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新课程标准数学选修4—5 不等式选讲课后习题答案(word版)


新课程标准数学选修 4—5 不等式选讲 课后习题解答
第一讲 不等式和绝对值不等式 习题 1.1 (P9) 1、 (1)假命题. 假如 3 ? 2 ,但是 3 ? (?1) ? 2 ? (?1) . (2)假命题. 假如 3 ? 2 ,但是 3 ? 02 ? 2 ? 02 . (3)假命题. 假如 ?1 ? ?2 ,但是 (?1)2 ? (?2)2 . (4)真命题. 因为 c ? d ,所以 ?c ? ? d ,因此 a ? c ? a ? d . 又 a ? b ,所以 a ? d ? b ? d . 因此 a ? c ? b ? d . 2、因为 ( x ? 1)( x ? 2) ? ( x ? 3)( x ? 6) ? ( x2 ? 3x ? 2) ? ( x2 ? 3x ?18) ? 20 ? 0 所以 ( x ? 1)( x ? 2) ? ( x ? 3)( x ? 6)

1 1 1 1 1 1 1 ? 0 ,所以 a ? ? b? ,即 ? ,即 ? ; ab ab ab a b b a (2)因为 a ? b , c ? 0 ,所以 ac ? bc . 因为 c ? d ,b ? 0 ,所以 bc ? bd . 因此 ac ? bd .
3、 (1)因为 a ? b , 4、不能得出. 举反例如下:例如 ?2 ? ?3 ,?1 ? ?4 ,但是 (?2) ? (?1) ? (?3) ? (?4) . 5、 (1)因为 a, b ? R? , a ? b ,所以 a 2 ? b 2 ,即 (2)因为 a ? b ? 2 ab ? 0 ,所以

b a b a b a ? . 所以 ? ? 2 ? ? 2 . a b a b a b

1 1 ? a ? b 2 ab

所以 2ab ?

2ab 1 1 ? ab ? 2ab ? ? ab ,即 a?b a?b 2 ab

6、因为 a, b, c 是不全相等的正数 所以 a ? b ? 2 ab , b ? c ? 2 bc , c ? a ? 2 ca ,以上不等式不可能全取等 号. 所以(1) (a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 2 ab ? 2 bc ? 2 ca ? 8abc (2) (a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a) ? 2 ab ? 2 bc ? 2 ca 所以 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca

7、因为 a 2 ? b2 ? 2ab , b2 ? c2 ? 2bc , c 2 ? d 2 ? 2cd , d 2 ? a 2 ? 2da 所以 (a2 ? b2 ) ? (b2 ? c2 ) ? (c2 ? d 2 ) ? (d 2 ? a2 ) ? 2(ab ? bc ? cd ? da) 即 a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da
2 2 2 2 2 8、因为 a1 ? x12 ? 2a1x1 , a2 ? x2 ? 2a2 x2 ,……, an ? xn ? 2an xn 2 2 2 2 2 所以 (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? ( x12 ? x2 ? ? ? xn ) ? 2(a1x1 ? a2 x2 ? ?? an xn )

即 2 ? 2(a1x1 ? a2 x2 ? ? ? an xn ) ,所以 a1x1 ? a2 x2 ? ? ? an xn ? 1 9、因为

x2 ? y 2 x ? y 2 2 x 2 ? 2 y 2 ? ( x 2 ? y 2 ? 2 xy ) ( x ? y )2 ?( ) ? ? ? 0, 2 2 4 4 x2 ? y 2 x? y 2 ?( ) . 2 2
x2 ? 2 x2 ? 1 ? x2 ? 1 ? 1 x2 ? 1 ? 2 ( x 2 ? 1) ?1 x2 ? 1 ? 2 ,所以

所以

10、因为

x2 ? 2 x2 ? 1

?2

11、因为 a, b, c ? R? , a ? b ? c ? 1 , 所以 3(a2 ? b2 ? c2 ) ? 2(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a2 ? b2 ? c2 )

? (a 2 ? b 2 )? (b 2 ? c 2? ) ? (a ? b ? c ) ? 1
2

(c ?2

2 a ? ) 2

( ? a 2 ?b 2

c 2)

? 2a b? 2 b ? c 2 c ?a (2 ? a 2?b
1 3

) c

所以 a 2 ? b 2 ? c 2 ?

12 、 ( 1 ) 因 为 a, b, c ? R? , 所 以

a b c a b c ? ? ? 33 ? ? ? 3 , b c a b c a

b c a b c a ? ? ? 33 ? ? ? 3 a b c a b c
a b c b c a 所以 ( ? ? )( ? ? ) ? 9 b c a a b c
(2)因为 a, b, c ? R? ,所以 a ? b ? c ? 3 3 abc ? 0 , a2 ? b2 ? c2 ? 33 a2b2c2 ? 0 所以 (a ? b ? c)(a 2 ? b2 ? c2 ) ? 9 3 a3b3c3 ? 9abc 13、设矩形两边分别为 a , b ,对角线为定值 d ,则 a 2 ? b2 ? d 2

∴ (a ? b)2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? 2(a2 ? b2 ) ? 2d 2 ∴ a ? b ? 2d , 2(a ? b) ? 2 2d ∴当且仅当 a ? b 时,以上不等式取等号. ∴当矩形为正方形时,周长取得最大值,最大值为 2 2d 因为 ab ?

a 2 ? b2 d 2 ? ,当且仅当 a ? b 时等号成立 2 2 d2 2

所以当矩形为正方形时,面积取得最大值,最大值为
2 2 2 14、因为 r ? ( ) ? R ,所以 4r ? h ? 4R .
2 2 2

h 2

根据三个正数的算术—几何平均不等式,得 4R2 ? 2r 2 ? 2r 2 ? h2 ? 3 3 4r 4h2 所以,球内接圆柱的体积 V ? ? r h ?
2

4 3? R3 9

当且仅当 2r ? h ,即 r ?
2 2

2 2 3 R 时, V 取最大值. R,h ? 3 3
2

15、因为 a ? b ? 2ab ,所以
2 2

ab 1 b 1 ? ,即 a ? 2 ? . 2 2 a ?b 2 a ?b 2 b b b } ? a , 0 ? h ? min{a, 2 }? 2 由于 0 ? h ? min{a, 2 2 2 a ?b a ?b a ? b2
所以 h ? a ?
2

b 1 2 ? ,从而 h ? 2 a ?b 2 2
2

习题 1.2

(P19)

1、 (1) a ? b ? a ? b ? (a ? b) ? (a ? b) ? 2a ? 2 a (2) a ? b ? 2 b ? (a ? b) ? 2b ? a ? b ,所以 a ? b ? a ? b ? 2 b

1 x2 ? 1 x ? 1 2 x ? ? ?2. 2、证法一: x ? ? x x x x
证法二:容易看出,无论 x ? 0 ,还是 x ? 0 ,均有 x ?

2

1 1 ? x? x x

所以 x ?

1 1 1 ? x ? ?2 x ? ?2 x x x

3、 (1) x ? a ? x ? b ? a ? x ? x ? b ? (a ? x) ? (x ? b) ? a ? b (2)因为 a ? b ? x ? b ? b ? a ? x ? b ? (b ? a) ? ( x ? b) ? x ? a 所以 x ? a ? x ? b ? a ? b 另证: x ? a ? x ? b ? ( x ? a) ? ( x ? b) ? a ? b

4、 (1) ( A ? B) ? (a ? b) ? ( A ? a) ? ( B ? b) ? A ? a ? B ? b ? ( 2

?
2

?

?
2

??


( A ? B) ? (a ? b) ? ( A ? a) ? (b ? B) ? A ? a ? b ? B ? A ? a ? B ? b ?
5、 y ? x ? 4 ? x ? 6 ? x ? 4 ? 6 ? x ? ( x ? 4) ? (6 ? x) ? 2 当且仅当 ( x ? 4)(6 ? x) ? 0 ,即 x ? [4,6] 时,函数 y 取最小值 2. 6、 (1) ?5 ? 2 x ? 3 ? 5 ?2 ? 2 x ? 8 ?1 ? x ? 4
∴原不等式的解集为 (?1,4) (3) ?3 ?

?
2

?

?
2

??

(2) 2 x ? 5 ? ?1 或 2 x ? 5 ? 1 2x ? 4 或 2x ? 6 x ? 2或 x ? 3 ∴原不等式的解集为 (??,2] ? [3, ??) (4) 2 4x ?1 ? 8

1 x ?1 ? 3 2 1 ?4 ? x ? 2 2 ?8 ? x ? 4

4x ?1 ? 4
4 x ? 1 ? ?4 或 4 x ? 1 ? 4 4 x ? ?3 或 4 x ? 5 3 5 x?? 或x? 4 4
∴原不等式的解集为 (??, ? ] ? [ , ??)

∴原不等式的解集为 (?8,4)

3 4

5 4

7、 (1) ?6 ? 3x ? 4 ? ?1 或 1 ? 3x ? 4 ? 6 ?10 ? 3 x ? ?5 或 ?3 ? 3x ? 2 10 5 2 ? ? x ? ? 或 ?1 ? x ? 3 3 3
∴原不等式的解集为

(2) ?9 ? 5 ? 2 x ? ?3 或 3 ? 5 ? 2 x ? 9 ?14 ? ?2 x ? ?8 或 ?2 ? ?2 x ? 4 4 ? x ? 7 或 ?2 ? x ? 1 ∴原不等式的解集为 (?2,1] ? [4,7)

[?

10 5 2 , ? ) ? (?1, ] 3 3 3

8、 (1)令 x ? 3 ? 0 , x ? 5 ? 0 得 x ? 3, x ? 5 ①当 x ? 3 时 ?x ? 3 ? x ? 5 ? 4 x?2 ∴x?2 ②当 3 ? x ? 5 时 x ?3? x ?5 ? 4

(2)令 x ? 2 ? 0 , x ? 3 ? 0 得 x ? 2 , x ? ?3 ①当 x ? ?3 时

(3)令 x ? 1 ? 0 , x ? 2 ? 0 得 x ? 1, x ? 2 ①当 x ? 1 时

?x ? 2 ? x ? 3 ? 4

x??
∴ x ? ?3 ②当 ?3 ? x ? 2 时

5 2

?x ? 2 ? x ? 3 ? 4 5?4 ∴ ?3 ? x ? 2 ③当 x ? 2 时 x?2? x?3? 4 3 x? 2 ∴x?2 ∴原不等式的解集为 R
9、 a ? (1, ??) 第二讲 证明不等式的基本方法 习题 2.1 (P23)

?x ?1? x ? 2 ? 2 1 x? 2 1 ∴ ? x ?1 2 ②当 1 ? x ? 2 时 x ?1? x ? 2 ? 2 1? 2 ∴1 ? x ? 2 ③当 x ? 2 时 x ?1? x ? 2 ? 2 5 x? 2 5 ∴2? x ? 2 1 5 ∴原不等式的解集为 ( , ) 2 2

1、因为 a ? b ,所以 a ? b ? 0 . 因此 a3 ? b3 ? ab(a ? b)

? (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? ab(a ? b) ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ? ab) ? (a ? b)(a 2 ? b 2 ) ? 0
所以 a3 ? b3 ? ab(a ? b) 2、因为 ad ? bc ,所以 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2

? (a 2 c 2 ? a 2 d 2? b 2 c 2 ? b 2) d 2? (
2 ? (a d ? b ) c ?0

2 a2 c ? 2

2 a b? cd ) b 2d

所以 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 3、因为 a ? b ,所以 a4 ? 6a2b2 ? b4 ? 4ab(a2 ? b2 )
4 2 ? a 4 ? 2 a 2 b2 ? b? 4 a (b ? a 2 2 2 ? ) b 4 a b

2 ? (a 2 ? b 2 ) 2 ? 2( a? b ?2 ) ( 2 a? b )

(a 2 b2 )

? (a 2 ? b 2? 2 a b )2
4 ? (a ? b ) ? 0

所以 a4 ? 6a2b2 ? b4 ? 4ab(a2 ? b2 ) 4、因为 a, b, c 是正数,不妨设 a ? b ? c ? 0 ,

a b c 则 ( ) a ?b ? 1 , ( )b ? c ? 1 , ( ) c ? a ? 1 b c a
因 为

ab ?

? 0 cb
? c ? a

?

,c c
b a

?

且a

a

a2a ab? b

?

c

?

b 2b ? a 2 ac? ? b

? ?

c

? ?b

c22c ? ( c b

?

c

a

) ?2

(

ac
b

)

a

b

(

所以 a 2 ab2bc 2c ? ab?cbc ?a ca ?b 习题 2.2 (P25)

1、因为 a2 ? b2 ? 5 ? 2(2a ? b) ? (a ? 2)2 ? (b ?1)2 ? 0 ,所以 a2 ? b2 ? 5 ? 2(2a ? b) . 2、 (1)因为 (ab ? a ? b ? 1)(ab ? ac ? bc ? c2 ) ? (a ? 1)(b ? 1)(a ? c)(b ? c)

? 2 a ? 2 b ? 2 a c ? 2 b c? 1 6 a b c
所以 (ab ? a ? b ? 1)(ab ? ac ? bc ? c2 ) ? 16abc (2)因为 (a3 ? b3 ) ? (a ? b)ab ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? (a ? b)ab
2 ? (a ? b) (a ? 2a b? 2 b ) ? ( a? b )(a ?2 b )? 0

所以 a3 ? b3 ? (a ? b)ab , b3 ? c3 ? (b ? c)bc , c3 ? a3 ? (c ? a)ca 所以 2(a3 ? b3 ? c3 ) ? a2 (b ? c) ? b2 (a ? c) ? c2 (a ? b) 3、略.

1 1 1 1 1 1 ? ? ? 0 ,即证明 ? ? a ?b b?c c ?a a ?b b?c a ?c 1 1 ? ?0 因为 a ? b ? c ,所以 a ? c ? a ? b ? 0 ,从而 a ?b a ?c 1 1 1 1 1 1 1 ? 0 ,所以 ? ? ? ? ?0 又因为 ,所以 b?c a ?b b?c a ?c a ?b b?c c ?a m ? n m?n n m m ? n m?n ? m n ,只需要证明 ( ) ? mn nm . 5、要证 2 2
4、要证明
m? n m ? n m?n m?n ) ? ( mn ) ? (mn) 2 因为 ( 2

只需证 (mn)

m? n 2

? mn nm ,即证 (mn)m?n ? m2nn2m ,

m 只需证 ( ) m ? n ? 1 ,不妨设 m ? n ,则 m ? n ? 0 n m 所以 ( ) m ? n ? 1 . 所以,原不等式成立. n
6 、 要 证 明

f (a) ? f (b) ? a ? b , 即

1 ? a 2 ? 1 ? b2 ? a ? b , 即

a 2 ? b2 1 ? a 2 ? 1 ? b2

? a ?b

因为 a ? b ,所以只需证 a ? b ? 1 ? a 2 ? 1 ? b 2 ∵ a ? b ? a ? b ? 1 ? a 2 ? 1 ? b2 ∴ a ? b ? 1 ? a 2 ? 1 ? b 2 ,从而原不等式成立. 7、log a (1 ? x) ? log a (1 ? x) ? [(log a (1 ? x) ? log a (1 ? x)][(log a (1 ? x) ? log a (1 ? x)]
2 2

1? x ) al o g 1? x 1 ? x ? 1. 又因为 0 ? x ? 1 ,所以 0 ? 1 ? x 2 ? 1 , 0 ? 1? x 1? x ?0 所以 log a (1 ? x 2 ) log a 1? x ?log ?1x 2 a (
所以 log a (1 ? x) ? log a (1 ? x) ? 0 ,即 log a (1 ? x) ? log a (1 ? x) 从而 loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) 8、因为 n ? 0 ,所以 n ?
2 2 2 2 2 2

4 n n 4 n n 4 ? ? ? 2 ? 33 ? ? 2 ? 3 2 n 2 2 n 2 2 n

9、因为 1 ? ab ? a ? b ? (1 ? a 2 )(1 ? b 2 ) ? 0 ,所以 1 ? ab ? a ? b

习题 2.3

(P29)

(1 ? a) ? a 2 1 ) ? 2 4 ( 1? b ) ?b 2 1 (1 ? c) ? c 2 1 0? (1 ? b b)? ( ? ) , 0 ? (1 ? c)c ? ( ) ? 2 4 2 4 1 所以 (1 ? a)a ? (1 ? b)b ? (1 ? c)c ? ( )3 4 1 1 假设 (1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a 都大于 ,则 (1 ? a)b ? (1 ? b)c ? (1 ? c)a ? ( )3 4 4 1 3 c ? ( )矛盾 . 所以 (1? a )b , (1 ?b ) c , (1 ?c ) a不能 这与 (1? a )a ? (1? b )b ? (1? c ) 4 1 都大于 . 4
1、因为 0 ? a, b, c ? 1,根据基本不等式 0 ? (1 ? a)a ? ( 2、一方面,

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? ? ? ??? 2 2 3 4 n 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 n(n ? 1)

?(

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ?( ? ) ?( ? ? ) ? ?( ? ) ? ? 2 3 3 4 4 5 n n? 1 2n ? 1
另一方面,

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? ? ? ??? 2 2 3 4 n 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 (n ? 1)n

1 1 1 1 1 1 1 n 1? 1 ? ( 1? ) ? ( ? ) ? ( ? ? )? ?( ? ) ?1 ? ? 2 2 3 3 4 n ? 1n n n 1 1 1 1 1 1 n ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 所以, ? 2 n ?1 2 3 4 n n
3、当 n ? 1 时,不等式 1 ?

1 1 1 ? ?? ? 2 n 显然成立,即 1 ? 2 1 . 2 3 n

当 n ? 2 时,因为 n ? n ? 1 ? 2 n 所以

1 2 ? ? 2( n ? n ? 1) n n ? n ?1



1 ? 2 n ? 2 n ?1 n 2? 2 , 1 1 1 ?2 3?2 2 , ?2 4 ?2 3 , … … , 3 4

所以

1 ?2 2

1 ? 2 n ? 2 n ?1 n





1?

1 2
4、假设 (

?

n

?

n

?

1 3

(

1 1 ? 1)( 2 ? 1) ? 9 . 由于 x, y ? 0 且 x ? y ? 1 2 x y

1 1 1 ? x2 1 ? y 2 所以 ( 2 ? 1)( 2 ? 1) ? 2 ? 2 x y x y
(1 ? x)(1 ? x) (1 ? y )(1 ? y ) ? x2 y2 (1 ? x) y (1 ? y ) x ? ? x2 y2 1? x 1? y ? ? x y 1? x 2 ? x ? ? ?9 x 1? x ?
得 (2 x ? 1)2 ? 0 ,这与 (2 x ? 1)2 ? 0 矛盾,所以 ( 5、因为 ? r 2h ? V (定值) 所以,圆柱的表面积 S ? 2? r 2 ? 2? rh

1 1 ? 1)( 2 ? 1) ? 9 2 x y

? 2? r 2 ? ? rh ? ? rh ? 3 3 2? r 2 ? ? rh ? ? rh ? 3 3 2? 3r 4 h ? 3 3 2? V 2
当且仅当 2? r 2 ? ? rh ? ? rh 时,等号成立. 所以,当 h ? 2r ,即 h ?
3
2

4V

?

,r ? 3

V ,其表面积最大. 2?

6、 2? (1 ?

2 ) 3

第三讲 柯西不等式与排序不等式 习题 3.1 (P36) 1、函数定义域为 [5,6] ,且 y ? 0

y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x ? (32 ? 42 )( x ? 5 ? 6 ? x) ? 5
当且仅当 4 x ? 5 ? 3 6 ? x ,即 x ?

134 时,函数有最大值 5. 25

2 2 2 2 2、三维柯西不等式 (a1 ? a2 ? a3 )(b12 ? b2 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2








2 x2 )?


2 y2 (?




2 z2 ?)

x12 ?

y12 ?

z12 (?

x1 (?

2

1 4 11 3、因为 2 x2 ? 3 y 2 ? 6 ,所以 x ? 2 y ? (2 x 2 ? 3 y 2 )( ? ) ? 6 ? ? 11 . 2 3 6
因此 x ? 2 y ? 11 4、因为 a 2 ? b2 ? 1,所以 a cos? ? b sin ? ? (a 2 ? b 2 )(cos 2 ? ? sin 2 ? ) ? 1 5 、 因 为

a ? b ?1







(ax1 ? bx2 )(bx1 ? ax2 ) ? (a x1x2 ? b x1x2 )2 ? (a ? b)2 x1x2 ? x1x2
6、 ( x2 ? y 2 )(1 ? 4) ? ( x ? 2 y)2 ? 1,即 x 2 ? y 2 ?

1 5 1 2 1 当且仅当 x ? , y ? 时, x 2 ? y 2 有最小值 5 5 5

1 1 1 1 9 7、 (a ? )(2b ? ) ? ( a ? ? ? 2b )2 ? b 2a 2a b 2
当且仅当 2ab ? 1 ( a, b ? R? )时,函数有最小值 8、 pf ( x1 ) ? qf ( x2 ) ? p x1 ? q x2 ?

9 2

px1 ? p ? px2 ? p

? ( px1 ? qx2 )( p ? q) ? px1 ? qx2 ? f ( px1 ? qx2 )
9、y ? 3sin x ? 4 1 ? cos 2 x ? 3sin x ? 4 2cos 2 x ? (9 ? 32)(sin 2 x ? cos 2 x) ? 41 当且仅当 tan x ? ? 习题 3.2 1、 (P41)

3 2 时,函数有最大值 41 8

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ( ? ? )(a ? b ? c) ? ( ? a ? ?b ? ? c ) ? 32 ? 9 a b c a b c a b c
1 1 1 ? ? ? ? ? n2 . x1 x2 xn

推广:若 x1, x2 ,?, xn ? R? ,且 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1,则

证:

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ( ? ? ? ? )( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x1 x2 xn x1 x2 xn

?(

1 1 1 ? x1 ? ? x2 ? ? ? ? xn )2 ? n2 x1 x2 xn

2、因为 4(a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ) ? (12 ? 12 ? 12 ? 12 )(a2 ? b2 ? c2 ? d 2 )

? (a ?1 ?b ? 1 ? c 1 ? ? d 21?)
所以 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? 3、 ( x1 ? x2 ? ? ? xn )( 4、

? a (

b ? c ? 2d ?)

2

1 ?

1 ?

1 4

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ) ? ( x1 ? ? x2 ? ? ? ? xn ? ) 2 ? n2 x1 x2 xn x1 x2 xn

2 2 2 1 1 1 ? ? ? 2( ? ? ) a?b b?c c?a a?b b?c c?a

?( ?( ?(

a?b b?c c?a 1 1 1 ? ? )( ? ? ) a?b?c a?b?c a?b?c a?b b?c c?a a?b 1 b?c 1 c?a 1 2 ? ? ? ? ? ) a?b?c a?b a?b?c b?c a?b?c c?a 1 1 1 ? ? )2 a?b?c a?b?c a?b?c 1 9 )2 ? a?b?c a?b?c
上式中等号不成立,这是由于 a, b, c 是互不相等的正数, 所以

? (3

a?b 1 b?c 1 c?a 1 : ? : ? : . a?b?c a?b a?b?c b?c a?b?c c?a

5 、 因 为 ( x2 ? y 2 ? z 2 )(22 ? 32 ? 42 ) ? (2x ? 3 y ? 4z)2 ? 102 ? 100 , 所 以

100 2 x2 ? y ? z ?2 . 29
当且仅当 x ?

20 30 40 100 , y ? ,z ? 时, x2 ? y 2 ? z 2 有最小值 . 29 29 29 29

x2 x2 x2 6、因为 ( 1 ? 2 ? ? ? n )(n ? 1) 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn
x2 x2 x 2 ? ( 1 ? 2 ? ? ? n )[(1 ? x1 ) ? (1 ? x2 ) ? ? ? (1 ? xn )] 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 2 ? 1

所以 习题 3.3

x12 x2 x2 1 ? 2 ??? n ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn n ? 1
(P45)

1、由加法交换律及 c1 , c2 ,?, cn 的任意性,不妨假设 a1 ? a2 ? ? ? an ,这不影响题 意.
2 2 由排序不等式,等 a1c1 ? a2c2 ? ?? ancn ? a12 ? a2 . ? ?? an

2 、 由 于 要 证 的 式 子 中 a , b, c 是 轮 换 对 称 的 , 所 以 不 妨 假 设 a ? b ? c . 于 是

a 2 ? b 2 ? c 2.
由排序不等式,得 a 2a ? b2b ? c 2c ? a 2b ? b2c ? c 2a

a 2a ? b2b ? c 2c ? a 2c ? b2a ? c 2b
两式相加,得 2(a3 ? b3 ? c3 ) ? a2 (b ? c) ? b2 (c ? a) ? c2 (a ? b) 3、由于要证的式子中 a1, a2 , a3 是轮换对称的,所以不妨假设 a1 ? a2 ? a3 . 于是 由

1 1 1 ? ? , a2a3 ? a3a1 ? a1a2 a1 a2 a3
排 序 不 等 式 , 得

a1a2 a2a3 a3a1 1 1 1 ? ? ? ? a2 a3 ? ? a3a1 ? ? a1a2 ? a2 ? a3 ? a1 a3 a1 a2 a3 a1 a2


a1a2 a2 a3 a3a1 ? ? ? a2 ? a3 ? a1 a3 a1 a2

4、用柯西不等式证明如下: 因为 (
2 a12 a2 a2 a2 ? ? ? ? n?1 ? n )(a2 ? a3 ? ? ? an ? a1 ) ? (a1 ? a2 ? ? ? an )2 a2 a3 an a1

2 2 2 a12 a2 an an ?1 所以 ? ? ? ? ? ? a1 ? a2 ? ? ? an . a2 a3 an a1

用排序不等式证明如下: 设 ai1 ? ai2 ? ? ? ain ? 0 ,其中 i1, i2 ,?, in 是 1,2,?, n 的一个排列 则 ai2 , ? ai2 ? ? ? ai2 1 2 n

1 1 1 . ? ??? ai1 ai2 ain

由排序不等式知,反序和最小, 从而
2 a12 a2 a2 a2 1 1 1 ? ? ? ? n?1 ? n ? ? ai2 ? ? ai2 ? ? ? ? ai2 1 2 a2 a3 an a1 ai1 ai2 ain n

? ai1 ? ai2 ? ? ? ain ? a1 ? a2 ? ?? an
所以
2 a12 a2 a2 a2 ? ? ? ? n?1 ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an a2 a3 an a1

习题 4.1 (P50) 1、 (1)当 n ? 1 时,左边 ? 1,右边 ? 1, 所以,左边 ? 右边,命题成立. (2)假设当 n ? k (k ? 1) 时,命题成立,即 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2k ? 1) ? k 2 . 当

n ? k ?1





1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2k ? 1) ? 2(k ? 1) ?1 ? k 2 ? 2(k ? 1) ?1 ? (k ? 1)2 .
所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由(1) (2)知, 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n2 2、 (1)当 n ? 1 时,左边 ? 1,右边 ?

1 ? 1? (1 ? 1)(2 ? 1 ? 1) ? 1 , 6 所以,左边 ? 右边,命题成立. 1 k (k ? 1)(2k ? 1) . 6

(2)假设当 n ? k (k ? 1) 时,命题成立,即 1 ? 4 ? 9 ? ? ? k 2 ? 当 n ? k ? 1 时, 1 ? 4 ? 9 ? ? ? k 2 ? (k ? 1) 2 ?

1 k (k ? 1)(2k ? 1) ? ( k ? 1) 2 6

1 ? (k ? 1)(2k 2 ? 7 k ? 6) 6 1 ? (k ? 1)(k ? 2)[2(k ? 1) ? 1] 6
所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立. 1 由(1) (2)知, 1 ? 4 ? 9 ? ? ? n 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 3、 (1)当 n ? 1 时,左边 ? 1 ? 4 ? 4 ,右边 ? 1? 22 ? 4 , 所以,左边 ? 右边,命题成立. ( 2 ) 假 设 当

n ? ( k ? k1 时 )
.k3 ? k 2( ?















1?

4?

2?

7 ?? 3 ? k

1 k? 0

? 1 )

? (

1 )

当 n ? k ? 1 时, 1? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ?10 ? ? ? k (3k ? 1) ? (k ? 1)[3(k ? 1) ? 1]

? k ( k ? 12 ) ?( k ? 1 ) [k 3( ?

? 1)

1]

? (k ? 1)(k 2 ? 4k ? 4) ? (k ? 1)[(k ? 1) ? 1]2
所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由(1) (2)知, 1? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ?10 ? ? ? n(3n ? 1) ? n(n ? 1)2 4、 (1)当 n ? 1 时,因为 x2?1?1 ? y 2?1?1 ? x ? y 能被 x ? y 整除,所以命题成立. (2)假设当 n ? k (k ? 1) 时,命题成立,即 x2k ?1 ? y 2k ?1 能被 x ? y 整除. 当 n ? k ? 1 时, x2( k ?1)?1 ? y 2( k ?1)?1 ? x2k ?1 ? y2k ?1

? x 2 k ? 1x 2 ? y y2 k ?2 ? x 2 ( x 2k ? 1 ?y ? x 2 ( x 2k ? 1 ?y
k? 2 k? 2

1 k2 ? 2 ? y1y k? 2 2 2 1

? x 2 k ? 1x 2 ? x y2 k ?2 ? 1x y
1 )? y 1 )? y

k? 2 k? 2

y ( 1 ? x2 )

y (1 ?x ) y (? x

)

上式前后两部分都能被 x ? y 整除,所以,当 n ? k ? 1 时命题成立. 由(1) (2)知, x2n?1 ? y 2n?1 能被 x ? y 整除.

1 5、凸 n 边形有 n(n ? 3) 条对角线. 下面证明这个命题. 2 (1)当 n ? 3 时,三角形没有对角线,即三角形有 0 条对角线,命题成立. 1 (2)假设当 n ? k (k ? 3) 时,命题成立,即凸 k 边形有 k (k ? 3) 条对角线. 2
当 n ? k ? 1 时, 凸 (k ? 1) 边形的对角线条数为

1 1 1 k ( k? 3 )? ( k? 2) ? 1 ? 2k ( ?k ? 2 ) ? k (? 1 k) [ ? ( ? 1) 2 2 2 所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立. 1 由(1) (2)知,凸 n 边形有 n(n ? 3) 条对角线. 2 n 6、这样的 n 条直线把平面分成的区域数目为 f n ? 1 ? ( n ? 1) . 下面证明这个命 2
题.

3]

1 (1)当 n ? 1 时,平面被分为 1 ? 1 ? 2 个区域, f1 ? 1 ? (1 ? 1) ? 2 ,命题成立. 2 k (2)假设当 n ? k (k ? 1) 时,命题成立,即有 f k ? 1 ? ( k ? 1) . 2 当 n ? k ? 1 时, 第 k ? 1 条直线与前面 k 条直线有 k 个不同交点 即,它被前面 k 条直线截成 k ? 1 段,其中每一段都把它所在的原区域 一分为二,

也即使原区域数目增加 k ? 1 . k k ?1 ( k ? 2) 于是 f k ?1 ? f k ? (k ? 1) ? 1 ? (k ? 1) ? ( k ? 1) ? 1 ? 2 2 1 1 1 k ( k? 3 )? ( k? 2) ? 1 ? 2k ( ?k ? 2 ) ? k (? 1 k) [ ? ( 2 2 2 所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由(1) (2)知,对任意正整数 n ,命题都成立. 习题 4.2 (P53) 1 1 1、 (1)当 n ? 3 时,左边 ? (1 ? 2 ? 3)(1 ? ? ) ? 11 ,右边 ? 32 ? 3 ? 1 ? 11 2 3 所以,左边 ? 右边,命题成立. ( 2 ) 假 设 当

? 1)

3]

n ? k (k ? 3)

















(1 ? 2 ? ? ? k )(1 ?

1 1 ? ? ? ) ? k 2 ? k ?1. 2 k 当 n ? k ? 1 时, 1 1 1 (1 ? 2 ? ? ? k ? k ? 1)(1 ? ? ? ? ? ) 2 k k ?1

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ) ? (1 ? 2 ? ? ? k ) ? ( k ? 1)(1 ? ? ? ? ? ) 2 k k ?1 2 k k ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? k 2 ? k ? 1 ? k (k ? 1) ? k (1 ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ? ? ? ? ) 2 k ?1 2 k k ?1 2 k k ?1 1 1 1 1 1 1 ? k 2 ? k ? 1 ? k (k ? 1) ? k (1 ? ) ? (1 ? ? ? ) 2 k ?1 2 2 3 4 1 3 25 ? k 2 ? k ?1? k ? k ? 2 2 12 2 2 ? k ? 3k ? 1 ? (k ? 1) ? (k ? 1) ? 1 ? (1 ? 2 ? ? ? k )(1 ?
所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由(1) (2)知,命题对大于 2 的一切正整数成立. 2、 (1)当 n ? 17 时,有 2n ? n 4 . ①当 n ? 17 时, 217 ? 131072 ? 83521 ? 174 ,命题成立. ②假设当 n ? k (k ? 17) 时,命题成立,即 2k ? k 4 当

n ? k ?1


4



2k ?1 ? ?

k

? k ?k ? 2 k ? k ? 4k ? k ? 2 k? ? k?

2

3

1

所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由①②知,命题对一切不小于 17 的正整数成立. 1 (2)当 n ? 3 时,有 (1 ? ) n ? n . n

1 64 ? 3 ,命题成立. ①当 n ? 3 时, (1 ? )3 ? 3 27 1 ②假设当 n ? k (k ? 3) 时,命题成立,即 (1 ? ) k ? k k 1 k ?1 1 k 1 ) ? (1 ? ) (1 ? ) 当 n ? k ? 1 时, (1 ? k ?1 k ?1 k ?1

1 1 ? (1 ? ) k (1 ? ) k k ?1 1 ? k (1 ? ) k ?1 ? k ?1
所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由①②知,命题对一切不小于 3 的正整数成立. 1 2 ?1 3、 (1)当 n ? 2 时, 2 ? ,命题成立. 2 2 1 1 1 k ?1 (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时,命题成立,即 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 3 k k 当 n ? k ? 1 时,

1 1 1 1 k ?1 1 ? 2 ??? 2 ? ? ? 2 2 2 3 k (k ? 1) k (k ? 1)2

?

k 3 ? k 2? 1 k 3 ? k 2 (k ? 1) ? 1 ? ? k (k ? 1)2 k (k ? 1)2 k ?1
所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由(1) (2)知,命题对任意大于 1 的正整数成立. 4、不妨设 a ? b ? c , a ? b ? d , c ? b ? d . (1)当 n ? 2 时, a2 ? c2 ? (b ? d )2 ? (b ? d )2 ? 2b2 ? 2d 2 ? 2b2 ,命题成立. (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时,命题成立,即 a k ? ck ? 2bk 当 n ? k ? 1 时, a k ?1 ? ck ?1 ? a k ?1 ? ack ? ack ? ck ?1

? a( ak ? ck ) ? ck ( c? a )
k ? a( ak ? ck ) ? 2 d c k k k ? 2a b ?2 dc ? 2 ( b? d) k b ? 2 d c k ?2( b ? d )b ? 2d kb ? 2?k1 b 所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由(1) (2)知,命题对一切大于 1 的正整数成立.

5、 (1)当 n ? 1 时,

1? 2 (1 ? 1) 2 ? 1? 2 ? ,命题成立. 2 2

(2)假设当 n ? k (k ? 1) 时,命题成立,即 当 n ? k ? 1 时,

k (k ? 1) (k ? 1) 2 ? ak ? . 2 2

k (k ? 1) (k ? 1)2 ? (k ? 1)(k ? 2) ? ak ? (k ? 1)(k ? 2) ? ? (k ? 1)(k ? 2) 2 2

k (k ? 1) (k ? 1)2 2k ? 3 ? (k ? 1) ? ak ?1 ? ? 2 2 2 (k ? 1)(k ? 2) (k ? 2) 2 ? ak ?1 ? 2 2
所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由(1) (2)知,命题对一切正整数成立. 6、 (1)当 n ? 2 时, sin(?1 ? ?2 ) ? sin?1 cos?2 ? cos?1 sin ?2 ? sin ?1 ? sin ?2 ,命 题成立. (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时,命题成立, 即 sin(?1 ? ?2 ? ?? ?k ) ? sin?1 ? sin?2 ? ?? sin?k 当 n ? k ? 1 时,

sin(?1 ? ?2 ? ? ? ?k ? ?k ?1 )
? sin(?1 ? ? 2 ? ? ? ? k )cos ? k ?1 ? cos(?1 ? ? 2 ? ? ? ? k )sin ? k ?1 ? sin(?1 ? ? 2 ? ? ? ? k ) ? sin ? k ?1 ? sin ?1 ? sin ? 2 ? ? ? sin ? k ? sin ? k ?1
所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由(1) (2)知,命题对一切大于 1 的正整数成立.
2 2 2 7、 (1)当 n ? 2 时, (a1 ? a2 )(b12 ? b2 ) ? (a1b1 ? a2b2 )2 ,命题成立.

(2)假设当 n ? k (k ? 2) 时,命题成立,
2 2 2 2 即 (a1 ? a2 ? ? ? ak )(b12 ? b2 ? ?? bk2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ?? akbk )2

当 n ? k ? 1 时,
2 2 2 2 2 2 2 (a12 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 )(b 1 ? b2 ? ? ? bk ? bk ?1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? (a12 ? a2 ? ?? ak )(b12 ? b2 ? ?? bk2 ) ? (a12 ? a2 ? ?? ak )bk2?1 ? ak ?1 (b 1 ? b2 ? ? ? bk ) ? ak ?1bk ?1

2 2 2 2 2 2 2 2 ? (a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ) 2 ? ak ?1bk ?1 ? 2ak ?1bk ?1 ( a1 ? a2 ? ? ? ak )(b1 ? b2 ? ? ? bk ) 2 2 2 ? (a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ) 2 ? ak ?1bk ?1 ? 2ak ?1bk ?1 ( a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk )

? (a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak ?1bk ?1 ) 2
所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由(1) (2)知,命题对一切不小于 2 的正整数成立
2 2 2 2 2 即, (a1 ? a2 ? ? ? an )(b12 ? b2 ? ?? bn ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ?? anbn )2 .

8、 (1) (a1 ? a2 ? ? ? an )(

1 1 1 ? ? ? ? ) ? n2 a1 a2 an 1 ? 12 ,命题成立. a1
n ? ( k? k2 时 )
, 命 题 成 立 , 即

(2)①当 n ? 1 时, a1 ? ② 假 设 当

(a1 ? a2 ? ? ? ak )(

1 1 1 ? ??? ) ? k 2 a1 a2 ak

当 n ? k ? 1 时,

(a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 )(

1 1 1 1 ? ??? ? ) a1 a2 ak ak ?1

? (a1 ? a2 ? ? ? ak )( ? k 2 ? 1 ? 2 ak ?1

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ) ? (a1 ? a2 ? ? ? ak ) ? ak ?1 ( ? ? ? ? ) ? 1 a1 a2 ak ak ?1 a1 a2 ak

1 1 1 1 (a1 ? a2 ? ? ? ak )( ? ? ? ? ) ak ?1 a1 a2 ak

? k 2 ? 1 ? 2 k 2 ? (k ? 1) 2
所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由①②知,命题对一切正整数成立



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