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8.待定系数法求二次函数y=ax2+bx+c解析式


待定系数法求二次函数y=ax?+bx+c解析式
数学组 制作

y

x

二次函数解析式的求法
解析式 使用范围 注意: 注意: 一般来说: 一般来说: 最终的结 果我们用 一般式或 顶点式来 表示。 表示。

一般 式 顶点 式

已知任意 y=ax2+bx+c 三个点

y=a(x-h)2+k

已知顶点 (h,k)及另 及另 一点

已知与x轴 已知与 轴 交点 y=a(x-x1)(x-x2) 的两个交点 及另一个点 式

已知抛物线上任意三点时 已知抛物线上 任意三点时, 通常设函数 任意三点 解析式为一般式 一般式。 解析式为一般式。 当已知抛物线的顶点坐标 顶点坐标和抛物线上另 当已知抛物线的 顶点坐标 和抛物线上另 一点时,通常设函数解析式为顶点式 顶点式。 一点时,通常设函数解析式为顶点式。 当已知抛物线与 轴交点或交点横坐标时 当已知抛物线与x轴交点或交点横坐标时 通常设函数解析式为交点式 ,通常设函数解析式为交点式 。

(1)已知二次函数的图象经过点(-1,-6)、 (1、-2)和(2,3),求这个二次函数的解 析式。 一般式 (2)已知抛物线的顶点为(-1,-3),与y 轴的交点为(0,-5),求此抛物线的解析式 顶点式 (3)已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B( 1,0),并经过点M(0,1),求此抛物线的 解析式。 交点式

例1

例2、已知抛物线经过三点 、已知抛物线经过三点A(-1,0)、B(1,8)、C(3,0), , 、 , 、 , 求此抛物线的解析式。 求此抛物线的解析式。 解(一):设所求抛物线 一: 还有其它解法吗? 还有其它解法吗? ∵抛物线对称 解(二) y = ax 2 + bx + c 为直线 的解析式为 ?1+ 3 x= =1 2 a ? b + c = 0 ∴顶点即为 B (1,8) a + b + c = 8

9 a + 3b + c = 0 解之得: 解之得:
a = ?2 b = 4 c = 6

∴ 可设y = a( x ? 1) 2 + 8
把(-1,0)代入可得: , )代入可得:
0 = a ( ? 1 ? 1) 2 + 8

∴抛物线的解析式为: 抛物线的解析式为:
y = ?2 x 2 + 4 x + 6

4a + 8 = 0 4a = ?8

∴ y = ?2( x ? 1) 2 + 8

a = ?2

例2、已知抛物线经过三点A(-1,0)、B(1,8)、 、已知抛物线经过三点 , 、 , 、 C(3,0),求此抛物线的解析式。 求此抛物线的解析式。 , 求此抛物线的解析式
解(三): 轴交于A(- 1,0)、C(3,0) ∵抛物线与 x轴交于 轴交于 、 ∴可设解析式为 y = a( x + 1)( x ? 3) (1,8)代入得 8 代入得: 把B (1,8)代入得: = a(1 + 1)(1 ? 3) 解之得: 解之得:a = ? 2 ∴抛物线的解析式为: y = ? 2 ( x ? 1) 2 + 8 抛物线的解析式为: ∴

1、已知抛物线经过点 ( ?1, 7 )且当 x = 1时y最大值 = 1, ? 求抛物线的解析式。

解:设所求抛物线解析 式为 y = a ( x ? 1) 2 + 1

把( ? 1, 7)代入得: 7 = a ( ?1 ? 1) + 1 ? ?
2

解之得: = ?2 a
∴ 抛物线的解析式为: y = ?2( x ? 1) + 1
2

例3: 二次函数y= ax2+bx+c的图象如图所示,求 此函数解析式。
方法一 (一般式) 方法二 (顶点式) 方法三 (交点式)
-6 -2 3 2

一般式: 一般式: 解:依题意把点(2,0)(-6,0)(0,3) 可得: 4a+2b+c=0 c=3 36a-6b+c=0 1 解得: a= ? 4 b= -1 c=3 1 2 所以二次函数的解析式为: y = ? x ? x +3

4

顶点式: 解:因为二次函数的对称轴为x=-2,所以可设函 数的解析式为:y=a(x+2)2+k,把点(2,0) (0,3)代入可得: 16a+k=0 4a+k=3 1 解得 a= ? 4 k=4 1 2 所以二次函数的解析式为: y = ? x ? x +3 4

交点式:

解:因为抛物线与x轴相交的两个点的坐标为(2, 0)(-6,0),可设该函数的解析式为: y=a(x+6)(x-2),把点(0,3)代入得: 3= -12a 1 解得:a= ? 4

1 2 所以二次函数的解析式为:y = ? x ? x +3 4

2.根据图象,求函数解析式: 2.根据图象,求函数解析式: 根据图象
y

1 ?1
0

x
1

图2

3、根据图象,求函数解析式: 根据图象,求函数解析式: 图象
y
y

?1 0

3

x

-4

2

x

?2
图1

-3



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