要先去掉绝对值号才能积分.

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